Bab VIII Aspek Kosmologi Teori Skalar-Vektor-Tensor

Transkripsi

1 Bab VIII Apek Komolog Teor Skalar-Vektor-Tenor VIII. Pendahuluan Kemungknan nvaran Lorentz dlanggar pada energ-energ tngg dalam teor 4- dmen dengan konekuen yang dapat duj (Mattngly dan Vucetch, 005 telah menjad ebuah ubjek ret yang angat menark akhr-akhr n. al-hal tentatf dar gravta kuantum dan teor trng menunjukan bahwa ada ebuah keadaan daar (ground tate yang tdak nvaran Lorentz. Teor trng juga mempredkkan bahwa alam emeta dengan koordnat non komutatf (Conne, dkk., 998 menuju ebuah pelanggaran nvaran Lorentz (Carrol, dkk., 00. Dar oberva atrofka menunjukan bahwa keberadaan nar komk energ tngg dektar ambang Green-Zatepn-Kuzmn (GZK dapat djelakan melalu pelanggaran nvaran Lorentz (Chrholm dan Kolb, 004. Dar kebanyakan ret yang mengekplora kemungknan pelanggaran Lorentz terfoku pada fka non gravtaonal, yatu ruang-waktu datar. Dalam ruang-waktu datar, pelanggaran Lorentz dgambarkan oleh koplng kontan dar tenor yang tdak memenuh metr Lorentz. Untuk memformulakan pelanggaran nvaran Lorentz dalam ruang-waktu lengkung tanpa melanggar prnp-prnp kovaran dar tenor maka tenor terebut dpandang ebaga medan dnamk yang memenuh peramaan-peramaan medan efektf. Bab n bertujuan untuk memberkan ebuah mplementa pelanggaran Lorentz dalam fka gravtaonal dengan mennjau ebuah medan vektor yang memlk nla ekpekta vakum yang tdak lenyap dan mengkopel medan vektor dengan gravta atau medan-medan mater. Jka medan-medan mater adalah ebuah medan kalar maka teor yang dhalkan adalah teor gravta kalar-vektortenor pelanggaran Lorentz. Kau khuu dar teor n tanpa medan kalar pertama kal dperkenalkan oleh Kotelecky dan Samuel (989. Dalam kontek berbeda, Bekenten (004 juga mengkaj teor gravta dengan ebuah medan vektor untuk menjelakan efek dar mater gelap. Medan vektor dapat menentukan ebuah kerangka unveral pada etap ttk d dalam ruang-waktu dan etap 6

2 medan-medan mater yang terkopel dengan medan n akan mengalam pelanggaran nvaran Lorentz lokal (Colladay dan Kotelecky, 998. D dalam bab n pula dpelajar beberapa akbat komolog dar pelanggaran Lorentz dalam kontek kalar-vektor-tenor. Pertama dbaha formula umum dar teor kalar-vektor-tenor pelanggaran Lorentz dengan mennjau koplng antara medan kalar dan medan vektor adalah bergantung waktu. Evolu waktu dar parameter-parameternya dapat dpandang ebaga ebuah konekuen dar dnamka medan kalar. Kemudan dengan menggunakan peramaan-peramaan dnamka, dturunkan peramaan keadaan dalam ungkapan parameter vektor koplng. Konekuen komolog dar medan kalar menggelndng yatu nfla dbaha untuk beberapa model yang dberkan. Akhrnya, ttk-ttk krt dar tem global dtnjau untuk mempelajar tablta tem. VIII. Teor Gravta Skalar-Vektor-Tenor D dalam ub bab n dbaha kema dar teor kalar-vektor-tenor dengan mennjau alam emeta 4-dmen d mana ada derajat kebebaan nongravtaonal dalam kerangka kerja teor gravta kalar-vektor-tenor Aumkan bahwa ada metr Lorentz yang dlanggar ecara pontan dengan nla ekpekta dar ebuah medan vektor dberkan oleh. Tnjau ebuah ak ebaga jumlah dar tga ak yang berbeda (VIII. d mana ak untuk medan tenor,, medan vektor,, dan medan kalar,, berturut-turut dberkan ebaga berkut: (VIII. (VIII.3 (VIII.4 63

