Pengantar Teori Bilangan. Kuliah 10

Transkripsi

1 Pengantar Teori Bilangan Kuliah 10

2 Materi Kuliah Chinese Remainder Theorem (Teorema Sisa Cina) 2/5/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2

3 Pengantar Chinese Remainder Theorem (Teorema sisa Cina) adalah hasil tentang Kongruen di teori bilangan dan digeneralisasi dalam aljabar abstrak. Pertama kali dipublikasikan pada abad ke-3 sampai abad ke-5 oleh Sun Tzu seorang matematikawan Cina. Pertama ditemukan pada teka-teki Cina kuno: Ada beberapa bilangan yang tidak diketahui. Bilangan itu dibagi 3, sisanya adalah 2; Bilangan itu dibagi oleh 5, sisanya adalah 3; Bilangan itu dibagi oleh 7 sisanya adalah 2; Bilangan yang manakah itu? Dalam notasi matematika x = 2 (mod 3) x = 3 (mod 5) x = 2 (mod 7) 2/5/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 3

4 Chinese Remainder Theorem Misalkan n 1, n 2,, n r bilangan bulat positif sedemikian sehingga ppb n i, n j = 1 untuk i j. Maka system kongruen linier x a 1 (mod n 1 ) x a 2 (mod n 2 ) x a r (mod n r ) mempunyai solusi simultan, yang tunggal modulo bilangan bulat n 1 n 2 n r 2/5/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 4

5 Bukti Chinese Remainder Theoremn Bentuk hasilkali n = n 1 n 2 n r. Untuk setiap k = 1,2,, r, misalkan N k = n n k = n 1 n 2 n k 1 n k+1 n r. Atau, N k adalah hasilkali semua bilangan bulat n i dengan factor n k dihapuskan. Diketahui bahwa ppb n i, n j = 1 untuk i j atau n i relative prima dengan n j untuk i j. Dengan demikian diperoleh ppb N k, n k = 1. Berdasarkan teori kongruen linier tunggal, hal ini memungkinkan untuk menyelesaikan kongruen N k x 1 (mod n k ), sebutlah solusi tunggal x k. Tujuannya adalah untuk membuktikan bahwa bilangan x = a 1 N 1 x 1 + a 2 N 2 x a r N r x r = a k N k x k (mod n k ) adalah solusi simultan dari system kongruen linier yg diberikan. Pertama, amati bahwa N i 0 (mod n k ) untuk i k, karena n k N i Hasilnya adalah x = a 1 N 1 x 1 + a 2 N 2 x a r N r x r = a k N k x k (mod n k ) Tapi x k bilangan bulat yang dipilih untuk memenuhi kongruen N k x 1 (mod n k ), yang menyebabkan x a k. 1 a k (mod n k ) Ini menunjukkan bahwa solusi untuk system kongruen yang diberikan ada. Untuk menunjukkan ketuanggalannya, misalkan x adalah sebarang bilangan bulat yang memenuhi system kongruen ini. Maka x a k x (mod n k ) k = 1,2,, r dan selanjutnya n k x x untuk setiap nilai k. Karena ppb n i, n j = 1, maka diperoleh n 1 n 2 n r x x, karenanya x x (mod n k ). 5

6 Dengan Chinese Remainder Theorem, maka langkah penyelesaian suatu system kongruen linier adalah: Misalkan system kongruen linier x a 1 (mod n 1 ) x a 2 (mod n 2 ) x a r (mod n r ) Maka langkah untuk mencari solusi system ini: 1. Periksa ppb(n i, n j ) untuk i j, jika ppb n i, n j = 1 maka system punya solusi. 2. Tentukan n = n 1 n 2 n r dan N k = n n k = n 1 n 2 n k 1 n k+1 n r, k = 1,2,, r. 3. Selesaikan N k x k 1 (mod n k ), k = 1,2,, r. 4. Solusinya adalah x (a 1 N 1 x 1 + a 2 N 2 x a r N r x r ) (mod n) 2/5/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 6

7 Contoh 1 Dengan Chinese Remainder Theorem, carilah solusi untuk system kongruen linier berikut: x 3 (mod 4) x 2 (mod 3) x 4(mod 5) Perhatikan bahwa system ini terdiri dari 3 persamaan konruen linier, jadi k = 1,2,3. Dari system diperoleh a 1 = 3, a 2 = 2, a 3 = 4, n 1 = 4, n 2 = 3, n 3 = Oleh karena ppb 4,3 = ppb 4,5 = ppb 3,5 = 1, maka system ini punya solusi. 2. Nilai n = n 1 n 2 n 3 = = 60 dan N 1 = n n 1 = 60 4 = 15; N 2 = n n 2 = 60 3 = 20; N 3 = n n 3 = 60 5 = Selesaikan N k x i 1 (mod n k ), k = 1,2,3, yaitu 15x 1 1 mod 4 20x 2 1 mod 3 12x 3 1 mod 5 Dengan menggunakan solusi dalam persamaan kongruen linier, maka solusi untuk 15x 1 1 mod 4 adalah : 15x 1 1 mod 4 ekivalen dengan 15x 1 1 = 4k. Diperoleh x 1 = 1+4k 15. Nilai k = 11 menyebakan x 1 = 3. Dengan cara yang sama, diperoleh x 2 = 2, dan x 3 = Solusinya adalah x = (a 1 N 1 x 1 + a 2 N 2 x 2 + a 3 N 3 x 3 ) (mod n) = ( ) (mod 60) = 359 (mod 60) = 59 (mod 60) Jadi solusi untuk x 3 (mod 4) x 2 (mod 3) x 4(mod 5) adalah x 59 (mod 60) Yanita, FMIPA Matematika Unand 7

