KATA PENGANTAR. Yogyakarta, November Penulis

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "KATA PENGANTAR. Yogyakarta, November Penulis"

Transkripsi

1 KATA PENGANTAR Puji syukur penulis panjatkan kepada Alloh SWT atas anugrah yang diberikan sehingga penulisan Buku Diktat yang dilengkapi dengan Rencana Program Kegiatan Pembelajaran Semester (RPKPS) dan Rencana Kegiatan Pembelajaran Mingguan ini dapat terselesaikan dengan baik. Tidak lupa penulis mengucapkan terima kasih kepada Rektor UGM, Kepala P3 UGM, Dekan FMIPA UGM dan Ketua Jurusan Matematika yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk ikut andil dalam pengembangkan mutu proses pembelajaran, dengan kegiatan ini. Rencana Program Kegiatan Pembelajaran Semester (RPKPS) dan Buku Diktat ini ditulis dengan tujuan agar proses persiapan dan proses pembelajaran dalam bidang Teori Bilangan sebagai dasar matematika analisis dan matematika diskrit bisa lebih optimal, yang pada akhirnya dapat menghasilkan lulusan matematika yang lebih berkualitas dan mampu berpikir sistematis dalam menyelesaikan masalah di dunia nyata. Untuk lebih menyempurnakan RPKPS dan Diktat ini penulis sangat mengharapkan kritik dan masukan dari sesama tenaga pengajar matematika dan para pembaca. Yogyakarta, November 2013 Penulis

2 DAFTAR ISI KATA PENGANTAR RENCANA KEGIATAN PEMBELAJARAN MINGGUAN DAFTAR ISI halaman i BAB I HIMPUNAN BILANGAN BULAT Pendahuluan Sistem Bilangan Asli Relasi Urutab Himpunan Bilangan Bulat 8 BAB II KETERBAGIAN Pendahuluan Keterbagian Algoritma Pembagian Bilangan Prima 17 BAB III FAKTORISASI PRIMA Pendahuluan Teorema Fundamental Aritmatik Banyak Faktor Jumlah Faktor 31 BAB IV FAKTOR PERSEKUTUAN DAN KELIPATAN PERSEKUTUAN Pendahuluan Faktor Persekutuan Terbesar Algoritma Euclid Identitas Bezout Kelipatan Persekutuan Terkecil 40 BAB V KEKONGRUENAN Pendahuluan Kekongruenan Kelas Residu Teorema Kecil Fermat dan Teorema Euler 51 BAB VI PERSAMAAN LINEAR DIOPHANTINE Pendahuluan Persamaan Linear Diophantine Teorema Frobenius 62 BAB VII SISTEM NUMERIK DAN FUNGSI TANGGA Pendahuluan Sistem Numerik Kriteria Keterbagian pada Sistem Desimal Fungsi Tangga Pangkat Tertingi 84 ii ix

3 BAB VIII HHIMPUNAN BILANGAN RASIONAL Pendahuluan Konstruksi Sistem Bilangan Rasional Relasi Urutan 103 CONTOH SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER DAN UJIAN AKHIR 108 DAFTAR PUSTAKA 116

4 1.1 Pendahuluan BAB I HIMPUNAN BILANGAN BULAT Seiring dengan perkembangan budaya masyarakat dibutuhkan alat komunikasi yang bisa menjelaskan banyaknya benda-benda di kehidupan sehari-hari. Alat komunikasi tersebut tersimbolkan dalam bentuk angka-angka, yang menjabarkan konsep bilangan. Topik ini sangat bermanfaat bagi mahasiswa untuk mengenal salah satu dasar matematika yaitu bilangan dan ladasan pengkonstruksiannya. Setelah mempelajari topik bahasan pada pertemuan minggu ke-1 dan 2 yang meliputi 1. Konstruksi sistem bilangan asli 2. Sifat-sifat bilangan asli 3. Kontruksi sistem bilangan bulat ini secara tuntas diharapkan memiliki learning Outcomes berupa: 1. Mahasiswa mampu menjelaskan pengertian sistem bilangan asli 2. Mahasiswa mampu membuktikan sifat-sifat bilangan asli 3, Mahasiswa mampu mengkonstruksi sistem bilangan bulat sebagai perluasan sistem bilangan asli 1.2 Sistem Bilangan Asli Sebelum membicarakan sistem bilangan bulat, sebagai langkah awal terlebih dulu akan dipaparkan konsep bilangan asli. Definisi Diketahui N himpunan yang memuat 1 dan dilengkapi operasi biner + pada N. Jika (N, +) memenuhi: 1. ( n N)n ( n, m N)(m + 1 = n + 1 m = n) 3. ( n, m N)(m + n) + 1 = m + (n + 1) 1

5 4. Untuk setiap G N, jika G dan 4.2 n G n + 1 G, maka G = N, maka N disebut sistem bilangan asli (himpunan bilangan asli). Selanjutnya setiap n N disebut bilangan asli. Dari sistem aksioma di atas dapat dikonstruksi: 1 + N 1 := 2, (1+ N ) + N 1 := 3, ((1 + N 1) + N 1) + N 1 := 4,.... Teorema Bukti: Dari definisi 3 3 = (1 + 1) (1 + 1) = (1 + 1) + 1 Aksioma = 3 Definisi 2 dan 3 Latihan 1.1 Buktikan pernyataan-pernyataan berikut ini! = = Berdasarkan aksiomatika dapat diturunkan teorema berikut ini. Teorema 1.2 Untuk setiap n N berlaku n + 1 n. Bukti: Dibentuk G = {n n N, n + 1 n}. jelas G N. Berdasar A (Aksioma) 1, 1+1 1, sehingga 1 G. Misalkan n G, yaitu n+1 n. Namun berdasarkan A2, (n + 1) + 1 n + 1, sehingga n + 1 G; dan sesuai A4, G = N. Akibatnya untuk semua n N berlaku n G. Jadi n + 1 n untuk setiap n N.. Sifat berikutnya yang dapat diturunkan berdasarkan sistem aksiomatika himpunan N beserta operasi + adalah sifat asosiatif. 2

