TEORI ANTRIAN. Gambar 1 Proses antrian pada suatu sistem antrian

TEORI ANTRIAN Teori atria merupaka studi matematis megeai atria atau waitig lies yag di dalamya disediaka beberapa alteratif model matematika yag dapat diguaka utuk meetuka beberapa karakteristik da optimasi dalam pegambila keputusa suatu sistem atria. A. Defiisi da Usur-usur Dasar Model Atria Defiisi Sistem Atria. Sistem atria adalah himpua pelagga, pelaya, da suatu atura yag megatur kedataga para pelagga da pelayaaya. Sistem atria merupaka proses kelahira-kematia dega suatu populasi yag terdiri atas para pelagga yag sedag meuggu pelayaa atau yag sedag dilayai. Kelahira terjadi jika seorag pelagga memasuki fasilitas pelayaa, sedagka kematia terjadi jika pelagga meiggalka fasilitas pelayaa tersebut. Keadaa sistem adalah jumlah pelagga dalam suatu fasilitas pelayaa. Proses atria adalah suatu proses yag berhubuga dega kedataga pelagga ke suatu sistem atria, kemudia meuggu dalam atria higga pelaya memilih pelagga sesuai dega disipli pelayaa, da akhirya pelagga meiggalka sistem atria setelah selesai pelayaa. Sistem Atria Sumber pemaggila Pelagga Atria Pelayaa Pelayaa selesai Gambar Proses atria pada suatu sistem atria Usur-usur Dasar Model Atria Suatu sistem atria bergatug pada tujuh faktor yaitu :. Pola Kedataga adalah bayakya kedataga pelagga selama periode waktu tertetu. Pelagga dapat datag seara idividu maupu kelompok. Namu, jika tidak disebutka seara khusus maka kedataga terjadi seara idividu. Kedataga dapat beragam pada suatu periode waktu tertetu, amu dapat juga bersifat aak di maa kedataga pelagga tidak bergatug pada waktu. Jika kedataga bersifat aak maka perlu ditetuka distribusi probabilitas waktu atar kedatagaya. Pola kedataga dapat diirika oleh distribusi probabilitas waktu atar kedataga atau probabilitas jumlah pelagga yag datag pada sistem atria. Waktu atar kedataga adalah waktu atara dua kedataga yag beruruta pada suatu fasilitas pelayaa.. Pola Kepergia adalah bayakya kepergia pelagga selama periode waktu tertetu. Pola kepergia biasaya diirika oleh waktu pelayaa, yaitu waktu yag dibutuhka oleh seorag pelaya utuk melayai seorag pelagga. Waktu pelayaa dapat bersifat determiistik atau berupa suatu variabel aak dega distribusi peluag tertetu. 3. Raaga Saraa Pelayaa atau desai saraa pelayaa berkaita erat dega betuk barisa atria da pelayaa pada suatu sistem atria. Sebuah saraa pelayaa mempuyai jumlah salura (hael) da jumlah tahap (phase) pelayaa tertetu. Salura (hael) adalah jumlah pelaya yag dapat memberika pelayaa kepada pelagga pada waktu yag bersamaa, sedagka tahap (phase) adalah jumlah termial-termial 7

8 pelayaa yag harus dilalui oleh pelagga sebelum pelayaa diyataka legkap atau selesai. Raaga saraa pelayaa terdiri atas empat maam yag diuraika sebagai berikut.. Satu salura satu tahap (sigle hael sigle phase), artiya saraa pelayaa memiliki satu pelaya da pelayaa kepada pelagga diselesaika dalam satu kali proses pelayaa. Pelagga masuk Atria Pelayaa (jeis ) Pelagga Keluar Gambar Desai saraa pelayaa satu salura satu tahap. Bayak salura satu tahap (multihael sigle phase), artiya saraa pelayaa memiliki lebih dari satu pelaya da pelayaa kepada pelagga diselesaika dalam satu kali proses pelayaa. Desai ii disebut juga desai pelayaa paralel. Pelagga masuk Pelayaa (jeis,omor ) Pelagga Keluar Atria Pelayaa (jeis,omor ) Gambar 3 Desai saraa pelayaa bayak salura satu tahap 3. Satu salura bayak tahap (sigle hael multiphase), artiya saraa pelayaa memiliki satu pelaya da pelayaa kepada pelagga belum terselesaika haya dalam satu kali proses pelayaa. Desai ii disebut juga desai pelayaa seri atau tadem. Pelagga masuk Atria Pelayaa (jeis ) Pelayaa (jeis ) Pelagga Keluar Gambar 4 Desai saraa pelayaa satu salura bayak tahap 4. Bayak salura bayak tahap (multihael multiphase), artiya saraa pelayaa memiliki lebih dari satu pelaya da pelayaa kepada pelagga belum terselesaika haya dalam satu kali proses pelayaa. Desai ii disebut juga desai pelayaa jariga atau atria etwork. Pelagga masuk Pelayaa (jeis,omor ) Pelayaa (jeis,omor ) Pelagga Keluar Atria Pelayaa (jeis,omor ) Pelayaa (jeis,omor ) Gambar 5 Desai saraa pelayaa bayak salura bayak tahap 4. Disipli Pelayaa adalah kebijaka yag megatur ara memilih pelagga yag aka dilayai dari suatu atria. Disipli pelayaa yag biasa diterapka dalam kehidupa sehari-hari yaki sebagai berikut:. First Come First Served (FCFS) atau First I First Out (FIFO), artiya pelayaa didahuluka kepada pelagga yag lebih awal datag atau mempuyai omor atria lebih keil.

