Aplikasi Turunan Diadaptasi dengan tambahan dari slide Bu Puji Andayani, S.Si, M.Si, M.Sc 1
Menggambar Grafik Fungsi Informasi yang dibutuhkan: A. Titik potong dengan sumbu dan sumbu y B. Asimtot fungsi Definisi 5.1: Asimtot fungsi adalah garis lurus yang didekati oleh grafik fungsi. Ada Tiga jenis asimtot fungsi, yakni (i) Asimtot Tegak Garis = c disebut asimtot tegak dari y = f() jika lim f ( ) c (ii) Asimtot Datar Garis y = b disebut asimtot datar dari y = f() jika lim f ( ) b (iii) Asimtot Miring Garis y = a + b disebut asimtot miring jika lim f ( ) a dan lim f ( ) a b
Asimtot tegak a a = a asimtot tegak Dalam kasus dan lim a lim a f ( ) f ( ) = a asimtot tegak Dalam kasus dan lim f ( ) lim f ( ) a a 3
Asimtot datar y = b Garis y = b asimtot datar karena f ( ) Asimtot datar mungkin dipotong oleh grafik fungsi untuk hingga Tapi, jika untuk menuju tak hingga asimtot datar dihampiri oleh Grafik fungsi(tidak dipotong lagi) lim b 4
Asimtot miring y = f() y a b Garis y = a + b asimtot miring Asimtot miring bisa dipotong oleh kurva untuk nilai hingga. Untuk satu fungsi tidak mungkin ada sekaligus asimtot datar dan asimtot miring 5
Contoh : Tentukan semua asimtot dari Jawab : f ( ) 4 (i) Asimtot tegak : =, karena lim 4 dan lim 4 (ii) Asimtot datar : lim f ( ) lim 4 4 (1 ) lim 1 ( ) lim (1 ( 1 4 ) ) Maka asimtot datar tidak ada 6
f a 1. 4 lim ) ( lim 4 lim 4 lim 1 ) (1 ) (1 lim ) (1 ) (1 lim 4 4 7 (iii) Asimtot miring 0 4 lim ) ( 4 lim 4 lim a f b ) ( lim Asimtot miring y =
Soal Latihan Tentukan semua asimtot dari fungsi berikut : 1 1. f ( ) 1 1. f ( ) 3 3. f ( ) 1 4. f ( ) 3 6. f 1 ( ) 7. 1 f ( ) 1 5. f ( ) 1 8
Kemonotonan Fungsi Definisi Fungsi f() dikatakan monoton naik pada interval I jika untuk f, I f 1 1 1, f( ) f( 1 ) 1 I Fungsi f() monoton naik pada selang I 9
monoton turun pada interval I jika untuk f, I f 1 1 1, f( 1 ) f( ) 1 I Fungsi f monoton turun pada selang I 10
Critical Points
Contoh 3 Bukan critical points Critical points
Teorema 1 : Andaikan f diferensiabel di selang I, maka Fungsi f() monoton naik pada I jika Fungsi f() monoton turun pada I jika Contoh : Tentukan selang kemonotonan dari Jawab : 15 f() monoton naik pada (,0) dan (4, ) f() monoton turun pada (0,) dan (,4). f '( ) 0 I f '( ) 0 I f ( ) 4 ( )( ) 1( 4) f '( ) ( 4 ) ( ) ( ( 4) ) 0 6 4 ( ) Tidak ada 0 4 4 +++++++ ------------ --------- ++++++ f () 0
Fungsi naik dan Fungsi Turun
Eample Tes pada turunannya!, bukan pada fungsi asalnya
Tes Turunan Pertama
Tentukan dimana saja fungsi ini naik dan turun Critical Points:
t=- dan t= bukan maksimum atau minimum t = 1 5 merupakan nilai minimum, t = 1 5 merupakan nilai maksimum
Ekstrim Fungsi Definisi 3 Misalkan f() kontinu pada selang I yang memuat c, f(c) disebut nilai maksimum global dari f pada I jika minimum f f ( c) ( c) f f ( ) ( ) I f(c) disebut nilai buka yang memuat c sehingga maksimum minimum lokal dari f pada I jika terdapat selang f ( c) f ( c) f ( ) f ( ) untuk setiap pada selang buka tadi. Nilai maksimum dan minimum fungsi disebut juga nilai ekstrim Titik pada daerah definisi dimana kemungkinan terjadinya ekstrim fungsi disebut titik kritis/critical points.