6 Teorema 1.3 Untuk setiap x, y, z N memenuhi (x + y) + z = x + (y + z). Bukti: Diambil sebarang x, y N. Pembuktian dengan induksi matematika dikenakan pada z dengan membentuk G = {z z N, (x + y) + z = x + (y + z)} Berdasarkan A3, diperoleh z = 1 G. x + (y + z) = (x + y) + z. Dimisalkan benar untuk z G, yaitu x + (y + (n + 1)) = x + ((y + n) + 1) x + ((y + n) + 1) = (x + (y + n)) + 1 (x + (y + n)) + 1 = ((x + y) + n) + 1 x + (y + (n + 1)) = ((x + y) + n) + 1 ((x + y) + n) + 1 = (x + y) + (n + 1) x + (y + (n + 1)) = (x + y) + (n + 1) Akibatnya n+1 G. Sesuai A4, G = N, sehingga untuk setiap z N, (x+y)+z = x + (y + z) Sifat berikut yang berlaku terhadap operasi + adalah komutatif. Untuk itu diperlukan lemma berikut ini sebagai landasar. Lemma 1.4 Untuk setiap n N, n + 1 = i + n. Bukti: Dibentuk G = {n n N, n+1 = n+1}. Jelas G N. Karena 1+1 = 1+1, maka 1 G. Selanjutnya dimisalkan n G, yang berarti n + 1 = 1 + n. Akibatnya (n + 1) + 1 = (1 + n) + 1, sehingga n + 1 G; dan berdasarkan A4, G = N. Teorema 1.5 Untuk setiap n, m N berlaku n + m = m + n. Bukti: Diambil sebarang n N. Dibentuk G = {m m N, n+m = m+n}. Jelas G N. Selain itu menurut Lemma1.2.1, 1 G. Selanjutnya dimisalkan m G. Berarti n + m = m + n. (n + m) + 1 = (m + n) + 1 n + (m + 1) = m + (n + 1) = m + (1 + n) = (m + 1) + n 3

7 Akibatnya m + 1 G, sehingga menurut A4, G = N. Dengan kata lain untuk setiap m N, n + m = m + n.. Teorema 1.6 (Sifat Kanselatif) Dalam sistem bilangan N berlaku sifat kanselatif kiri dan kanan: 1. Untuk setiap x, y, z N, (x + z = y + z) (x = y) 2. Untuk setiap x, y, z N, (x + z = x + y) (z = y) Bukti: Hanya dibuktikan untuk 1. Sifat 2 dijadikan latihan. Bukti menggunakan kontraposisinya, yaitu x y x + z y + z Diambil sebarang x dan y N, dengan x y. Dibentuk G = {z z N, x + z y + z}. Karena x y jelas x + 1 y + 1 Dimisalkan z G, dengan kata lain x + z y + z. Akibatnya x + (z + 1) = (x + z) + 1 (y + z) + 1 = y + (z + 1) sehingga z + 1 G. Sesuai A4, dapat disimpulkan G = N, sehingga untuk setiap x, y N, jika x y, maka x + z y + z untuk setiap z N. Latihan 1.2 Untuk setiap x, y, z, w N buktikan: 1. x + y y 2. Teorema 1.6, bagian 2 3. (x + z) + (y + u) = (y + (x + u)) + z 1.3 Relasi Urutan Dalam sistem bilangan asli N dapat dikonstruksi relari urutan dengan menggunakan sifat-sifat operasi +. Untuk itu perlu dikaji terlebih dulu sifat elementer berikut ini. Teorema 1.7 Untuk masing-masing n N {1}, dapat ditemukan m N yang memenuhi n = m

8 Bukti: Dibentuk G = {1, n n N, ( m N)n = m + 1}. Jelas 1 G N. Dimisalkan n G, berarti n = 1 atau n = m + 1 untuk suatu m N. Jika n = 1, maka n + 1 = Akibatnya n + 1 G, karena terdapat m = 1 sehingga n + 1 = m + 1. Jika n = m + 1 untuk suatu m N, maka n + 1 = (m + 1) + 1 Jelas m + 1 N, akibatnya n + 1 G. Sesuai A4, maka G = N.. Teorema 1.8 Untuk setiap x, y N, berlaku tepat satu pernyataan: 1. x = y 2. ( u N)x + u = y 3. ( u N)y + v = x Bukti: Untuk Latihan Berdasarkan Teorema 1.8 dapat diturunkan relasi urutan pada N. Definisi Untuk setiap x, y N didefinisikan x < y ( u N)x + u = y Selanjutnya didefinisikan x > y jika dan hanya jika y < y. Contoh < = 3, 4 < = 7, 1 < 1 + n Teorema 1.9 Untuk setiap x, y N berlaku tepat hanya satu x = y atau x < y atau x > y. Bukti: Langsung Teorema 1.8 Teorema 1.10 Untuk setiap x, y N berlaku 1. Jika x < y dan y < z, maka x < z 2. x x 5

9 3. x = 1 atau 1 < x 4. x < x + y 5. Jika x < y, maka x < y + z 1. Jika x + z < y, maka x < y Bukti: Hanya akan dibuktikan untuk 1. Diketahui x < y dan y < z. Maka dapat ditemukan u, v N, sehingga y = x + u dan z = y + v sehingga z = y + v = (x + u) + v = x + (u + v), dengan u + v N. Akibatnya x < z.. Sifat berikutnya yang dihasilkan dari relasi urutan pada N dinyatakan dalam teorema berikut ini. Teorema 1.11 Untuk setiap x, y, z N berlaku 1. Jika x < y, maka x + z < y + z 2. Jika x < y, maka z + x < z + y 3. Jika x + z < y + z, maka x < y 4. Jika z + x < z + y, maka x < y Bukti: Hanya akan dibuktikan untuk 1. No 2, 3, dan 4 dibuktikan di kelas menjadi bahan presentasi. Karena x < y, maka dapat ditemukan u N sehingga x + u = y. Akibatnya (x + z) + u = x + (z + u) = x + (u + z) = (x + u) + z = y + z Dengan kata lain x + z < y + z. Selanjutnya, dengan memanfaatka relasi < dapat didefinisikan operasi pengurangan antara dua bilangan asli yang berbeda. Meskipun operasi ini tidak berlaku untuk semua pasangan bilangan asli, namun fenomena yang muncul dari operasi tersebut sangat berperan dalam sistem yang lebih luas. 6

10 Definisi Untuk setiap x < y di N terdapat dengan tunggal u N yang memenuhi x + u = y. Elemen tunggal yang memenuhi kondisi tersebut ditulis dengan u = y x. Contoh Karena 4 < 6, dan = 6, maka sesuai definisi 2 = 6 4. Sebaliknya karena 6 4, maka tidak dapat didefinisikan 4 6 di N. Teorema 1.12 Untuk setiap x, y N, 1. Jika x < y, maka y = x + (y x) 2. Jika z + y = x, maka y = x z 3. Jika z < x dan y = x z, maka y + z = x 4. Jika y < x, maka untuk setiap z < y berlaku y z < x Bukti: Hanya untuk 2. Untuk 1, 3, dan 4 digunakan untuk latihan. Karena z + y = x, berarti y < x. Menggunakan sifat 1, diperoleh x = z + (x z). Namun karena bilangan u N yang memenuhi z + u = x tunggal, maka y = x z. Selanjutnya akan dibahas operasi perkalian dua buah bilangan asli. Definisi Pada himpunan bilangan asli N terdapat dengan tunggal pemetaan α : N N N yang memenuhi α(1, x) = x, α(x + 1, y) = f(x, y) + y untuk setiap x, y N. Untuk selanjutnya ditulis α(x, y) = xy. Contoh Sebagai contoh diambil 4 5 = α(3 + 1, 5) = α(3, 5) + 5 = α(2, 5) = Secara umum m n = n + n + + n sebanyak m suku. Teorema 1.13 Untuk setiap x, y N berlaku 1 y = y dan (x + 1)y = (xy) + y. 7

