TERAPAN INTEGRAL Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 22
Topik Bahasan 1 Luas Daerah Bidang Rata 2 Nilai Rataan Fungsi (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 2 / 22
Perbedaan Perhitungan Integral Tentu dan Luas Daerah Ilustrasi Integral: c a f (x) dx = b a f (x) dx + c f b (x) dx = 5 8 = 3. Luas: c a f (x) dx = b a f (x) dx + c f b (x) dx = 5 ( 8) = 13. SALAH: luas = c a f (x) dx = b a f (x) dx + c b f (x) dx = 5 8 = 3. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 3 / 22
Luas antara Kurva Sekatan Tegak, Metode 3S: (Skets, Sekat, Sum (Integral) Skets Sekat Sum b a ( ) ( ) f x g x dx (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 4 / 22
Luas antara Kurva Sekatan Tegak Metode 3S: Skets Sekat Sum (Integral) Untuk menentukan luas daerah yang dibatasi kurva y = f (x) dan y = g (x) serta garis x = a dan x = b, lakukan: 1 Buat sketsa grafik, tandai daerah yang akan dicari luasnya. 2 Buat sekatan/irisan tegak persegi panjang kecil pada daerah tsb. Formulasikan hampiran luas sekatan tsb. dengan lebar x, panjang/tinggi = selisih ordinat kurva atas dan kurva bawah. 3 Integralkan dalam dx (jumlahkan luas takhingga banyaknya sekatan) dari a sampai b. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 5 / 22
Definisi (Luas antara Kurva Sekatan Tegak) Luas daerah di antara kurva y = f (x) dan y = g (x) serta garis x = a dan x = b adalah A = b a f (x) g (x) dx (1) (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 6 / 22
y y = g(x) S 1 S 2 S 3 0 a y = f(x) x x 1 x 2 b f (x) g (x) ; f (x) g (x) Karena f (x) g (x) =, formula g (x) f (x) ; f (x) < g (x) (1) bermakna memecah seluruh daerah S menjadi daerah S 1, S 2,... dengan luas A 1, A 2,... sehingga A = A 1 + A 2 + Apabila sketsa daerah dapat digambar, lambang mutlak dapat diabaikan dengan memperhatikan posisi kurva-kurva yang ada (atas - bawah). (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 7 / 22
Soal (Sekatan Tegak) Buat sketsa daerah bidang rata berikut, lalu tentukan luas daerahnya. 1 f (x) = 2 x 2 dan g (x) = x. 2 f (x) = ln x, sb-x, x = 1, x = e, jawab: 1. ( ) 3 f (x) = cos x, g (x) = sin x, x = 0, x = π/2, jawab: 2 2 1 4 f (x) = e x, g (x) = e x, x = 1, x = 2 ln 2, jawab: 1/4 + 1/e + e (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 8 / 22
Luas antara Kurva Sekatan Datar (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 9 / 22
Definisi (Luas antara Kurva Sekatan Datar) Luas daerah di antara kurva x = f (y) dan x = g (y) serta garis y = c dan y = d adalah A = d c f (y) g (y) dy (2) Catatan: Apabila sketsa daerah dapat digambar, lambang mutlak dapat diabaikan dengan memperhatikan posisi kurva-kurva yang ada (kanan - kiri). (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 10 / 22
Soal (Sekatan Datar/Tegak) 1 Tentukan luas daerah yang dibatasi kurva x = y 2, x = y + 2, y 0. 2 Tentukan luas daerah antar kurva y = ln x, sumbu-y, sumbu-x, garis y = 1. Jawab: e 1 3 Tinjaulah kurva y = 1/x 2, 1 x 5, a Hitunglah luas di bawah kurva tersebut. Jawab: 4/5 b Tentukan c sedemikian rupa sehingga garis x = c membagi-dua luas pada (a) sama besar. Jawab: 5/3 c Tentukan d sedemikian rupa sehingga garis y = d membagi-dua luas pada (a) dengan perbandingan luas di bawah garis : luas di atas garis = 4 : 1. Jawab: 9/25. 4 Andaikan f kontinu dan naik pada [1, 2], f (1) = 1, f (2) = 2. Jika 2 1 f (x) dx = 1, tentukanlah 2 1 f 1 (y) dy. Petunjuk: buat grafiknya. Jawab: 2. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 11 / 22
Soal Tentukan luas daerah A, B dan C dengan menggunakan sekatan tegak dan datar. Perlukah menghitung masing-masing luas dengan integral? Jawab: luas A, B, C = 1/3. A x= y 2 B y = x 2 C 0 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 12 / 22
Soal Luas Plus I Soal Terdapat suatu garis yang melalui titik asal yang membagi daerah yang dibatasi parabola y = x x 2 dan sumbu x tepat menjadi dua daerah dengan luas sama. Berapakah kemiringan garis itu? Jawab: 1 3 1. 2 2 y = x x y= mx 0 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 13 / 22
