JMP : Volue 6 Noor, Deseber 014, hal. 105-114 KARAKERISIK OPERAOR HIPONORMAL- PADA RUANG HILBER Guawa Uiversitas Muhaadiyah Purwokerto Eail: gu.oge@gail.co ABRAC. his article discusses the defiitio ad roerties of -hiooral oerators for >0. o ivestigate the roerties of -hiooral oerators, the cocet of ositive oerators, artial isoetry oerators, decoositio of oerators, ad existece of artial isoetry oerators for ay oerator o a Hilbert sace are reuired. ABRAK. Pada artikel ii aka dibahas egeai defiisi da beberaa sifat-sifat oerator hiooral-, utuk >0. Utuk eyelidiki sifat-sifat oerator hiooral- dierluka kose oerator ositif, oerator isoetri arsial, dekoosisi sebarag oerator, da eksistesi oerator isoetri arsial utuk sebarag oerator ada ruag Hilbert. Kata Kuci: Ruag Hilbert, Oerator Positif, Dekoosisi Oerator, Oerator Hiooral-. 1. PENDAHULUAN a. Latar Belakag da Perasalaha Diberika ruag Hilbert H atas laaga F, hiua seua oerator liear terbatas dari H ke H ditulis B H, da B( H ). Laaga F yag diaksudka di tulisa ii adalah C (hiua bilaga Koleks). Oerator daat didekoosisika ejadi arsial da akar kuadrat ositif dari U dega U : H H oerator isoetri oerator liear kotiu yag eiliki sifat. Selajutya, utuk bilaga >0, atau, dega disebut sebagai oerator hiooral-. Utuk =1, oerator disebut oerator hiooral da utuk 1, oerator disebut oerator sei- hiooral. Utuk 0<<1, oerator hiooral- telah diteliti oleh beberaa
106 Guawa ateatikawa, diataraya Aluthge (1999), Duggal (1995), da Xia (1980). Dala Aluthge (1999), disebutka bahwa aabila oerator hiooral- da U dekoosisi dari dega U oerator isoetri arsial, aka oerator U disebut trasforasi Aluthge. Selai itu, dala Aluthge (1999), disebutka bahwa utuk >0, aabila hiooral- aka, utuk 0<< 1, 1 U hiooral-. Hal tersebut keudia ebawa eikira utuk eyelidiki karakteristik oerator yag eiliki sifat. Pebahasa egeai karakteristik oerator hiooral- ada tulisa ii, lebih ditekaka ada eahai defiisi da sifat- sifat oerator hiooral- ada ruag Hilbert. b. ujua da Mafaat Peelitia ujua eelitia ii adalah utuk eberika eahaa da egetahua egeai sifat- sifat da karakteristik oerator hiooral- ( > 0) ada ruag Hilbert. Pebahasa egeai oerator hiooral- ada ruag Hilbert berafaat ebatu egebagka ilu ateatika da alikasiya, khususya aalisis fugsioal.. KARAKERISIK OPERAOR HIPONORMAL- Pada bagia ii dibahas egeai defiisi da sifat- sifat oerator hiooral- ada ruag Hilbert, oerator ositif, serta dekoosisi oerator. Berikut ii aka dibahas defiisi oerator hiooral- da kose dasar oerator hiooral- ada ruag Hilbert. Defiisi.1. Diketahui H ruag Hilbert atas F da B( H ). Utuk >0, oerator dikataka hiooral- jika.
Karakteristik Oerator Hiooral 107 Utuk >0, sifat ekuivale dega sifat dega da. Selajutya, aka dibahas egeai oerator ositif. Oerator ositif ii aka diguaka utuk ebuktika sifat-sifat oerator hiooral-. Defiisi.. Diketahui H ruag Hilbert atas F da B( H ). Oerator dikataka ositif jika ( x), x 0, utuk setia x H. Selajutya oerator ositif diotasika dega 0. Lea.3 (Kreyszig, 1978). Diketahui H ruag Hilbert atas F da BH. Jika 0 aka (self adjoit). Setelah disaaika egeai oerator ositif, berikut ii aka dibahas egeai eksistesi akar kuadrat ositif dari oerator ositif. Diketahui H ruag Hilbert atas F da B( H ) adalah oerator ositif. S B( H ) disebut akar kuadrat oerator jika S da diotasika dega oerator 1 S. eorea.4 (Kreyszig, 1978). Diketahui H ruag Hilbert atas F da B( H ). Jika adalah self adjoit aka terdaat secara tuggal oerator ositif S sehigga S. Selajutya, diahai bahwa A B 0 A B 0, yag berarti utuk sebarag x H, A B( x), x 0 A( x) B( x), x 0 A( x), x B( x), x 0 A( x), x B( x), x..