11 Bukti: Langsung dari definisi. Dengan mendasarkan pada sifat-sifat jumlahan dan perkalian bilangan asli, dapat diturunkan sifat-sifat bilangan asli yang selama ini telah dikenal baik mulai dari tingkat SD, SMP, dan SMA. Bebarapa sifat di antaranya sifat distributif kiri dan kanan antara jumlahan dan perkalian, sifat asosiatif dan komutatif terhadap perkalian, sifat kanselatif perkalian, compatible perkalian pada relasi urutan dan distributifitas perkalian terhadap pengurangan. Latihan 1.3 Dengan menggunakan sifat-sifat yang sudah dibuktikan dan pengetahuan SMA selesaikan soal-soal berikut ini 1. Buktikan Teorema Buktikan Teorema Buktikan Teorema Buktikan sifat komutatif, asosiatif, dan kanselatif bilangan asli terhadap perkalian 5. Buktikan bahwa operasi perkalian compatible terhadap relasi urutan. 1.4 Himpunan Bilangan Bulat Solusi dari persamaan x + n = y untuk x, y N yang diberikan, belum tentu bisa diperoleh di N. Solusi n N, hanya bisa diperoleh untuk y > x. Untuk persamaan 5 + n = 3, solusi n bukan elemen N. Untuk itu diperlukan himpunan X yang merupakan perluasan N, sehingga persamaan tersebut selalu bisa ditemukan solusinya. Definisi Diketahui N himpunan semua bilangan asli. Diambil N sebarang himpunan yang berbeda semua elementnya sehingga N N = dan σ : N N pemetaan bijektif. Jadi N = {σ(n) n N}. Selanjutnya diambil 0 N N. Z : Himpunan Z = {0} N N yang dilengkapi dengan operasi biner + Z dan 8

12 1. Untuk semua u, v Z, didefinisikan u + Z v salah satu dari; untuk masingmasing a, b N: 1.1 a + Z b = a + N b 1.2 σ(a) + Z σ(b) = σ(a + N b) 1.3 a + Z σ(b) = a N b, jika a > b, = σ(b N a), jika b > a = 0, jika b = a 1.4 σ(a) + Z b = b + Z σ(a) 1.5 u + Z 0 = u = 0 + Z u 2. Untuk semua u, v Z, didefinisikan u Z v salah satu dari; untuk masingmasing a, b N: 1.1 a Z b = a N b 1.2 σ(a) Z σ(b) = σ(a N b) 1.3 a Z σ(b) = σ(a N b) 1.4 σ(a) Z b = σ(a Z b) 1.5 u Z 0 = 0 = 0 Z u Berdasarkan definisi di atas dapat dipastikan bahwa (Z, + Z, Z) merupakan perluasan dari sistem bilangan asli (N, + N, N). Struktur Z merupakan struktur bilangan bulat yang sudah dikenal baik, sehingga semua sifat yang melekat pada sistem bilangan bulat menggunakan asiomatika tersebut di atas ekuvalen dengan sifat-sifat himpunan bilangan bulat yang klasik. Termasuk semua terminologi, seperti habis membagi, faktor persekutuan, algoritma pembagian, dan kongruensi. Latihan 1.4 Dengan menggunakan sistem aksiomatika bilangan bulat dan sifatsifat yang sudah di kenal dalam teori bilangan biasa selesaikanlah beberapa masalah berikut ini: 1. Buktikan sifat komutatif terhadap jumlahan dan perkalian berlaku. 2. Buktikan, bahwa sifat asositif berlaku untuk operasi jumlahan maupun perkalian 9

13 3. Terhadap operasi perkalian, buktikan bahwa operasi jumlahan bersifat distributi, 4. Jika didefinisikan relasi pada Z dengan definisi untuk setiap a, b Z, a b, jika dan hanya jika terdapat u N sehingga a + u = b, buktikan bahwa merupakan relasi urutan, yang memenuhi (, y Z)(x y x = y y x) berlaku tepat satu keadaan. Materi Pengayaan 1. Dapat di lihat pada website: 2. Untuk diskusi dengan anak-anak berbakat di bidang matematika silahkan akses 10

Teori bilangan. Nama Mata Kuliah : Teori bilangan Kode Mata Kuliah/SKS : MAT- / 2 sks. Deskripsi Mata Kuliah. Tujuan Perkuliahan.

Teori bilangan. Nama Mata Kuliah : Teori bilangan Kode Mata Kuliah/SKS : MAT- / 2 sks. Deskripsi Mata Kuliah. Tujuan Perkuliahan. Nama : Teori bilangan Kode /SKS : MAT- / 2 sks Program Studi : Pendidikan Matematika Semester : IV (Empat) TEORI BILANGAN Oleh : RINA AGUSTINA, M.Pd. NEGO LINUHUNG, M.Pd Mata kuliah ini masih merupakan

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. terkait dengan pokok bahasan. Berikut ini diberikan pengertian-pengertian dasar

II. TINJAUAN PUSTAKA. terkait dengan pokok bahasan. Berikut ini diberikan pengertian-pengertian dasar 4 II. TINJAUAN PUSTAKA Untuk melakukan penelitian ini terlebih dahulu harus memahami konsep yang terkait dengan pokok bahasan. Berikut ini diberikan pengertian-pengertian dasar yang menunjang dan disajikan

Lebih terperinci

BAB VIII HIMPUNAN BILANGAN RASIONAL

BAB VIII HIMPUNAN BILANGAN RASIONAL 8.1 Pendahuluan BAB VIII HIMPUNAN BILANGAN RASIONAL Pada sistem bilangan bulat, bentuk persamaan yang melibatkan perkalian belum tentu memiliki solusi. Keadaan ini juga ditemui pada kasus pembagian sebuah

Lebih terperinci

BAB VIII HIMPUNAN BILANGAN RASIONAL

BAB VIII HIMPUNAN BILANGAN RASIONAL 8.1 Pendahuluan BAB VIII HIMPUNAN BILANGAN RASIONAL Pada sistem bilangan bulat, bentuk persamaan yang melibatkan perkalian belum tentu memiliki solusi. Keadaan ini juga ditemui pada kasus pembagian sebuah

Lebih terperinci

TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses

TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses penelitian untuk penyelesaian persamaan Diophantine dengan relasi kongruensi modulo m mengenai aljabar dan

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bagian ini diterangkan materi yang berkaitan dengan penelitian, diantaranya konsep

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bagian ini diterangkan materi yang berkaitan dengan penelitian, diantaranya konsep II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini diterangkan materi yang berkaitan dengan penelitian, diantaranya konsep bilangan bulat, bilangan prima,modular, dan kekongruenan. 2.1 Bilangan Bulat Sifat Pembagian

Lebih terperinci

BAB II KETERBAGIAN. 1. Mahasiswa bisa memahami pengertian keterbagian. 2. Mahasiswa bisa mengidentifikasi bilangan prima

BAB II KETERBAGIAN. 1. Mahasiswa bisa memahami pengertian keterbagian. 2. Mahasiswa bisa mengidentifikasi bilangan prima BAB II KETERBAGIAN 2.1 Pendahuluan Pada pertemuan minggu ke-3, dan 4 ini dibahas konsep keterbagian, algoritma pembagian dan bilangan prima pada bilangan bulat. Relasi keterbagian pada himpunan semua bilangan

Lebih terperinci

G a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.

