TERAPAN TURUNAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 61
Topik Bahasan 1 Nilai Maksimum dan Minimum 2 Teorema Nilai Rataan (TNR) 3 Turunan dan Bentuk Grafik Kemonotonan Fungsi Kecekungan Fungsi 4 Asimtot 5 Sketsa Kurva 6 Masalah Pengoptimuman (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 2 / 61
Nilai Maksimum dan Minimum Beberapa Aplikasi Turunan Ukuran kaleng yang meminimumkan biaya produksi Formasi, lokasi, dan warna pelangi Percepatan maksimum pesawat angkasa ulang-alik Sudut optimal pencabangan pembuluh darah yang meminimumkan energi dari jantung (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 3 / 61
Nilai Maksimum dan Minimum Nilai Ekstrim Fungsi (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 4 / 61
Nilai Maksimum dan Minimum Nilai Maksimum dan Minimum Definisi (Maksimum Mutlak, Minimum Mutlak) Misalkan fungsi f terdefinisi pada daerah asal D f. f memiliki maksimum mutlak (global) di c D f jika f (c) f (x) untuk setiap x D f f (c) disebut nilai maksimum f pada D f. f memiliki minimum mutlak di c D f jika f (c) f (x) untuk setiap x D f f (c) disebut nilai minimum f pada D f. Nilai maksimum/minimum f disebut nilai ekstrim (mutlak) f. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 5 / 61
Nilai Maksimum dan Minimum Ilustrasi Nilai Ekstrim (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 6 / 61
Nilai Maksimum dan Minimum Contoh (Ekstrim Mutlak) 1 f (x) = x memiliki nilai minimum mutlak f (0) = 0 karena f (0) = 0 f (x), x D f. 2 f (x) = cos x memiliki nilai maksimum mutlak cos (2nπ) = 1 untuk bilangan bulat n karena f (2nπ) = 1 f (x), x D f. Nilai minimum mutlaknya adalah 1. 3 f (x) = x 3 tidak memiliki ekstrim mutlak. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 7 / 61
Nilai Maksimum dan Minimum (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 8 / 61
Nilai Maksimum dan Minimum Syarat Cukup Nilai Ekstrim Teorema (Nilai Ekstrim) Jika f kontinu pada interval tertutup [a, b], maka f mencapai nilai minimum mutlak dan nilai maksimum mutlak pada [a, b]. Jika f kontinu pada [a, b], maka f memiliki minimum mutlak dan maksimum mutlak. Jika f tidak kontinu pada [a, b], maka tidak ada kesimpulan apakah f memiliki minimum mutlak atau maksimum mutlak. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 9 / 61
Nilai Maksimum dan Minimum Ilustrasi Nilai Ekstrim pada Fungsi yang Kontinu (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 10 / 61
Nilai Maksimum dan Minimum Maksimum, Minimum Lokal Definisi (Maksimum Lokal, Minimum Lokal) Fungsi f mempunyai nilai maksimum lokal (maksimum relatif) di c D f jika terdapat interval terbuka (a, b) yang memuat c sehingga f (c) f (x) untuk setiap x (a, b) D f. Fungsi f mempunyai nilai minimum lokal (minimum relatif) di c D f jika terdapat interval terbuka (a, b) yang memuat c sehingga f (c) f (x) untuk setiap x (a, b) D f. Nilai maksimum/nilai minimum lokal f disebut nilai ekstrim lokal f. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 11 / 61
Nilai Maksimum dan Minimum Ilustrasi Ekstrim Lokal (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 12 / 61
Nilai Maksimum dan Minimum Contoh (Ekstrim Lokal) 1 f (x) = x memiliki nilai minimum lokal f (0) = 0 karena pada interval buka I yang memuat 0, f (0) f (x), x I. 2 f (x) = cos x memiliki nilai maksimum lokal cos (2nπ) = 1 untuk bilangan bulat n karena pada interval terbuka I yang memuat 2nπ, f (2nπ) f (x), x I. Nilai minimum lokalnya adalah cos((2n + 1) π) = 1. 3 f (x) = x 3 tidak memiliki ekstrim lokal. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 13 / 61
