BAHAN AJAR TEORI BILANGAN. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN
|
|
- Leony Santoso
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAHAN AJAR TEORI BILANGAN DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO 2015
2 KATA PENGANTAR ب س م االله الر ح م ن الر ح ي م Segala puji bagi Allah SWT yang telah memberikan kehidupan bagi kita dan memberkahi kita dengan hidayah dan karunia-nya yang begitu melimpah. Shalawat serta salam tetap tercurah kepada Nabi Besar Muhammad SAW yang selalu menjadi panutan untuk kehidupan semua umat Islam. Adapun isi bahan ajar ini meliputi materi Strategi Pembuktian, Keterbagian, Algoritma Pembagian, Kongruensi dan Sistem Residu. Semoga bahan ajar ini dapat memberikan manfaat dalam bidang pendidikan khususnya dalam pembelajaran Teori Bilangan bagi mahasiswa Pendidikan Matematika Metro, September 2015 Penyusun
3 BAB I STRATEGI PEMBUKTIAN Teknik Pembuktian: 1. Pembuktian Langsung 2. Pembuktian Tidak Langsung 2.1 Pembuktian dengan kontraposisi 2.2 Pembuktian dengan kontradiksi 3. Induksi Matematika Teknik Pembuktian Langsung: Misalkan P dan Q merupakan pernyataan-pernyataan. Pernyataan bahwa P dapat mengambil pernyatan P sebagai pernyataan yang diketahui dan pernyataan Q yang akan dibuktikan. Contoh: Jika n suatu bilangan bulat genap, maka suatu bilangan bulat genap! Misalkan n bulat genap, yaitu n = 2k, maka = = karena k bilangan bulat, maka bilangan bulat. Pembuktian Tidak Langsung: Ada 2 tipe dasar dari pembuktian tidak langsung, yaitu : pembuktian dengan kontraposisi dan pembuktian dengan kontradiksi. 1. Pembuktian dengan kontraposisi Dalam pembuktian P kita akan membuktikan dengan kontraposisinya yaitu:
4 Contoh: Jika n suatu bilangan bulat, dan adalah ganjil, maka n adalah ganjil! Akan dibuktikan denga kontraposisi, Andaikan n bukan ganjil, maka n genap yaitu n = 2p Maka = = Karena n genap, maka juga genap. Sehingga terbukti bahwa bukan ganjil. II. Pembuktian dengan kontradiksi Metode pembuktian ini menggunakan pernyataan bahwa jika C suatu kontradiksi, maka pernyataan ekuivalen dengan P Contoh: Misalkan a > 0 merupakan bilangan real. Jika a > 0, maka > 0! Andaikan < 0, maka bernilai negatif. Karena 1 positif, maka a bernilai negatif. Dengan kata lain, a < 0 Maka kontradiksi dengan a > 0. Induksi Matematika: Induksi matematika merupakan metode yang digunakan untuk membangun kevalidan pernyataan yang diberikan dalam istilah-istilah bilangan asli. Prinsip induksi matematika menyatakan bahwa: Misalkan yang mempunyai sifat-sifat : (1)
5 (2) K, maka k + 1 Contoh: Buktikan n = n + n! Untuk n = 1, maka 2 n = n (1 + n) 2. 1 = 1 (1 + 1) 2 = 2 (terbukti) Selanjutnya, asumsikan benar untuk n = k, maka k = k + k Maka akan dibuktikan benar untuk n = k + 1, bukti: k + k + = k + k + k + = k + + 2k + 2 = + 3k + 2 = (k + 1) (k + 2) = (k + 1)[ + k + ] Sehingga terbukti bahwa : n = n + n
6 KETERBAGIAN DEFINISI Suatu bilangan bulat b adalah habis dibagi oleh suatu bilangan bulat jika = dan dituliskan dengan a b. Jika tidak habis dibagi oleh a, maka dituliskan a. a b dibaca a membagi b berarti bahwa a adalah pembagi dari b, dengan kata lain bahwa b adalah kelipatan dari a. Teorema 2.1 (1) maka (2) dan b c maka (3) dan maka + (4) dan maka = (5) maka (6) Pembuktian: (1) maka a b berdasarkan definisi =. Akibatnya berlaku pula bahwa: = =. Karena pada bilangan bulat berlaku sifat tertutup pada perkalian, maka berarti : = berlaku = =. Sehingga berdasarkan definisi: =. Maka dapat disimpulkan bahwa.
7 (2) dan b c maka maka = maka = Sehingga = = = =, dengan = Sehingga berdasarkan definisi terbukti bahwa (3) dan maka + maka = maka = Akibatnya berlaku : = = Sehingga : + = + = + = dengan = + Berdasarkan definisi, maka dapat disimpulkan bahwa : + (4) dan maka = maka = maka = Akibatnya berlaku: = = = atau = =
8 Karena maka = 0 atau =1 Persamaan =1 dipenuhi untuk: = = atau = = Sehingga didapatkan bahwa: = Contoh: Buktikan bahwa merupakan suatu kelipatan dari 169,! Ambil P(n) adalah pernyataan = n. (1) Untuk n =1, maka = = yang berarti dapat dibagi oleh 169. jadi P(n) benar untuk n = 1. (2) Asumsikan benar untuk n = k 1, k >1 diperoleh = k = 169M sehingga untuk n = k, diperoleh: = = + = M k Yang dapat dibagi oleh 169, yang berarti bahwa: P(n) benar untuk n = k. Dari (1) dan (2) disimpulkan terbukti bahwa merupakan suatu kelipatan dari 169,
9 Teorema 2.2 Algoritma Pembagian Jika dengan maka = + Jika, maka r memenuhi ketaksamaan. Dalam situasi ini, q dinamakan hasil bagi, r dinamakan sisa ketika b dibagi a. (i) Adib : = + Untuk dan >0 dapat dibentuk barisan aritmatika:, b 2a,, + yang mempunyai bentuk umum suku adalah. Ambil himpunan S yang anggotanya adalah suku-suku yang tidak negatif, yaitu: S = { } Menurut prinsip urutan, S mempunyai anggota terkecil yaitu r Maka r dapat dinyatakan dalam bentuk r = = + Jadi terbukti = +. (ii) Adib : Andaikan Karena tidak benar. ( tidak negatif), maka Dipihak lain, = = = + = = +