9. Last Come First Served (LCFS), artiya pelayaa didahuluka kepada pelagga yag lebih akhir datag. 3. Servie I Radom Order (SIRO), artiya pelayaa dilakuka kepada pelagga dega pemiliha seara aak. Atria prioritas (priority queue), artiya pelayaa diberika kepada pelagga yag mempuyai kepetiga atau prioritas yag sagat tiggi. Terdapat dua maam peratura dalam atria prioritas yaitu disipli preemtif (preemtive disiplie) yag ditulis PRD da disipli o-preemtif (o-preemtive disiplie) yag ditulis NPD. Disipli preemtif berlaku ketika pelagga dega prioritas lebih tiggi memasuki sistem maka pelagga tersebut lagsug dapat dilayai meskipu pelagga yag mempuyai prioritas yag lebih redah berada dalam proses pelayaa. Disipli o-preemtif berlaku ketika pelagga dega prioritas lebih tiggi memasuki sistem, baru aka dilayai setelah sebuah pelayaa yag sedag berlagsug terselesaika. 5. Kapasitas Sistem adalah jumlah maksimum pelagga, baik pelagga yag sedag berada dalam pelayaa maupu dalam atria, yag dapat ditampug oleh fasilitas pelayaa pada saat yag sama. Suatu sistem atria yag tidak membatasi jumlah pelagga dalam fasilitas pelayaaya disebut sistem berkapasitas tak berhigga, sedagka suatu sistem yag membatasi jumlah pelagga dalam fasilitas pelayaaya disebut sistem berkapasitas berhigga. 6. Ukura Sumber Pemaggila adalah bayakya populasi yag membutuhka pelayaa dalam suatu sistem atria. Ukura sumber pemaggila dapat terbatas maupu tak terbatas. Sumber pemaggila terbatas terjadi ketika bayakya pelagga dalam sistem mempegaruhi laju kedataga pelagga baru. 7. Perilaku Mausia merupaka perilaku-perilaku yag mempegaruhi suatu sistem atria ketika mausia mempuyai pera dalam sistem sebagai pelaya atau pelagga. Pelaya yag berupa mausia dapat bekerja epat maupu lambat sesuai dega kemampuaya sehigga mempegaruhi lamaya waktu tuggu. Selai itu, pelaya juga dapat memperepat laju pelayaa ketika terjadi atria yag sagat pajag. Jika terdapat dua atau lebih jalur atria maka pelagga yag berupa mausia dapat berpidah dari jalur yag satu ke jalur yag lai, yag dikeal dega istilah jokey habit. Jika pelagga melihat atria yag terlalu pajag ketika aka memasuki sistem maka pelagga yag sabar tetap memasuki sistem da bergabug dega atria. Namu demikia, pelagga yag tidak sabar dapat meolak utuk memasuki sistem atria (balkig). Pelagga yag sudah berada dalam sistem atria, yag buka merupaka atria lagsug, dapat meiggalka barisa atria utuk semetara waktu, bahka dapat membatalka atria (reegig) karea barisa masih terlalu pajag. Perilaku-perilaku mausia tersebut, baik perilaku pelagga maupu pelaya, diasumsika tidak terjadi dalam suatu sistem atria jika tidak disebutka seara khusus. B. Notasi Atria Notasi baku utuk memodelka suatu sistem atria pertama kali dikemukaka oleh D. G. Kedall dalam betuk a / b /, da dikeal sebagai otasi Kedall. Namu, A. M. Lee meambahka simbol d da e sehigga mejadi a / b / / d / e yag disebut otasi Kedall- Lee. Notasi Kedall-Lee tersebut perlu ditambah dega simbol f. Sehigga, karakteristik suatu atria dapat diotasika dalam format baku (a / b / ) : ( d / e / f ). Notasi a sampai f berturutturut meyataka distribusi waktu atar kedataga, distribusi waktu pelayaa, jumlah hael pelayaa, disipli pelayaa, kapasitas sistem, da ukura sumber pemaggila. Notasi a sampai f dapat digati dega simbol-simbol yag disajika dalam Tabel.

Tabel Simbol-simbol peggati otasi a sampai f pada otasi Kedall-Lee Notasi Simbol Keteraga a da b M Markov, kedataga atau kepergia berdistribusi Poisso (waktu atar kedataga atau waktu pelayaa berdistribusi ekspoesial) D Determiistik, waktu atar kedataga atau waktu pelayaa kosta atau determiistik E k Erlag, waktu atar kedataga atau waktu pelayaa berdistribusi Erlag GI Geeral Idepedet, distribusi idepede umum dari kedataga atau waktu atar kedataga G Geeral, distribusi umum dari kepergia atau waktu pelayaa d FCFS/FIFO First Come First Served/First I First Out LCFS Last Come First Served SIRO Servie I Radom Order GD Geeral Disiplie NPD No-preemtive disiplie PRD Preemtive disiplie, e, da f,,..., C. Proses Kedataga da Kepergia Proses kedataga da kepergia dalam suatu sistem atria merupaka proses kelahira da kematia (birth-death proesses). Kelahira terjadi jika seorag pelagga memasuki sistem atria da kematia terjadi jika pelagga meiggalka sistem atria tersebut. Proses kelahira da kematia merupaka proses pejumlaha dalam suatu sistem di maa keadaa sistem selalu meghasilka bilaga bulat tak egatif. Keadaa sistem pada saat t didefiisika sebagai selisih atara bayakya kelahira (kedataga) da kematia (kepergia) pada saat t, diotasika dega N(t), yaitu bayakya pelagga yag berada dalam sistem pada saat t. Misal, bayakya kedataga pelagga pada saat t diotasika dega X(t) da bayakya kepergia pada saat t diotasika dega Y(t), maka bayakya pelagga yag berada dalam sistem pada saat t adalah N(t) X(t) Y(t). Sedagka peluag terdapat pelagga dalam sistem atria pada saat t diotasika dega P(N(t) ) atau P (t). Proses kedataga da kepergia dalam suatu atria memiliki asumsi-asumsi sebagai berikut.. Peluag terjadi satu kedataga pada iterval waktu [t, t + Δt] ditulis P[ X ( t t) X ( t) ] t o( t), dega : bayakya pelagga dalam sistem atria λ : laju kedataga tiap satua waktu jika terdapat pelagga dalam sistem Δt : pajag iterval waktu o( t) o(δt): suatu fugsi yag memeuhi lim. t ( t). Peluag tidak terjadi kedataga pada iterval waktu [t, t + Δt] ditulis P[ X ( t t) X ( t) ] λ Δt + o(δt). 3. Peluag terjadi satu kepergia pada iterval waktu [t, t + Δt] ditulis P[ Y( t t) Y( t) ] µ Δt + o(δt), dega µ : laju kepergia tiap satua waktu jika terdapat pelagga dalam sistem. 4. Peluag tidak terjadi kepergia pada iterval waktu [t, t + Δt] ditulis P[ Y( t t) Y( t) ] µ Δt + o(δt). 5. Peluag terjadi lebih dari satu kedataga da kepergia pada iterval waktu [t, t + Δt] adalah o(δt).

