Didowload dari ririez.blog.us.ac.id HALAMAN 36 37 5. Dega defiisi limit barisa buktika limit berikut ii : a. lim = 0 lim 1 2 + 3 = 0 > 0 h 1 = 2 + 3 0 = 1 2 + 3 1 2 1 2 1 2 < jadi terbukti bahwa lim = 0 b. lim = 5, artiya > 0, berlaku Aka ditujukka 2 < Karea, maka utuk > 0, berlaku 2 1 + 5 2 = 1 2 10 2 + 5 = = Preseted By Ririez-EkaHely-Kartii
Didowload dari ririez.blog.us.ac.id <, jadi terbukti bahwa lim = 5 8. Misalka ( ) da ( ) barisa bilaga real sehigga utuk semua utuk suatu > 0 da. Jika lim ( ) = Diketahui ( ) 0 > 0 sehigga berlaku <. = sehigga 0 = <, Utuk + <. +. = 2 Sehigga terbukti bahwa lim ( ) =. 9. Tujukka bahwa : a. lim = 1, > 0 Aka dibuktika bahwa 0 > 0, sehigga, <, berlaku < Preseted By Ririez-EkaHely-Kartii
Didowload dari ririez.blog.us.ac.id 1 0 = 1 1 < Terbukti bahwa 0, lim = lim ( ) = 1 b. lim = 1 Aka dibuktika lim = 1. Ambil sembarag > 0 < N akibatya berlaku, 1 + 1 + 1 + 1 + 1 < + 1 = Terbukti bahwa lim = 1 HALAMAN 43 45 6. Misalka ( ) barisa bilaga real tak ol da =,. Jika ( ) koverge ke 0, tujukka bahwa ( ) koverge. Hitug limitya! Diketahui :(y ) koverge ke 0 berarti lim ( y ) = 0 Aka dibuktika bahwa ( ) koverge. y = y (1 + y + + y = y ) = (1 + y) = (1 y ) + y = ( + ) y (1 y ) = Diberika sembarag ε > 0, terdapat K N da utuk setiap K berlaku Preseted By Ririez-EkaHely-Kartii
Didowload dari ririez.blog.us.ac.id lim = lim ( 1+ y ) ( 1 y ) (1 + lim y) = = (1 lim y ) ( 1+ 0) ( 1 ) 0 Karea ( ) = = lim maka < ε atau ( ) koverge. Misalka ( ) barisa bilaga real tak ol da =, Diketahui ( ) 0, aka ditujukka ( ) koverge = + = = < Sehigga terbukti bahwa ( ) koverge 9. Jika ( ) koverge ke 0 da ( ) terbatas, tujukka bahwa ( ) koverge ke 0. ( ) terbatas,, N Diketahui 0 > 0, > berlaku < Aka ditujukka 0 Karea, maka utuk > 0, > berlaku 0 = < Preseted By Ririez-EkaHely-Kartii
Didowload dari ririez.blog.us.ac.id Utuk maka Jadi,terbukti koverge ke 0 0 = <. = 10. Berika cotoh barisa ( ) yag tidak terbatas tetapi lim ( ) = 0 = 1 = 1 1 1 = 1 1 = 0 = 2 1 2 = 0.914 = 3 1 3 = 1.398 Sehigga tidak terbatas di atas. lim ( ) = 0, lim ( ) = lim = 0 0 = 0 11. Jika lim ( ) = 0, buktika bahwa ( ) tidak terbatas! Diketahui : lim ( ) = 0 Aka dibuktika ( ) tidak terbatas Dega kotradiksi : Misalka ( ) terbatas maka terdapat > 0, sehigga da karea lim ( ) ada maka ( ) terbatas. = + + = + + + + = + + = +( + 1) + ( + 1) Preseted By Ririez-EkaHely-Kartii
Didowload dari ririez.blog.us.ac.id Adaya ( + 1) meyebabka ( ) tidak terbatas. Hal ii kotradiksi dega yag diketahui bahwa ( ) terbatas. Jadi ( ) seharusya tidak terbatas. 15. Misalka = +1 utuk. Tujukka bahwa ( ) da ( ) koverge = +1 utuk = +1 = +1. = () = lim =0, jadi 0 = ( +1 ) = + = +. = = = () = lim = lim = = =, jadi 21. Jika ( ) barisa bilaga real positif sehigga lim =>1. Tujukka bahwa ( ) tidak terbatas da sehigga tidak koverge. Aka dibuktika bahwa ( ) tidak terbatas, Ambil R, sehigga 1<<. Utuk = >0. Karea lim =, N berlaku Preseted By Ririez-EkaHely-Kartii