Nilai Maksimum dan Minimum Bilangan Kritis Definisi (Bilangan Kritis) Titik c D f sehingga f (c) = 0 disebut titik stasioner. Titik c D f sehingga f (c) tidak ada disebut titik singular. Titik c D f yang termasuk salah satu dari titik ujung, titik stasioner, dan titik singular disebut bilangan (titik) kritis fungsi f. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 14 / 61
Nilai Maksimum dan Minimum Contoh Tentukan bilangan kritis fungsi f berikut 1 f (x) = x (1 x). x 2, 1 x < 0 2 f (x) = x 2 2x, 0 x 2. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 15 / 61
Nilai Maksimum dan Minimum Soal (Bilangan Kritis) Bila ada, tentukan bilangan-bilangan kritis fungsi-fungsi berikut: 1 f (x) = 2x 3 + 3x 2 + 6x + 1 (jawab: tidak ada bil. kritis) 2 g (x) = 2x 5 (x = 5/2) 3 h (x) = x 1/3 x 2/3 (x = 2) 4 f (x) = 3 x 2 x (x = 0, 1/2, 1) 5 g (θ) = θ + sin (θ) (θ = (2n + 1) π, n : bil. bulat) (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 16 / 61
Nilai Maksimum dan Minimum Teorema (Teorema Fermat) Jika f (c) merupakan nilai ekstrim lokal, maka c adalah bilangan kritis f. Teorema Fermat menyatakan bahwa syarat perlu agar f (c) merupakan nilai ekstrim lokal adalah c merupakan bilangan kritis dari fungsi f. Untuk memperoleh nilai ekstrim lokal f (c), terlebih dahulu tentukan bilangan kritis c karena jika c bukan bilangan kritis, maka f (c) bukan nilai ekstrim lokal. Perhatikan bahwa jika c bilangan kritis, belum tentu f (c) merupakan nilai ekstrim lokal. Berdasarkan definisi, ekstrim lokal terjadi pada titik ujung, titik stasioner, atau titik singular. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 17 / 61
Nilai Maksimum dan Minimum Contoh 1 f (x) = x 2 f (0) nilai minimum lokal, f (x) = 2x f (0) = 0 0 adalah bilangan kritis. 2 f (x) = x f (0) nilai minimum lokal, f (0) tidak ada 0 adalah bilangan kritis. 3 f (x) = x 3 f (0) = 0 0 adalah bilangan kritis, tetapi f (0) bukanlah ekstrim lokal. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 18 / 61
Nilai Maksimum dan Minimum Di mana Ekstrim Mutlak Terjadi? (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 19 / 61
Nilai Maksimum dan Minimum Menentukan Ekstrim Mutlak Metode Selang Tutup Misalkan f kontinu pada selang tutup [a, b]. Nilai maksimum/minimum mutlak fungsi f dapat ditentukan dengan cara: Tetapkan bilangan-bilangan kritis f pada [a, b] (titik ujung, titik stasioner, titik singular) Evaluasi f pada setiap bilangan kritis. Nilai terbesar merupakan nilai maksimum mutlak, nilai terkecil merupakan nilai minimum mutlak fungsi f. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 20 / 61
Nilai Maksimum dan Minimum Soal (Ekstrim Mutlak) Tentukan nilai maksimum mutlak dan minimum mutlak fungsi f pada selang yang diberikan. 1 f (x) = x 3 3x + 1, [0, 3] (jawab: f (1) = 1 min, f (3) = 19 maks) 2 f (x) = x, [1, 2] (f (1) = 1/2 min, f (2) = 2/3 maks) x + 1 1 2x ; 2 x < 1 3 f (x) = x 2 ; 1 x 1 x ; 1 < x 3 (f ( 2) = f (3) = 3 maks, f (0) = 0 min) 4 f ((x) = sin x + cos x, [0, π/3] f (0) = 1 min, f (π/4) = ) 2 maks (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 21 / 61
Nilai Maksimum dan Minimum Identifikasi Nilai Ekstrim Soal (Identifikasi Nilai Ekstrim) Berdasarkan grafik fungsi f berikut, tentukanlah: i) titik ujung, ii) titik stasioner, iii) titik singular, iv) nilai maksimum/minimum mutlak, v) nilai maksimum/minimum lokal. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 22 / 61
