( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) IV. PEMBAHASAN

8 IV PEMBAHASAN 4 Aum Berkut n aum yang dgunakan dalam memodelkan permanan a Harga paar P ( merupakan fung turun P ( kontnu b Fung baya peruahaan- C ( fung baya peruahaan- C ( merupakan fung nak C ( C ( C = kontnu dengan ( 4 Permanan Supermodular Berkut n beberapa pegertan mengena permanan Supermodular yang dgunakan untuk menyeleakan maalah utama yang akan dbaha dalam tulan n Defn 33 [Fung Supermodular Submodular Suatu fung F : R R dkatakan upermodular jka untuk emua x x y F x y F x y F x y F x y ( ( ( ( F R Suatu fung : R dkatakan ubmodular jka untuk emua x x y F F y F y F y (Amr 996 Defn 34 [Fung Supermodular empurna Submodular empurna Suatu fung F : R R upermodular empurna jka untuk emua x x y F x y F x y > F x y F x y ( ( ( ( F R Suatu fung : R ubmodular empurna jka untuk emua x x y F F y < F y F y (Amr 996 Bla dlhat dar turunan keduanya Defn 34 dapat dtulebaga berkut: Defn 35 [Fung Supermodular empurna Submodular Sempurna Jka F mempunya turunan kedua yang F kontnu > x y maka F x y upermodular empurna Jka F mempunya turunan kedua yang F kontnu < x y maka F x y ubmodular empurna (Amr 996 Defn 36 [Strct Sngle-Crong Property (SSCP Dual Strct Sngle-Crong Property (Dual SSCP Fung F : [ R mempunya Strct Sngle-Crong Property atau SSCP d y jka: F x y F x y F x y > F x y ( ( ( ( untuk emua x > x > y F : mempunya Fung [ R dual SSCP d y jka: F y F y F y < F y untuk emua x > x > y (Amr 996 Teorema 4 [Permanan Supermodular Duopol Cournot permanan ordnally upermodular jka memenuh aum berkut: P ( merupakan fung turun log konkaf C ( = merupakan fung nak kontnu kr 3 kuantta Q > edemkan ehngga QP( Q C ( Q < = untuk emua Q > Q (Amr 996 Bukt dapat dlhat pada Amr (996 Teorema 5 [Koreponden Tanggapan Terbak yang Tak Nak Tak Turun * x y arg mak F x y Setap fung ( ( x tak turun d y jka F mempunya SSCP

9 * Setap fung x ( y arg mak F y x tak nak d y jka F mempunya dual SSCP (Mlgrom Shannon 994 Bukt dapat dlhat pada Mlgrom Shannon (994 Lemma [Fung Supermodular Submodular Mal f g : R R f fung konkaf g fung konvek maka fung bernla real y f y ubmodular pada R R ; y f y upermodular pada lattce ϕ = { y : y x y} 3 y g y upermodular pada R R Mal f g : R R f fung konkaf empurna g fung konvekempurna maka fung bernla real y f y ubmodular empurna pada R R ; y f y upermodular empurna pada lattce ϕ = { y : y x y} ; 3 y g y upermodular empurna pada R R (Amr 996 Bukt dapat dlhat pada Amr (996 Lemma Jka P ( log-konkaf atau P ( memenuh P xp < untuk etap x ada kuantta monopol optmal untuk peruahaan- K edemkan ehngga KP K C K K P K C K K = ( ( ( ( maka emua kuantta pada elang ( K tndakan terdomna untuk peruahaan- etap plhan dar koreponden tanggapan terbak r ( merupakan fung tak nak d kuantta peangnya Bukt Akan dbuktkan bahwa: Setap plhan dar koreponden tanggapan terbak r ( merupakan fung tak nak d kuantta peang (Jka π dual SSCP maka etap plhan r ( merupakan fung tak nak d kuantta peang K tndakan terdomna untuk peruahaan Semua kuantta d ( Dar hpote dketahu bahwa P log-konkaf maka log P ( konkaf Berdaarkan Lemma log P y ubmodular d y R R maka untuk embarang x > x > y : log log P log y log P y y log log P P y y ( P P y Mal daumkan bahwa: x y C xp y C ( Subttu ( ke rua kanan ( ehngga ddapat: x y C y x P C Kemu kal lang dengan y x C y x P C y Karena x > x > y berdaarkan hpote P ( < ( P fung turun C ( fung nak maka P y < P y C > C ehngga dperoleh: x C < xp C ( 3 Karena ( bermplka (3 maka π mempunya dual trct ngle-crong property (dual SSCP

