MATEMATIKA II DERET TAK HINGGA (INFITITE SERIES) sugegpb.lecture.ub.ac.id aada.lecture.ub.ac.id
BARISAN Barisa merupaka kumpula suatu bilaga (atau betuk aljabar) yag disusu sehigga membetuk suku-suku yag dipisahka dega tada koma da memiliki pola tertetu. Betukya disusu sebagai berikut : u 1,u 2,u 3,u 4,u 5,u 6,u 7,... Keteraga : u 1 artiya suku ke-1 (suku pertama) u 2 artiya suku ke-2 (suku kedua) da seterusya...
CONTOH BARISAN 1). Barisa bilaga gajil : 1, 3, 5, 7,... Keteraga : - suku ke-1 (suku pertama) adalah 1 (u 1 =1), - suku ke-2 (suku kedua) adalah 3 (u 2 =3), - suku ke-3 (suku ketiga) adalah 5 (u 3 =5), - da seterusya... 2). Barisa bilaga geap : 2, 4, 6, 8,... 3). Barisa sebarag : 1, 5, 3, -2, 5, 7,...
BARISAN BARISAN ARITMETIKA BARISAN GEOMETRI Beda b Rasio r
1. BARISAN ARITMETIKA Barisa Aritmetika merupaka suatu barisa yag memiliki selisih yag sama atara dua suku-suku yag berdekata. Nilai selisih yag sama itu diamaka bedaya yag disimbulka dega huruf b. Misal barisaya : u 1,u 2,u 3,u 4,u 5,u 6,u 7,... Cara meghitug bedaya (b) adalah b=u 2 u 1 =u 3 u 2 =u 4 u 3 =...=u u 1
BARISAN ARITMETIKA (2) Adapu rumus suku ke- ya adalah u =a+( 1)b Dega: a = suku pertamaya (u 1 ), b = bedaya u = suku ke-
CONTOH BARISAN ARITMETIKA 1). Dari barisa berikut ii, maakah yag merupaka barisa aritmetika? a). 1, 3, 5, 7,... b). 2, 5, 8, 11, 14,... c). 1, 2, 5, 7, 8,... d). 3, 5, 6, 2, 12,... e). 4, 2, 0, -2, -4,...
BARISAN DAN DERET Ø Deret dibetuk oleh jumlah dari suku-suku suatu barisa. Ø Cotoh: (a) 1, 3, 5, 7, (barisa) (b) 1 + 3 + 5 + 7 + (deret) Ø Suku-suku suatu deret sbb: u 1 (suku pertama), u 2 (suku kedua), u 3 (suku ketiga), dst. u r (suku ke-r), u r+1 (suku ke-(r+1)), dst. S : jumlah dari suku pertama. Ø Deret Aritmetik da Deret Geometrik.???
1A.DERET ARITMETIKA Deret aritmetika merupaka jumlaha dari suku-suku pada barisa aritmetika. Jumlaha yag dimaksud adalah pejumlaha utuk beberapa suku berhigga ( suku pertama). Simbol yag diguaka adalah s yag artiya jumlah suku pertama.
1A.DERET ARITMETIKA Rumus Umum: = 1 a = a + ( a + b) + ( a + 2b) + ( a + 3b) +... Ø Dimaa: a = suku pertama b = beda Suku ke- : a + (-1) b Jumlah dari suku pertama : S = /2 (2a+( 1)b)
DERET ARITMETIKA (2) Bagaimaa kalau yag dijumlahka sukuya bayak sekali, maka kita aka megguaka rumusya lagsug.
DERET ARITMETIKA (3) Berikut rumus jumlah suku pertama berdasarka : Ketiga rumus s di atas memberika hasil yag sama
CONTOH
2. BARISAN GEOMETRI Barisa Geometri merupaka suatu barisa yag memiliki perbadiga yag sama atara dua suku-suku yag berdekata. Nilai perbadiga yag sama itu diamaka rasioya yag disimbulka dega huruf (r). Misal barisaya : u 1,u 2,u 3,u 4,u 5,u 6,u 7,... Cara meghitug rasio (r) adalah: r= u 2 / u 1 = u 3 / u 2 = u 4 / u 3 = = u / u 1
2. BARISAN GEOMETRI Adapu rumus suku ke- ya adalah u = ar 1 dega a = suku pertamaya (u 1 ), r = rasioya, da u = suku ke- Dari rumus suku ke- ya, dapat disusu barisa geometriya:
CONTOH 1). Dari barisa berikut ii, maakah yag merupaka barisa Geometri? a). 1, 2, 4, 8,... b). 1/3, 1, 3, 9, 27,... c). 1, 2, 6, 8, 16,... d). 3, 4, 8, 2, 12,... e). 16, 8, 4, 2, 1,...
DERET GEOMETRI Deret geometri merupaka jumlaha dari suku-suku pada barisa geometri. Jumlaha yag dimaksud adalah pejumlaha utuk beberapa suku berhigga ( suku pertama). Simbol yag diguaka adalah s yag artiya jumlah suku pertama.
DERET GEOMETRI Bagaimaa kalau yag dijumlahka sukuya bayak sekali, maka kita aka megguaka rumusya lagsug
DERET GEOMETRI Berikut rumus jumlah suku pertama deret geometri. Sebearya kedua rumus s di atas ilaiya sama saja utuk semua jeis rasioya, sehigga cukup diigat salah satu saja.