10 Karena dan =, Maka sehingga ( ) merupakan anggota S yang lebih kecil dari. Hal ini kontradiksi dengan pengambilan r sebagai anggota terkecil S. Jadi terbukti bahwa (iii) Adib : q dan r tunggal Andaikan q dan tidak tunggal, yaitu dan memenuhi: = + = + sehingga : + = + + = 0 ( = Yang berarti Dipihak lain dan Berakibat atau Dengan demikian berakibat = 0, sehingga = Dari ( = diperoleh = 0 Karena maka = atau =. Jadi terbukti bahwa q dan r tunggal. Dari (i), (ii), dan (iii) maka terbukti algoritma pembagian. Contoh: 1. Tunjukkan bahwa +, maka = + Berarti r = 0 atau r = 1 (i) Untuk r = 0, berarti = sehingga + = + = { + } = 2k
11 Untuk suatu k = + Karena maka = +. Karena ada k, sehingga + = maka + (ii) Untuk r = 1, berarti = + sehingga + = = = ( + ). ( + = + + = Untuk t = + + Karena = + + Karena ada t, sehingga + = maka + Berdasarkan (i) dan (ii), terbukti bahwa : + 2. Tunjukkan bahwa habis dibagi 8, (i) Untuk n = 1, maka 8,(benar) (ii) Asumsikan benar untuk n = k, 8 Selanjutnya akan dibuktikan untuk n = k + 1 maka : 8 maka = 8 maka = = + Karena n k, maka: 8 = 8 = 8 = 8 9( + ) 1 = = = x + = 8 8(9x + 1) = 8 8m, untuk m = 9x+1 Terbukti bahwa n = k+1 maka 8. Dari (i) dan (ii), terbukti bahwa : habis dibagi 8,
12 KONGRUENSI DEFINISI Jika sebuah bilangan bulat m yang tidak nol, membagi selisih a b, maka dikatakan a kongruen dengan b modulo m, dan ditulis: Jika a b tidak habis dibagi oleh m, maka dikatakan a tidak kongruen dengan b modulo m, dan ditulis: Selanjutnya b dinamakan sisa dari a ketika dibagi oleh m. Contoh: 1. 27, karena (27 2) terbagi oleh , karena (35 6) tidak terbagi 7 Dari definisi dan contoh diatas, dapat dikatakan bahwa: jika m > 0 dan m (a b) maka =. Sehingga, ini sama artinya dengan atau beda antara a dan b merupakan kelipatan m. Jadi dapat juga dinyatakan a = mt + b, yaitu a sama dengan b ditambah kelipatan m. Teorema 3.1 Andaikan a, b, c i. Refleksif, dan m bilangan asli, maka berlaku sifat: ii. Simetris, jika ( ) maka b ( ) iii. Transitif, jika dan b maka a Andaikan a, b, c dan m bilangan asli, maka berlaku sifat:
13 i. Refleksif, ( ) Akan dibuktikan: ( ) Jika m 0 maka m 0, berarti m (a a) Jadi ( ), dan m 0 Cara lain: ( ), sebab a a = 0 dan m 0. ii. Akan dibuktikan: jika ( ) maka b ( ) ( ) berarti m a b, menurut definisi keterbagian: m a b dapat dinyatakan a b = tm, t Jika kedua ruas dikalikan negatif, diperoleh: -(a b) = -tm b a = (-t)m, -t Jadi m b a atau b ( ) Teorema 3.2 Andaikan a, b, c dan m Jika maka + + berarti m (a b) Menurut definisi keterbagian: m a b dapat dinyatakan a b = tm, (a b) + 0 = tm (a +c) (b + c)= tm Jadi m (a + c) (b + c) atau a + c + Teorema 3.3 Andaikan a, b, c dan m
14 Jika maka berarti m (a b) Menurut definisi keterbagian m (a b) dapat dinyatakan: a b = tm, t a b = tm, t (a b)c = (tm)c ac bc = (tc) m Jadi m (ac bc) atau Contoh: 1. Tentukan sisa ketika dibagi oleh 37! Jawab: = 6. = 6. Karena = -1 (mod 37), maka: = 6. = 6 = -6 Jadi = -6 = -43 (mod 37) Sehingga sisa pembagian adalah Apakah dapat dibagi 3? Jawab : Karena 4 = 1 (mod 3) sehingga: = = 1 (mod 3) Jadi dapat dibagi 3 3. Selesaikan 6x ( )? Jawab : 6x = 15 (mod 33) 2x = 5 (mod 11) 2x = 16 (mod 11), x = 8 (mod 11)
15 Sehingga nilai x yang memenuhi adalah 8, 19, 30 Teorema 3.4 Andaikan dan Jika ( )dan c ( ) maka + + ( ) ( ) berarti m a - b c ( ) berarti m c - d Menurut definisi keterbagian: m a b dapat dinyatakan a b = m, m c d dapat dinyatakan c d = m, Jika dijumlahkan, maka diperoleh: (a+c) (b + d) = ( + )m, ( + ) Jadi m (a+c) (b+d) atau + + ( ) Teorema 3.5 Andaikan dan Jika ( ) dan c ( ) maka ( ) ( ) berarti m a - b c ( ) berarti m c - d Menurut definisi keterbagian: m a b dapat dinyatakan a b = m, m c d dapat dinyatakan c d = m, Jika dikurangi, maka diperoleh: (a - c) (b d) = ( )m, ( ) Jadi m (a - c) (b d) atau ( )
16 Teorema 3.6 Andaikan dan Jika ( ) dan d m maka ( ) ( ) berarti m a b Jika m a b dan d m, maka d a b Jadi d a b berarti ( ) Teorema 3.7 Andaikan dan Jika ( ) dan c ( ) maka + + ( ) ( ) berarti m a b ( ) berarti m c d Menurut definisi keterbagian: m a b dapat dinyatakan a b = m, ax bx = ( )m, (a b) x = ( m)x m c d dapat dinyatakan c d = m, (c d) y = ( m)y cy dy = ( )m, Apabila dijumlahkan, diperoleh: ax bx = ( cy dy = ( )m, )m, (ax + cy) (bx + dy) = ( + )m, + Jadi m (ax + cy) (bx + dy) atau a + c b + d (mod m)
17 Contoh: 1. Cari digit terakhir dari! Jawab: = 1 (mod 4) Bagian pangkat: =. 7 =. 7 = 7 = 3 (mod 4) Sehingga dengan definisi algortima pembagian diperoleh : Dipihak lain: = -1 (mod 10) =. 7 = = -7 = 3 (mod 10) = 3 + 4t Sehingga = =. =. 3 (mod 10) Jadi digit terakhir adalah 3. =. 3 (mod 10) = 3 (mod 10) 2. Tentukan bilangan-bilangan kuadrat sempurna di modulo 13! Jawab: Misal bilangan kuadrat tersebut adalah : Karena modulo 13, sehingga = Maka han a akan dipenuhi oleh r = 6. Diamati bahwa : = 0, = 1, = 4, dan = 9 = 3 (mod 13), = 12 (mod 13), dan = 10 (mod 13) Jadi kuadrat sempurna di modulo 13 yaitu, 0, 1, 4, 9, 3, 12, dan 10. Teorema 3.8 Andaikan dan Jika ( ) dan c ( ) maka ( ) ( ) berarti m - b c ( ) berarti m c - d
18 Menurut definisi keterbagian: m a b dapat dinyatakan a b = m, (a b)c = ( m)c ac bc = ( c)m, m c d dapat dinyatakan c d = m, (c d)b = ( m)b bc bd = ( b)m, Dari 1) dan 2) dijumlahkan sehingga didapat : ac bc = ( c)m bc bd = ( b)m ac bd = ( c + b)m, c + b Ini berarti m ac bd atau ac bd (mod m). Teorema 3.9 Andaikan dan Jika ( ) maka ( ) ( ) berarti m b Menurut definisi keterbagian: m a b dapat dinyatakan a b = m, (a b)c = ( m)c ac bc = ( )mc Ini berarti mc ac bc atau ac bc (mod mc).