Mal daumkan bahwa: y P x y C y ( ( P y C ( y ( 4 y Subttu ( ke rua kanan (4 ehngga ddapat: yp C ( y y y P C ( y Kemu kal lang dengan P y C ( y P y y C ( y P Karena x > x > y P ( fung turun C ( fung nak maka P < P C ( y > C ( y ehngga dperoleh : y C ( y < y y C ( y ( 5 Karena (4 bermplka (5 maka π mempunya dual SSCP ehngga π mempunya dual SSCP Akbatnya berdaarkan Teorema 5 etap plhan ( r merupakan fung tak nak d kuantta peang Berdaarkan hpote dketahu bahwa K kuantta monopol optmal untuk peruahaan- maka K r( Akbatnya mbalan akan menurun jka peruahaan memlh kuantta lebh dar K ehngga kuantta d ( K tdak dapat menjad tanggapan terbak Jad emua kuantta d ( K tndakan terdomna untuk peruahaan Lemma 3 Berdaarkan hpote Lemma duopol kuantta permanan upermodular maka N tdak koong terdapat ttk y dmana peruahaan- (peruahaan- menghalkan kuantta yang lebh tngg (lebh rendah pada N Ttk y terletak pada ( mn r ( r = merupakan plhan keetmbangan Nah peruahaan- yang terendah Bukt Akan dbuktkan bahwa: Duopol kuantta permanan upermodular dengan N terdapat ttk y dmana peruahaan- (peruahaan- menghalkan kuantta yang lebh tngg (lebh rendah pada N Ttk y terletak pada ( mn r ( r = merupakan plhan keetmbangan Nah peruahaan- yang terendah Berdaarkan hpote Lemma duopol kuantta memenuh Teorema 4 untuk menjad permanan upermodular yatu: a P ( merupakan fung turun log konkaf b C ( merupakan fung nak kontnu kr = c Karena K kuantta monopol optmal untuk peruahaan- maka mbalan akan menurun jka peruahaan memlh lebh dar K Akbatnya ada kuantta pada elang ( K mal Q yang menyebabkan peruahaan merug atau QP( Q C ( Q < Berdaarkan Lemma duopol kuantta menjad permanan upermodular dengan hmpunan tndakan efektf [ K [ K Karena tu N tdak koong [ K merupakan elang tertutup ehngga merupakan complete lattce menurut Teorema N mempunya anggota terbear Malkan dberkan anggota terbear yatu y Tetap berdaarkan Teorema peruahaan- ekurang-kurangnya memlh y dar emua keetmbangan d N maka pada ttk y peruahaan- menghalkan kuantta tertngg d N egkan peruahaan- menghalkan kuantta terendah d N ( y x ( r karena pada ttk y peruahaan- menghalkan kuantta tertngg d N egkan peruahaan- menghalkan kuantta terendah d N

Berdaarkan Teorema untuk pemetaaan y r y r x yang tak turun akan ( ( ( ( x mempunya ttk tetap terbear Malkan y N ttk tetap terbear x y y < y dengan ( r ( Kontradk dengan ttk ektrm y maka y merupakan plhan keetmbangan Nah peruahaan- yang terkecl Lemma 4 Berdaarkan hpote Lemma jka etap ttk y S haru terletak d r ( S = arg mak{ π y : y r (} x dengan r ( plhan keetmbangan Nah peruahaan- yang terendah maka π x y x y ( ( π Bukt Akan dbuktkan: Setap ttk ( y r ( S = arg mak{ π y : y r (} x π y y π x Pertama akan dtunjukkan bahwa etap ttk y r ( Karena mbalannya kontnu maka mempunya plhan mnmum r ( kontnu kanan Malkan ada keetmbangan Stackelberg x y r edemkan ehngga ( ( r y > Dar Lemma dketahu bahwa etap plhan r ( tak nak Karena tu hmpunan ttk d r ( tdak bernla tunggal erupa dengan hmpunan ttk d plhan ( r r yang tak kontnu ( bernla banyak d x Karena tu dapat dtentukan bahwa untuk ε > edemkan ehngga plh x ε untuk leader yang akan membawa pada tanggapan terbak follower yang unk yatu r ( bernla tunggal d ε > r x x Karena y ( r kontnu kanan maka ( ( Dketahu pula y r x ε < y π kontnu d x turun d y maka menghalkan mbalan leader yatu: ( ( ( π x ε r x ε > x y π Kontradk dengan hpote bahwa y keetmbangan Stackelberg Karena tu harulah y r ( S = arg mak{ π y : y r ( } x ( terpenuh atau S arg makπ x r = x Jad emua ttk d S menghalkan mbalan yang ama untuk leader Dar Lemma 3 y keetmbangan Cournot-Nah peruahaan- palng terplh π x y x y ( y maka ( ( r x ( π 43 Model Duopol Cournot Teorema berkut memberkan uatu kond mnmal pada harga paar yang akan menghalkan model duopol Cournot Teorema 6 Jka dketahu bahwa: Tdak ada keetmbangan Cournot-Nah yang terletak d bata daerah P P ( log-konkaf atau ( memenuh P xp < x 3 kuantta K edemkan ehngga KP ( K C ( K K P( K C ( K K = 4 P log-konkaf empurna yatu P ( P( P ( < atau C ( > E = e e N maka {( } Sebelum membuktkan Teorema 6 akan dberkan terlebh dahulu lemma berkut n Lemma 5 Jka aum Teorema 6 dpenuh maka ttk x y S ektrm keetmbangan Nah ( Bukt Akan dbuktkan bahwa: r ( < d embarang ttk pada fung tanggapan mnmal r ( epanjang ttk terebut terletak d dalam daerah fbel x y S (

