BAB 4. TEOREMA FERMAT DAN WILSON 1 Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo June 11, 2012
Metoda Faktorisasi Fermat (1643) Biasanya pemfaktoran n melalui tester, yaitu faktor prima yang tidak melebihi n. Diasumsikan n bulat ganjil. Metoda Fermat didasarkan pada ide penemuan bilangan bulat x dan y sehingga n = x 2 y 2. Karena dapat ditulis n = (x + y)(x y) maka (x + y) dan (x y) adalah faktor-faktor dari n. Sebaliknya bila n = ab, a b 1, maka dapat ditulis ( ) a + 2 ( ) b a 2 b n =. 2 2 Karena n ganjil maka a dan b harus ganjil (mengapa?), oleh karena itu a+b dan a b taknegatif. 2 2 Bilangan bulat dapat difaktorkan bhb ia dapat disajikan sebagai selisih kuadrat bil taknegatif
Algoritma 1 Tulis x 2 n = y 2 2 Tentukan k bilangan bulat pertama dimana k 2 n 3 Urutkan bilangan berikut Example k 2 n, (k + 1) 2 n, (k + 2) 2 n, (k + 3) 2 n, hingga langkah ke m sehingga (k + m) 2 n adalah bilangan kuadrat. Faktorkan bilangan n = 119143. Penyelesaian. Menentukan k sehingga k 2 119143. Cek! 345 2 = 119025, 346 2 = 119716. Ambil k = 346. Urutkan bilangan (k + m) 2 n,m = 0, 1, 2,. Hasilnya sebagai berikut:
Algoritma (lanjutan...) 346 2 n = 573 347 2 n = 1266 348 2 n = 1961 349 2 n = 2658 350 2 n = 3375 351 2 n = 4058 352 2 n = 4761 Ternyata sampai pada m = 6 sudah menghasilkan bil kuadrat yaitu (346 + 6) 2 119143 = 4761 = 69 2. Diperoleh x = 352,y = 69. Faktorisasi yang diperoleh adalah 119143 = (x + y)(x y) = (352 + 69)(352 69) = 421 283.
Ciri bilangan kuadrat: Angka terakhirnya kemungkinannya 0, 1, 4, 5, 6 dan 9 (mengapa?) Dua angka terakhirnya ada 22 kemungkinan, temukan angka berapa saja! Petunjuk: Gunakan modulo 10 untuk mendeteksi kemungkinan 1 angka terakhir, dan modulo 100 untuk 2 angka terakhir. Latihan 1: Faktorkan bilangan 2027651281dengan metoda Fermat! Lengkapi keterangan setiap langkahnya! Metoda faktorisasi Fermat akan sangat efektif jika selisih magnitud kedua faktornya kecil. Example Faktorkan bilangan n = 23449. Mulailah dengan k = 154 maka hanya dibutuhkan 2 langkah, diperoleh faktorisasi yang dimaksud adalah 23449 = 179 131.
Generalisasi metoda faktorisasi Fermat Pada metoda sebelumnya, bilangan bulat x dan y memenuhi n = x 2 y 2. Sekarang x dan y lebih umum, yaitu cukup memenuhi x 2 y 2 (mod n). Misalkan d = gcd(x y,n) atau d = gcd(x + y,n), maka d n. Permasalahannya, apakah d faktor sejati, yaitu 1 < d < n? Dengan asumsi n = pq, p,q prima dengan p < q maka kemungkinan d adalah 1,p,q atau pq. x 2 y 2 (mod n) pq (x y)(x + y) Lemma Euclid p dan q membagi salah satu faktornya. Bila yang terjadi adalah p (x y) dan q (x y) pq (x y) x y(mod n), atau p (x + y) dan q (x + y) pq (x + y) x y(mod n). Situasi dimana x ±y(mod n) dikesampingkan. Jadi, d adalah salah satu p atau q.