Didowload dari ririez.blog.us.ac.id < oleh karea itu, berlaku < = = atau, <. <. >. Terbukti bahwa ( ) tidak terbatas, Karea ( ) tidak terbatas maka ( ) tidak koverge. Terbukti. 24. Misalka ( ) barisa koverge dari ( ) sehigga utuk sembarag >0 terdapat sehigga < utuk semua. Apakah ii meyimpulka bahwa ( ) koverge? Diketahui ( ) barisa yag koverge misalka ke. Diberika sembarag >0 terdapat bilaga asli sehigga utuk berlaku <. Dega yag diketahui utuk >0 diatas terdapat sehigga utuk, <. Akibatya utuk = (,) berlaku : = + + < 2 + 2 = Sehigga barisa ( ) koverge ke. HALAMAN 51-53 2. Misalka barisa ( ) didefiisika secara rekursif sebagai : =0, = + 1 4, a) Dega iduksi tujukka bahwa 0 utuk semua 1) =1,2 =0; Preseted By Ririez-EkaHely-Kartii
Didowload dari ririez.blog.us.ac.id =0 + = 0 =0< = terbukti bear utuk =1,2 2) Diaggap bear utuk =. = + 0 3) Aka dibuktika bear utuk =+1 = + 1 4 0 < 1 2 0 0 + 1 4 < < 1 2 + 1 4 0 1 4 < < 1 2 Terbukti bear utuk =+1 0 1 2 Jadi, dega iduksi terbukti bahwa 0 b) Tujukka bahwa ( ) aik Aka dibuktika >0 maka aik. Bukti : = + = + = >0 =0 = Preseted By Ririez-EkaHely-Kartii
Didowload dari ririez.blog.us.ac.id Diketahui 0 maka terbukti >0 sehigga ( ) aik. c) Simpulka bahwa ( ) koverge da tetuka limitya. 1) Dari a) terbukti bahwa 0,, artiya ( ) terbatas. 2) Dari b) terbukti bahwa >0,, artiya ( ) mooto aik. Kesimpula : Karea ( ) terbatas da mooto aik maka ( ) koverge. Misalka : lim ( )=, maka lim ( )= lim ( )=lim + = + = + =0 =0 = Jadi, lim ( )=, ( ) 5. Misalka >0 da >0. Didefiisika =+ utuk. Tujukka bahwa ( ) koverge da tetuka limitya! 8. Misalka ( ) barisa aik da ( ) barisa turu sehigga ( ) ( ) utuk semua. Tujukka bahwa lim ( ) lim ( ). Preseted By Ririez-EkaHely-Kartii
Didowload dari ririez.blog.us.ac.id 9. Misalka himpua tak higga di dalam yag terbatas di atas dega =sup { }. Tujukka ada barisa aik ( ) dega utuk semua sehigga = lim ( ). ( ) aik,,,=lim( ) =sup >0, < =1, 1< =, <, < =, <, < Jadi, terbukti bahwa ( ) aik. < < < 0< < 1 0 0 0 = 1, = 1 2, ( ) ( )kovege ke limit yag sama. 11. Misalka = + + + utuk semua. Buktika bahwa ( ) barisa aik da terbatas oleh karea itu ( ) koverge. Preseted By Ririez-EkaHely-Kartii
Didowload dari ririez.blog.us.ac.id Aka dibuktika ( ) barisa aik, = + + + + + + + = >0 Karea >0 maka > Sehigga terbukti ( ) barisa aik, Aka dibuktika ( ) terbatas, + + +, Artiya = >0. Sehigga terbukti ( ) terbatas. Berdasarka Teori Kekovergea Mooto, Barisa bilaga real mooto koverge, jika da haya jika terbatas Karea ( ) terbatas maka meurut Teori Kekovergea Mooto ( ) koverge. Terbukti. 15. Tujukka bahwa jika ( ) koverge, maka 0. Tujukka dega cotoh bahwa sebalikya tidak bear! {YANG SEBALIKNYA BLOMAN!!} Tujukka ( ) koverge 0 Diketahui ( ) koverge, missal ( ) > 0 = () < 2 Dari theorema diketahui bahwa jika ( ) maka > 0 = () < 2 ( ) 0 = + 0 = ( ) ( ) + 0 + + 0 Preseted By Ririez-EkaHely-Kartii