G a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan. 2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,

Lebih terperinci

DIKTAT KULIAH (2 sks) MX 127 Teori Bilangan

DIKTAT KULIAH (2 sks) MX 127 Teori Bilangan DIKTAT KULIAH ( sks) MX 17 Teori Bilangan (Revisi Terakhir: Juli 009 ) Oleh: Didit Budi Nugroho, S.Si., M.Si. Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana KATA

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. yang mendasari pembahasan pada bab-bab berikutnya. Beberapa definisi yang

BAB II LANDASAN TEORI. yang mendasari pembahasan pada bab-bab berikutnya. Beberapa definisi yang BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi, penjelasan, dan teorema yang mendasari pembahasan pada bab-bab berikutnya. Beberapa definisi yang diberikan diantaranya adalah definisi

Lebih terperinci

II. SISTEM BILANGAN RIIL. Handout Analisis Riil I (PAM 351)

II. SISTEM BILANGAN RIIL. Handout Analisis Riil I (PAM 351) II. SISTEM BILANGAN RIIL Handout Analisis Riil I (PAM 351) Sifat Aljabar (Aksioma Lapangan) dari Bilangan Riil Bagian ini akan membicarakan struktur aljabar bilangan riil dengan terlebih dahulu memberikan

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan dibahas konsep-konsep yang mendasari konsep representasi

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan dibahas konsep-konsep yang mendasari konsep representasi 5 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dibahas konsep-konsep yang mendasari konsep representasi penjumlahan dua bilangan kuadrat sempurna. Seperti, teori keterbagian bilangan bulat, bilangan prima, kongruensi

Lebih terperinci

Pengantar Teori Bilangan

Pengantar Teori Bilangan Pengantar Teori Bilangan Kuliah 2 2/2/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 1 Materi Kuliah 2 Teori Pembagian dalam Bilangan Bulat Algoritma Pembagian Pembagi Persekutuan Terbesar 2/2/2014 2 Algoritma Pembagian

Lebih terperinci

DAFTAR ISI. HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN...

DAFTAR ISI. HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN... DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN... 1 A. LATAR BELAKANG MASALAH... 1 B. PEMBATASAN MASALAH... 2 C.

Lebih terperinci

WOLFRAM-ALPHA PADA TEORI BILANGAN

WOLFRAM-ALPHA PADA TEORI BILANGAN WOLFRAM-ALPHA PADA TEORI BILANGAN T - 7 Nanang Program Studi Pendidikan Matematika STKIP Garut na2ngdr.64@gmail.com Abstrak Kemajuan teknologi informasi dan komunikasi (TIK) saat ini telah dimanfaatkan

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan autokomutator yang akan digunakan dalam penelitian. Pada bagian pertama ini akan dibahas tentang teori

Lebih terperinci

BILANGAN CACAH. b. Langkah 1: Jumlahkan angka satuan (4 + 1 = 5). tulis 5. Langkah 2: Jumlahkan angka puluhan (3 + 5 = 8), tulis 8.

BILANGAN CACAH. b. Langkah 1: Jumlahkan angka satuan (4 + 1 = 5). tulis 5. Langkah 2: Jumlahkan angka puluhan (3 + 5 = 8), tulis 8. BILANGAN CACAH a. Pengertian Bilangan Cacah Bilangan cacah terdiri dari semua bilangan asli (bilangan bulat positif) dan unsur (elemen) nol yang diberi lambang 0, yaitu 0, 1, 2, 3, Bilangan cacah disajikan

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, daerah integral, ring bilangan bulat

Lebih terperinci

Penulis : Rahmad AzHaris. Copyright 2013 pelatihan-osn.com. Cetakan I : Oktober Diterbitkan oleh : Pelatihan-osn.com

Penulis : Rahmad AzHaris. Copyright 2013 pelatihan-osn.com. Cetakan I : Oktober Diterbitkan oleh : Pelatihan-osn.com Penulis : Rahmad AzHaris Copyright 2013 pelatihan-osn.com Cetakan I : Oktober 2012 Diterbitkan oleh : Pelatihan-osn.com Kompleks Sawangan Permai Blok A5 No.12 A Sawangan, Depok, Jawa Barat 16511 Telp.

Lebih terperinci

UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta

UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN I MODUL ATAS RING Direncanakan

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. bilangan yang mendukung proses penelitian. Dalam penyelesaian bilangan

II. TINJAUAN PUSTAKA. bilangan yang mendukung proses penelitian. Dalam penyelesaian bilangan II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori dalam aljabar dan teori bilangan yang mendukung proses penelitian. Dalam penyelesaian bilangan carmichael akan dibutuhkan definisi

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, 3 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, ideal, daerah integral, ring quadratic.

Lebih terperinci

BAB I INDUKSI MATEMATIKA

BAB I INDUKSI MATEMATIKA BAB I INDUKSI MATEMATIKA 1.1 Induksi Matematika Induksi matematika adalah suatu metode yang digunakan untuk memeriksa validasi suatu pernyataan yang diberikan dalam suku-suku bilangan asli. Dalam pembahasan

Lebih terperinci

Pemfaktoran prima (2)

Pemfaktoran prima (2) FPB dan KPK Konsep Habis Dibagi Definisi: Jika a suatu bilangan asli dan b suatu bilangan bulat, maka a membagi habis b (dinyatakan dengan a b) jika dan hanya jika ada sebuah bilangan bulat c demikian

Lebih terperinci

Identitas, bilangan identitas : adalah bilangan 0 pada penjumlahan dan 1 pada perkalian.