19 Teorema 3.10 Andaikan dan Jika ( ), maka ( ) untuk n bilangan bulat positif. ( ) berarti m a b Menurut definisi keterbagian: m a b dapat dinyatakan a b = m, Kita kenal bahwa bentuk : = Karena a b a b, maka a b ( ) Ini berarti a b Menurut teorema keterbagian: Jika m a b dan a b, maka m Jadi m atau ( ) Teorema 3.11 Andaikan f suatu polinom dengan koefisien bilangan bulat. Jika ( ), maka f ( ) Andaikan f(x) = Dengan bilangan bulat = maka f(a) = = maka f(b) = Jika kedua dikurangkan, diperoleh: f( ) f(b) = Dengan menerapkan teorema: ( )
20 ( ) dst Dengan menggunakan teorema keterbagian, diperoleh: m Berarti m f( ) f(b) atau f ( ) Contoh: 1. Cari bilangan-bilangan bulat n sedemikian sehingga + 27 dapat dibagi 7! Jawab: Diamati bahwa = 2 = 4 = 1 (mod 7) = 2 (mod 7) = 4 (mod 7) = 1 (mod 7) Selain itu, = 1 (mod 7), Karena itu + 27 = = 0 (mod 7) 2. Tentukan semua penyelesaian tak negatif ( ) di modulo 16 jika = 1599 Jawab: Perlu diamati bahwa semua pangkat 4 sempurna di modulo 16 adalah 0, 1 (mod 16) Ini berarti bahwa Memiliki nilai paling besar adalah 14 (mod 16) Sedangkan 1599 = 15 (mod 16). Jadi terlihat tidak ada penyelesaian tak negatif di modulo 16.
21 SISTEM RESIDU DEFINISI Suatu bilangan bulat dikatakan suatu sistem residu lengkap modulo n jika setiap bilangan bulat kongruen dengan salah satu dari himpunan itu. Atau dengan kata lain Himpunan, dikatakan sistem residu lengkap modulo m, jika sehingga Contoh: Misalkan n = 4. Untuk sembarang bilangan bulat a, akan terdapat sisa tepat satu bilangan bulat q sehingga: a = 4 q a = 4q + 1 atau a = 4q + 2 a = 4q + 3 Hal itu mengatakan bahwa bilangan bulat dapat dibagi ke dalam empat kelas bagian, yaitu: {4q q B} = { -8, - } {4q + 1 q B} = { -7, - } {4q + 2 q B} = { -6, - } {4q + 3 q B} = { -5, - } Karena {0, 1, 2, 3} merupakan semua kemungkinan dari sisa pembagian dengan 4, maka keempat himpunan itu berturut-turut dapat dituliskan dalam pengertian kongruensi sebagai berikut: [0] = {k B k } [1] = {k B k } [2] = {k B k } [3] = {k B k } Perhatikan bahwa untuk setiap bilangan bulat akan tepat berada dalam salah satu himpunan [0], [1], [2] atau [3].
22 Atau dengan kata lain himpunan {0, 1, 2, 3} ini dinamakan sistem residu lengkap modulo 4. Teorema 4.1 Untuk sembarang bilangan bulat a dan b, a ( ) jika dan hanya jika a dan b memiliki sisa yang sama apabila dibagi dengan n. 1) Adib : a ( ) maka a dan b memiliki sisa yang sama apabila dibagi dengan n Misalkan a ( ) dan sisa pembagian b dengan n adalah r, yaitu b = qn + r dengan 0 Akan ditunjukkan bahwa r juga merupakan sisa pembagian dari bilangan bulat a dengan n. Untuk itu, dituliskan a = pn + r a ( ) dengan defini keterbagian diperoleh: a b = kn, k Dipihak lain: b = qn + r, sehingga: a (qn + r) = kn a = kn + qn + r = (k + q)n + r a = (k + q)n + r a = pn + r, dengan p = k + q Ini menunjukkan bahwa sisa pembagian a dengan n sama dengan sisa pembagian b dengan n, yaitu r. Sehingga terbukti: a ( ) maka a dan b memiliki sisa yang sama apabila dibagi dengan n ii) Adib: a dan b memiliki sisa yang sama jika dibagi dengan n, maka a ( )
23 Misalkan a = + dan = + dengan sisa pembagian yang sama yaitu r. maka akan ditunjukkan bahwa a b (mod n). a = + dan = +, jika dikurangkan diperoleh: a b = ( + ) ( + ) = ( a b = ( a b = k n, dengan k = Dengan kata lain bahwa a ( ) Dari i dan ii, disimpulkan bahwa a ( ) jika dan hanya jika a dan b memiliki sisa yang sama apabila dibagi dengan n.
24 1. Buktikan bahwa: LATIHAN n = + 2. Buktikan bahwa: n 1) = 3. Buktikan bahwa : = 4. Buktikan bahwa : selalu habis dibagi oleh 5! 5. Buktikan bahwa! 6. Buktikan maka 7. Buktikan 8. Tunjukkan bahwa 3 n! 9. Buktikan bahwa jika maka 10. Buktikan bahwa jika maka 11. Transitif, jika dan b maka a 12. Buktikan bahwa : 7 ( Selesaikan 26 x = 17 (mod 33)! 14. Buktikan bahwa : 7 ( Cari semua x yang memenuhi persamaan 7 + x = 4 (mod 5)!
BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN
BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO 2015 1 KATA PENGANTAR
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan dibahas konsep-konsep yang mendasari konsep representasi
5 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dibahas konsep-konsep yang mendasari konsep representasi penjumlahan dua bilangan kuadrat sempurna. Seperti, teori keterbagian bilangan bulat, bilangan prima, kongruensi
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bagian ini diterangkan materi yang berkaitan dengan penelitian, diantaranya konsep
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini diterangkan materi yang berkaitan dengan penelitian, diantaranya konsep bilangan bulat, bilangan prima,modular, dan kekongruenan. 2.1 Bilangan Bulat Sifat Pembagian
Lebih terperinciMateri Pembinaan Olimpiade SMA I MAGELANG TEORI BILANGAN
Materi Pembinaan Olimpiade SMA I MAGELANG TEORI BILANGAN Oleh. Nikenasih B 1.1 SIFAT HABIS DIBAGI PADA BILANGAN BULAT Untuk dapat memahami sifat habis dibagi pada bilangan bulat, sebelumnya perhatikan
Lebih terperinci3 TEORI KONGRUENSI. Contoh 3.1. Misalkan hari ini adalah Sabtu, hari apa setelah 100 hari dari sekarang?
Pada bab ini dipelajari aritmatika modular yaitu aritmatika tentang kelas-kelas ekuivalensi, dimana permasalahan dalam teori bilangan disederhanakan dengan cara mengganti setiap bilangan bulat dengan sisanya
Lebih terperinciMODUL PERSIAPAN OLIMPIADE. Oleh: MUSTHOFA
MODUL PERSIAPAN OLIMPIADE Oleh: MUSTHOFA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2007 1 TEORI BILANGAN Dalam teori bilangan, semesta pembicaraan
Lebih terperinciJURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
HANDOUT TEORI BILANGAN MUSTHOFA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2011 1 RELASI KETERBAGIAN Dalam teori bilangan, semesta pembicaraan
Lebih terperinciDisajikan pada Pelatihan TOT untuk guru-guru SMA di Kabupaten Bantul
Disajikan pada Pelatihan TOT untuk guru-guru SMA di Kabupaten Bantul Training of Trainer (TOT) Olimpiade Matematika Tingkat Sekolah Menengah Atas Untuk Guru-guru Sekolah Menengah Atas di Kabupaten Bantul
Lebih terperinciBAB I INDUKSI MATEMATIKA
BAB I INDUKSI MATEMATIKA 1.1 Induksi Matematika Induksi matematika adalah suatu metode yang digunakan untuk memeriksa validasi suatu pernyataan yang diberikan dalam suku-suku bilangan asli. Dalam pembahasan
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Sejak tiga abad yang lalu, pakar-pakar matematika telah menghabiskan banyak waktu untuk mengeksplorasi dunia bilangan prima. Banyak sifat unik dari bilangan prima yang menakjubkan.
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, daerah integral, ring bilangan bulat
Lebih terperinciKeterbagian Pada Bilangan Bulat
Latest Update: March 8, 2017 Pengantar Teori Bilangan (Bagian 1): Keterbagian Pada Bilangan Bulat Muhamad Zaki Riyanto Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Secara umum, apabila α bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada
II. LANDASAN TEORI Pada bilangan ini diterangkan materi yang berkaitan dengan penelitian, diantaranya konsep bilangan sempurna, bilangan bulat, bilangan prima,faktor bilangan bulat dan kekongruenan. 2.1
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. bilangan yang mendukung proses penelitian. Dalam penyelesaian bilangan
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori dalam aljabar dan teori bilangan yang mendukung proses penelitian. Dalam penyelesaian bilangan carmichael akan dibutuhkan definisi
Lebih terperinciBAB II KETERBAGIAN. 1. Mahasiswa bisa memahami pengertian keterbagian. 2. Mahasiswa bisa mengidentifikasi bilangan prima
BAB II KETERBAGIAN 2.1 Pendahuluan Pada pertemuan minggu ke-3, dan 4 ini dibahas konsep keterbagian, algoritma pembagian dan bilangan prima pada bilangan bulat. Relasi keterbagian pada himpunan semua bilangan
Lebih terperinciLANDASAN TEORI. bilangan coprima, bilangan kuadrat sempurna (perfect square), kuadrat bebas
II. LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan prima, bilangan coprima, bilangan kuadrat sempurna (perfect square), kuadrat bebas (square free), keterbagian,
Lebih terperinciDIKTAT KULIAH (2 sks) MX 127 Teori Bilangan
DIKTAT KULIAH ( sks) MX 17 Teori Bilangan (Revisi Terakhir: Juli 009 ) Oleh: Didit Budi Nugroho, S.Si., M.Si. Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana KATA
Lebih terperinciPrestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 009 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 00 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL BAGIAN PERTAMA Disusun oleh : Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 009 Bagian
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Sebelum kita membahas mengenai uji primalitas, terlebih dahulu kita bicarakan beberapa definisi yang diperlukan serta beberapa teorema dan sifat-sifat yang penting dalam teori bilangan
Lebih terperinciTeori bilangan. Nama Mata Kuliah : Teori bilangan Kode Mata Kuliah/SKS : MAT- / 2 sks. Deskripsi Mata Kuliah. Tujuan Perkuliahan.
Nama : Teori bilangan Kode /SKS : MAT- / 2 sks Program Studi : Pendidikan Matematika Semester : IV (Empat) TEORI BILANGAN Oleh : RINA AGUSTINA, M.Pd. NEGO LINUHUNG, M.Pd Mata kuliah ini masih merupakan
Lebih terperinciContoh-contoh soal induksi matematika
Contoh-contoh soal induksi matematika Buktikan bahwa 2 n > n + 20 untuk setiap bilangan bulat n 5. (i) Basis induksi : Untuk n = 5, kita peroleh 2 5 > 5 + 20 adalah suatu pernyataan yang benar. (ii) Langkah
Lebih terperinciBAB I TEORI KETERBAGIAN DALAM BILANGAN BULAT
BAB I TEORI KETERBAGIAN DALAM BILANGAN BULAT. Pendahuluan Well-Ordering Principle Jika S himpunan bagian dari himpunan bilangan bulat positif yang tidak kosong, maka S memiliki sebuah unsur terkecil. Unsur
Lebih terperinciLogika Pembuktian. Matematika Informatika 3 Onggo
Logika Pembuktian Matematika Informatika 3 Onggo Wr @OnggoWr Metode Pembuktian 1. Metode Pembuktian Langsung (Direct Proof) 2. Metode Pembuktian Tak-Langsung (Indirect Proof) a. Proof by Contrapositive
Lebih terperinciTentukan semua bilangan bulat x sedemikian sehingga x 1 (mod 10). Jawab. x 1 (mod 10) jika dan hanya jika x 1 = 10 k untuk setiap k bilangan bulat.