3 Dn ( adalah parameter embarang dan adalah rapat Lagrangan medan kalar dnyatakan ebaga fung dar metrk dan medan kalar. λ adalah ebuah pengal Lagrange yang memberkan kendala medan vektor menjad erupa waktu. Selanjutnya ak (VIII. dapat dpandang ebaga ebuah ak yang menggambarkan teor gravta kalar-vektor-tenor. Pada peramaan (VIII.3, oleh nla ekpekta vakum, medan vektor memenuh ebuah kendala (VIII.5 Selanjutnya pula, telah dambl medan vektor ebaga ebuah vektor tak berdmen dan akbatnya parameter memlk dmen kuadrat maa. Dengan kata lan, memberkan dekrp kala maa pada peruakan metr. Secara prnp, kerangka acuan dam khuu pada etap ttk dalam ruang-waktu dtentukan oleh medan vektor yang melanggar metr Lorentz. Solu peramaan gerak dapat dperoleh dengan mengaumkan bahwa alam emeta memlk fat homogen dan otropk. Untuk tu, metrk ruang-waktu dapat dplh metrk Fredmann-Roberton-Walker: (VIII.6 Faktor kala dar alam emeta dtentukan oleh. Karena adalah medan vektor yang dnamk maka peramaan kendala (VIII.5 menghalkan (VIII.7 Vara ak peramaan (VIII. terhadap metrc menghalkan peramaan medan Enten berkut n: (VIII.8 d mana adalah tenor energ-momentum total,. dan berturut-turut menyatakan tenor energ-momentum medan vektor dan medan kalar yang ddefnkan melalu perumuan tandar (VIII.9 Komponen waktu dan komponen ruang dar tenor energ-momentum total dberkan oleh 64

4 (VIII.0 d mana rapat energ dan tekanan dar medan vektor adalah (VIII. Sebaga catatan bahwa koplng parameter tdak memberkan kontrbu dnamk. D dalam peramaan (VIII., tanda aken menyatakan turunan dar etap kuantta terhadap, ehngga dhubungkan dengan turunan terhadap waktu oleh peramaan berkut: (VIII. Kuantta menyatakan parameter ubble. Dar peramaan (VIII. dapat dlhat bahwa peramaan energ untuk medan vektor dberkan oleh (VIII.3 Untuk mempertahankan hukum kekekalan energ total, (VIII.4 maka peramaan energ untuk medan kalar memenuh (VIII.5 Peramaan energ total (VIII.4 dapat dperoleh melalu ketdakdvergenan ecara kovaran tenor energ-momentum total ebaga akbat dar lenyapnya dvergen tenor Enten ecara geometrk yatu dar kontrak geometrk dentta Banch. Rua kanan peramaan (VIII.3 dan peramaan (VIII.4 dpandang ebaga ebuah uku nterak antara medan vektor dan medan kalar ebaga akbat dar koplng parameter yang bergantung pada medan kalar dan tentunya juga terhadap waktu. Dengan memanfaatkan komponen waktu dan komponen ruang peramaan (VIII.0 dan peramaan Enten (VIII.8, dapat dperoleh dua buah peramaan beba yang dnamakan ebaga peramaan Fredmann ebaga berkut: 65

5 (VIII.6 (VIII.7 Kedua peramaan Fredmann d ata dapat dtul kembal dalam bentuk yang lebh ederhana: (VIII.8 (VIII.9 Suku kedua pada rua kanan peramaan (VIII.9 adalah ebuah akbat dar medan vektor koplng yang tdak kontan. Jka, tanpa medan vektor, peramaan (VIII.8 dan peramaan (VIII.9 tdak lan adalah peraman gerak untuk teor kalar-tenor. Sedangkan, jka, peramaan terebut menjad peramaan yang telah dpelajar oleh Carrol dan Lm (004. Dengan menggunakan peramaan (VIII.8 dan peramaan (VIII.5 dapat dperoleh tga buah peramaan berkut: (VIII.0 (VIII. (VIII. d mana (VIII.3 dan adalah peramaan keadaan dar medan kalar. Dapat pula dlhat bahwa peramaan-peramaan (VIII.0 (VIII. memenuh kendala: (VIII.4 dan juga oleh peramaan Fredmann (VIII.9. Solu dar tem peramaan (VIII. (VIII.3 dan (VIII.4 bergantung pada model yang dtnjau dan jen 66