6. Kedataga da kepergia merupaka kejadia-kejadia yag salig bebas. Berdasarka Asumsi 6, kedataga da kepergia merupaka kejadia-kejadia yag salig bebas, sehigga kejadia yag terjadi pada iterval waktu tertetu tidak mempegaruhi kejadia pada iterval waktu sebelumya atau kejadia pada iterval waktu setelahya. Proses kedataga da kepergia dalam suatu sistem atria dapat ditujukka pada Gambar 6.... - +... µ µ µ µ + Gambar 6 Proses kedataga da kepergia pada sistem atria Berdasarka Gambar 6, jika terdapat ( > ) pelagga dalam sistem pada waktu (t + Δt) maka kejadia-kejadia salig asig yag mugki terjadi dapat ditujukka pada Tabel. Tabel Bayakya pelagga saat t, bayakya kedataga selama Δt, da bayakya kepergia selama Δt utuk tiga kejadia jika N(t +Δt) ( > ) Kejadia N(t) X(t + Δt) X(t) Y(t + Δt) Y(t) I II + III - Keteraga: N(t) : bayakya pelagga dalam sistem pada saat t N(t +Δt) : bayakya pelagga dalam sistem pada saat t + Δt X(t + Δt) X(t) : bayakya kedataga pelagga selama Δt Y(t + Δt) Y(t) : bayakya kepergia pelagga selama Δt Selai tiga kejadia yag ditujukka pada Tabel, terdapat kejadia (IV) yaitu keadaa sistem pada saat t kurag dari ( ) atau lebih dari ( + ) serta jumlah kedataga da kepergia lebih besar dari. Namu meurut Asumsi 5, peluag kejadia ii berilai o(δt). Meurut Asumsi 6, kedataga da kepergia merupaka kejadia-kejadia yag salig bebas, sehigga peluag dari masig-masig kejadia tersebut adalah sebagai berikut. P(Kejadia I) P((N(t) ) ( X ( t t) X ( t) ) ( Y( t t) Y( t) )) ( λ Δt + o(δt)) ( µ Δt + o(δt)) P(N(t) ) ( (λ + µ )Δt + o(δt)) P (t) P(Kejadia II) P(( N( t) ) ( X( t t) X ( t) ) ( Y( t t) ( λ + Δt + o(δt)) (µ + Δt + o(δt)) P( N( t) ) (µ + Δt + o(δt)) P + (t) Yt ( ) )) P(Kejadia III) P(( N( t) ) ( X( t t) X ( t) ) ( Y( t t) (λ Δt + o(δt)) ( µ Δt + o(δt)) P(( N( t) ) (λ Δt + o(δt)) P (t) P(Kejadia IV) o(δt) (Sesuai Asumsi 5) Yt ( ) )) Selajutya aka dibahas tetag peluag terdapat ( > ) pelagga dalam sistem pada waktu (t + Δt). Peluag terdapat ( > ) pelagga dalam sistem pada waktu (t + Δt) dapat diperoleh dega mejumlahka keempat kejadia salig asig di atas, sehigga diperoleh P (t + Δt) P(Kejadia I) + P(Kejadia II) + P(Kejadia III) + P(Kejadia IV) ( (λ + µ )Δt + o(δt)) P (t) + (µ + Δt + o(δt)) P + (t) + (λ Δt + o(δt)) P (t) + o(δt) P (t) λ Δt P (t) µ Δt P (t) + µ + Δt P + (t) + λ Δt P (t) + o(δt) ()