Berdaarkan Lemma etap plhan r tak nak maka r ( dar ( Imbalan untuk peruahaan- pada embarang ttk d r ( : [ r = r P x r [ C [ r π x Untuk etap x edemkan ehngga r maka frt-order condton ( > dberkan oleh: [ x r = r x P ( [ x r r P [ x r C [ r ( 6 = Turunkan (6 terhadap x ehngga ddapat: r x P x r x r x P x r x r x ( ( [ ( ( [ ( ( ( r P [ x r C [ r r = ( 7 Subttu (6 ke (7 ( r P x r C r P x r P x r C [ r P [ x r [ [ ( [ ( r x P [ x r [ r r = < Akan dbuktkan ( r Andakan untuk uatu P P [ x r [ x r = C = x r [ r P x r P x r [ [ maka: P [ x r P [ x r { P[ x r C [ r } = ( 8 Berdaarkan hpote ( P x r r x P x P < dar (6 [ ( [ r C [ r = Karena ( < P [ x r > C r ( P r ( maka > [ x Sehngga (8 kontradk dengan hpote yatu P ( log-konkaf empurna ( P ( P ( P( < atau ( C > ehngga harulah r ( untuk ( r > < Dan berdaarkan Lemma maka ( Malkan ( r x r keetmbangan Stackelberg dengan peruahaan- ebaga leader Karena y nteror oluton berdaarkan aum maka haru y memenuh: = x Jka r juga merupakan nteror oluton maka akan memenuh: r r r x y ( Dketahu r ( < x y = y xp y karena P ( < x maka < Sehngga dperoleh y r < Akbatnya x x x r r Terbukt bahwa ttk ektrm x y S keetmbangan Nah ( Bukt Teorema 6 Akan dbuktkan bahwa : E = {( e e N} Menurut Propo (a akan dbuktkan: Mang-mang peruahaan- lebh bak berada pada embarang ttk d S darpada d embarang ttk pada N Mang-mang peruahaan- lebh memlh mbalan pada embarang ttk terburuk d N darpada embarang mbalan ebaga follower Lemma Lemma 3 menunjukkan bahwa duopol kuantta permanan upermodular Jad keetmbangan Cournot- Nah ada Karena ruang trateg efektf [ K R merupakan elang tertutup akbatnya [ K lengkap terbata total (lhat Teorema Sehngga ruang trateg [ K merupakan ruang metrk kompak dengan metrk ρ nla mutlak Dketahu pula fung mbalan kontnu maka keetmbangan Stackelberg juga ada yatu S S tdak koong Sudah dbuktkan d Lemma 4 Malkan ( y x embarang keetmbangan Stackelberg dengan peruahaan- ebaga leader y ttk ektrm keetmbangan Cournot-Nah Sebagamana dtunjukkan d Lemma 5