Teorema Nilai Rataan (TNR) Teorema (Teorema Nilai Rataan) Misalkan fungsi f memenuhi hipotesis berikut: i) kontinu pada interval tertutup [a, b], ii) terturunkan pada interval terbuka (a, b), maka ada sedikitnya satu bilangan c (a, b) sehingga f (c) = f (b) f (a) b a (1) (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 23 / 61
Teorema Nilai Rataan (TNR) Contoh (TNR) Periksa apakah TNR dapat diterapkan untuk fungsi f (x) = x 3 + x 1 pada selang [0, 2]. Jika ya, tentukan nilai c yang dimaksud pada (1). (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 24 / 61
Teorema Nilai Rataan (TNR) Soal (Teorema Nilai Rataan 1) 1 Diberikan f (x) = x 1/3. Tunjukkan bahwa fungsi f memenuhi hipotesis TNR pada ( interval [0, 1], kemudian tentukan nilai c yang dimaksud pada (1). jawab: c = ) 3 9 2 Diketahui fungsi f dengan f (x) = x. Periksa apakah fungsi f memenuhi hipotesis TNR pada interval i) [0, 4], ii) [ 1, 4]. Jika memenuhi, tentukan nilai c yang dimaksud pada (1). 3 Badrun berangkat dari Jakarta ke Cikampek melalui jalan tol berjarak 156 km selama 1.5 jam dengan mengendarai mobil tanpa berhenti. Sampai di gerbang tol Badrun ditangkap polisi karena kecepatan mobilnya melebihi kecepatan yang diizinkan di jalan tol (maksimum 100 km/jam). Gunakan TNR untuk menunjukkan bahwa kecepatan mobil Badrun pernah melebihi 100 km/jam. 4 Jika f (0) = 5 dan f (x) 3 untuk x [0, 2], seberapa kecilkah nilai f (2) yang mungkin? (jawab: 11) 5 Perlihatkan bahwa bila f (x) = px 2 + qx + r, p = 0, maka ada bilangan c [a, b] dari TNR yang selalu merupakan titik tengah dari interval [a, b]. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 25 / 61
Turunan dan Bentuk Grafik Fungsi Naik dan Turun Kemonotonan Fungsi Definisi Andaikan f terdefinisi pada interval I (terbuka, tertutup, atau tak satupun). f naik pada I, x 1 < x 2 f (x 1 ) < f (x 2 ), x 1, x 2 I f turun pada I, x 1 < x 2 f (x 1 ) > f (x 2 ), x 1, x 2 I (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 26 / 61
Turunan dan Bentuk Grafik Turunan I dan Fungsi Naik/Turun Kemonotonan Fungsi Teorema (Turunan I dan Fungsi Naik/Turun) Andaikan f kontinu pada interval I dan terturunkan pada setiap titik-dalam dari I. Jika f (x) > 0 untuk setiap x titik-dalam I, maka f naik pada I. Jika f (x) < 0 untuk setiap x titik-dalam I, maka f turun pada I. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 27 / 61
Turunan dan Bentuk Grafik Kemonotonan Fungsi Soal (Turunan I dan Fungsi Naik/Turun) 1 Tentukan interval-interval di mana f naik/turun bagi fungsi: i) f (x) = x 3 ii) f (x) = x 2/3 iii) f (x) = x 1/3 (x 4) 2 Gunakan Teorema Nilai Rataan untuk membuktikan teorema tentang turunan I dan fungsi naik/turun. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 28 / 61
Turunan dan Bentuk Grafik Uji Turunan I bagi Ekstrim Lokal Kemonotonan Fungsi Teorema (Uji Turunan I bagi Ekstrim Lokal) Misalkan c adalah bilangan kritis fungsi kontinu f, dan f terturunkan pada setiap titik pada interval yang memuat c, kecuali mungkin di c. Bergerak melewati c dari kiri ke kanan: 1 Jika f berubah tanda dari negatif ke positif, maka f (c) merupakan nilai minimum lokal. 2 Jika f berubah tanda dari positif ke negatif, maka f (c) merupakan nilai maksimum lokal. 3 Jika f tidak berubah tanda, maka f (c) bukan nilai ekstrim lokal. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 29 / 61