Selajutya masig-masig ruas pada Persamaa () dikuragi P (t) da dibagi Δt sehigga diperoleh P( t t) P( t) t λ P (t) µ P (t) + µ + P + (t) + λ P (t) + λ P (t) (λ + µ ) P (t) + µ + P + (t) + o( t) t o( t) t Kemudia dihitug ilai limit dari masig-masig ruas utuk t, sehigga mejadi P ( t t) P ( t) lim t t dp( t) dp( t) o( t) lim P ( t) ( ) P ( t) P ( t) t t λ P (t) (λ + µ ) P (t) + µ + P + (t) () Persamaa () haya berlaku utuk >, maka dega ara yag sama, aka ditetuka. Berdasarka Gambar 6, jika terdapat pelagga dalam sistem pada waktu (t + Δt) maka kejadia-kejadia salig asig yag mugki terjadi ditujukka pada Tabel 3. Tabel 3 Bayakya pelagga saat t, bayakya kedataga selama kepergia selama Δt utuk dua kejadia jika N(t +Δt) Kejadia N(t) X(t + Δt) X(t) Y(t + Δt) Y(t) I II Keteraga: N(t) : bayakya pelagga di dalam sistem pada saat t N(t +Δt) : bayakya pelagga di dalam sistem pada saat t + Δt X(t + Δt) X(t) : bayakya kedataga pelagga selama Δt Y(t + Δt) Y(t) : bayakya kepergia pelagga selama Δt Δt, da bayakya Selai dua kejadia yag ditujukka pada Tabel 3, terdapat kejadia (III) yaitu keadaa sistem pada saat t lebih dari satu serta jumlah kedataga da kepergia juga lebih besar dari satu. Namu meurut Asumsi 5, peluag kejadia ii berilai o(δt). Peluag dari masig-masig kejadia tersebut adalah sebagai berikut. P(Kejadia I) P((N(t) ) (X(t + Δt X(t) ) (Y(t + Δt) Y(t) ) ( λ Δt + o(δt)) () P((N(t) ) ( λ Δt + o(δt)) P (t) P(Kejadia II) P((N(t) ) (X(t + Δt X(t) ) (Y(t + Δt) Y(t) ) ( λ Δt + o(δt)) (µ Δt + o(δt)) P((N(t) ) (µ Δt + o(δt)) P (t) P(Kejadia III) o(δt) (Sesuai Asumsi 5) Peluag terdapat pelagga dalam sistem pada waktu (t + Δt) dapat diperoleh dega mejumlahka ketiga kejadia salig asig di atas sebagai berikut. P (t + Δt) P(Kejadia I) + P(Kejadia II) + P(Kejadia III) ( λ Δt + o(δt)) P (t) + (µ Δt + o(δt)) P (t) + o(δt) P (t) λ Δt P (t) + µ Δt P (t) + o(δt) (3) Selajutya, masig-masig ruas pada Persamaa (3) dikuragi P (t) da dibagi Δt serta dihitug ilai limitya utuk Δt, sehigga P( t t) P( t) t P( t t) P( t) lim t t o( t) t o( t) lim P ( t) P( t) t t λ P (t) + µ P (t) +

dp( t) λ P (t) + µ P (t) (4) 3 D. Distribusi Kedataga Distribusi kedataga berhubuga dega peluag terdapat kedataga palagga dalam suatu sistem atria pada iterval waktu tertetu. Kedataga yag dimaksud dalam pembahasa ii adalah kedataga muri, yaitu kedataga tapa disertai kepergia, maka laju kepergia µ,. Diasumsika bahwa laju kedataga tidak tergatug pada bayakya pelagga yag berada dalam sistem, sehigga λ λ,. Peluag terdapat ( ) kedataga pada waktu t dapat diperoleh dega mesubstitusika µ da λ λ ke Persamaa () da Persamaa (4) sebagai berikut. dp( t) dp( t) P ( ) ( ), t P t P() t (5) (6) Persamaa (5) dapat diyataka sebagai persamaa differesial liear orde I dega P(x) λ da Q(x). Maka, peyelesaiaya adalah P (t) e e λt. Diasumsika bahwa proses kelahira muri dimulai (t ) pada saat sistem memiliki ol pelagga ( ), maka peluag terdapat ol pelagga dalam sistem pada saat t (ditulis P ()) yaki. Jika > maka P (). Hal ii dapat dituliska sebagai berikut. P (),, Dega demikia, P () e λ, da diperoleh ilai. Oleh karea itu, didapatka P (t) e λt (8) Persamaa (6) dapat diyataka sebagai persamaa differesial liear orde I dega P(x) λ da Q(x) λp (t). Sehigga peyelesaiaya adalah P (t) e e e P () t t t () e e e P t Utuk ilai diperoleh t t t P (t) e e e P () t (9) Persamaa (8) disubstitusika ke Persamaa (9) maka didapatka t t t t P (t) e e e e e λt + λte λt () Berdasarka Persamaa (7), didapatka P () e λ + λ..e λ Sehigga diperoleh ilai. Karea ilai, maka Persamaa () mejadi P (t) λte λt () t t t Utuk ilai, maka P (t) e e e P () t () Persamaa () disubstitusika ke Persamaa () mejadi t t t t P (t) e e e te t t e e t Berdasarka Persamaa (7), diperoleh P () Sehigga diperoleh ilai. Karea, maka Persamaa (3) mejadi P (t) e t ( t) e (.) e (7) t e (3).. ( t) t e (4) Dega iduksi matematika, dapat dibuktika bahwa peyelesaia umum dari Persamaa (5) da Persamaa (6) adalah sebagai berikut. P (t) ( t ) t e (5) Lagkah-lagkah pembuktiaya sebagai berikut.. Persamaa () yaitu P (t) λte λt membuktika bahwa Persamaa (5) merupaka peyelesaia Persamaa (6) utuk.!