Example Kita ingin memfaktorkan n = 2189 dengan memperoleh 579 2 18 2 (mod 2189). Hitung gcd masing-masing, yaitu gcd(579 18, 2189) = gcd(561, 2189) = 11 gcd(579 + 18, 2189) = gcd(597, 2189) = 199 maka diperoleh 2189 = 11 199. Bagaimana mendapatkan 579 2 18 2 (mod 2189)? Jelaskan langkah-langkahnya?
Metoda Kraitchik (1920) Idenya adalah mencari bilangan x 1,x 2,,x k sehingga (x 1 n) (x k n) bil kuadrat, katakan y 2. Akibatnya dapat ditulis (x 1 x k ) 2 y 2 (mod n). Ini menghasilkan faktor taksejati n seperti sebelumnya. Example Kita akan memfaktorkan n = 12499. Inspeksi awal 112 2 = 12544. Dimulai dari k = 112. Tidak diurutkan seperti metoda Fermat, tetapi cukup 112 2 n = 45 112 2 3 2 5(mod 12499) 117 2 n = 1190 117 2 2 5 7 17(mod 12499) 121 2 n = 2142 121 2 2 3 2 7 17(mod 12499) Kita kalikan hasil-hasil ini diperoleh (112 2 117 2 121 2 ) (2 3 2 5 7 17) 2 (mod 124999) 1585584 10710(mod 12499) gagal?
Example (lanjutan) Ambil kemungkinan lain, mis 113 2 2 5 3 3 (mod 12499) 127 2 2 3 5 11 2 (mod 12499) maka diperoleh (113 127) 2 (2 3 2 5 11) 2 (mod 12499) 1852 2 990 2 (mod 12499). Karena 1852 ±990(mod 12499) maka kita berhasil. Hitung gcd masing-masing seperti sebelumnya diperoleh faktorisasi 12499 = 29 431.
Teorema Litle Fermat Theorem Misalkan p prima dan andaikan p a maka a p 1 1(mod p). Ilustrasi: p = 3 maka untuk a = 5 berlaku 5 3 1 1(mod 3), tetapi untuk a = 6 tidak berlaku bahwa 6 3 1 = 36 1(mod 3). Proof. Kumpulkan p 1 kelipatan pertama a, yaitu V = {a, 2a, 3a,,(p 1)a}. Diperoleh fakta Tidak ada anggota V yang kongruen satu sama lainnya (mengapa?) Tidak ada anggota V yang kongruen dengan nol (mengapa?) Maka setiap anggota V pasti kongruen modulo p terhadap salah satu 1, 2,,p 1. Kalikan semua kongruensi ini diperoleh a 2a 3a (p 1)a 1 2 3 (p 1)(mod p) a p 1 (p 1)! (p 1)!(mod p) a p 1 1(mod p) (Why?).
Akibat Teorema Fermat Corollary Bila p prima maka a p a(mod p)untuk sebarang bil bulat a. Proof. Ada 2 kemungkinan: bila p a maka pernyataan otomatis berlaku. Bila p a maka mk dg Teorema Fermat diperoleh a p 1 1(mod p). Kalikan kedua ruas dengan a, Akibat ini terbukti. Example Kita akan membuktikan 5 38 4(mod 11). Ambil p = 11, a = 5 5 11 5 10 1(mod 11). Dengan fakta 5 2 3(mod 11) maka diperoleh 5 38 = 5 10 3+8 = (5 10 ) 3 (5 2 ) 4 1 3 4 (mod 11) 4(mod 11).
Uji Primalitas dengan Teorema Fermat Bila kongruensi a n a(mod n) tidak berlaku untuk suatu a maka dipastikan n komposit. Example Misalkan n = 117. Ambil a = 2. Tulis 2 117 = ( 2 7) 16 2 5. Karena 2 7 = 128 11(mod 117) maka berlaku 2 117 11 16 2 5 (121) 8 2 5 4 8 2 5 2 21 (mod 117). Tetapi 2 21 = ( 2 7)3 11 3 = 121 11 4 11 44(mod 117). Akhirnya diperoleh 2 117 44 2(mod 117). Jadi disimpulkan 117 komposit, faktanya 117 = 9 13.