CONTOH
BARISAN TAK HINGGA Secara umum, rumus eksplisit barisa dapat ditulis: { } a a a,,... = 1, 1 2 a = 3 Cotoh:
3. DERET ARITMATIKA TAK HINGGA Deret aritmatika yag pejumlahaya sampai suku ke tak higga. Rumus Umum: a = a + a + b + a + 2b + a + 3b + Cotoh: Diketahui suatu deret 1 + 3 + 5 + 7 +. a = 1, b = 2 = 1 ( ) ( ) ( )... S = = 2 2 2 [ 2a + ( 1 ). b] = [ 2 + 2 2] Jika besar maka ilai S aka sagat besar. Jika à maka S à (buka merupaka ilai umerik yag berhigga.
4. DERET GEOMETRI TAK HINGGA Deret geometri yag pejumlahaya sampai suku ke tak higga. Jumlah deretya megikuti deret geometri Misalka ada deret u 1 +u 2 +u 3 +u 4... yag dijumlahka sampai tak higga yag disimbolka dega s. Hasil jumlah tak higgaya (s ) tergatug dari ilai rasioya (r).
4. DERET GEOMETRI TAK HINGGA Rumus Umum: = 1 a = a + ar + ar 2 + ar 3 +... Ø Dimaa: r = rasio (memilih salah satu suku da dibagi dega suku sebelumya) Suku ke = ar 1 Jumlah dari suku pertama : S ( r ) a 1 = 1 r
4. DERET GEOMETRI TAK HINGGA Rumus Umum:... 3 2 1 + + + + = = ar ar ar a a ( ) ( ) ( ) 1, 1 1, 0 1 1 1 1 1 1 1 1... lim lim lim 3 2 < = < = = = = + + + + = r jika r a r jika r a r r a r r a r r a ar ar ar a S 1 maka diverge b).jika 1 maka koverge a).jika > < r r
KONVERGEN DAN DIVERGEN Pada pejumlaha deret geometri tak higga, ada dua istilah yaitu : 1). Koverge (deret koverge) syaratya 1<r<1, artiya jumlah sampai tak higgaya memberika hasil agka tertetu (hasilya buka + atau ) 2). Diverge (deret diverge) syaratya r< 1 atau r>1, artiya jumlah sampai tak higgaya memberika hasil + atau
CONTOH (1) Tetuka hasil pejumlaha dari deret geometri tak higga: PENYELESAIAN: Rasio deretya : r= u 2 / u 1 = 4/2 =2 Karea ilai rasioya = 2 (r>1), maka deret ii termasuk diverge da hasilya + Jadi, ilai 2+4+8+16+...=
CONTOH (2) Tetuka hasil pejumlaha dari deret geometri tak higga: PENYELESAIAN: Rasio deretya : r= u 2 / u 1 = 1/2 Karea ilai rasioya = 1/2 ( 1<r<1), maka deret ii termasuk koverge Hasilya :
CONTOH (3) Tetuka hasil pejumlaha dari deret geometri tak higga: PENYELESAIAN: Rasio deretya : r= u 2 / u 1 = 1/2 Karea ilai rasioya = 1/2 ( 1<r<1), maka deret ii termasuk koverge Hasilya :
CONTOH (2) Carilah jumlah sampai dega tak berhigga dari deret berikut ii: 20 + 4 + 0,8 + 0,16 +. Jawab: a = 20 r = 0,8/4 = 0,2 = 1/5 S = 20 / (1 0,2) = 25
TUGAS KELOMPOK 1. Diketahui sebuah persegi berukura 4x4 cm 2. Setiap titik tegah suatu sisi dihubugka dega titik tegah sisi yag berdekata sehigga terbetuk persegi baru. Proses ii dilajutka terus. a. Apabila proses dilajutka 9 kali, berapakah jumlah semua persegi yag terbetuk? b. Apabila proses dilajutka tapa berheti, berapakah jumlah semua persegi yag terbetuk?
MATEMATIKA II UJI KONVERGENSI DERET TAK HINGGA sugegpb.lecture.ub.ac.id aada.lecture.ub.ac.id
UJI KONVERGENSI KONVERGEN: Jika barisa {a } memeuhi persamaa: L adalah bilaga berhigga. lim { } = L a Jika TIDAK DIVERGEN
SIFAT LIMIT Ø SIFAT LIMIT BARISAN {a } da {b } adalah barisa koverge. K adalah kostata.
CONTOH (1) Cotoh 1: Cari lim 2 + 3 Jawab: Bagi pembilag da peyebut dega pagkat terbesar dari, maka: lim 2 + 3 = = lim lim ( 2 ) + ( 3 ) 1 2 + 3 = 1 2 + 0 = 0.5
CONTOH (2) Cotoh 2: Diketahui sebuah barisa sebagai berikut. 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, Ditayaka: a). Nyataka barisa tsb dalam rumus eksplisit Jawab: a). Rumus eksplisit: b). Uji kovergesi: b). Ujilah kovergesi dari barisa di atas a = +1 1 + 1 lim + 1 lim1+ 0 { a } = = = 1 lim lim = Karea hasilya merupaka bilaga berhigga, maka {a } koverge meuju 1.
CONTOH (3) 1. Tetuka kovergesi jumlah deret berikut: Jawab: 4 3 + 4 9 + 4 27 + 4 81 +...
LATIHAN SOAL Tuliska lima suku pertama barisa berikut, serta tetuka apakah barisa tersebut koverge atau diverge. Carilah rumus eksplisit a utuk setiap barisa da tetuka apakah barisa tersebut koverge atau diverge.
CONTOH KASUS