6 mater yang ada dalam alam emeta. Solu umum peramaan-peramaan terebut adalah: (VIII.5 (VIII.6 (VIII.7 Jka fung-fung dan dberkan, maka dapat dperoleh evolu parameter ubble dalam pelanggaran Lorentz. Malnya, kontanta komolog adalah uatu fluda yang memlk peramaan keadaan kontan. Sehngga peramaan d ata memlk olu:, dan d mana dan mang-mang merupakan fung dar. Jka merupakan parameter kontan dar uatu bentuk fluda dan dberkan, peramaan (VIII.5 - (VIII.7 dapat dgunakan untuk menentukan koplng vektor dan rapat energ medan kalar, kemudan potenal dar medan kalar dapat dtentukan. VIII.3 Peramaan Dnamka Medan Skalar Jka bentuk Lagrangan dar ebuah medan kalar dberkan d dalam ruang-waktu FRW, maka dapat dperoleh peramaan gerak untuk medan kalar dengan memanfaatkan peramaan-peramaan (VIII.5 dan (VIII.0 (VIII.. Untuk tu, tnjau ebuah rapat Lagrangan dar ebuah medan kalar yang memlk potenal d dalam peramaan (VIII., (VIII.8 d mana dan untuk medan kalar baa. Sedangkan untuk medan kalar phantom. Dengan aum bahwa medan kalar adalah homogen, ebaga fung dar waktu, maka maka rapat energ dan tekanan dapat dperoleh, yatu (VIII.9 (VIII.30 67

7 Dar kedua peramaan d ata, parameter peramaan keadaan dberkan oleh (VIII.3 Subttu peramaan (VIII.9 ke dalam peramaan (VIII.8, maka peramaan Fredmann dapat dnyatakan kembal dalam bentuk (VIII.3 Kemudan dengan mengambl turunan peramaan (VIII.8 terhadap erta menggunakan peramaan (VIII.5, dapat dperoleh peramaan gerak untuk medan kalar: (VIII.33 Selanjutnya, turunan terhadap dar peramaan (VIII.3 dan dengan memanfaatkan peramaan (VIII.33, peramaan gerak medan kalar menjad (VIII.34 Subttu (VIII.34 ke dalam peramaan Fredmann, menghalkan ungkapan untuk potenal medan kalar (VIII.35 D dalam peramaan d ata, parameter ubble,, dnyatakan ebaga fung dar medan kalar,. Dar peramaan (VIII.0, peramaan keadaan untuk medan kalar dapat dtul kembal dalam bentuk (VIII.36 Peramaan-peramaan (VIII.34 dan (VIII.36 adalah dua buah peramaan yang dapat dgunakan untuk memperoleh olu medan kalar dan peramaan keadaannya. al n dapat dkerjakan jka parameter ubble dan vektor koplng dketahu. Dengan menentukan kedua parameter terebut, dapat dperoleh olu ekak peramaan-peramaan (VIII.34 dan (VIII.36. Peramaanperamaan terebut dapat dmanfaatkan untuk memperoleh kuantta-kuantta f berkut: potenal, energ knetk (, rapat energ ( dan tekanan (, 68