8 Contoh 2 Dengan menggunakan Chinese Remainder Theorem, carilah solusi untuk system kongruen linier berikut: x = 2 (mod 3) x = 3 (mod 5) x = 2 (mod 7) Perhatikan bahwa system ini terdiri dari 3 persamaan konruen linier, jadi k = 1,2,3. Dari system diperoleh a 1 = 2, a 2 = 3, a 3 = 2, n 1 = 3, n 2 = 5, n 3 = Oleh karena ppb 3,5 = ppb 3,7 = ppb 5,7 = 1, maka system ini punya solusi. 2. Nilai n = n 1 n 2 n 3 = = 105 dan N 1 = n n 1 = = 35; N 2 = n n 2 = = 21; N 3 = n n 3 = = Selesaikan N k x k 1 (mod n k ), k = 1,2,3, yaitu 35x 1 1(mod 3) 21x 2 1 (mod 5) 15x 3 1 (mod 7) Dengan menggunakan solusi dalam persamaan kongruen linier, maka solusi untuk 35x 1 1 mod 3 adalah : 35x 1 1 mod 3 ekivalen dengan 35x 1 1 = 3k. Diperoleh x 1 = 1+3k. Nilai k = 23 menyebakan x 35 1 = 2. Dengan cara yang sama, diperoleh x 2 = 1, dan x 3 = Solusinya adalah x (a 1 N 1 x 1 + a 2 N 2 x 2 + a 3 N 3 x 3 ) (mod n) ( ) (mod 105) 233 (mod 105) 23 (mod 105) Jadi solusi untuk x 3 (mod 4) x 2 (mod 3) x 4(mod 5) adalah x 23 (mod 105) Yanita, FMIPA Matematika Unand 8

9 Dengan Chinese Remainder Theorem, langkah penyelesaian jika persamaan kongruen linier yang diketahui: 1. Dari persamaan kongruen linier ax b (mod n), maka cari faktorisasi prima dari n, yaitu n = n 1 n 2 n r dengan n i adalah prima, i = 1,2, r 2. Selesaikan system aa k b (mod n i ), k = 1,2,, r. Untuk mendapatkan nilai a i. 3. Cari N k = n n k dengan k = 1,2,, r dan selesaikan system N k x k 1 (mod n k ) untuk mendapatkan nilai x k. 4. Solusinya adalah x (a 1 N 1 x 1 + a 2 N 2 x a r N r x r ) (mod n) 2/5/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 9

10 Contoh 3: Selesaikan persamaan linier kongruen 17x 9 mod 276 dengan dua cara. Dengan cara biasa (solusi persamaan kongruen linier), 1. ppb 17,276 = 1 2. Persamaan 17x 9 mod 276 ekivalen dengan 17x 276k = 9 atau diperoleh x = 9+276k. Nilai k = 2, 17 menyebabkan x = Solusinya adalah x 33 (mod 276) Dengan Chinese Remainder Theorem, 1. faktorisasi prima dari 276 adalah Jadi 276 = Dengan demikian diperoleh n = 276, n 1 = 3, n 2 = 4, n 3 = Selesaikan system 17a k 9 (mod n k ), k = 1,2,3, yaitu system 17a 1 9 (mod 3) a 1 = 3 17a 2 9 (mod 4) Diperoleh: a 2 = 5 17a 3 9 (mod 23) a 3 = Cari nilai N k = n dengan k = 1,2,3, yaitu N n 1 = n = k n 276 = 92; N = n = 276 = 69; N n = n = 276 = 12. n 3 23 Selesaikan system N k x k 1 (mod n k ), yaitu: 92x 1 1 (mod 3) x 1 = 2 69x 2 1 (mod 4) Diperoleh x 2 = 1 12x 3 1 (mod 23) x 3 = 2 4. Solusinya adalah x (a 1 N 1 x 1 + a 2 N 2 x 2 + a 3 N 3 x 3 ) (mod n) x ( )(mod 276) x 1137 (mod 276) x 33 (mod 276) 2/5/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 10