108 Guawa Lebih lajut, utuk B( H ) da adalah oerator ositif, defiisika, utuk 0,1, dega da i i i1 ii asig-asig adalah barisa bilaga koleks da barisa royeksi ortogoal. eorea.5 (Ketaksaaa Lower- Heiz) (Furuta, 00). Diketahui H ruag Hilbert atas F da A, B B( H ). Jika A B 0 aka utuk setia 0,1 berlaku A B 0. Selajutya, eorea.5 aka diguaka utuk ebuktika teorea berikut, yag eruaka sifat-sifat oerator hiooral-. eorea.6 (Yua da Yag, 006). Jika utuk > 0, adalah oerator hiooral- aka, utuk 0 <, eruaka oerator hiooral-. Bukti : Perhatika bahwa da. Diketahui adalah hiooral-, yag berarti P. Meurut eorea.5, dieroleh
Karakteristik Oerator Hiooral 109 utuk setia 0,1 da jelas bahwa, eruaka oerator ositif. Selajutya, diketahui bahwa 0 <, yag berarti 0 < < 1. Abil Jadi 0,1 da Dega deikia, hiooral-... Selajutya, aka diberika defiisi egeai oerator isoetri arsial. Kose egeai isoetri arsial diguaka dala edefiisia dekoosisi oerator. Dala defiisi berikut, diahai bahwa hiua M kolee ortogoal dari hiua M. eruaka Defiisi.7. Diketahui H ruag Hilbert atas F. Oerator B( H ) dikataka isoetri arsial jika terdaat ruag bagia tertutu M H ( x) x, x M da ( x) 0, x M. sehigga Selajutya, aka diberika teorea egeai eksistesi oerator isoetri arsial utuk sebarag oerator. Dala teorea berikut, R ( ) da RS ( ) asigasig eyataka daerah hasil (Rage) oerator da S. eorea.8 (Furuta,00). Diketahui H ruag Hilbert da S, B( H ). Jika S S aka terdaat oerator isoetri arsial U sehigga S U. Bukti : Diketahui S S. Utuk setia x H: ( x) ( x), ( x) ( x), x S S( x), x S( x), S( x) S( x) Jika ( x1) ( x) utuk setia x1, x H aka : 0 ( x ) ( x ) ( x x ) S( x x ) S( x ) S( x ). 1 1.
110 Guawa Dieroleh S( x1) S( x). Defiisika oerator V : R( ) R( S) dega V ( ( x)) S( x), x H. Dieroleh V adalah liear, terbatas, da V ( x) S( x) ( x). Jadi, V adalah isoetri. Selajutya, defiisika oerator V : R( ) R( S) dega V( y) li V( y ), y R( ),( y ) R( ), y y. Dieroleh V liear da terbatas. Utuk setia N (hiua bilaga Asli), y R( ), yag berarti terdaat x D( ) sehigga ( x ) y. Lebih lajut, V ( y) li V ( y ) li V ( x ) li S( x ) li ( x ) li y y. Dieroleh V isoetri. Defiisika oerator U : H H dega U ( x) VP ( x), x H M da P M adalah royeksi ortogoal ada M, dega M R ( ). Jika x M aka P ( ) M x x da U ( x) VPM ( x) V ( x) x. Jika x M aka U ( x) VP ( x) V (0) 0. Jadi, U adalah isoetri arsial. Karea M R( U ) U ( H ) VP ( H ) V ( M ), aka utuk setia x H, Jadi, S U. M U ( x) VP ( ( x)) V ( x) S( x) M eorea.9 (Furuta, 00). Diketahui H ruag Hilbert atas F. Jika B( H ) aka terdaat oerator isoetri arsial U sehigga 1 U dega. Lebih lajut, U disebut dekoosisi dari ada ruag Hilbert H. Bukti : Abil sebarag x H. Karea dieroleh adalah oerator ositif. Karea x x x x x ( ), ( ), ( ) ( ) 0 adalah ositif, aka