8 (VIII.37 VIII.3. Solu Ekak dan Evolu Medan Skalar Pertama deleakan peramaan-peramaan (VIII.34 dan (VIII.36 untuk,,, dan, yang memerlukan dua buah kuantta haru dketahu. Berkut n dcar olu-olu ekak dar peramaan keadaan medan kalar untuk koplng vektor kudratk medan kalar. Zlatev, dkk., (999 telah mempelajar peramaan keadaan medan kalar dalam kontek komolog dengan medan kalar ebaga medan tracker erta dtnjau pula beberapa jen potenal yang menghalkan dnamka peramaan keadaan. Tnjau ebuah model berkut n: (VIII.38 d mana dan adalah parameter-parameter kontan. Setelah mengntegra peramaan (VIII.34 maka peramaan evolu untuk medan kalar dberkan oleh: (VIII.39 D dalam peramaan d ata adalah ebuah kontanta. Kemudan peramaan keadaan medan kalar menjad (VIII.40 Evolu dar potenal, energ knetk, rapat energ dan tekanan berturut-turut adalah (VIII.4 Solu-olu yang dberkan pada peramaan d ata epenuhnya terkat dengan pelangggaran Lorentz yang dnyatakan oleh koplng parameter. Dar model yang dberkan oleh peramaan (VIII.38, evolu komk dmula dar faktor kala 69

9 yang kontan kemudan bertambah ecara ekponenal,. Vektor koplng mula dar medan kalar yang kontan,, kemudan menurun ecara ekponenal untuk medan kalar baa dan untuk kau medan phantom evolu dar vektor koplng menjad menurun. Sedangkan potenal, energ knetk, rapat energ dan tekanan adalah fung-fung ekponenal terhadap waktu dan kuantta terebut menurun untuk medan kalar baa. Untuk medan phantom potenal dan rapat energnya bertambah ecara ekponenal. Energ knetk dan tekanan untuk medan kalar baa mula dengan bearan negatf. Peramaan keadaan menjad bearan yang tdak dnamk dan hanya bergantung pada nla dar parameter koplng bak untuk medan kalar baa maupun medan phantom. Agar ekpan yang dpercepat dapat terjad maka parameter koplng memlk nla untuk medan kalar baa. Dar hal oberva, peramaan keadaan memlk nla lebh kecl dar. Jad nla dapat dplh eua dengan hal oberva. Untuk kau d mana dan, juga dperoleh peramaan keadaan yang kontan, (VIII.4 Syarat bag alam emeta yang dpercepat atau menghalkan Untuk model d ata dperoleh ekpan fung pangkat yang memlk bentuk (VIII.43 (VIII.44 d mana pangkatnya ddefnkan oleh Evolu dar medan kalar dberkan oleh (VIII.45 (VIII.46 70

10 VIII.3. Dnamka Peramaan Keadaan Tnjau ebuah model d mana vektor koplng dberkan dalam bentuk fung pangkat dar medan kalar ( n = 0, β = m, n>. (VIII.47 Dn 0, m dan n adalah parameter-parameter kontan. Dengan mengkut langkah-langkah penurunan ebelumnya, evolu dar medan kalar dperoleh ebaga berkut ( t dan vektor koplng dberkan oleh 0 = + ηmn n t t n ( ( ( n, (VIII.48 β ( t n m 0 = + ηmn n t t n ( ( Sedangkan peramaan keadaan (VIII.36 menghalkan n ( n. (VIII.49 ω ( t 4ηmn 3 n = ηmn0 n 0 t t 0 n ( (. (VIII.50 Potenal, energ knetk, rapat energ dan tekanan medan kalar memlk olu ( V t ( K t n ηmn 0 3 = 3m00 0( n + ηmn n 0 ( t t0 + ηmn n t t n ( ( n ( mn00 η = + ηmn n t t n ( ( n ( n ( n ( n, (VIII.5, (VIII.5 ρ ( t = 3m n 0 0 n ( ( + ηmn n t t n ( n, (VIII.53 ( pt n 4ηmn 0 3 = 3m00 + 0( n + ηmn n 0 ( t t0 + ηmn n t t n ( ( n ( n. (VIII.54 7