. Diasumsika Persamaa (5) merupaka peyelesaia Persamaa (6) utuk k, maka P k (t) ( t ) t e. k! k 3. Aka dibuktika bahwa Persamaa (5) merupaka peyelesaia Persamaa (6) utuk k +. Persamaa (6) dega k + adalah dp k ( t) Pk( t) Pk ( t) (6) Asumsi disubstitusika ke Persamaa (6) sehigga mejadi dpk ( t) k k t t e P () k t k! (7) Persamaa (7) merupaka persamaa differesial liear orde I dega P(x) λ da Q(x) t k! k k t e, sehigga peyelesaiaya adalah k t k! k t t k t t t e e e e k! k ( t) t e ( k )! k t P k + (t) e e e e e k t t k t e ( k )! Berdasarka (7), maka P k + () e e t Karea, maka (8) mejadi P k + (t) (.) e ( k )! k.. ( ) e ( k )! k t t. Diperoleh ilai. Persamaa (9) merupaka peyelesaia (6) utuk k + da memeuhi (5). Jadi, P (t) ( t ) t e merupaka solusi umum dari Persamaa (5) da Persamaa (6). Dega! demikia, dapat disimpulka bahwa kedataga pelagga berdistribusi Poisso. Teorema. Jika kedataga pelagga berdistribusi Poisso maka waktu atar kedataga pelagga berdistribusi ekspoesial. Bukti: Berdasarka uraia di depa, kedataga pelagga berdistribusi Poisso. Misal, T ( > ) adalah waktu atara ( ) kedataga sampai kedataga. Barisa {T,, 3, 4,...} merupaka barisa waktu atar kedataga yag salig asig da salig bebas. Ambil T yag merupaka waktu atara sistem atria kosog ( ) da kedataga pertama. Aka ditujukka bahwa T berdistribusi ekspoesial. Ambil t < T, maka bayakya kedataga pada waktu t adalah ol, artiya P (T > t) P(tidak ada kedataga selama waktu t) P (t) () Berdasarka Persamaa (8), P (t) e -λt dega λ meyataka laju kedataga rata-rata, maka fugsi distribusi kumulatif dari T dega t adalah F(t) P(T t) P(T > t) P (t) e -λt () Berdasarka Defiisi 6, Persamaa () merupaka fugsi distribusi kumulatif dari distribusi ekspoesial yag seara umum ditulis F(t) t e, t, t Sehigga fugsi desitas peluag dari T utuk t adalah f(t). df() t t e 4 (8) (9) () Berdasarka Defiisi 5, T merupaka peubah aak yag berdistribusi ekspoesial dega parameter λ. Sesuai dega asumsi bahwa barisa waktu atar kedataga pada sistem atria adalah salig bebas, maka pembuktia di atas juga berlaku utuk {T }, >. Jadi, terbukti bahwa waktu atar kedataga berdistribusi ekspoesial. E. Distribusi Kepergia Distribusi kepergia berhubuga dega peluag terdapat kepergia palagga dalam suatu sistem atria pada iterval waktu tertetu. Kepergia yag dimaksud dalam pembahasa ii adalah kepergia muri, yaitu kepergia yag tapa disertai kedataga,

sehigga laju kedataga λ,. Diasumsika bahwa laju kepergia tidak tergatug pada bayakya pelagga yag berada dalam sistem, sehigga µ µ,. Peluag terdapat ( ) kepergia selama waktu t dapat diperoleh dega mesubstitusika λ da µ µ ke Persamaa () da Persamaa (4) sebagai berikut. dp( t) P( t) P ( t), (3) P ( t), Jika jumlah pelagga dalam sistem atria selama t adalah sebayak N, maka P + (t), N. Sehigga utuk N berlaku Sedagka utuk < < N berlaku dp( t) dp( t) -µp (t) (4) -µp (t) + µp + (t) (5) Berdasarka Defiisi 9, maka Persamaa (4) da Persamaa (5) merupaka betuk persamaa differesial liear orde I. Peyelesaia Persamaa (4) adalah P (t) e -µt, N (6) Diasumsika bahwa proses kematia muri dimulai (t ) pada saat sistem memiliki N pelagga dalam sistem, maka peluag terdapat N pelagga dalam sistem pada kodisi awal (t ) diotasika dega P(N() N) P N () adalah. Jika < N maka P (). Hal ii dapat dituliska sebagai berikut. P (), N, N Dega demikia, P N () e -µ., da diperoleh ilai. Oleh karea itu, P N (t) e -µt (8) Peyelesaia Persamaa (5) adalah P (t) e -µt + µe -µt e t P () t, < < N (9) Utuk N, maka P N (t) e -µt + µe -µt e t P N () t (3) Persamaa (8) disubstitusika ke Persamaa (3) sehigga P N (t) e -µt + µe -µt t t e e e -µt + µte -µt (3) Sesuai dega Persamaa (7), maka P N () e -µ. + µ..e -µ. Sehigga, diperoleh ilai. Karea, maka Persamaa (3) mejadi P N (t) µte -µt (3) Utuk ilai N, maka P N (t) e -µt + µe -µt e t P () N t (33) Persamaa (3) disubstitusika ke Persamaa (33) sehigga P N (t) e -µt + µe -µt t t e te e -µt + µe -µt t e -µt ( t) t + e (34) Sesuai dega Persamaa (7), maka P N () e -µ. + ilai. Karea, maka Persamaa (34) mejadi P N (t) ( ) (.) 5 (7). e. Sehigga, diperoleh t t e (35) Sama seperti halya distribusi kedataga, dapat dibuktika dega iduksi matematika bahwa peyelesaia umum dari P (t) yag merupaka probabilitas terdapat kepergia pelagga selama waktu t adalah sebagai berikut. P (t) ( ) t t e, N (36)! Oleh karea itu, dapat disimpulka bahwa kepergia pelagga berdistribusi Poisso. Teorema 3. Jika kepergia pelagga berdistribusi Poisso maka waktu pelayaa pelagga berdistribusi ekspoesial. Bukti: Berdasarka uraia di atas, kepergia pelagga berdistribusi Poisso. Misal, keadaa awal suatu sistem atria sebayak N pelagga. Misalka T ( > ) adalah waktu pelayaa kepada pelagga ke-, sehigga barisa {T }, > merupaka barisa dari waktu pelayaa yag salig asig da salig bebas. Ambil T yag merupaka waktu pelayaa kepada pelagga pertama. Aka ditujukka bahwa T berdistribusi ekspoesial. Jika t < T maka bayakya pelayaa pada waktu t adalah ol, artiya