Didowload dari ririez.blog.us.ac.id < + = Jadi terbukti jika ( ) koverge, maka 0 17. Misalka ( ) barisa terbatas da utuk setiap, didefiisika seperti pada omor 5 da =if{ }. Tujukka bahwa ada subbarisa dari ( ) yag koverge ke. 18. Jika >0 utuk semua da lim (( 1) ) ada, tujukka bahwa ( ) koverge, Diketahui >0 utuk semua N da lim (( 1) ) ada, Aka ditujukka ( ) koverge Jika lim (( 1) ) diaggap ada berarti ambil sembarag >0, berlaku ( 1) < ( 1) ( 1) + = + < Utuk maka, = + + Karea dari yag diketahui 0 diperoleh + + + Sehigga + < Jadi, bear bahwa ( ) koverge 21. Jika ( ) barisa terbatas da =sup { } sehigga { }. Tujukka bahwa terdapat subbarisa yag koverge ke. Misal ( ) terbatas Preseted By Ririez-EkaHely-Kartii
Didowload dari ririez.blog.us.ac.id =sup{ ; } { ; }. Aka ditujukka bahwa terdapat subbarisa yag koverge ke s. Diambil sembarag >0, terdapat { ; } h <+ Dimaa =sup{ ; } Utuk < <+ < <+ Sehigga jika diambil sembarag >0,, h < <+ < <+ < <+ < Jadi terdapat subbaris ( ) yag koverge ke s HALAMAN 59 60 3. Tujukka secara lagsug dari defiisi bahwa barisa berikut buka barisa Cauchy =+ ( 1) Misalka =+ (), =+ () sehigga utuk > Preseted By Ririez-EkaHely-Kartii
Didowload dari ririez.blog.us.ac.id = + () = + () = + () () ( + ) () () = ()() () Utuk gajil da geap = ( ) + ( 1) ( 1) ( ) + + = ( )( + 1) > > + 1 = 1 + 1 > 4. Tujukka secara lagsug bahwa jika ( ) da ( ) barisa Cauchy, maka ( + ) da ( ) juga barisa Cauchy. barisa Cauchy > 0 = (), > berlaku < barisa Cauchy > 0 = (), > berlaku < 1. Aka dibuktika bahwa ( + ) barisa Cauchy > 0 = (), > berlaku ( + ) ( + ) = + = ( ) + ( ) ( ) + ( ) < + = Jadi terbukti bahwa ( + ) merupaka barisa Cauchy 2. Aka dibuktika bahwa ( ) barisa Cauchy > 0 = (), > berlaku Preseted By Ririez-EkaHely-Kartii
Didowload dari ririez.blog.us.ac.id (. ) (. ) < (. ) (. ) =. +. = (. ) + ( ) = ( ) + ( ) ( ) + ( ) = ( ) + ( ) Diberika sembarag > 0 = (), > < 2, Akibatya < 2 (. ) (. ) = ( ) + ( ) Jadi terbukti bahwa (. ) merupaka barisa Cauchy ( ) + ( ) = ( ) + < + = + = 6. Tujukka secara lagsug bahwa barisa mooto adalah barisa Cauchy! Meurut TKM, barisa mooto jika haya jika terbatas. ( ) terbatas jika > 0 Sehigga berlaku ( ) Cauchy, > 0,, berlaku < misal ambil = 1,, berlaku Preseted By Ririez-EkaHely-Kartii
Didowload dari ririez.blog.us.ac.id < 1 < + 1 ; Pilih = {,,,,, + 1} Maka terbukti bahwa barisa mooto adalah Cauchy. 11. Misalka ( ) sembarag barisa bilaga real dari : =, = Tujukka jika barisa Cauchy, maka ( ) juga barisa Cauchy. Apakah berlaku sebalikya? PENYELESAIAN: Misal = " ": ( ) Barisa Cauchy, artiya =1, = =1, = =1, = =1 > 0,, berlaku = + < 2 + 2 = =1 =1 =1 Maka > 0,, berlaku = + =1 =1 Jadi, ( ) juga barisa Chaucy " ": ( ) barisa Cauchy, artiya =1 =1 =1 = + + + + + + + + + + + + + + = + 2 + 2 = > 0,, berlaku Preseted By Ririez-EkaHely-Kartii