11 Dar olu-olu d ata bahwa model (VIII.47 menggambarkan dnamka evolu yang dmula dar faktor kala yang kontan kemudan nak ecara ekponenal, at ( aexp[ ( t t]. Vektor koplng juga mula dar nla yang = kontan m 0. Peramaan keadaan menjad dnamk bak untuk medan kalar baa maupun medan phantom. Kemudan, potenal, energ knetk, rapat energ dan tekanan menurun untuk medan kalar baa edangkan untuk medan phantom potenal dan rapat energ bertambah bear. VIII.4 Skenaro Infla Pelanggaran Lorentz Pelanggaran Lorentz d dalam kenaro nfla dapat dbedakan menjad dua bagan: daerah gelndngan perlahan (low-roll pelanggaran Lorentz, 8π Gβ >>, dan daerah gelndngan perlahan tandar, 8π Gβ <<. Kau pertama terkat dengan β = β pada peramaan (VIII.3 dan kau kedua terkat dengan β πg = (8 yang menggambarkan nfla tandar. D dalam ub bab n dtnjau kenaro nfla medan kalar yang ddaarkan ata teor kalar-vektor-tenor. Vektor koplng dan potenal dberkan ebaga model dan dnamkanya dgambarkan oleh peramaan Fredmann dan peramaan gerak medan kalar. Dar hal yang dperoleh pada ub Bab VIII., peramaanperamaan dnamka terebut adalah = ( 3β +, (VIII.55 V β + + = 0, (VIII.56 β β V, β, =0. (VIII.57 Peramaan-peramaan dnamka d ata menghalkan nla krt dar medan kalar (lhat Gambar VIII. yang ddefnkan oleh ( 8 G c π β =. (VIII.58 Sebaga contoh, parameter koplng dengan bentuk β = n maka peramaan (VIII.58 menghalkan 7

12 M pl c =. (VIII.59 8π n Gambar VIII. Sebuah ttk krt d mana koplng antara vektor pelanggaran Lorentz dan medan kalar menjad tdak efektf (Kanno dan Soda, 006. Malkan menyatakan nla awal dar medan kalar. Dengan mengambl ~3M, yarat > c menghalkan parameter koplng n > /(7 π ~ / 6 pl agar terjad nfla pelanggaran Lorentz. Sedangkan jka < c, efek dar pelanggaran Lorentz dapat dabakan. Berkut n dtnjau ebuah model vektor koplng yang dberkan oleh m ( n β =, (VIII.60 dengan m dan n adalah parameter-parameter. Untuk model n, nla krt dar medan kalar adalah M pl c = 8nπ m, dan M pl n >. (VIII.6 m 8π 3 ( M pl Ada beberapa tpe potenal yang dapat menghalkan nfla dalam komolog tandar. D dalam kenaro teor calar-vektor-tenor, nfla dapat terjad tanpa potenal (Kanno dan Soda, 006. Pada paal berkut n dtnjau dua tpe potenal yatu potenal fung pangkat kebalkan (nvere power-law potental 73

13 dan potenal fung pangkat (power-law potental. Solu dan analanya dbaha untuk mang-mang daerah nfla. VIII.4. Potenal Fung Pangkat Kebalkan Tnjau ebuah potenal dalam bentuk + ν ν μ V ( 4 =. (VIII.6 Dn μ dan ν adalah kontanta-kontanta. Model potenal fung pangkat kebalkan dalam komolog tandar dapat menghalkan perturba tenor untuk fluktua medan kalar kala-nvaran (Barrow, 990 dan juga dapat dhalkan dalam model upermetrk QCD (Bnetruy, 999. VIII.4.. Daerah Gelndngan Perlahan Pelanggaran Lorentz Untuk nla medan kalar yang cukup bear, fung koplng β( dan fung potenal V( keduannya memberkan kontrbu dalam model yang dtnjau. Selama nfla, efek pelanggaran Lorentz terhadap dnamka nfla juga bear. Dalam daerah pelanggaran Lorentz peramaan Fredmann dan peramaan gerak medan kalar dberkan oleh = ( 3β +, (VIII.63 V β + + = 0, (VIII.64 β β V, β, =0. (VIII.65 Ketka terjad nfla, faktor kala menghalkan ebuah percepatan dan medan kalar berevolu lebh lambat dbandngkan dengan ekpan alam emeta. Sehngga medan kalar memenuh yarat menggelndng perlahan << V, <<, << β dan β << β. (VIII.66 Dengan yarat n peramaan (VIII.63 (VIII.65 menjad V ~ 3 β, ~ β, V, β +. (VIII.67 β V Dar model yang dberkan, potenal oleh peramaan (VIII.6 dan koplng vektor oleh peramaan (VIII.60, maka dapat dperoleh 74