Turunan dan Bentuk Grafik Kemonotonan Fungsi Ilustrasi Geometris Ekstrim Lokal dgn Uji Turunan I (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 30 / 61
Turunan dan Bentuk Grafik Kemonotonan Fungsi Contoh Gunakan uji turunan I untuk menentukan ekstrim lokal fungsi f dengan f (x) = x 1/3 (x 4). (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 31 / 61
Turunan dan Bentuk Grafik Uji Turunan II bagi Ekstrim Lokal Kemonotonan Fungsi Teorema (Uji Turunan II bagi Ekstrim Lokal) Andaikan fungsi f kontinu pada interval terbuka yang memuat c. 1 Jika f (c) = 0 dan f (c) > 0, maka f (c) merupakan nilai minimum lokal. 2 Jika f (c) = 0 dan f (c) < 0, maka f (c) merupakan nilai maksimum lokal. 3 Jika f (c) = 0 dan f (c) = 0, uji turunan II gagal. Fungsi f mungkin memiliki ekstrim lokal, mungkin tidak. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 32 / 61
Turunan dan Bentuk Grafik Kemonotonan Fungsi Ilustrasi Uji Turunan II bagi Ekstrim Lokal (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 33 / 61
Turunan dan Bentuk Grafik Ilustrasi Kecekungan Fungsi Kecekungan Fungsi (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 34 / 61
Kecekungan Fungsi Turunan dan Bentuk Grafik Kecekungan Fungsi Definisi (Kecekungan) Fungsi f dikatakan cekung ke atas pada interval I jika grafik f terletak di atas garis singgung pada interval I, cekung ke bawah pada interval I jika grafik f terletak di bawah garis singgung pada interval I. Cara lain melihat kecekungan: cekung ke atas pada interval terbuka I jika f naik pada I, cekung ke bawah pada interval terbuka I jika f turun pada I. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 35 / 61
Turunan dan Bentuk Grafik Uji Turunan II Bagi Kecekungan Kecekungan Fungsi Teorema (Uji Turunan II bagi Kecekungan) Misalkan fungsi f memiliki turunan kedua pada interval terbuka I. Jika f (x) > 0 untuk setiap x I, maka f naik pada I dan f cekung ke atas pada I, Jika f (x) < 0 untuk setiap x I, maka f turun pada I dan f cekung ke bawah pada I. Definisi (Titik Belok) Titik P (c, f (c)) disebut titik belok jika f kontinu di x = c, dan f mengalami perubahan kecekungan di P. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 36 / 61
Turunan dan Bentuk Grafik Kecekungan Fungsi Teorema (Titik Belok) Jika titik (c, f (c)) merupakan titik belok, maka f (c) = 0 ataukah f (c) tidak ada Menentukan Titik Belok Untuk menentukan titik belok pada kurva y = f (x), hitung f (x), cari bilangan c sehingga f (c) = 0 atau f (c) tidak ada, selidiki perubahan tanda f (x) di c. Titik (c, f (c)) merupakan titik belok jika dan hanya jika terjadi perubahan tanda f (x) di c. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 37 / 61
Turunan dan Bentuk Grafik Kecekungan Fungsi Contoh 1 Diberikan fungsi f dengan f (x) = x 4 4x 3 + 10. Tentukan: i) interval fungsi naik/turun, ii) ekstrim lokal, iii) kecekungan, iv) titik belok fungsi f. 2 Perlihatkan bahwa jika f (x) = x 4, maka f (0) = 0, tetapi (0, 0) bukan titik belok dari grafik f. 3 Perlihatkan bahwa fungsi g dengan g (x) = x x mempunyai titik belok pada (0, 0) tetapi g (0) tidak ada. 4 Andaikan fungsi f dan g keduanya cekung ke atas pada R. Berikan syarat bagi f, agar fungsi komposit h (x) = f (g (x)) cekung ke atas. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 38 / 61