P (T > t) P (tidak ada pelayaa selama waktu t) P N (t) (37) Berdasarka Persamaa (8), P N (t) e -µt dega µ meyataka laju pelayaa rata-rata, maka fugsi distribusi kumulatif dari T dega t adalah F(t) P(T t) P(T > t) P N (t) e -µt (38) Berdasarka Defiisi 6, Persamaa (38) merupaka fugsi distribusi kumulatif dari distribusi ekspoesial. Sehigga fugsi desitas peluag dari T utuk t adalah f(t) df() t µe -µt Berdasarka Defiisi 5, T merupaka peubah aak yag berdistribusi ekspoesial dega parameter µ. Sesuai dega asumsi bahwa barisa waktu pelayaa pada sistem atria adalah salig bebas, maka pembuktia di atas juga berlaku utuk {T }, >. Jadi, terbukti bahwa waktu pelayaa berdistribusi ekspoesial. F. Proses Kedataga da Kepergia Steady State Kodisi steady state yaitu keadaa sistem yag tidak tergatug pada keadaa awal maupu waktu yag telah dilalui. Jika suatu sistem atria telah meapai kodisi steady state maka peluag terdapat pelagga dalam sistem pada waktu t (P (t)) tidak tergatug pada waktu. Kodisi steady state terjadi ketika dp( t) da lim P ( t) t P 6 (39), sehigga P (t) P utuk semua t, artiya P tidak tergatug pada waktu. Proses kedataga da kepergia pada Subbab sebelumya meghasilka Persamaa () da Persamaa (4). Dalam kodisi steady state, Persamaa () da Persamaa (4) disubstitusika dega dp( t) P ( ) P P, P P, da P (t) P, sehigga diperoleh atau ( ) P P P, P P ( ) Utuk, maka P P P (4) Selajutya Persamaa (4) dega disubstitusika ke Persamaa (4), sehigga diperoleh ( ) P P P P P P (4) ( ) Utuk, maka P3 P P (43) 3 3 Jika Persamaa (4) da Persamaa (4) dega disubstitusika ke Persamaa (43), diperoleh P3 P P P P P (44) 3 3 3 3 3 Aka dibuktika megguaka iduksi matematika bahwa peluag terdapat pelagga dalam keadaa steady state P (t) adalah sebagai berikut.... i P P P (45)... i i Lagkah-lagkah pembuktia dari Persamaa (45) adalah sebagai berikut.. Telah dibuktika pada Persamaa (4) bahwa Persamaa (45) berlaku utuk. kk.... Diasumsika bahwa utuk k, maka P k + P. k k... 3. Aka dibuktika bahwa Persamaa (45) berlaku utuk k +. Berdasarka Persamaa (4), utuk k + maka ( k k ) k ( k k ) kk... k k k... P k + Pk Pk P...... k k k k k k k k P (4)

......... k k k... P... k k k k k k k k k P P kk k... kkk... k k k Terbukti Persamaa (45) berlaku utuk k +. Jadi, Persamaa (45) meyataka peluag terdapat pelagga dalam keadaa steady state (P ), >. Selajutya aka diari P yag merupaka peluag steady state terdapat ol pelagga dalam suatu sistem atria. Berdasarka Defiisi, P(S), dega S adalah jumlah total suatu peluag. Dapat ditulis P, sehigga... P P P... P...... Dega demikia, diperoleh Jadi, probabilitas terdapat pelagga dalam keadaa steady state (P ), > adalah... i P P P dega P... i i...... G. Model Atria ( M / M / ) : ( FCFS / / ) Model Atria ( M / M / ) : ( FCFS / / ) merupaka salah satu model atria yag peotasiaya berdasarka pada otasi Kedall-Lee. Pada model atria ii, M meyataka kedataga da kepergia berdistribusi Poisso, ekuivale dega waktu atar kedataga da waktu pelayaa berdistribusi ekspoesial, meyataka jumlah hael pelayaa, disipli pelayaa FCFS, kapasitas sistem tak terbatas, da ukura sumber pemaggila tak terbatas. Model atria ( M / M / ) : ( FCFS / / ) mempuyai kedataga berdistribusi Poisso da waktu pelayaa berdistribusi ekspoesial. Oleh karea itu, proses dalam sistem ii sesuai dega proses kelahira da kematia (birth death proesses) yag telah dibahas pada Subbab sebelumya. Sehigga λ λ,, artiya laju kedataga selalu kosta da tidak tergatug pada bayakya pelagga yag berada dalam sistem. Jumlah hael pelayaa pada sistem atria ( M / M / ) : ( FCFS / / ) adalah pelaya. Jika jumlah pelagga yag berada dalam sistem adalah ( ) maka sebayak pelaya berada dalam kodisi sibuk dega laju pelayaa per pelaya adalah μ. Sehigga laju pelayaa rata-rata seluruh pelaya μ T μ. Namu, jika jumlah pelagga yag berada dalam sistem adalah sebayak ( ) maka sebayak ( ) pelaya berada dalam kodisi sibuk. Sehigga laju pelayaa rata-rata seluruh pelaya adalah μ T μ. Seara umum dapat ditulis sebagai berikut. λ λ, (48), T (49), Berdasarka Persamaa (48) da Persamaa (49), proses kedataga da kepergia pada model atria ( M / M / ) : ( FCFS / / ) dapat disajika pada Gambar 7.... - +... 7 (46) (47) µ µ µ µ Gambar 7 Proses kedataga da kepergia pada model ( M / M / ) : ( FCFS / / ) Probabilitas terdapat pelagga dalam sistem atria sederhaa pada keadaa steady state meghasilka Persamaa (45) da Persamaa (46). Pada model atria

( M / M / ) : ( FCFS / / ), probabilitas steady state terdapat, > pelagga dapat diperoleh dega mesubstitusika Persamaa (48) da Persamaa.49) ke Persamaa (45), maka Utuk <, diperoleh i P P... i i P... P P! i...... i i utuk, diperoleh P P T sebayak ( ) T...... P P P yag merupaka probabilitas terdapat ol pelagga dalam keadaa steady state dapat diperoleh dega mesubstitusika Persamaa (48) da Persamaa (49) ke Persamaa (46). P......!! Misal,, maka P!............!! Berdasarka Defiisi 8, Persamaa (5) mejadi P!!!! P 8 (5) (5) (5) dega (53) Berdasarka uraia di atas, dapat disimpulka bahwa probabilitas steady state terdapat ( > ) pelagga pada model atria ( M / M / ) : ( FCFS / / ) adalah P Dega P P,! P,!!! (54), (55) Probabilitas dalam keadaa steady state ii aka diguaka dalam meetuka ukura keefektifa sistem. H. Ukura Keefektifa Model Atria ( M / M / ) : ( FCFS / / ) Defiisi.. Jika S(x) adalah jumlah sebuah deret pagkat pada iterval I {x - < x < } sehigga S(x) x + x + x + x 3 +... dega x berada pada iterval I tersebut, maka d x ds( x) berlaku x x dx dx Defiisi.. Bayakya pelagga dalam sistem atria adalah hasil pejumlaha atara bayakya pelagga dalam atria da bayakya pelagga yag sedag dalam proses pelayaa.