Ma lokal Min lokal Ma global Min global Ma lokal Min lokal a b c d e f Nilai ekstrim fungsi pada selang I = [a, f] 3
Ada tiga jenis titik kritis : Titik ujung selang I Titik stasioner ( yaitu = c dimana f '( c) 0 ), secara geometris : garis singgung mendatar dititik (c, f(c)) Titik singulir ( = c dimana f '( c) tidak ada ), secara geometris: terjadi patahan pada grafik f di titik (c, f(c)) 4
Teorema 3 : Uji turunan pertama untuk ekstrim lokal f f ( c, c ) '( ) 0 '( ) 0 ( c, c) f '( ) 0 f '( ) 0 maksimum lokal minimum Jika pada dan pada f(c) Maka f(c) merupakan nilai c f(c) c f(c) nilai maks lokal Disebelah kiri c monoton naik (f > 0) dan disebelah kanan c monoton turun (f < 0) f(c) nilai min lokal Disebelah kiri c monoton turun (f < 0) dan disebelah kanan c monoton naik (f > 0) 5
Teorema 4 Uji turunan kedua untuk ekstrim lokal f ''( c) 0 Misalkan f '( c) 0. Jika,maka f(c) merupakan maksimum f ''( c) 0 nilai lokal f minimum Contoh : Tentukan nilai ekstrim dari ( 4) Jawab: f '( ) ( ) +++++++ 0 ------------ Tidak ada --------- 0 4 f ( ) ++++++ Dengan menggunakan uji turunan pertama : 0 4 f () di = 0 tercapai maksimum lokal dengan nilai di = 4 tercapai minimum lokal dengan nilai f ( 0) f ( 4) 6 6
Kecekungan Fungsi y y Grafik fungsi cekung keatas Grafik fungsi cekung kebawah Fungsi f() dikatakan cekung ke atas pada interval I bila f '( ) naik pada f interval I, dan f() dikatakan cekung kebawah pada interval I bila turun pada interval I. '( ) Teorema 6 Uji turunan kedua untuk kecekungan 1. Jika f "( ) 0, I, maka f cekung ke atas pada I.. Jika, maka f cekung ke bawah pada I. 7 f"( ) 0, I
Contoh : Jawab : 4 f '( ) ( ) f ''( ) Tentukan selang kecekungan dari ( ( 4)( ) )(( 8 ( 8 ( ( ) 4 4)( ) ( 3 )( ) ) 4 8 4) ( f ( ) 4)) 8 3 ( ) 4 Grafik f cekung keatas pada (, ) dan cekung kebawah pada selang (,) - - - - - Tidak ada +++ f () 8
F. Titik belok Definisi 4 Misal f() kontinu di = b. Maka (b,f(b)) disebut titik belok dari kurva f() jika : terjadi perubahan kecekungan di = b, yaitu di sebelah kiri dari =b, fungsi f cekung ke atas dan di sebelah kanan dari =b fungsi f cekung ke bawah atau sebaliknya = b adalah absis titik belok, jika f "( b) 0 atau f "( b) tidak ada. 9
f(c) f(c) c c (c,f(c)) titik belok Karena disebelah kiri c cekung keatas dan disebelah kanan c cekung kebawah (c,f(c)) titik belok Karena disebelah kiri c cekung kebawah dan disebelah kanan c cekung keatas 30
f(c) c c (c,f(c)) bukan titik belok Karena disekitar c tidak Terjadi perubahan kecekungan Walaupun di sekitar c Terjadi perubahan Kecekungan tapi tidak ada Titik belok karena f tidak terdefinisi di c 31
Tentukan titik belok (jika ada) dari 1. f ( ) 3 1 3 f '( ) 6, f ''( ) 1 -------------. f ( ) 4 0 0 +++++++ Di = 0 terjadi perubahan kecekungan, dan f(0)= -1 maka (0,-1) merupakan titik belok f ''( ) 1 f () +++++++ 0 0 +++++++ f () Tidak ada titik belok, karena tidak terjadi perubahan kecekungan
3. f ( ) 4 f ''( ) 8 3 ( ) Tidak -------------- +++++ ada f () Walaupun di =, terjadi perubahan kecekungan, tidak ada titik belok karena fungsi f() tidak terdefinisi di = 33
Cara menentukan nilai ekstrim mutlak: 1. Temukan nilai f pada critical points dan endpoints/ titik ujung. Ambil nilai tertinggi dan terendah dari semua nilai yang ditemukan ini
Turunan Eksponensial dan Logaritma a b c
Min Tentukan nilai minimum dan maksimumnya Ma
Contoh: Diketahui f ( ) 4 a. Tentukan selang kemonotonan dan ekstrim fungsi b. Tentukan selang kecekungan dan titik belok c. Tentukan semua asimtot d. Gambarkan grafik f() a. Fungsi f() monoton naik pada selang (,0), (4, ) monoton turun pada selang (0,) dan (,4). di = 0 tercapai maksimum lokal dengan nilai f ( 0) di = 4 tercapai minimum lokal dengan nilai f ( 4) b. Grafik f cekung keatas pada (, ) dan cekung kebawah pada selang (,), tidak ada titik belok c. Asimtot tegak =, asimtot miring y =, tidak ada asimtot datar 6 38
d. Grafik f() Tidak ++++++ 0 ----- ----- 0 ada ++++++ f ' 0 4 Tidak --------------------- ada +++++++++++ f '' 6 y= - 4 39
40 Soal Latihan 6 30 15 ) ( 3 4 5 f 3 1 3 ) ( f 1 ) ( f f 1) ( ) ( Tentukan selang kemonotonan dan ektrim fungsi berikut : 1.. 3. 4.
41 Soal Latihan 6 30 15 ) ( 3 4 5 f 3 1 3 ) ( f 1 ) ( f f 1) ( ) ( Tentukan selang kecekungan dan titik belok fungsi berikut : 1.. 3. 4.