Identitas, bilangan identitas : adalah bilangan 0 pada penjumlahan dan 1 pada perkalian. Glosarium A Akar pangkat dua : akar pangkat dua suatu bilangan adalah mencari bilangan dari bilangan itu, dan jika bilangan pokok itu dipangkatkan dua akan sama dengan bilangan semula; akar kuadrat. Asosiatif

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN BULAT

SISTEM BILANGAN BULAT SISTEM BILANGAN BULAT A. Bilangan bulat Pengertian Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0. Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil

Lebih terperinci

2 BILANGAN PRIMA. 2.1 Teorema Fundamental Aritmatika

2 BILANGAN PRIMA. 2.1 Teorema Fundamental Aritmatika Bilangan prima telah dikenal sejak sekolah dasar, yaitu bilangan yang tidak mempunyai faktor selain dari 1 dan dirinya sendiri. Bilangan prima memegang peranan penting karena pada dasarnya konsep apapun

Lebih terperinci

SISTEM BILANGAN REAL

SISTEM BILANGAN REAL SISTEM BILANGAN REAL Materi : 1.1 Pendahuluan Sistem Bilangan Real adalah himpunan bilangan real yang disertai dengan operasi penjumlahan dan perkalian sehingga memenuhi aksioma tertentu, ini merupakan

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI Sebelum kita membahas mengenai uji primalitas, terlebih dahulu kita bicarakan beberapa definisi yang diperlukan serta beberapa teorema dan sifat-sifat yang penting dalam teori bilangan

Lebih terperinci

PENGANTAR PADA TEORI GRUP DAN RING

PENGANTAR PADA TEORI GRUP DAN RING Handout MK Aljabar Abstract PENGANTAR PADA TEORI GRUP DAN RING Disusun oleh : Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc, Ph.D e-mail: antoniuscp.ilkom@unej.ac.id Staf Pengajar Pada Program Studi Sistem

Lebih terperinci

Diktat Kuliah. Oleh:

Diktat Kuliah. Oleh: Diktat Kuliah TEORI GRUP Oleh: Dr. Adi Setiawan UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2015 Kata Pengantar Aljabar abstrak atau struktur aljabar merupakan suatu mata kuliah yang menjadi kurikulum nasional

Lebih terperinci

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar: UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB / POKOK BAHASAN

Lebih terperinci

Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama)

Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama) Sistem Bilangan Kompleks (Bagian Pertama) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemuan Minggu I) Outline 1 Pendahuluan 2 Pengertian

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. Secara umum, apabila α bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada

II. LANDASAN TEORI. Secara umum, apabila α bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada II. LANDASAN TEORI Pada bilangan ini diterangkan materi yang berkaitan dengan penelitian, diantaranya konsep bilangan sempurna, bilangan bulat, bilangan prima,faktor bilangan bulat dan kekongruenan. 2.1

Lebih terperinci

Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian. grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep

Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian. grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep GRUP Bab ini merupakan awal dari bagian pertama materi utama perkuliahan Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep

Lebih terperinci

KATA PENGANTAR. Rantauprapat,11 April Penyusun

KATA PENGANTAR. Rantauprapat,11 April Penyusun KATA PENGANTAR Puji syukur kami panjatkan atas kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena atas berkat rahmat-nya lah dan hidayah-nya jualah penulisan makalah ini dapat selesai dengan tepat waktu. Makalah ini

Lebih terperinci

Soal-soal Latihan Pra UTS MATDAS. 1. Periksalah apakah argumen berikut valid secara logis atau tidak? p q q. ( p)

Soal-soal Latihan Pra UTS MATDAS. 1. Periksalah apakah argumen berikut valid secara logis atau tidak? p q q. ( p) Soal-soal Latihan Pra UTS MATDAS 1. Periksalah apakah argumen berikut valid secara logis atau tidak? p q p q q ( p) p 2. Periksalah apakah argumen berikut valid secara logis atau tidak? r s r t t r s 3.

Lebih terperinci

R maupun. Berikut diberikan definisi ruang vektor umum, yang secara eksplisit

R maupun. Berikut diberikan definisi ruang vektor umum, yang secara eksplisit BAB I RUANG EKTOR UMUM Dalam bab ini akan dipelajari tentang konsep ruang vektor umum, sub ruang vektor dan sifat-sifatnya. Pada pembicaraan ini, para mahasiswa dianggap sudah mengenal konsep dan sifat

Lebih terperinci

Pembagi Persekutuan Terbesar dan Teorema Bezout

Pembagi Persekutuan Terbesar dan Teorema Bezout Latest Update: March 10, 2017 Pengantar Teori Bilangan (Bagian 3): Pembagi Persekutuan Terbesar dan Teorema Bezout M. Zaki Riyanto Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga

Lebih terperinci

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar: UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN

Lebih terperinci

1 INDUKSI MATEMATIKA

1 INDUKSI MATEMATIKA 1 INDUKSI MATEMATIKA Induksi Matematis Induksi matematis merupakan teknik pembuktian yang baku di dalam matematika. Melalui induksi matematis maka dapat mengurangi langkah-langkah pembuktian bahwa semua

Lebih terperinci

B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN. Bilangan Kompleks. Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner)

B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN. Bilangan Kompleks. Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner) 1 B I L A N G A N 1.1 SKEMA DARI HIMPUNAN BILANGAN Bilangan Kompleks Bilangan Nyata (Riil) Bilangan Khayal (Imajiner) Bilangan Rasional Bilangan Irrasional Bilangan Pecahan Bilangan Bulat Bilangan Bulat

Lebih terperinci

BAB II TEORI DASAR. untuk setiap e G. 4. G mengandung balikan. Untuk setiap a G, terdapat b G sehingga a b =

BAB II TEORI DASAR. untuk setiap e G. 4. G mengandung balikan. Untuk setiap a G, terdapat b G sehingga a b = BAB II TEORI DASAR 2.1. Group Misalkan operasi biner didefinisikan untuk elemen-elemen dari himpunan G. Maka G adalah grup dengan operasi * jika kondisi di bawah ini terpenuhi : 1. G tertutup terhadap.

Lebih terperinci

PENGERTIAN RING. A. Pendahuluan

PENGERTIAN RING. A. Pendahuluan Pertemuan 13 PENGERTIAN RING A. Pendahuluan Target yang diharapkan dalam pertemuan ke 13 ini (pertemuan pertama tentang teori ring) adalah mahasiswa dapat : a. membedakan suatu struktur aljabar merupakan

Lebih terperinci

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:

UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar: UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN

Lebih terperinci

II. KONSEP DASAR GRUP. abstrak (abstract algebra). Sistem aljabar (algebraic system) terdiri dari suatu

II. KONSEP DASAR GRUP. abstrak (abstract algebra). Sistem aljabar (algebraic system) terdiri dari suatu II KONSEP DASAR GRUP Suatu cabang matematika yang mempelajari struktur aljabar dinamakan aljabar abstrak abstract algebra Sistem aljabar algebraic system terdiri dari suatu himpunan obyek satu atau lebih

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Grup Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar dari suatu ring dan modul. Definisi 2.1.1 Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang

Lebih terperinci

PERANGKAT PEMBELAJARAN

PERANGKAT PEMBELAJARAN PERANGKAT PEMBELAJARAN MATA KULIAH : TEORI BILANGAN KODE : MKK206515 DOSEN : JANUAR BUDI ASMARI, S.Pd. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS VETERAN BANGUN

Lebih terperinci

BAB III INDUKSI MATEMATIKA

BAB III INDUKSI MATEMATIKA 3.1 Pendahuluan BAB III INDUKSI MATEMATIKA Dalam bidang matematika tidak jarang ditemui pola-pola induktif yang melibatkan himpunan indeks berupa himpunan bilangan asli atau bulat seperti barisan atau

Lebih terperinci

PENGANTAR GRUP. Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang

PENGANTAR GRUP. Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang PENGANTAR GRUP Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com March 18, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Pengantar Grup 3 3 Sifat-sifat Grup

Lebih terperinci

UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA F A K U L T A S M I P A

UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA F A K U L T A S M I P A Fakultas : FMIPA Program Studi : Pendidikan Matematika Mata Kuliah/Kode : Teori Bilangan MAT 212 Jumlah SKS : Teori= 2 sks; Praktek= - Semester : Genap Mata Kuliah Prasyarat/kode : Logika dan Himpunan,

Lebih terperinci

SEKILAS TENTANG KONSEP. dengan grup faktor, dan masih banyak lagi. Oleh karenanya sebelum

SEKILAS TENTANG KONSEP. dengan grup faktor, dan masih banyak lagi. Oleh karenanya sebelum Bab I. Sekilas Tentang Konsep Dasar Grup antonius cp 2 1. Tertutup, yakni jika diambil sebarang dua elemen dalam G maka hasil operasinya juga akan merupakan elemen G dan hasil tersebut adalah tunggal.

Lebih terperinci

BAB III INDUKSI MATEMATIKA

BAB III INDUKSI MATEMATIKA BAB III INDUKSI MATEMATIKA BAB III INDUKSI MATEMATIKA 3.1 Pendahuluan Dalam bidang matematika tidak jarang ditemui pola-pola induktif yang melibatkan himpunan indeks berupa himpunan bilangan asli atau

Lebih terperinci

STRUKTUR ALJABAR 1. Winita Sulandari FMIPA UNS

STRUKTUR ALJABAR 1. Winita Sulandari FMIPA UNS STRUKTUR ALJABAR 1 Winita Sulandari FMIPA UNS Pengantar Struktur Aljabar Sistem Matematika terdiri dari Satu atau beberapa himpunan Satu atau beberapa operasi yg bekerja pada himpunan di atas Operasi-operasi

Lebih terperinci

Lembar Kerja Mahasiswa 1: Teori Bilangan

Lembar Kerja Mahasiswa 1: Teori Bilangan Lembar Kerja Mahasiswa 1: Teori Bilangan N a m a : NIM/Kelas : Waktu Kuliah : Kompetensi Dasar dan Indikator: 1. Memahami pengertian faktor dan kelipatan bilangan bulat. a) Menuliskan denisi faktor suatu

Lebih terperinci

Pengantar Teori Bilangan

Pengantar Teori Bilangan Pengantar Teori Bilangan I Bilangan Bulat dan Operasinya Pembekalan dan pemahaman dasar tentang bentuk bilangan pada suatu kelompok/set/himpunan salah satunya adalah bilangan bulat (yang lazim disebut

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI Sejak tiga abad yang lalu, pakar-pakar matematika telah menghabiskan banyak waktu untuk mengeksplorasi dunia bilangan prima. Banyak sifat unik dari bilangan prima yang menakjubkan.

Lebih terperinci

BAB VI BILANGAN REAL

BAB VI BILANGAN REAL BAB VI BILANGAN REAL PENDAHULUAN Perluasan dari bilangan cacah ke bilangan bulat telah dibicarakan. Dalam himpunan bilangan bulat, pembagian tidak selalu mempunyai penyelesaian, misalkan 3 : 11. Timbul

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Untuk mencapai tujuan penulisan penelitian diperlukan beberapa pengertian dan teori yang berkaitan dengan pembahasan. Dalam subbab ini akan diberikan beberapa teori berupa definisi,

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi

BAB I PENDAHULUAN. Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi 1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi dengan aksioma dan suatu operasi biner. Teori grup dan ring merupakan konsep yang memegang

Lebih terperinci

R. Rosnawati Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY

R. Rosnawati Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY R. Rosnawati Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Induksi Matematika Induksi matematika adalah : Salah satu metode pembuktian untuk proposisi perihal bilangan bulat Induksi matematika merupakan teknik

Lebih terperinci

Grup Permutasi dan Grup Siklis. Winita Sulandari

Grup Permutasi dan Grup Siklis. Winita Sulandari Grup Permutasi dan Grup Siklis Winita Sulandari Grup Permutasi Suatu Permutasi dari suatu himpunan berhingga S yang tidak kosong, dinyatakan sebagai suatu pemetaan bijektif dari himpunan S pada dirinya

Lebih terperinci

Bilangan Prima dan Teorema Fundamental Aritmatika

Bilangan Prima dan Teorema Fundamental Aritmatika Pembaharuan Terakhir: 28 Maret 2017 Pengantar Teori Bilangan (Bagian 5): Bilangan Prima dan Teorema Fundamental Aritmatika M. Zaki Riyanto Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan

Lebih terperinci

GLOSSARIUM. A Akar kuadrat

GLOSSARIUM. A Akar kuadrat A Akar kuadrat GLOSSARIUM Akar kuadrat adalah salah satu dari dua faktor yang sama dari suatu bilangan. Contoh: 9 = 3 karena 3 2 = 9 Anggota Himpunan Suatu objek dalam suatu himpunan B Belahketupat Bentuk

Lebih terperinci

Materi Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2016 Jenjang SD:

Materi Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2016 Jenjang SD: Materi Olimpiade Matematika Vektor Nasional 2016 Jenjang SD: 1. Bilangan dan Operasinya 2. Kelipatan dan Faktor 3. Angka Romawi, Pecahan dan Skala 4. Perpangkatan dan Akar 5. Waktu, Kecepatan, dan Debit

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini dituliskan beberapa aspek teoritis sebagai landasan teori dalam penelitian ini yaitu teori bilangan, bilangan bulat modulo?, struktur aljabar dan masalah logaritma

Lebih terperinci

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN

BAHAN AJAR TEORI BILANGAN. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN BAHAN AJAR TEORI BILANGAN DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO 2015 KATA PENGANTAR ب

Lebih terperinci

BAB II DASAR TEORI. membahas tentang penerapan skema tanda tangan Schnorr pada pembuatan tanda

BAB II DASAR TEORI. membahas tentang penerapan skema tanda tangan Schnorr pada pembuatan tanda BAB II DASAR TEORI Pada Bab II ini akan disajikan beberapa teori yang akan digunakan untuk membahas tentang penerapan skema tanda tangan Schnorr pada pembuatan tanda tangan digital yang meliputi: keterbagian

Lebih terperinci

METODE SOLOVAY-STRASSEN UNTUK PENGUJIAN BILANGAN PRIMA

METODE SOLOVAY-STRASSEN UNTUK PENGUJIAN BILANGAN PRIMA Buletin Ilmiah Mat Stat dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No 1 (2015), hal 85 94 METODE SOLOVAY-STRASSEN UNTUK PENGUJIAN BILANGAN PRIMA Sari Puspita, Evi Noviani, Bayu Prihandono INTISARI Bilangan prima

Lebih terperinci

PENDAHULUAN INDUKSI MATEMATIKA Di dalam Matematika, sebuah pernyataan atau argumen dan bahkan sebuah rumus sekalipun tidak hanya sekedar dibaca.