Defiisi.. Waktu meuggu dalam sistem atria adalah jumlah atara waktu meuggu dalam atria da waktu pelayaa. Ukura keefektifa sistem atria ( M / M / ) : ( FCFS / / ) dapat ditetuka dega megguaka probabilitas steady state terdapat, palagga yag berada dalam sistem (P ) pada Persamaa (54) da Persamaa (55). Ukura keefektifa sistem ii diguaka utuk megaalisis situasi sistem atria dega tujua utuk meraag sistem yag optimal. Ukura keefektifa sistem dalam kodisi steady state meliputi ekspektasi jumlah pelagga dalam atria (L q ), ekspektasi jumlah pelagga dalam sistem (L s ), ekspektasi waktu meuggu dalam atria (W q ), ekspektasi waktu meuggu dalam sistem (W s ), da ekspektasi jumlah pelaya yag sibuk ().. Ekspektasi jumlah pelagga dalam atria (L q ) Berdasarka Defiisi, bayakya pelagga dalam atria adalah selisih atara bayakya pelagga dalam sistem atria da bayakya pelagga yag sedag dalam proses pelayaa. Jika bayakya pelagga dalam sistem adalah da bayakya pelagga yag sedag dalam proses pelayaa adalah sebayak jumlah pelayaya, yaitu maka ekspektasi jumlah pelagga dalam atria (L q ) adalah sebagai berikut. L q P ( ) P (56) Jika Persamaa (54) disubstitusika ke Persamaa (56) maka diperoleh L q ( ) P! P ( ) P ( )!! P! d d Meurut Defiisi 8, Persamaa (57) mejadi L q P d P!, d! (57) ( )! Dega demikia, ekspektasi jumlah pelagga dalam atria (L q ) adalah P L q, dega (58) ( )!. Ekspektasi waktu meuggu dalam atria (W q ) Sebelum membahas lebih lajut, berikut diberika rumus Little yag meyataka hubuga atara L s da W s serta L q da W q. L s λ eff W s (59) L q λ eff W q (6) dega λ eff merupaka laju kedataga efektif dalam sistem da diyataka dega λ eff P (6) Waktu meuggu dalam suatu atria artiya waktu yag diperluka oleh seorag pelagga sejak memasuki atria higga medapat pelayaa, amu tidak termasuk waktu pelayaa. Ekspektasi waktu meuggu dapat ditetuka dega megguaka rumus Little pada Persamaa (59). Berdasarka Persamaa (48), pada model atria ( M / M / ) : ( FCFS / / ) berlaku λ λ,, sehigga diperoleh laju kedataga efektif sebagai berikut. λ eff P P P λ. λ (6) P 9

L q Sehigga, Persamaa (59) mejadi W q (63) Jika Persamaa (58) disubstitusika ke Persamaa (63) maka didapatka ekspektasi waktu meuggu dalam atria sebagai berikut. P W q ( )! P ( )!, (64) 3. Ekspektasi waktu meuggu dalam sistem (W s ) Waktu meuggu dalam sistem atria artiya waktu yag diperluka oleh seorag pelagga sejak memasuki atria higga pelayaa yag diberika kepadaya selesai. Berdasarka Defiisi, dapat diyataka persamaa berikut. Waktu meuggu dalam sistem waktu meuggu dalam atria + waktu pelayaa Jika laju pelayaa per satua waktu adalah µ maka waktu pelayaa utuk seorag pelagga adalah satua waktu. Sehigga persamaa di atas mejadi W s W q + (65) Selajutya Persamaa (64) disubstitusika ke Persamaa (65), maka diperoleh ekspektasi waktu meuggu dalam sistem atria sebagai berikut. W s P + ( )!, (66) 4. Ekspektasi jumlah pelagga dalam sistem (L s ) Berdasarka Defiisi, bayakya pelagga dalam sistem artiya hasil pejumlaha atara bayakya pelagga dalam atria da bayakya pelagga yag sedag dalam proses pelayaa. Ekspektasi jumlah pelagga dalam sistem dapat ditetuka dega megguaka rumus Little pada Persamaa (6). Berdasarka Persamaa (6), diperoleh L s λw s (67) Jika Persamaa (66) disubstitusika ke Persamaa (67) maka diperoleh ekspektasi jumlah pelagga dalam sistem sebagai berikut. L s λ P P ( )! ( )! P P, ( )! ( )! (68) Jika Persamaa (58) disubtitusi ke Persamaa (68) maka diperoleh hubuga atara L q da L s sebagai berikut, L s ρ + L q, 5. Ekspektasi jumlah pelaya yag sibuk () (69) Bayakya pelaya yag sibuk adalah selisih atara bayakya pelagga yag berada dalam sistem da bayakya pelagga yag berada dalam atria. Dega demikia, bayakya pelaya yag sibuk adalah L s L q (7) Jika Persamaa (69) disubstitusika ke Persamaa (7) maka diperoleh ρ (7) Sedagka persetase pemafaata suatu saraa pelayaa dega hael pelayaa adalah sebagai berikut.