11 Contoh 4: Selesaikan persamaan linier kongruen 13x 1 mod 70 dengan dua cara. Dengan cara biasa (solusi persamaan kongruen linier), 1. ppb 13,70 = 1 2. Persamaan 13x 1 mod 70 ekivalen dengan 13x 70k = 1 atau diperoleh x = 1+70k. Nilai k = 5, 13 menyebabkan x = Solusinya adalah x 27 (mod 70) Dengan Chinese Remainder Theorem, 1. faktorisasi prima dari 70 adalah Jadi 70 = Dengan demikian diperoleh n = 70, n 1 = 2, n 2 = 5, n 3 = Selesaikan system 13a k 1 (mod n k ), k = 1,2,3, yaitu system 13a 1 1 (mod 2) a 1 = 1 13a 2 1 (mod 5) Diperoleh: a 2 = 2 13a 3 1 (mod 7) a 3 = 6 3. Cari nilai N k = n n k dengan k = 1,2,3, yaitu N 1 = n n 1 = 70 2 = 35; N 2 = n n 2 = 70 5 = 14; N 3 = n n 3 = 70 7 = 10. Selesaikan system N k x k 1 (mod n k ), yaitu: 35x 1 1 (mod 2) x 1 = 1 14x 2 1 (mod 5) Diperoleh x 2 = 4 10x 3 1 (mod 7) x 3 = 5 4. Solusinya adalah x (a 1 N 1 x 1 + a 2 N 2 x 2 + a 3 N 3 x 3 ) (mod n) x ( )(mod 70) x 447 (mod 70) x 27 (mod 70) 2/5/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 11

12 Solusi Sistem Kongruen Linier dengan dua Variabel Definisi Persamaan kongruen linier dengan dua variabel adalah persamaan dalam bentuk ax + by c mod n, dengan x, y Z. Teorema 4.9 Sistem kongruen linier ax + by r mod n cx + dy s mod n mempunyai solusi tunggal modulo n jika ppb ad bc, n = 1 2/5/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 12

13 Bukti Teorema 4.9 Diketahui system kongruen linier ax + by r mod n cx + dy s mod n Dengan ppb ad bc, n = 1. Akan dibuktikan system ini mempunyai solusi tunggal modulo n. Misalkan ax + by r mod n (1) cx + dy s mod n (2) Kalikan persamaan (1) dengan d, dan persamaan (2) dengan b, maka diperoleh d(ax + by) dr mod n (1 ) b(cx + dy) bs mod n (2 ) Jika pers (1 ) dikurangkan dengan pers (2 ) maka diperoleh dax bcx dr bs (mod n) atau ad bc x dr bs (mod n) (3) Oleh karena ppb ad bc, n = 1, maka dijamin bahwa ad bc z 1 (mod n) mempunyai solusi tunggal; misalkan solusi tersebut adalah t. Jika persamaan (3) dikalikan dengan t, diperoleh x t dr bs (mod n). Dengan cara yang sama dapat dicari nilai y, yaitu Kalikan persamaan (1) dengan c, dan persamaan (2) dengan a, maka diperoleh c(ax + by) cr mod n (1 ) a(cx + dy) as mod n (2 ) Jika pers (1 ) dikurangkan dengan pers (2 ) maka diperoleh cax bcy as cr (mod n) atau ad bc y (as cr)(mod n) (3 ) Oleh karena ppb ad bc, n = 1, maka dijamin bahwa ad bc z 1 (mod n) mempunyai solusi tunggal; misalkan solusi tersebut adalah t. Jika persamaan (3 ) dikalikan dengan t, diperoleh y t as cr (mod n). 2/5/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 13

14 Contoh Carilah solusi untuk sitem kongruen linier: 7x + 3y 10 mod 16 (1) 2x + 5y 9 mod 16 (2) Penyelsaian Dari system tersebut diperoleh a = 7, b = 3, c = 2, d = 5, r = 10, s = 9 dan n = 16 Perhatikan bahwa ppb ad bc, n = ppb ,16 = ppb 29,16 = 1, maka system ini punya solusi. Kemudian dengan metode eliminasi, untuk mencari nilai x: Mencari nilai y Dengan solusi untuk persamaan kongruen linier, 29x 23 (mod 16) ekivalen dengan 29x 16k = 23 atau x = 23+16k. Nilai k = 4 menyebabkan x = 3. Jadi solusi 29 untuk 29x 23 (mod 16) adalah x 3 (mod 16) Persamaan 29y 43 (mod 16) ekivalen dengan 29y 16k = 43 atau x = 43+16k. Nilai k = 10 menyebabkan nilai 29 x = 7. Jadi solusi untuk 29y 43 (mod 16) adalah y 7 (mod 16). Jadi solusi untuk system adalah x 3 (mod 16) y 7 (mod 16) 2/5/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 14

15 Latihan 1. Carilah solusi untuk system x 5 mod 11 x 14 (mod 29) x 15 (mod 31) 2. Selesaikan dengan 2 cara (solusi persamaan kongruen linier dan Chinese Remainder Theorem) persamaan 17x 3 mod Carilah solusi untuk system 3x + 4y 5 mod 13 2x + 5y 7 mod 13 2/5/2014 selesai 4 Mei