Soal Luas Plus II Soal Kurva f pada gambar berikut bersifat, untuk setiap titik P pada kurva bagian tengah y = 2x 2, luas A dan B sama. Tentukan persamaan kurva f. Jawab: f (x) = 32 9 x2. y f A y = 2x P 2 B 2 y = x 0 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 14 / 22 x
Nilai Rataan Fungsi Nilai Rataan Fungsi Rataan n nilai y 1, y 2,..., y n adalah y = y 1+y 2 + +y n n Berapa nilai rataan fungsi y = f (x), pada a x b? Bagi interval [a, b] menjadi n bagian dengan lebar x, dan pilih x i pada anak interval ke-i, f = f (x 1)+f (x 2 )+ +f (x n ) n = f (x 1)+f (x 2 )+ +f (x n ) (b a)/ x = [f (x 1)+f (x 2 )+ +f (x n )] x = 1 (b a) b a n i=1 f (x i) x Bila n, maka nilai rataan fungsi f pada [a, b] adalah 1 f = lim n b a n i=1 f (x i) x = 1 b b a f a (x) dx (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 15 / 22
Nilai Rataan Fungsi Teorema (Teorema Nilai Rataan (TNR) untuk Integral) Jika f kontinu pada [a, b], maka ada bilangan c [a, b] sedemikian sehingga f (c) = f = 1 b f (x) dx b a a atau b a pada [a, b]. f (x) dx = f (c) (b a). Bilangan f (c) disebut nilai rataan f b ( ) = ( )( ), f dx a f a c [ ab, ] (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 16 / 22
Nilai Rataan Fungsi Soal 1 Tentukan nilai rataan fungsi berikut pada interval yang diberikan dan tentukan nilai c yang dimaksud pada TNR Integral. a f (x) = x 2 + 1, [ 1, 2], jawab: 2, c = ±1 b f (x) = ln (x), [1, e], jawab: 1/ (e 1), c = e 1/(e 1) c f (x) = 1/x, [1, 2], jawab: ln 2, c = 1/ ln 2 2 Tunjukkan bahwa integral nilai rataan fungsi sama dengan integral fungsi pada interval; b a f dx = b f a (x) dx. 3 Jika f [a,b] menyatakan nilai rataan f pada interval [a, b] dan a < c < b, tunjukkan bahwa f [a,b] = c a b a f [a,c] + b c b a f [c,b] (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 17 / 22
Nilai Rataan Fungsi Soal (Terapan Nilai Rataan) Titik-titik pada grafik berikut menyatakan hasil pengukuran suhu kota Jakarta (T dalam o C) setiap 2 jam pada suatu hari tertentu. Kurva yang merepresentasikan gugus data pengamatan tersebut adalah T (t) = 28 + 5 sin ( π 12 (t 1)), dengan t menyatakan lama waktu (dalam jam) setelah pukul 6 pagi. Tentukan rataan suhu kota Jakarta selama satu hari. Petunjuk: cos (2π θ) = cos θ, jawab: 28 o C. π 12 ( ) = 28+ 5sin ( t 1) T t (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 18 / 22
Nilai Rataan Fungsi Soal Terapan Integral I Pengendalian Populasi Serangga Secara Alami Salah satu metode untuk memperlambat pertumbuhan populasi serangga tanpa pestisida adalah dengan menambahkan sejumlah serangga jantan mandul ke dalam populasi. Serangga jantan mandul akan kawin dengan betina subur tetapi tidak memproduksi benih. Jika P = P (t) menyatakan banyaknya serangga betina dalam populasi pada waktu t, S adalah jumlah serangga jantan mandul yang ditambahkan tiap generasi, dan r laju pertumbuhan alami populasi tersebut, maka populasi serangga betina P dikaitkan dengan waktu t dapat dimodelkan dengan t = P + S P [(r 1) P S] dp (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 19 / 22
Nilai Rataan Fungsi Soal Terapan Integral II Pengendalian Populasi Serangga Secara Alami Andaikan di awal pengamatan (t = 0), pada 10000 populasi betina yang tumbuh dengan laju r = 0.1 ditambahkan 900 jantan, tunjukkan bahwa t = ln 10000 P + 1 9 ln 11000 P + 1000 Di sini P tidak dapat dinyatakan secara eksplisit dalam t. Namun dengan bantuan sistem aljabar komputer, dinamika berkurangnya populasi serangga betina dapat diamati dari waktu ke waktu, sbb. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 20 / 22
Nilai Rataan Fungsi Soal Terapan Integral III Pengendalian Populasi Serangga Secara Alami (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 21 / 22
Tentang Slide Nilai Rataan Fungsi Penyusun: N. K. Kutha Ardana (Dosen Dep. Matematika, FMIPA - IPB) Versi: 2012 (sejak 2009) Media Presentasi: L A TEX - BEAMER (PDFL A TEX) (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 22 / 22