Integer (Bilangan Bulat)

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Integer (Bilangan Bulat)"

Hartanti Hartono
7 tahun lalu
Tontonan:

1 Integer (Bilangan Bulat) Learning is not child's play, we cannot learn without pain. Aristotle 1

2 Tipe Data Integer Pada Bahasa Pemrograman Signed (bertanda +/- ) Unsigned (bulat non- negadf) Contoh: Misal suatu Dpe data integer berukuran 16- bit: 1. Jika signed, maka berisi: s/d Jika unsigned, maka berisi: 0 s/d

3 Pembagian Bilangan Bulat a b jika b = ac; c Z; a 0 a habis membagi b Contoh:

4 Teorema Sisa Pembagian (Quo:ent- remainder theorem) Diberikan sembarang bilangan bulat n dan bilangan bulat posidf d, maka ada bilangan bulat unik q dan r dimana: n = dq + r dan 0 < r < d LaDhan: Cari nilai bilangan bulat q dan r jika diketahui: a. n = 54, d = 4 b. n = - 54, d = 4 4

5 div dan mod Diberikan bilangan bulat n dan bilangan bulat posidf d, maka: n div d = q dan n mod d = r n = dq + r dimana q dan r adalah bilangan bulat dan 0 < r < d Contoh: 9 div 4 = 2; 9 mod 4 = 1 5

6 Greatest Common Divisor (1) Misal a dan b adalah bilangan bulat bukan nol, maka gcd(a,b), yaitu d, adalah: 1. d adalah common divisor untuk a dan b. Dengan kata lain: d a dan d b 2. Untuk semua bilangan bulat c, jika c adalah common divisor untuk semua a dan b, maka c lebih kecil atau sama dengan d. Dengan kata lain: Untuk semua bilangan bulat c, jika c a dan c b, maka c < d Contoh: GCD(45,36) = 9; GCD(80,12) = 4; GCD(12,8) = 4 6

7 Greatest Common Divisor (2) Lemma: 1. Jika r adalah bilangan bulat posidf, maka gcd(r,0) = r 2. Jika a dan b adalah bilangan bulat bukan nol, jika q dan r adalah bilangan bulat dimana a = bq + r, maka gcd(a,b) = gcd(b,r) 7

8 Algoritma Euclidean Bagaimana cara efisien dalam mencari GCD? Gunakan algoritma Euclidean. 1. Misal A dan B adalah bilangan bulat dimana A > B > Untuk mencari gcd dari A dan B, pertama cek apakah B = 0. Jika ya, maka gcd (A,B) = A (lihat lemma 1 pada slide sebelumnya). Jika Ddak, gunakan teorema quodent- remainder untuk mencari quodent q dan remainder r. Merujuk lemma 2 pada slide sebelumnya, maka gcd(a,b) = gcd(b, r). 3. Ulangi langkah nomor 2 sampai ditemukan hasil akhir. 8

9 Kongruensi Modulo n Ekivalensi modular: Misal a, b, c adalah sembarang bilangan bulat, dimana n > 1. Pernyataan berikut ini semuanya adalah ekivalen: 1. n (a b) 2. a b(mod n) 3. a = b + kn, dimana k adalah suatu bilangan bulat 4. a dan b memiliki sisa (non negadf) yang sama jika dibagi dengan n 5. a mod n = b mod n 9

10 AritmeDka Modular Misal a, b, c, d, dan n adalah bilangan bulat dengan n > 1 dan ditentukan bahwa a c(mod n) dan b d(mod n) Maka: 1. (a + b) (c + d)(mod n) 2. (a b) (c d)(mod n) 3. ab cd(mod n) 4. a m c m (mod n) untuk semua bilangan bulat m 10

11 Kombinasi Linier Suatu bilangan bulat d dikatakan sebagai kombinasi linier dari bilangan bulat a dan b, jika dan hanya jika ada bilangan bulat s dan t dimana as + bt = d. Menulis gcd dalam bentuk kombinasi linier: Untuk semua bilangan bulat a dan b bukan nol, jika d = gcd(a,b), maka ada bilangan bulat s dan t dimana as + bt = d. LaDhan: Nyatakan gcd(330,156) sebagai kombinasi linier dari 330 dan

12 RelaDf Prima (Coprime) GCD(a, b) = 1 12

13 Keberadaan Inverse Modulo n Untuk semua bilangan bulat a dan n, jika gcd(a,n) = 1, maka ada bilangan bulat s dimana as 1(mod n). Bilangan bulat s tersebut disebut inverse dari a modulo n. Contoh: 1. Tentukan inverse dari 43 modulo 660. (Dengan kata lain, tentukan bilangan bulat s dimana 43s 1(mod 660). 2. Tentukan inverse posidf dari 3 modulo 40. (Dengan kata lain, tentukan bilangan bulat posidf s dimana 3s 1(mod 40). 13

14 Keberadaan Inverse Modulo n Untuk semua bilangan bulat a dan n, jika gcd(a,n) = 1, maka ada bilangan bulat s dimana as 1(mod n). Bilangan bulat s tersebut disebut inverse dari a modulo n. Contoh: 1. Tentukan inverse dari 43 modulo 660. (Dengan kata lain, tentukan bilangan bulat s dimana 43s 1(mod 660). 14

15 Konsep Dasar Kriptografi Kriptografi adalah ilmu yang mempelajari pengiriman pesan rahasia. decryp(on 2 plaintext encryp(on 1 chipertext 15

16 Caesar Chiper A 01 B 02 C 03 D 04 E 05 F 06 G 07 H 08 I 09 J 10 K 11 L 12 M 13 N 14 O 15 P 16 Q 17 R 18 S 19 T 20 U 21 V 22 W 23 X 24 Y 25 Z 26 LaDhan: Gunakan Caesar chiper untuk mengenkripsi teks berikut: AYAS NAKAM OGES 16

17 RSA Cryptography Silahkan baca referensi dari buku teks masing masing secara mandiri. 17

18 Referensi Susanna S.Epp. Discrete Mathema4cs with Applica4ons 4 th Ed. Kenneth H. Rosen. Discrete Mathema4cs and Its Applica4ons 7 th Ed. Rinaldi Munir. Matema4ka Diskrit edisi ke4ga. 18

dokumen-dokumen yang mirip

Matriks, Barisan (sequence), Deret (summa)ons)

Matriks, Barisan (sequence), Deret (summa)ons) Learning is not child's play, we cannot learn without pain. - Aristotle 1 Matriks 2 Aritme=ka Matriks Penjumlahan Syarat: matriks harus berukuran sama Contoh:!