PENDAHULUAN INDUKSI MATEMATIKA Di dalam Matematika, sebuah pernyataan atau argumen dan bahkan sebuah rumus sekalipun tidak hanya sekedar dibaca. PENDAHULUAN INDUKSI MATEMATIKA Di dalam Matematika, sebuah pernyataan atau argumen dan bahkan sebuah rumus sekalipun tidak hanya sekedar dibaca. Karena hampir semua rumus dan hukum yang berlaku tidak tercipta

Lebih terperinci

ALTERNATIF MENENTUKAN FPB DAN KPK

ALTERNATIF MENENTUKAN FPB DAN KPK ALTERNATIF MENENTUKAN FPB DAN KPK Welly Desriyati 1, Mashadi 2, Sri Gemawati 3 1 Mahasiswa Program Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau wellydesriyati@gmail.com

Lebih terperinci

ORDER UNSUR DARI GRUP S 4

ORDER UNSUR DARI GRUP S 4 Jurnal Matematika UNAND Vol. VI No. 1 Hal. 142 147 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND ORDER UNSUR DARI GRUP S 4 FEBYOLA, YANITA, MONIKA RIANTI HELMI Program Studi Matematika, Fakultas Matematika

Lebih terperinci

LANDASAN TEORI. bilangan coprima, bilangan kuadrat sempurna (perfect square), kuadrat bebas

LANDASAN TEORI. bilangan coprima, bilangan kuadrat sempurna (perfect square), kuadrat bebas II. LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan prima, bilangan coprima, bilangan kuadrat sempurna (perfect square), kuadrat bebas (square free), keterbagian,

Lebih terperinci

MODUL PERSIAPAN OLIMPIADE. Oleh: MUSTHOFA

MODUL PERSIAPAN OLIMPIADE. Oleh: MUSTHOFA MODUL PERSIAPAN OLIMPIADE Oleh: MUSTHOFA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2007 1 TEORI BILANGAN Dalam teori bilangan, semesta pembicaraan

Lebih terperinci

1 SISTEM BILANGAN REAL

1 SISTEM BILANGAN REAL Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita belum tahu apa-apa tentang

Lebih terperinci

3 TEORI KONGRUENSI. Contoh 3.1. Misalkan hari ini adalah Sabtu, hari apa setelah 100 hari dari sekarang?

3 TEORI KONGRUENSI. Contoh 3.1. Misalkan hari ini adalah Sabtu, hari apa setelah 100 hari dari sekarang? Pada bab ini dipelajari aritmatika modular yaitu aritmatika tentang kelas-kelas ekuivalensi, dimana permasalahan dalam teori bilangan disederhanakan dengan cara mengganti setiap bilangan bulat dengan sisanya

Lebih terperinci

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA HANDOUT TEORI BILANGAN MUSTHOFA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2011 1 RELASI KETERBAGIAN Dalam teori bilangan, semesta pembicaraan

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga

II. TINJAUAN PUSTAKA. negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Bilangan Bulat Bilangan Bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan negatifnya. Yang termasuk dalam bilangan cacah yaitu 0,1,2,3,4, sehingga negatif dari bilangan

Lebih terperinci

ALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc

ALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc ALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2011 0 KATA PENGANTAR Aljabar abstrak

Lebih terperinci

Antonius C. Prihandoko

Antonius C. Prihandoko Antonius C. Prihandoko Didanai oleh Proyek DIA-BERMUTU 2009 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA Jurusan Pendidikan MIPA Fakultas Keguruan Dan Ilmu Pendidikan Universitas Jember Prakata Puji syukur ke hadirat

Lebih terperinci

LEMBAR AKTIVITAS SISWA INDUKSI MATEMATIKA

LEMBAR AKTIVITAS SISWA INDUKSI MATEMATIKA Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA INDUKSI MATEMATIKA Latihan 1 1. A. NOTASI SIGMA 1. Pengertian Notasi Sigma Misalkan jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah S n = U 1 + U 2 + U 3 + + U

Lebih terperinci

Materi Pembinaan Olimpiade SMA I MAGELANG TEORI BILANGAN

Materi Pembinaan Olimpiade SMA I MAGELANG TEORI BILANGAN Materi Pembinaan Olimpiade SMA I MAGELANG TEORI BILANGAN Oleh. Nikenasih B 1.1 SIFAT HABIS DIBAGI PADA BILANGAN BULAT Untuk dapat memahami sifat habis dibagi pada bilangan bulat, sebelumnya perhatikan

Lebih terperinci

BAB V BILANGAN BULAT

BAB V BILANGAN BULAT BAB V BILANGAN BULAT PENDAHULUAN Dalam bab ini akan dibicarakan sistem bilangan bulat, yang akan dimulai dengan memperluas sistem bilangan cacah dengan menggunakan sifat-sifat baru tanpa menghilangkan

Lebih terperinci

MA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan

MA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan MA2111 PENGANTAR MATEMATIKA Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 3 DEFINISI DAN PERISTILAHAN MATEMATIKA (c) Hendra Gunawan (2015) 2 Ingat PROPOSISI Ini? Proposisi. Jika segitiga siku-siku XYZ dengan

Lebih terperinci

KONGRUENSI PADA SUBHIMPUNAN BILANGAN BULAT

KONGRUENSI PADA SUBHIMPUNAN BILANGAN BULAT KONGRUENSI PADA SUBHIMPUNAN BILANGAN BULAT Paridjo Pendidikan Matematika FKIP Universitas Pancasakti Tegal muhparidjo@gmail.com Abstrak Himpunan bilangan bulat dilambangkan dengan sistem bilangan Real

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori grup yang mendukung. ke. Untuk setiap, dinotasikan sebagai di

II. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori grup yang mendukung. ke. Untuk setiap, dinotasikan sebagai di II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini diberikan beberapa definisi mengenai teori grup yang mendukung proses penelitian. 2.1 Teori Grup Definisi 2.1.1 Operasi Biner Suatu operasi biner pada suatu himpunan adalah