Turunan dan Bentuk Grafik Kecekungan Fungsi Soal Jika ada, tentukan: i) interval fungsi naik/turun, ii) ekstrim lokal, iii) kecekungan, iv) titik belok fungsi f, 1 f (x) = (x 1) 3 2 f (x) = x 1/3 + 1 3 f (x) = x/ (1 + x) 2 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 39 / 61
Turunan dan Bentuk Grafik Kecekungan Fungsi Pengaruh Turunan terhadap Bentuk Grafik (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 40 / 61
Turunan dan Bentuk Grafik Kecekungan Fungsi Soal Berdasarkan grafik f berikut, tentukanlah 1 interval f naik/turun dan ekstrim lokal, 2 interval f cekung ke atas/bawah dan titik belok. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 41 / 61
Turunan dan Bentuk Grafik Kecekungan Fungsi Nilai Ekstrim vs Bilangan Kritis vs Titik Belok Untuk fungsi f dengan y = f (x) : Nilai ekstrim (mutlak/lokal) f : f (a) ordinat y Bilangan kritis f : x = b absis x Titik belok f : (c, f (c)) koordinat (x, y) (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 42 / 61
Jenis Asimtot Asimtot 1 Asimtot tegak 2 Asimtot datar 3 Asimtot miring (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 43 / 61
Asimtot Definisi (Asimtot Tegak) Garis x = a disebut asimtot tegak bagi kurva y = f (x) jika lim x a ±f (x) = ± (2) (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 44 / 61
Asimtot Definisi (Asimtot Datar) Garis y = L disebut asimtot datar bagi kurva y = f (x) jika lim f (x) = L (3) x ± (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 45 / 61
Asimtot Definisi (Asimtot Miring) Garis y = mx + b disebut asimtot miring bagi kurva y = f (x) jika lim [f (x) (mx + b)] = 0 (4) x ± (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 46 / 61
Asimtot Teorema Misalkan r > 0 adalah bilangan rasional, maka asalkan x r terdefinisi. lim x ± 1 x r = 0 (5) (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 47 / 61
Asimtot Penentuan Asimtot Fungsi Rasional Diberikan fungsi rasional r (x) = p 1 (x) p 2 (x) = c nx n + c n 1 x n 1 + + c 0 k m x m + k m 1 x m 1 + + k 0 1 Garis x = a dengan p 2 (a) = 0 dan p 1 (a) = 0 merupakan asimtot tegak. 2 Kasus n < m garis y = 0 (sumbu-x) merupakan asimtot datar. 3 Kasus n = m garis y = c n /k m merupakan asimtot datar. 4 Kasus n = m + 1 r (x) = (mx + b) + sisa. Garis y = mx + b merupakan asimtot miring. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 48 / 61
Asimtot Soal (Asimtot) Tentukan asimtot (tegak, datar, atau miring) bagi fungsi-fungsi (1 3) berikut: 1 f (x) = 2x + 3 x 1 2 f (x) = 2x3 x x 2 x 6 4x2 1 3 f (x) = x 2 4 Carilah rumus bagi fungsi f yang memiliki asimtot tegak x = 1 dan x = 2, serta asimtot datar y = 3. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 49 / 61
Sketsa Kurva Sketsa Kurva Langkah-langkah sketsa kurva fungsi y = f (x) 1 Identifikasi daerah asal D f, titik potong sumbu, serta kesimetrian fungsi. 2 Identifikasi asimtot fungsi. 3 Tentukan f (x) Identifikasi bilangan kritis. Identifikasi interval fungsi naik/turun, ekstrim lokal. 4 Tentukan f (x) Identifikasi interval kecekungan fungsi, titik belok. 5 Gambar sketsa grafik f. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 50 / 61
Sketsa Kurva Contoh Lakukan analisis sketsa grafik fungsi, lalu gambarkan grafik fungsi f (x + 1)2 dengan f (x) = 1 + x 2. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 51 / 61