Didowload dari ririez.blog.us.ac.id = + < 2 + 2 = =1 =1 Aka ditujukka ( ) juga barisa Cauchy > 0,, berlaku =1 = + =1 =1 =1 =1 =1 = + + + + + + + + + + + + + + = + < + = ( ) barisa Cauchy. Jadi, berlaku peryataa jika ( ) barisa Cauchy maka ( ) juga barisa Cauchy. 14. Poliomial 9 + 2 mempuyai akar dega 0 < < 1. Guaka pedekata barisa susut utuk mehitug dega error kurag 10. () = 9 + 2 (0) = 2, (1) = 6 utuk = 0 ; tiggi = 2 utuk = 1 ; tiggi = 6 hal ii dikareaka akar dari persamaa 9 + 2 = 0 terletak diatara 0 < < 1. Didefiisika barisa ( ) dega 0 < < 1 da 9 + 2 = 0 + 2 = 9 = 1 9 ( + 2) Sehigga = ( + 2), N Karea 0 < < 1 maka 0 < < 1, N. Preseted By Ririez-EkaHely-Kartii
Didowload dari ririez.blog.us.ac.id ( + 2) ( + 2) ( ) = + + Karea 0 < < 1, berarti ( ) barisa susut, terdapat sehigga = lim ( ). Jika diambil limit kedua ruas barisa = ( + 2) diperoleh = ( + 2). Sehigga 9 + 2 = 0 dihampiri dega memilih = 0.5 diperoleh, = ( + 2) = 0.236111 = ( + 2) = 0.223685 = ( + 2) = 0.223466 = ( + 2) = 0.223462 Meurut akibat 2.4.8 a) = Jika = 5 maka.. 0.263889 0.263889 = 0.004887 b) Jika = 5 maka =. 4. 10 = 2. 10 < 10 Jadi merupaka hampira dari. Preseted By Ririez-EkaHely-Kartii
Didowload dari ririez.blog.us.ac.id HALAMAN 63 7. Misalka ( ) da ( ) dua barisa bilaga positif sehigga lim ( )=0 a. Tujukka bahwa jika lim ( )=+, maka lim ( )=+. i. lim = 0, berarti ε > 0, K1 N y 0 = y y < ε ii. ( ) = + sehigga utuk setiap K 1 berlaku lim, berarti utuk sembarag α R K N sehigga utuk K (α) berlaku > εα. Aka dibuktika bahwa lim ( y ) = +, ( α ) ε > 0, utuk sembarag α R, pilih K = maks(k 1, K (α) ) sehigga utuk K berlaku : y < ε (dari i) ε < y εα y > > = α (dari ii) ε ε Jadi, terbukti lim ( y ) = + b. Tujukka bahwa jika ( ) terbatas, makalim ( )=0 Preseted By Ririez-EkaHely-Kartii
Didowload dari ririez.blog.us.ac.id i. lim = 0, berarti ε > 0, K1 N y y 0 = y ε < M sehigga utuk setiap K 1 berlaku ii. (y ) terbatas, berarti terdapat M Rdega M > 0 sehigga utuk semua K berlaku y M atau M y M Aka dibuktika bahwa lim ( ) = 0 ε > 0, pilih K = maks(k 1, M) sehigga utuk K berlaku : y ε < (dari i) M ε y ε M < = ε (dari ii) M M 0 < ε Jadi, terbukti lim ( ) = 0 Ambil > 0, >0, <.,, 0 < 0 = =, 0 8. Misalka ( ) da ( ) dua barisa bilaga positif sehigga lim ( ) = + a. Tujukka bahwa jika lim ( ) = +, maka lim ( ) = +. Aka ditujukka bahwa lim ( ) = + maka lim ( ) = + Misal lim ( ) = + Ambil sembarag R, maka berlaku > Karea lim = + maka utuk berlaku > sehigga > Preseted By Ririez-EkaHely-Kartii
Didowload dari ririez.blog.us.ac.id Karea >0 maka lim ( )=+ Terbukti lim ( )=+ maka lim ( )=+ b. Tujukka bahwa jika ( ) terbatas, makalim ( )=0 Aka ditujukka bahwa jika ( ) terbatas maka lim ( )=0 Jika terdapat utuk Ambil sembarag > 0 < > > < < < Diambil = Terdapat berlaku > Sehigga utuk < maka lim ( ) = 0 0 = < < = 9. Tujukka bahwa jika lim ( ) =, > 0, maka lim ( ) = +. Misalka ( ) adalah sebuah barisa ( ) dega =. Karea ( ) diverge, sehigga lim ( ) = +. Preseted By Ririez-EkaHely-Kartii
Didowload dari ririez.blog.us.ac.id Berdasarka Teorema Perbadiga Limit, dua barisa bilaga real dega lim ( )=,>0 maka ( )=+ jika da haya jika ( )= +. Karea lim ( )=+ Terbukti bahwa lim ( )=+. Preseted By Ririez-EkaHely-Kartii