Pertemuan 4 Pengantar Teori Bilangan

Transkripsi

1 INSTITUT PERTANIAN BOGOR FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM Jl. Meranti, Kampus IPB Dramaga, Telp./Fax / Pertemuan 4 Pengantar Teori Bilangan Pembinaan OSN SMA/SMK EFARINA Kabupaten Simalungun 2016

2 Bilangan prima memiliki banyak peranan dalam bidang ilmu komputer, terutama di bidang keamanan informasi. Bilangan prima adalah bilangan bulat positif p > 1 sedemikian sehingga pembagi bilangan tersebut hanya ada tepat 2, yaitu 1 dan p 2

3 Jika suatu bilangan yang lebih besar dari satu bukan bilangan prima, bilangan itu disebut bilangan komposit. Teorema : (Topik Erotosthenes): Untuk setiap bilangan komposit n ada bilangan prima p sehingga p n dan p 3

4 Ada 2 Cara paling umum mengecek Bilangan Prima: Teknik Sieve of Eratosthenes (dengan menggunakan Tabel) Cara lain untuk menguji apakah n merupakan bilangan prima atau komposit, kita cukup membagi n dengan sejumlah bilangan prima, mulai dari 2, 3,, bilangan prima n. Jika n habis dibagi dengan salah satu dari bilangan prima tersebut, maka n adalah bilangan komposit, tetapi jika n tidak habis dibagi oleh semua bilangan prima tersebut, maka n adalah bilangan prima 4

5 Teknik Sieve of Eratosthenes (dengan menggunakan Tabel) Buatlah tabel yang berisi bilangan bulat positif berurutan dari 2 hingga n. Misal p adalah sebuah bilangan bulat yang nilai awalnya ialah 2, yaitu bilangan prima pertama. Mulai dari p tandai bilangan bulat kelipatan dari p (2p, 3p, ) selain p yang ada pada tabel. Kemudian, carilah ganti nilai p dengan nilai terkecil pertama yang lebih besar dari p yang tidak ditandai pada tabel. Jika tidak ada bilangan demikian, maka langkah dihentikan. Jika ada, maka kembali ke langkah ketiga. Bilangan prima yang diperoleh adalah nilai yang tidak ditandai pada tabel. 5

6 Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) FPB dari dua buah bilangan a dan b ialah bilangan d terbesar sedemikian sehingga d merupakan pembagi dari a sekaligus pembagi dari b ( d a dan d b ). Apabila untuk dua bilagan bulat sembarang a dan b sedemikian sehingga FPB(a, b) = 1, kedua bilangan tersebut dikatakan saling prima 6

7 Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) Contoh Berapa FPB dari 45 dan 36? 7

8 Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) Metode Euclid (Algoritma Euclidean) 1. Jika n = 0 maka m adalah PBB(m, n); stop. tetapi jika n 0; lanjutkan ke langkah Bagilah m dengan n dan misalkan r adalah sisanya. 3. Ganti nilai m dengan nilai n dan nilai n dengan nilai r, lalu ulang kembali ke langkah 1. Contoh: m = 80, n = 12 dan dipenuhi syarat m n 8

9 Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) Bezout s Theorem Jika d = gcd(a,b) maka ada x dan y bulat s.r.s, z=ax+by, jika dan hanya jika gcd(a,b) z Contoh: Jika 3 adalah FPB dari 21 dan 12 (FPB(21,12)=3), s.r.s, 3=21x +12y; Dari 3 = FPB(21,12), didapatkan hasilnya adalah: 3 = 21*(3) + 12*(-5) sehingga untuk x= 3 dan y= -5. 9

10 Relatif Prima Bilangan Prima, FPB, KPK dan Dua buah bilangan bulat a dan b dikatakan relatif prima jika FPB(a, b) = 1 Contoh - Apakah 20, dan 3 relative prima? - Apakah 20, dan 5 relative prima? 10

11 KPK Bilangan Prima, FPB, KPK dan KPK(A, B) adalah sebuah bilangan bulat terkecil M sedemikian sehingga A merupakan pembagi dari M dan B merupakan pembagi dari M ( A M dan B M). KPK dapat dicari dengan menggunakan formula berikut: KPK(A, B) = AB FPB(A,B) 11

12 Setiap bilangan bulat positif n > 1 dapat dinyatakan secara unik sebagai: n = p 1 α 1 p 2 α 2 p k α k Dengan p i adalah bilangan prima ke-i dan p k adalah bilangan prima terbesar yang membagi n. Nilai α 1 0. Sebagai contoh: 1000 = =

13 Contoh: Bilangan Prima, FPB, KPK dan Tentukan KPK dari 58 dan 106 menggunakan 13

14 Kerjakan Latihan soal bernomor Ganjil pada modul Anda! 14

15 KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN INSTITUT PERTANIAN BOGOR FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM Jl. Meranti, Kampus IPB Dramaga, Telp./Fax / Sampai bertemu esok hari ^_^ SELESAI 15