Persetase pemafaata % % (7) Jika ekspektasi jumlah pelaya yag sibuk diyataka dega Persamaa (7) maka ekspektasi jumlah pelaya yag megaggur atau tidak sedag melayai pelagga adalah bayakya pelaya dikuragi jumlah pelaya yag sibuk da dapat diyataka sebagai berikut. Pelaya yag megaggur (kosog) (73) Akibatya, persetase waktu kosog para pelaya atau saraa pelayaa yaki sebagai berikut. X % % % %, dega (74) I. Model Tigkat Aspirasi Model keputusa atria merupaka suatu model yag bertujua memiimumka biaya total yag berkaita dega suatu sistem atria. Oleh karea itu, keputusa yag diambil melalui model keputusa ii diharapka dapat diterapka da mampu megoptimalka sistem atria tersebut. Sifat dari situasi atria mempegaruhi pemiliha model keputusa yag aka diguaka. Oleh karea itu, situasi atria dapat digologka ke dalam tiga kategori berikut.. Sistem mausia, yaitu sistem atria yag pelagga da pelayaya mausia. Misalya: sistem atria di Bak.. Sistem semiotomatis, yaitu sistem atria yag pelagga atau pelayaya mausia. Misalya: sistem pelayaa ATM (Automati Teller Mahie), dega pelagga mausia da pelaya berupa ATM. 3. Sistem otomatis, yaitu sistem atria yag pelagga da pelayaya buka mausia. Misalya: data yag meuggu diolah oleh suatu program komputer, dega pelagga berupa data da pelaya berupa program. Ada dua maam model keputusa atria yag dapat diguaka utuk megoptimalka suatu sistem atria, yaitu model biaya da model tigkat aspirasi. Model biaya dapat dipilih utuk megoptimalka sistem dega memperkiraka parameter-parameter biaya terlebih dahulu. Semaki tepat peetua parameter-parameter biaya, semaki optimal raaga saraa pelayaa yag dihasilka. Namu, tidak semua parameter biaya dalam sistem atria dapat diperkiraka dega mudah, misalya biaya meuggu pelagga pada suatu bak. Model tigkat aspirasi merupaka suatu model yag bertujua meyeimbagka aspirasi pelagga da pelaya dalam suatu sistem atria. Model ii seara lagsug memafaatka karakteristik yag terdapat dalam sistem dega tujua meraag sistem atria yag optimal. Optimalitas diapai jika tigkat aspirasi pelagga da pelaya dipeuhi. Tigkat aspirasi yaitu batas atas dari ilai-ilai yag salig bertetaga, yag ditetuka oleh pegambil keputusa. Peerapa model tigkat aspirasi utuk meetuka jumlah pelaya yag optimum memiliki dua parameter yag bertetaga yaitu:. ekspektasi waktu meuggu dalam sistem (W s ), sebagai aspirasi pelagga,. persetase waktu kosog para pelaya (X), sebagai aspirasi pelaya. Berdasarka parameter W s da X yag salig bertetaga, jumlah pelaya telah optimum jika memeuhi persyarata berikut. W s α (75) da X β (76) Dega α : batas atas dari W s β : batas atas dari X

Peyelesaia masalah ii juga dapat ditetuka dega ara meggambar W s da X sebagai fugsi dari seperti ditujukka pada Gambar 8. Iterval ilai yag diterima W s W s X X β α C Gambar 8 Iterval ilai yag diterima Dega meempatka α da β pada grafik, dapat ditetuka kisara optimal yag memeuhi kedua batasa tersebut. Jika Persamaa (75) da Persamaa (76) tidak dipeuhi seara simulta maka salah satu atau kedua batasa perlu diloggarka sebelum keputusa diambil.

Teori Pedukug 3 Aka diari peluag terdapat pelagga dalam suatu sistem atria pada saat t. Namu sebelumya, diberika beberapa defiisi yag aka diguaka pada pembahasa selajutya. Defiisi. Kejadia A, A,..., A k dikataka kejadia-kejadia yag salig asig jika A i A j Ø, i j. Defiisi. Pada sebuah perobaa, A, A, A 3,... adalah kejadia-kejadia yag mugki pada ruag sampel S. Fugsi peluag merupaka fugsi yag megawaka setiap kejadia A dega bilaga real P(A) da P(A) disebut peluag kejadia A jika memeuhi ketetua berikut. P(A) ;. P(S) ; 3. Jika A, A, A 3,... adalah kejadia-kejadia yag salig asig maka P A A A3 P A P A P A3 (...) ( ) ( ) ( )... Defiisi 3. Kejadia A da B dikataka salig bebas jika da haya jika P(A B) P(A)P(B). Jika kejadia A da B tidak memeuhi kodisi tersebut maka disebut kejadia bergatug. Defiisi 4. Suatu variabel aak diskret T dikataka berdistribusi Poisso dega parameter λ > jika mempuyai fugsi desitas peluag berbetuk P(T k) k e, dega k. Defiisi 5. Suatu variabel aak kotiu T dikataka berdistribusi ekspoesial dega parameter λ > jika mempuyai fugsi desitas peluag berbetuk f(t) e t,, ( t ) ( t ). Defiisi 6. Suatu variabel aak kotiu T berdistribusi ekspoesial dega parameter λ > jika fugsi distribusi kumulatifya yaitu P(T t) t e, t., t < Defiisi 7. Turua fugsi f adalah fugsi f yag ilaiya pada sebarag bilaga t adalah f '( t) lim t f ( t t) f ( t) t, asal ilai limitya ada. Defiisi 8. Jika < x < maka ax, dega. a x Defiisi 9. Persamaa differesial orde I yag dapat diyataka sebagai P( x) y Q( x) disebut persamaa differesial liear da mempuyai peyelesaia: P( x) dx P( x) dx P( x) dx y e e Q( x) e dx. k! dy dx