Karakteristik Oerator Hiooral 111 1 eruaka oerator ositif. Karea adalah oerator ositif, aka (self adjoit). Perhatika bahwa. Meurut eorea.8, terdaat oerator isoetri arsial U sehigga U. Lea.10 (Furuta, 00). Diketahui H ruag Hilbert atas F da B( H ). Jika U dekoosisi dari ada ruag Hilbert H aka U U utuk setia >0. Bukti: Abil sebarag x H. Perhatika bahwa ( x), x ( x), x ( x), ( x) ( x) 0. Jadi adalah oerator ositif. Akibatya, eruaka oerator ositif. Keudia, ( U ) U U, sehigga dieroleh U U U U U U ( U U ). Utuk setia N, dieroleh U U U U U U = U U U U... U U... U U... U U. faktor faktor faktor Selajutya aka ditujukka U U utuk setia, N. Abil sebarag, N da teta, dieroleh 1) Utuk =1 dieroleh U U ) Agga bear utuk =k,
11 Guawa 3) Aka dibuktika bear utuk =k+1, k k U U k1 k 1 k 1 k 1 k1 U U U U U I U U U Jadi U U utuk setia, N. Selajutya, dega sifat kekotiua, dieroleh li U U U U. Karea, N, aka eruaka bilaga rasioal. Karea eruaka bilaga rasioal da, aka >0. Jadi U U utuk setia > 0. eorea.11 (Furuta, 008). Diketahui H ruag Hilbert atas F da B( H ). Diberika U adalah dekoosisi dari ada ruag Hilbert H. Jika 1 adalah hiooral- aka utuk 0 < <, 1 U hiooral- Bukti : Diketahui, utuk > 0, hiooral-, yag berarti Perhatika bahwa Dieroleh Lebih lajut,. U U U U, utuk suatu U B( H ) isoetri arsial. U U. (1)
Karakteristik Oerator Hiooral 113 Utuk setia x H Dari (1), (), da (3) dieroleh Selajutya,. U U () U U ( x), x U ( x), U ( x) 0. (3) U U U U 0. 1 1 U U U U U U U U 1 =. Jadi, 3. KESIMPULAN DAN SARAN 3.1 Kesiula Berdasarka ebahasa di atas, aka kesiula yag daat diabil adalah jika diberika H ruag Hilbert atas F aka, utuk bilaga >0, oerator liear kotiu dikataka hiooral- aabila oerator eeuhi sifat. Lebih lajut, utuk >0, jika oerator hiooral- aka, utuk 0 <, eruaka oerator hiooral-. Selai itu, utuk bilaga >0, aabila hiooral- aka, utuk 0<< 1, 1 hiooral-. 1 U hiooral-. 3. Sara Dala tulisa ii, eulis haya ebahas egeai beberaa sifat-sifat hiooral- ada ruag Hilbert. Utuk eeliti selajutya, diharaka daat
114 Guawa eetuka sifat lai dari oerator hiooral- ada ruag Hilbert, diataraya eyelidiki hubuga oerator hiooral- dega oerator hiooral-w, oerator class (A), da oerator araoral. UCAPAN ERIMAKASIH Pada keseata yag baik ii, tidak lua eulis egucaka teria kasih yag sebesar- besarya keada yag terhorat Dr. Ch. Rii Idrarti, M.Si yag telah ebibig eulis dala eyusua tulisa ii. DAFAR PUSAKA Aluthge, A., ad Wag, D. 1999. A Oerator Ieuality Which Ilies Paraorality. Matheatical Ieualities ad Alicatios,, 113-119. Berberia, S.K.1961. Itroductio to Hilbert Saces. New York: Oxford Uiversity Press. Cho, M. ad Ji, H. 1995. O -Hyooral Oerators. Nihokai Math J, 6, 01-06. Furuta,. 00. Ivitatio to Liear Oerators. New York: aylor ad Fracis. Furuta,. 008. Brief Survey Of Recet Alicatios Of A Order Preservig Oerator Ieuality. aiwaese Joural of Matheatics, 1(8), 113-135. Hor, R.A ad Johso, C.R.1985. Matrix Aalysis. Uited Kigdo:Cabridge Uiversity Press. Huruya,. 1997. A Note O - Hyooral Oerators. Proceedigs Of he Aerica Matheatical Society, 15(1), 3617-364. Kreyszig, E.1978. Itroductory Fuctioal Aalysis with Alicatios. New York: Joh Wiley ad Sos. J.Yua ad C.Yag. 006. Powers Of Class wf(,r,) Oerators. Joural of ieualities i ure ad alied atheatics. 3(7).