3 x P x y y Berdaarkan Lemma 3 Lemma 4 kedua ttk terletak pada r fung tanggapan mnmal ( peruahaan- ( y C > xp y C x P y C ( 9 dmana pertdakamaan pertama mengkut fat keetmbangan Stackelberg yang dgambarkan dalam Lemma 4 menurut Lemma 5 y S Pertdakamaan kedua mengkut fat keetmbangan Nah Karena π menurun pada y maka pertdakamaan (9 menghalkan r = y < y = r r ( merupakan fung turun ehngga menghalkan x > x Maka untuk etap y keuntungan peman- memenuh: ( y C ( y > yp y C ( ( yp x y Ambl up y pada kedua dar pertdakamaan ( berdaarkan defn y Lemma 4 menghalkan: P y C ( y > y P y C ( y y In berart follower lebh memlh keetmbangan Cournot-Nah terburuk darpada keetmbangan Stackelberg Cara yang ama dlakukan untuk peruahaan- ebaga leader dengan y ebaga ttk ektrm keetmbangan Cournot-Nah 44 Model Duopol Stackelberg Teorema berkut memberkan uatu kond mnmal pada harga paar baya yang akan menghalkan model duopol Stackelberg Teorema 7 Jka P ( log-konvekempurna yatu P ( P( P ( > C ( = untuk = lm xp y = y tetap maka x {( e l S } {( l e S } E = Bukt Dar hpote dketahu P ( log konvek empurna maka log P konvekempurna Berdaarkan Lemma karena log P konvekempurna maka upermodular empurna d y maka untuk embarang x > x > y : log log P > log y log P y y log > log P P y y > ( P P y Mal daumkan bahwa: x y C xp y C ( Subttu ( ke ( ddapat: x y C y > x P C Kemu kal lang dengan y x C y > x P C y Karena x > x > y P fung turun C ( fung nak maka P < y C x > C ehngga dperoleh: ( ( x C P y C ( 3 xp x Karena ( bermplka (3 maka π SSCP Untuk membuktkan π SSCP dlakukan cara yang ama ehngga π mempunya SSCP Akbatnya r berdaarkan Teorema 5 etap plhan ( merupakan fung tak turun d kuantta peang Dberkan permanan metr karena lm xp x y = maka berdaarkan x ( Teorema 3 dketahu bahwa kedua peman lebh memlh keetmbangan Cournot terkecl x darpada emua keetmbangan Cournot yang lan Selanjutnya akan dbedakan menjad dua kau

4 Kau : Jka x fnte Dengan menggunakan propo (b akan dbuktkan bahwa : Mang-mang peruahaan- lebh bak berada pada embarang ttk d S darpada d embarang ttk pada N Mang-mang peruahaan- lebh memlh mbalan follower terburuk darpada embarang ttk d N Bukt bagan Dbuktkan d lemma 6 Malkan y embarang keetmbangan Stackelberg dengan peruahaan- ebaga leader y N analog epert pada lemma 5 Ddapat : x P x ( y > xp y x P y dmana pertdakamaan pertama mengkut fat Stackelberg pertdakamaan kedua dar fat Nah Karena y < y analog dengan Lemma 5 r ( fung nak maka x < x Untuk etap y berlaku : yp y > yp y ( 4 Ambl up y pada kedua pertdakamaan (4 menghalkan : y P y > xp In berart follower lebh memlh embarang keetmbangan Stackelberg darpada keetmbangan Cournot terbak Kau : Jka x = Berdaarkan aum keetmbangan Cournot yang berhubungan dengan x lmxpx lmxpx y = karena ( ( x x yang juga mbalan terkecl untuk peman Karena tu leader elalu mengambl kuantta fnte maka follower akan bereak dengan kuantta fnte ebab xp y untuk x y tetap Akbatnya menghalkan mbalan keetmbangan Stackelberg lebh dar untuk kedua peman Maka follower akan memlh embarang keetmbangan Stackelberg darpada Keetmbangan Nah yang unk Lemma 6 Berdaarkan aum Teorema 7 kempulan Lemma 4 dperoleh Bukt Akan dbuktkan: Setap ttk ( y r ( S = arg mak{ π y : y r ( } x π y y π x Pertama akan dtunjukkan bahwa etap ttk y r ( Karena mbalannya kontnu maka mempunya plhan mnmum r ( kontnu kr Malkan ada keetmbangan Stackelberg x y r edemkan ehngga ( ( r y > Dar Teorema 7 dketahu bahwa etap plhan ( Karena tu hmpunan ttk d ( r tak turun r tdak bernla tunggal erupa dengan hmpunan r ttk d plhan r ( yang tak kontnu ( bernla banyak d x Karena tu dapat dtentukan bahwa untuk ε > edemkan ehngga plh x ε untuk leader yang akan membawa pada tanggapan terbak follower yang unk yatu r ( bernla tunggal d x ε In tdak fbel jka x = walaupun π ( y = y Karena tu harulah x > > r x r ( kontnu kr Karena y ( maka ( r x ε < y Dketahu pula π y kontnu d x turun d y maka menghalkan mbalan leader yatu: π ε r ε > π y Kontradk dengan hpote bahwa y keetmbangan Stackelberg Karena tu harulah y r ( S = arg mak π x r x Jad emua ttk keetmbangan Cournot-Nah peruahaan- palng terplh y r ( maka π y y ( ( x d S menghalkan mbalan yang ama untuk leader Dar Teorema 7 y π