Aritmatika Modular Banyak konsep aritmatika jam dapat digunakan untuk mengerjakan masalah-masalah yang berkenaan dengan kalender. Misalkan, hari minggu pada bulan Juli 2006 jatuh pada tanggal 2, 9, 16,
Lebih terperinciLembar Kerja Mahasiswa 1: Teori Bilangan
Lembar Kerja Mahasiswa 1: Teori Bilangan N a m a : NIM/Kelas : Waktu Kuliah : Kompetensi Dasar dan Indikator: 1. Memahami pengertian faktor dan kelipatan bilangan bulat. a) Menuliskan denisi faktor suatu
Lebih terperinciPengantar Teori Bilangan
Pengantar Teori Bilangan Kuliah 2 2/2/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 1 Materi Kuliah 2 Teori Pembagian dalam Bilangan Bulat Algoritma Pembagian Pembagi Persekutuan Terbesar 2/2/2014 2 Algoritma Pembagian
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA INDUKSI MATEMATIKA
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA INDUKSI MATEMATIKA Latihan 1 1. A. NOTASI SIGMA 1. Pengertian Notasi Sigma Misalkan jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah S n = U 1 + U 2 + U 3 + + U
Lebih terperinciPembahasan OSN Matematika SMA Tahun 2013 Seleksi Tingkat Provinsi. Tutur Widodo. Bagian Pertama : Soal Isian Singkat
Pembahasan OSN Matematika SMA Tahun 013 Seleksi Tingkat Provinsi Tutur Widodo Bagian Pertama : Soal Isian Singkat 1. Diberikan tiga lingkaran dengan radius r =, yang saling bersinggungan. Total luas dari
Lebih terperinciOLIMPIADE MATEMATIKA TINGKAT SEKOLAH MENENGAH ATAS MATERI : TEORI BILANGAN
OLIMPIADE MATEMATIKA TINGKAT SEKOLAH MENENGAH ATAS MATERI : TEORI BILANGAN Disajikan pada Pembimbingan Kompetisi Guru-Guru Matematika dalam pemecahan soal-soal OSN di lingkungan Sekolah Menengah Atas Kota
Lebih terperinciTEOREMA VIETA DAN JUMLAH NEWTON. 1. Pengenalan
TEOREMA VIETA DAN JUMLAH NEWTON TUTUR WIDODO. Pengenalan Sebelum berbicara banyak tentang Teorema Vieta dan Identitas Newton, terlebih dahulu saya beri penjelasan singkat mengenai polinomial. Di sekolah
Lebih terperinciTEORI BILANGAN (3 SKS)
BAHAN AJAR: TEORI BILANGAN (3 SKS) O l e h Drs. La Misu, M.Pd. (Dipakai dalam Lingkungan Sendiri) PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS HALU OLEO KENDARI
Lebih terperinciTEORI BILANGAN Setelah mempelajari modul ini diharapakan kamu bisa :
TEORI BILANGAN Setelah mempelajari modul ini diharapakan kamu bisa : 1 Menggunakan algoritma Euclid untuk menyelesaikan masalah. 2 Menggunakan notasi kekongruenan. 3 Menggunakan teorema Fermat dan teorema
Lebih terperinciRelasi, Fungsi, dan Transformasi
Modul 1 Relasi, Fungsi, dan Transformasi Drs. Ame Rasmedi S. Dr. Darhim, M.Si. M PENDAHULUAN odul ini merupakan modul pertama pada mata kuliah Geometri Transformasi. Modul ini akan membahas pengertian
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses penelitian untuk penyelesaian persamaan Diophantine dengan relasi kongruensi modulo m mengenai aljabar dan
Lebih terperinci1 INDUKSI MATEMATIKA
1 INDUKSI MATEMATIKA Induksi Matematis Induksi matematis merupakan teknik pembuktian yang baku di dalam matematika. Melalui induksi matematis maka dapat mengurangi langkah-langkah pembuktian bahwa semua
Lebih terperinciSOAL 1. Diketahui bangun persegi panjang berukuran 4 6 dengan beberapa ruas garis, seperti pada gambar.
SOAL 1. Diketahui bangun persegi panjang berukuran 4 dengan beberapa ruas garis, seperti pada gambar. Dengan menggunakan ruas garis yang sudah ada, tentukan banyak jajar genjang tanpa sudut siku-siku pada
Lebih terperinciOSN MATEMATIKA SMA Hari 1 Soal 1. Buktikan bahwa untuk sebarang bilangan asli a dan b, bilangan. n = F P B(a, b) + KP K(a, b) a b
OSN MATEMATIKA SMA Hari 1 Soal 1. Buktikan bahwa untuk sebarang bilangan asli a dan b, bilangan adalah bilangan bulat genap tak negatif. n = F P B(a, b + KP K(a, b a b Solusi. Misalkan d = F P B(a, b,
Lebih terperinciPembahasan OSN Matematika SMA Tahun 2013 Seleksi Tingkat Nasional Tutur Widodo
Tutur Widodo OSN Matematika SMA 01 Pembahasan OSN Matematika SMA Tahun 01 Seleksi Tingkat Nasional Tutur Widodo 1. Diketahui bangun persegi panjang berukuran 4 6 dengan beberapa ruas garis, seperti pada
Lebih terperinciPERANAN SISTEM MODULO DALAM PENENTUAN HARI DAN PASARAN
PERANAN SISTEM MODULO DALAM PENENTUAN HARI DAN PASARAN Agung Handayanto a a Program Studi Pendidikan Matematika FPMIPA IKIP PGRI Jl. Dr. Cipto-Lontar No1 Semarang Telp. (024)8316377 Faks (024) 8448217
Lebih terperinciSELEKSI OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2007 TINGKAT PROVINSI TAHUN Prestasi itu diraih bukan didapat!!!