Lebih terperinci

BAB 4. TEOREMA FERMAT DAN WILSON

BAB 4. TEOREMA FERMAT DAN WILSON BAB 4. TEOREMA FERMAT DAN WILSON 1 Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah, Ponorogo June 11, 2012 Metoda Faktorisasi Fermat (1643) Biasanya pemfaktoran n melalui tester, yaitu faktor

Lebih terperinci

Nama Mata Kuliah : Teori Bilangan Kode Mata Kuliah/SKS : MAT- / 2 SKS

Nama Mata Kuliah : Teori Bilangan Kode Mata Kuliah/SKS : MAT- / 2 SKS Nama Mata Kuliah : Teori Bilangan Kode Mata Kuliah/SKS : MAT- / 2 SKS Program Studi : Pendidikan Matematika Semester : IV (Empat) Oleh : Nego Linuhung, M.Pd Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dan Kelipatan

Lebih terperinci

MAKALAH KRIPTOGRAFI CHINESE REMAINDER

MAKALAH KRIPTOGRAFI CHINESE REMAINDER MAKALAH KRIPTOGRAFI CHINESE REMAINDER Disusun : NIM : 12141424 Nama : Ristiana Prodi : Teknik Informatika B SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN ILMU KOMPUTER EL RAHMA YOGYAKARTA 2016 1. Pendahuluan

Lebih terperinci

MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS

MODUL 1. Teori Bilangan MATERI PENYEGARAN KALKULUS MODUL 1 Teori Bilangan Bilangan merupakan sebuah alat bantu untuk menghitung, sehingga pengetahuan tentang bilangan, mutlak diperlukan. Pada modul pertama ini akan dibahas mengenai bilangan (terutama bilangan

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. Penyampaian pesan dapat dilakukan dengan media telephone, handphone,

BAB I PENDAHULUAN. Penyampaian pesan dapat dilakukan dengan media telephone, handphone, BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Sekarang ini teknologi untuk berkomunikasi sangatlah mudah. Penyampaian pesan dapat dilakukan dengan media telephone, handphone, internet, dan berbagai macam peralatan

Lebih terperinci

Sumber: Kamus Visual, 2004

Sumber: Kamus Visual, 2004 1 BILANGAN BULAT Pernahkah kalian memerhatikan termometer? Termometer adalah alat yang digunakan untuk mengukur suhu suatu zat. Pada pengukuran menggunakan termometer, untuk menyatakan suhu di bawah 0

Lebih terperinci

Relasi, Fungsi, dan Transformasi

Relasi, Fungsi, dan Transformasi Modul 1 Relasi, Fungsi, dan Transformasi Drs. Ame Rasmedi S. Dr. Darhim, M.Si. M PENDAHULUAN odul ini merupakan modul pertama pada mata kuliah Geometri Transformasi. Modul ini akan membahas pengertian

Lebih terperinci

APOTEMA: Jurnal Pendidikan Matematika. Volume 2, Nomor 2 Juli 2016 p ISSN BILANGAN SEMPURNA GENAP DAN KEPRIMAAN BI LANGAN MERSENNE

APOTEMA: Jurnal Pendidikan Matematika. Volume 2, Nomor 2 Juli 2016 p ISSN BILANGAN SEMPURNA GENAP DAN KEPRIMAAN BI LANGAN MERSENNE APOTEMA: Jurnal Pendidikan Matematika Volume 2 Nomor 2 Juli 2016 p 63-75 ISSN 2407-8840 BILANGAN SEMPURNA GENAP DAN KEPRIMAAN BI LANGAN MERSENNE Moh Affaf Prodi Pendidikan Matematika STKIP PGRI BANGKALAN

Lebih terperinci

DASAR-DASAR ALJABAR MODERN: TEORI GRUP & TEORI RING

DASAR-DASAR ALJABAR MODERN: TEORI GRUP & TEORI RING DASAR-DASAR ALJABAR MODERN: TEORI GRUP & TEORI RING Dr. Adi Setiawan, M.Sc G R A F I K A Penerbit Tisara Grafika SALATIGA 2014 Katalog Dalam Terbitan 512.24 ADI Adi Setiawan d Dasar-dasar aljabar modern:

Lebih terperinci

Mata Kuliah : Peng. Logika Matematika dan Himpunan Hari/tanggal : Rabu, 31 Oktober 2012 Waktu : 120 menit Sifat : Buku Tertutup Dosen : Budi S.

Mata Kuliah : Peng. Logika Matematika dan Himpunan Hari/tanggal : Rabu, 31 Oktober 2012 Waktu : 120 menit Sifat : Buku Tertutup Dosen : Budi S. Mata Kuliah : Peng. Logika Matematika dan Himpunan Hari/tanggal : Rabu, 31 Oktober 2012 Waktu : 120 menit Sifat : Buku Tertutup Dosen : Budi S. 1. Tentukan jenis kalimat berikut. Kalimat tidak lengkap,

Lebih terperinci

1. GRUP. Definisi 1.1 (Operasi Biner) Diketahui G himpunan dan ab, G. Operasi biner pada G merupakan pengaitan

1. GRUP. Definisi 1.1 (Operasi Biner) Diketahui G himpunan dan ab, G. Operasi biner pada G merupakan pengaitan 1. GRUP Definisi 1.1 (Operasi Biner) Diketahui G himpunan dan ab, G. Operasi biner pada G merupakan pengaitan pasangan elemen ( ab, ) pada G, yang memenuhi dua kondisi berikut: 1. Setiap pasangan elemen

Lebih terperinci

Jurnal Apotema Vol.2 No. 2 62

Jurnal Apotema Vol.2 No. 2 62 Jurnal Apotema Vol.2 No. 2 62 Sudjana. 2005). Metoda Statistika. Bandung: Tarsito. Sugianto, D. 2014). Perbedaan Penerapan Model Pembelajaran Kooperatif Tipe Jigsaw Dan Sta Ditinjau Dari Kemampuan Penalaran

Lebih terperinci

Solusi Pengayaan Matematika Edisi 14 April Pekan Ke-2, 2006 Nomor Soal:

Solusi Pengayaan Matematika Edisi 14 April Pekan Ke-2, 2006 Nomor Soal: Solusi Pengayaan Matematika Edisi 4 April Pekan Ke-, 006 Nomor Soal: 3-40 3. Manakah yang paling besar di antara bilangan-bilangan 0 9 b, 5 c, 0 d 5, dan 0 e 4 3? A. e B. d C. c D. b E. a Solusi: [E] 5

Lebih terperinci

BIDANG MATEMATIKA SMA

BIDANG MATEMATIKA SMA MATERI PENGANTAR OLIMPIADE SAINS NASIONAL BIDANG MATEMATIKA SMA DISUSUN OLEH: TIM PEMBINA OLIMPIADE MATEMATIKA TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA Juli 009 KATA PENGANTAR Olimpiade Sains Nasional (OSN)

Lebih terperinci