Sketsa Kurva Soal (Sketsa Grafik Fungsi 1) Lakukan tahapan-tahapan membuat sketsa grafik, lalu gambarkan grafik fungsi-fungsi berikut: 1 f (x) = x 3 3x 2 + 5, f (x) = 3x (x 2), f (x) = 6 (x 1) 2 f (x) = x 1/3 (x 4), f 4 (x 1) (x) =, f 4 (x + 2) (x) = 3x 3 2 9x 5 3 3 f (x) = x x 2 4, f 6x (x) = 2 (x 3 + 1) 2, f (x) = 12x ( 2x 3 1 ) (x 3 + 1) 3 4 f (x) = x3 1 x 3 + 1, f (x) = 5 xy = x 2 + x + 1 6 f (x) = x + 1 x2 + 1, f (x) = x 1 7 f (x) = sin x x 6x 2 (x 3 + 1) 2, f (x) = 12x (x 2 + 1) 3 2 ( 2x 3 1 ) (x 3 + 1) 3, f (x) = 2x2 + 3x + 1 (x 2 + 1) 5 2 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 52 / 61
Sketsa Kurva Soal (Sketsa Grafik Fungsi 2) Sketsa grafik fungsi g dengan sifat-sifat sebagai berikut: i) g kontinu pada R {0} ii) g (x) > 0 untuk x R {0} iii) g ( 2) = g (2) = 3 iv) lim [g (x) x] = 0 x g (x) = 2, lim v) lim x 0 + x g (x) = lim x 0 g (x) = (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 53 / 61
Sketsa Kurva Soal (Terapan Asimtot dan Sketsa Grafik) Sebuah tangki berisi 5 000 liter air murni. Air asin yang mengandung 30 gram garam tiap liter air dipompakan ke dalam tangki pada laju 25 liter / menit. (a) Tunjukkan bahwa konsentrasi garam setelah t menit adalah C (t) = 30t (gram / liter). t + 200 (b) Buat sketsa grafik fungsi konsentrasi garam. (c) Tentukan konsentrasi garam dalam jangka waktu yang panjang (t ). (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 54 / 61
Masalah Pengoptimuman Masalah Pengoptimuman Membahas terapan turunan untuk menentukan solusi pemaksimuman atau peminimuman suatu permasalahan. Langkah-langkah pemecahan masalah: pahami permasalahan, formulasikan masalah yang yang akan dimaksimumkan/diminimumkan ke dalam bentuk fungsi, tentukan lokasi fungsi tersebut mencapai maksimum/minimum mutlak. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 55 / 61
Masalah Pengoptimuman Uji Turunan I dan Nilai Ekstrim Mutlak Teorema Dalam hal fungsi f hanya memiliki satu nilai ekstrim lokal f (c), dengan Uji Turunan I dapat disimpulkan bahwa f (c) juga merupakan nilai ekstrim mutlak. Teorema berikut sangat bermanfaat dalam menyelesaikan masalah pengoptimuman. Andaikan c adalah bilangan kritis dari fungsi kontinu f yang terdefinisi pada suatu interval. 1 Jika f (x) > 0 untuk setiap x < c dan f (x) < 0 untuk setiap x > c, maka f (c) adalah nilai maksimum mutlak f. 2 Jika f (x) < 0 untuk setiap x < c dan f (x) > 0 untuk setiap x > c, maka f (c) adalah nilai minimum mutlak f. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 56 / 61
Masalah Pengoptimuman Ilustrasi Uji Turunan I dan Nilai Ekstrim Mutlak/Lokal (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 57 / 61
Masalah Pengoptimuman Soal (Disain Kotak Terbuka) Jawab: x = tinggi = 2 cm, alas 8 8 cm 2. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 58 / 61
Masalah Pengoptimuman Soal (Disain Kaleng Minuman) Jawab: h = 2r (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 59 / 61
Masalah Pengoptimuman Soal (Pembangunan Jalan Tol) Pemerintah propinsi "Suka Makmur" merencanakan membangun jalan tol yang menghubungkan dua kota A dan B yang dipisahkan oleh daerah berawa. Jika biaya pembangunan jalan tol 1 milyar/km sepanjang daerah rawa, dan setengahnya pada lahan kering (OB), tentukan lokasi jalan tol di antara O-B yang meminimumkan biaya. (satuan jarak: km). Jawab: C = 5/ 3 km dari O. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 60 / 61
Tentang Slide Masalah Pengoptimuman Penyusun: N. K. Kutha Ardana (Dosen Dep. Matematika FMIPA IPB) Versi: 2012 (sejak 2009) Media Presentasi: L A TEX - BEAMER (PDF L A TEX) (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 61 / 61