SELEKSI OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 007 TINGKAT PROVINSI TAHUN 006 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL Bidang Matematika Bagian Pertama Disusun oleh : Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi
Lebih terperinciR. Rosnawati Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY
R. Rosnawati Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Induksi Matematika Induksi matematika adalah : Salah satu metode pembuktian untuk proposisi perihal bilangan bulat Induksi matematika merupakan teknik
Lebih terperinciBAB VI BILANGAN REAL
BAB VI BILANGAN REAL PENDAHULUAN Perluasan dari bilangan cacah ke bilangan bulat telah dibicarakan. Dalam himpunan bilangan bulat, pembagian tidak selalu mempunyai penyelesaian, misalkan 3 : 11. Timbul
Lebih terperinciDAFTAR ISI 3 TEORI KONGRUENSI 39 4 TEOREMA FERMAT DAN WILSON 40
DAFTAR ISI 1 TEORI KETERBAGIAN 1 1.1 Algoritma Pembagian............................. 2 1.2 Pembagi persekutuan terbesar........................ 5 1.3 Algoritma Euclides.............................. 12
Lebih terperinci2 BILANGAN PRIMA. 2.1 Teorema Fundamental Aritmatika
Bilangan prima telah dikenal sejak sekolah dasar, yaitu bilangan yang tidak mempunyai faktor selain dari 1 dan dirinya sendiri. Bilangan prima memegang peranan penting karena pada dasarnya konsep apapun
Lebih terperinciTeori Bilangan (Number Theory)
Bahan Kuliah ke-3 IF5054 Kriptografi Teori Bilangan (Number Theory) Disusun oleh: Ir. Rinaldi Munir, M.T. Departemen Teknik Informatika Institut Teknologi Bandung 2004 3. Teori Bilangan Teori bilangan
Lebih terperinciSistem Bilangan Real
TUGAS I ANALISIS REAL I Sistem Bilangan Real Tugas 1 Analisis Real I Disusun oleh : Nariswari Setya D. Kartini Marvina Puspito M0108022 M0108050 M0108056 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU
Lebih terperinci[RUMUS CEPAT MATEMATIKA]
http://meetabied.wordpress.com SMAN Bone-Bone, Luwu Utara, Sul-Sel Kesalahan terbesar yang dibuat manusia dalam kehidupannya adalah terus-menerus merasa takut bahwa mereka akan melakukan kesalahan (Elbert
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,
3 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, ideal, daerah integral, ring quadratic.
Lebih terperinci1. Ubahlah pernyataan ke dalam berikut ke dalam bentuk Jika p maka q.
Diskusi Kelompok (I) Waktu: 100 menit Selasa, 23 September 2008 Pengajar: Hilda Assiyatun, Djoko Suprijanto 1. Ubahlah pernyataan ke dalam berikut ke dalam bentuk Jika p maka q. (a) Mahasiswa perlu membawakan
Lebih terperinciPEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT PROPINSI 2012 OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI 2 MALANG)
PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT PROPINSI 0 OLEH :SAIFUL ARIF, S.Pd (SMP NEGERI MALANG) PEMBAHASAN SOAL OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP A. ISIAN SINGKAT SELEKSI TINGKAT PROPINSI TAHUN 0 BIDANG STUDI
Lebih terperinciPembahasan Soal OSK SMA 2018 OLIMPIADE SAINS KABUPATEN/KOTA SMA OSK Matematika SMA. (Olimpiade Sains Kabupaten/Kota Matematika SMA)
Pembahasan Soal OSK SMA 018 OLIMPIADE SAINS KABUPATEN/KOTA SMA 018 OSK Matematika SMA (Olimpiade Sains Kabupaten/Kota Matematika SMA) Disusun oleh: Pak Anang Pembahasan Soal OSK SMA 018 OLIMPIADE SAINS
Lebih terperinci1 TEORI KETERBAGIAN. Jadi himpunan bilangan asli dapat disajikan secara eksplisit N = { 1, 2, 3, }. Himpunan bilangan bulat Z didenisikan sebagai
1 TEORI KETERBAGIAN Bilangan 0 dan 1 adalah dua bilangan dasar yang digunakan dalam sistem bilangan real. Dengan dua operasi + dan maka bilangan-bilangan lainnya didenisikan. Himpunan bilangan asli (natural
Lebih terperinciMA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun
MA3231 Pengantar Analisis Real Semester II, Tahun 2016-2017 Hendra Gunawan, Ph.D. Tentang Mata Kuliah MA3231 Mata kuliah ini merupakan mata kuliah wajib bagi mahasiswa program studi S1 Matematika, dengan
Lebih terperinciPENERAPAN FAKTOR PRIMA DALAM MENYELESAIKAN BENTUK ALJABAR (Andi Syamsuddin*)
PENERAPAN FAKTOR PRIMA DALAM MENYELESAIKAN BENTUK ALJABAR (Andi Syamsuddin*) A. Faktor Prima Dalam tulisan ini yang dimaksud dengan faktor prima sebuah bilangan adalah pembagi habis dari sebuah bilangan
Lebih terperinciHimpunan dan Fungsi. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Himpunan dan Fungsi Dr Rizky Rosjanuardi P PENDAHULUAN ada modul ini dibahas konsep himpunan dan fungsi Pada Kegiatan Belajar 1 dibahas konsep-konsep dasar dan sifat dari himpunan, sedangkan pada
Lebih terperinciBIDANG MATEMATIKA SMA
MATERI PENGANTAR OLIMPIADE SAINS NASIONAL BIDANG MATEMATIKA SMA DISUSUN OLEH: TIM PEMBINA OLIMPIADE MATEMATIKA TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA Juli 009 KATA PENGANTAR Olimpiade Sains Nasional (OSN)
Lebih terperinciPrestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL
"We are the first of the fastest online solution of mathematics" 009 SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 008 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 009 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL Bidang
Lebih terperinciPERKONGRUENAN POLINOMIAL MODULO m
PERKONGRUENAN POLINOMIAL MODULO m Nunung Fajar Kusuma Program Studi Pendidikan Matematika Pasca Sarjana Universitas Sebelas Maret Jl. Ir. Sutami 36A Kentingan Jebres Surakarta, e-mail: nfjar@yahoo.com
Lebih terperinciPERSAMAAN KUADRAT. AC 0 P DAN Q SAMA TANDA. 2. DG. MELENGKAPKAN BENTUK KUADRAT ( KUADRAT SEMPURNA ) :
PERSAMAAN KUADRAT. AC 0 P DAN Q SAMA TANDA.. DG. MELENGKAPKAN BENTUK KUADRAT ( KUADRAT SEMPURNA ) : Bab 3 PERSAMAAN KUADRAT 1. Bentuk Umum : ax bx c 0, a 0, a, b, c Re al Menyelesaikan persamaan kuadrat
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu
BAB IV RELASI DAN FUNGSI Tujuan Instruksional Umum Mahasiswa memahami pengertian relasi, relasi ekuivalen, hasil ganda suatu relasi, relasi invers, relasi identitas, pengertian fungsi, bayangan invers
Lebih terperinciSELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2009 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2010
Dapatkan soal-soal lainnya di http://forum.pelatihan-osn.com SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 2009 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 2010 Waktu : 210 Menit DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT
Lebih terperincin suku Jadi himpunan bilangan asli dapat disajikan secara eksplisit N = { 1, 2, 3, }. Himpunan bilangan bulat Z didenisikan sebagai
Contents 1 TEORI KETERBAGIAN 2 1.1 Algoritma Pembagian............................. 3 1.2 Pembagi persekutuan terbesar......................... 6 1.3 Algoritma Euclides............................... 11
Lebih terperinciPERSAMAAN KUADRAT. Persamaan. Sistem Persamaan Linear
Persamaan Sistem Persamaan Linear PENGERTIAN Definisi Persamaan kuadrat adalah kalimat matematika terbuka yang memuat hubungan sama dengan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2. Bentuk umum
Lebih terperinciBeberapa Uji Keterbagian Bilangan Bulat
Beberapa Uji Keterbagian Bilangan Bulat Untuk menguji suatu bilangan bulat dapat dibagi (habis dibagi) atau tidak dapat dibagi oleh bilangan bulat lain kita dapat menggunakan kalkulator atau dengan metode
Lebih terperinciPrestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT PROVINSI 015 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 016 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL BAGIAN PERTAMA Disusun oleh : Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 015
Lebih terperinciBAB 4. TEOREMA FERMAT DAN WILSON
BAB 4. TEOREMA FERMAT DAN WILSON 1 Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo June 11, 2012 Metoda Faktorisasi Fermat (1643) Biasanya pemfaktoran n melalui tester, yaitu faktor
Lebih terperinciabcde dengan a, c, e adalah bilangan genap dan b, d adalah bilangan ganjil? A B C D E. 3000
Hal. 1 / 7 METHODIST-2 EDUCATION EXPO LOMBA SAINS PLUS ANTAR PELAJAR TINGKAT SMA SE-SUMATERA UTARA TAHUN 2015 BIDANG WAKTU : MATEMATIKA : 120 MENIT PETUNJUK : 1. Pilihlah jawaban yang benar dan tepat.
Lebih terperinciMA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 9-10 METODE KONTRADIKSI & METODE KONTRAPOSISI (c) Hendra Gunawan (2015) 2 Metode Pembuktian Lainnya Pada bab-bab sebelumnya kita telah
Lebih terperinci1 SISTEM BILANGAN REAL
Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita belum tahu apa-apa tentang
Lebih terperinciPOLINOM (SUKU BANYAK) Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah.
POLINOM (SUKU BANYAK) Standar Kompetensi: Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar: 1. Menggunakan algoritma pembagian suku banyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa
Lebih terperinciSILABUS MATEMATIKA KEMENTERIAN
SILABUS OLIMPIADE MATEMATIKA INTERNASIONAL UNTUK SELEKSI OLIMPIADE SAINS NASIONAL TINGKAT KABUPATEN/KOTA, PROVINSI, DAN NASIONAL MATEMATIKA KEMENTERIAN Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Direktorat
Lebih terperinciSetelah mengikuti materi Bab ini mahasiswa diharapkan mampu: 2. Mendefinisikan factor persekutuan, kelipatan persekutuan, FPB, dan KPK.
BAB II KETERBAGIAN PENDAHULUAN A. Deskripsi Singkat Mata Kuliah Mata kuliah ini dimaksudkan untuk memberikan kemampuan pada mahasiswa untuk belajar bukti matematika. Materi dalam mata kuliah ini sangat
Lebih terperinciBAB V RELASI DAN FUNGSI
BAB V RELASI DAN FUNGSI 6.1 Pendahuluan Relasi atau hubungan antara himpunan merupakan suatu aturan pengawasan antar himpunan tersebut, sebagai contohnya kalimat adalah ayah b atau kalimat 4 habis diabgi
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. Musik dan matematika berkaitan satu sama lain secara kompleks. Matematika
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Kaitan Matematika Dengan Musik Musik dan matematika berkaitan satu sama lain secara kompleks. Matematika memiliki beberapa persamaan dengan musik, Sedikit orang yang berbakat untuk
Lebih terperinciNama Mata Kuliah : Teori Bilangan Kode Mata Kuliah/SKS : MAT- / 2 SKS
Nama Mata Kuliah : Teori Bilangan Kode Mata Kuliah/SKS : MAT- / 2 SKS Program Studi : Pendidikan Matematika Semester : IV (Empat) Oleh : Nego Linuhung, M.Pd Aritmetika Modulo Misalkan a adalah bilangan
Lebih terperinciSUKU BANYAK. Secara umum sukubanyak atau polinom dalam berderajat dapat ditulis dalam bentuk berikut:
SUKU BANYAK A. Pengertian Suku Banyak Secara umum sukubanyak atau polinom dalam berderajat dapat ditulis dalam bentuk berikut: Dinamakan suku banyak (polinom) dalam yang berderajat dengan bilangan cacah
Lebih terperinci1 SISTEM BILANGAN REAL
Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita belum tahu apa-apa tentang
Lebih terperinciTeorema Faktor. Misalkan P (x) suatu polynomial, (x k) merupakan faktor dari P (x) jika dan hanya jika P (k) = 0
Teorema faktor adalah salah satu teorema pada submateri polynomial. Teorema ini cukup terkenal dan sangat berguna untuk menyelesaikan soal - soal baik level sekolah maupun soal level olimpiade. Berikut
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat dari Grup Faktor
BAB 5 GRUP FAKTOR Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat dari Grup Faktor Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan
Lebih terperinciMenyelesaikan Persamaan Kuadrat. 3. Rumus ABC ax² + bx + c = 0 X1,2 = ( [-b ± (b²-4ac)]/2a. Kemungkinan Jenis Akar Ditinjau Dari Nilai Diskriminan
Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Bentuk umum : ax² + bx + c = 0 x variabel; a,b,c konstanta ; a 0 Menyelesaikan persamaan kuadrat berarti mencari harga x yang memenuhi persamaan kudrat (PK) tersebut (disebut
Lebih terperinciMA5032 ANALISIS REAL
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 16, 2011 Pada bab ini anda diasumsikan telah mengenal dengan cukup baik bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. terkait dengan pokok bahasan. Berikut ini diberikan pengertian-pengertian dasar
4 II. TINJAUAN PUSTAKA Untuk melakukan penelitian ini terlebih dahulu harus memahami konsep yang terkait dengan pokok bahasan. Berikut ini diberikan pengertian-pengertian dasar yang menunjang dan disajikan
Lebih terperinciPEMBAHASAN OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT KABUPATEN TAHUN 2018 PROVINSI SULAWESI SELATAN
PEMBAHASAN OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT KABUPATEN TAHUN 08 PROVINSI SULAWESI SELATAN 0. Pada suatu data terdapat 5 bilangan bulat positif. Bilangan terbesar pada data tersebut adalah 55. Median dari data
Lebih terperinciPERANGKAT PEMBELAJARAN
PERANGKAT PEMBELAJARAN MATA KULIAH : TEORI BILANGAN KODE : MKK206515 DOSEN : JANUAR BUDI ASMARI, S.Pd. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS VETERAN BANGUN
Lebih terperinciSTRATEGI PENYELESAIAN MASALAH (PROBLEM SOLVING STRATEGIES) EDDY HERMANTO
STRATEGI PENYELESAIAN MASALAH (PROBLEM SOLVING STRATEGIES) EDDY HERMANTO Strategi Penyelesaian Masalah Beberapa Strategi Penyelesaian Masalah : 1. Membuat daftar Yang Teratur 2. Memisalkan Dengan Suatu
Lebih terperinciBAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang
Pertemuan 2. BAHAN AJAR ANALISIS REAL Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 0. Bilangan Real 0. Bilangan Real sebagai bentuk desimal Pada pembahasan berikutnya kita diasumsikan telah mengetahui dengan
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. yang mendasari pembahasan pada bab-bab berikutnya. Beberapa definisi yang
BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi, penjelasan, dan teorema yang mendasari pembahasan pada bab-bab berikutnya. Beberapa definisi yang diberikan diantaranya adalah definisi
Lebih terperinciPENDAHULUAN INDUKSI MATEMATIKA Di dalam Matematika, sebuah pernyataan atau argumen dan bahkan sebuah rumus sekalipun tidak hanya sekedar dibaca.
PENDAHULUAN INDUKSI MATEMATIKA Di dalam Matematika, sebuah pernyataan atau argumen dan bahkan sebuah rumus sekalipun tidak hanya sekedar dibaca. Karena hampir semua rumus dan hukum yang berlaku tidak tercipta
Lebih terperinciSUKU BANYAK. A. Teorema Sisa 1) F(x) = (x b) H(x) + S, maka S = F(b) 2) F(x) = (ax b) H(x) + S, maka S = F( a
SUKU BANYAK A. Teorema Sisa 1) F(x) = (x b) H(x) + S, maka S = F(b) 2) F(x) = (ax b) H(x) + S, maka S = F( a b ) 3) F(x) : [(x a)(x b)], maka S(x) = (x a)s 2 + S 1, dengan S 2 adalah sisa pembagian pada
Lebih terperinciPENGAPLIKASIAN KONGRUEN LANJAR UNTUK MENCARI SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR, CHINESE REMAINDER THEOREM, DAN UJI DIGIT ISBN.
PENGAPLIKASIAN KONGRUEN LANJAR UNTUK MENCARI SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR, CHINESE REMAINDER THEOREM, DAN UJI DIGIT ISBN Skripsi Oleh: Novian Saputra JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
Lebih terperinciMetode pembuktian untuk proposisi yang berkaitan dengan bilangan bulat adalah induksi matematik.
Induksi Matematika Metode pembuktian untuk proposisi yang berkaitan dengan bilangan bulat adalah induksi matematik. Contoh: 1. Buktikan bahwa jumlah n bilangan bilangan bulat positif pertama adalah n(n
Lebih terperinciAPOTEMA: Jurnal Pendidikan Matematika. Volume 2, Nomor 2 Juli 2016 p ISSN BILANGAN SEMPURNA GENAP DAN KEPRIMAAN BI LANGAN MERSENNE
APOTEMA: Jurnal Pendidikan Matematika Volume 2 Nomor 2 Juli 2016 p 63-75 ISSN 2407-8840 BILANGAN SEMPURNA GENAP DAN KEPRIMAAN BI LANGAN MERSENNE Moh Affaf Prodi Pendidikan Matematika STKIP PGRI BANGKALAN
Lebih terperinci(a) 32 (b) 36 (c) 40 (d) 44
Halaman:. Jika n = 8, maka n0 n bernilai... (a) kurang dari 00 (b) (d) lebih dari 00. Penumpang suatu pesawat terdiri dari anak-anak dari berbagai negara, 6 orang dari Indonesia yang termasuk dari anak-anak
Lebih terperinciOSN 2014 Matematika SMA/MA
Soal 1. Bilangan-bilangan 1,2,..., 9 akan ditempatkan ke dalam papan catur berukuran 3 3. Mungkinkah bilangan-bilangan ini ditempatkan sehingga setiap dua persegi yang bertetangga, baik secara vertikal
Lebih terperinciBerapakah nilai a? a. 25. d. 25 b. 15. e. 15 c. 10. Penyelesaian: Berarti bahwa 1, 3, 5, 7 dan 9 adalah akar-akar persamaan polinomial g(x) = 0.
KOMPETISI MATEMATIKA 07 TINGKAT SMA SE-SULUT SOLUSI BABAK SEMI FINAL Rabu, Februari 07 . Misalkan f(x) = x 5 + ax 4 + bx 3 + cx + dx + c dan f() = f(3) = f(5) = f(7) = f(9). Berapakah nilai a? a. 5 d.
Lebih terperinciDiktat Kuliah. Oleh:
Diktat Kuliah TEORI GRUP Oleh: Dr. Adi Setiawan UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2015 Kata Pengantar Aljabar abstrak atau struktur aljabar merupakan suatu mata kuliah yang menjadi kurikulum nasional
Lebih terperinciPENGANTAR TOPOLOGI. Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si EDISI PERTAMA UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015
PENGANTAR TOPOLOGI EDISI PERTAMA Dosen Pengampu: Siti Julaeha, M.Si UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2015 by Matematika Sains 2012 UIN SGD, Copyright 2015 BAB 0. HIMPUNAN, RELASI, FUNGSI,
Lebih terperinci1.Tentukan solusi dari : Rubrik Penskoran :
1.Tentukan solusi dari : 1 7 1 Rubrik Penskoran : Skor Kriteria Langkah langkah untuk membentuk persamaan kuadrat telah benar. 4 Langkah pemfaktoran telah benar. (jika digunakan) Terdapat dua solusi yang
Lebih terperinciHIMPUNAN MAHASISWA MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS GADJAH MADA SEKIP UTARA UNIT III BULAKSUMUR P.O.
HIMPUNAN MAHASISWA MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS GADJAH MADA SEKIP UTARA UNIT III BULAKSUMUR P.O. BOX BLS 2 YOGYAKARTA5528 lmnas@ugm.ac.id http://lmnas.fmipa.ugm.ac.id
Lebih terperinciMatematika Diskrit. Reza Pulungan. March 31, Jurusan Ilmu Komputer Universitas Gadjah Mada Yogyakarta
Matematika Diskrit Reza Pulungan Jurusan Ilmu Komputer Universitas Gadjah Mada Yogyakarta March 31, 2011 Teori Bilangan (Number Theory) Keterbagian (Divisibility) Pada bagian ini kita hanya akan berbicara
Lebih terperinci