14 4+ ν μ = 3n ( ν + m ( ( m, (VIII.68 = n m ν. (VIII.69 Solu dar medan kalar ebaga fung dar faktor kala dapat dperoleh dengan mengntegra peramaan (VIII.69, m ( ( ( ( ( m α = n m m ν α α +, m, m ν, (VIII.70 α = α adalah uatu kontanta. Peramaan Fredmann menjad dengan ( 4+ ν μ m ( ( ( ( m+ ν ( m = + n m m ν α α 3n. (VIII.7 Agar olu yang dberkan oleh peramaan (VIII.70 memenuh yarat gelndngan perlahan (VIII.66 elama terjad pelanggaran Lorentz, maka pangkat m dar koplng vektor memenuh m > karena: (~ ( m ( m α << β (~ α ( m ( m β (~ α << β (~ α m m ( m ( m, (VIII.7. (VIII.73 Ekpan alam emeta yang terjad pada daerah pelanggaran Lorentz dberkan oleh evolu faktor kala, ( ( D at B = exp + AC ( D ( t t, C 0 D, (VIII.74 a C C B dengan A, B, C dan D adalah kontanta-kontanta yang ddefnkan ebaga berkut: μ A= B = C = n m m D = 3n 4+ ν m m +,, ( ( ν, ν ( m. (VIII.75 Dengan memanfaatkan peramaan-peramaan (VIII.70, (VIII.7 dan (VIII.74 maka evolu waktu dar kuantta-kuantta medan kalar, parameter ubble dan koplng vektor berturut-turut adalah B ( t = AC( D ( t t D t A AC D t t D B ( = ( ( ( D ( m, (VIII.76 D ( D, (VIII.77 75

15 β B ( t = n AC( D ( t t D Evolu dar rapat energ medan kalar dberkan oleh ρ ( t V = 3nA AC( D ( t t ( ( m D m. (VIII.78 ( m D( m ( D ( m D. (VIII.79 B Peramaan (VIII.77 menunjukkan bahwa parameter ubble menurun elama terjad nfla, hal n adalah ebuah konekuen dar pelanggaran Lorentz. Setelah menubttukan peramaan (VIII.60 ke peramaan (VIII.67 maka untuk m =, ν evolu dar medan kalar dberkan oleh dengan ( ( e n( ν ( α α α =, (VIII.80 α = α. Agar olu n memenuh yarat gelndngan perlahan maka n < ( ν. (VIII.8 Sehngga karan dar parameter n d mana nfla pelanggaran Lorentz terjad adalah < n < 6 ( ν. (VIII.8 Parameter ubble ebaga fung dar faktor kala dberkan oleh d mana ( α ( ν 4( α α n e =, (VIII ν μ =. (VIII.84 ( + ν 3n Faktor kala juga dapat dungkapkan ebaga fung dar medan kalar ( ( t at a = ( ν n. (VIII.84 Sehngga evolu waktu dar kuantta-kuantta f dapat drangkum ebaga berkut: 76

16 ( at a ( t ( t β ( ν 4 ( = n t t ( ν 4 ( = n t t ( ν ( t t 4 ( t n n ( ν 4, (VIII.85 ( ν +, (VIII.86 = n, (VIII.87 ( ν ( = n t t 4 Dan evolu dar rapat energ medan kalar adalah ρ 4+ μ ( ν + ν ν ( ν + ( t = n( ν ( t t 4. (VIII.88. (VIII.89 VIII.4.. Daerah Gelndngan Perlahan Standar Setelah medan kalar melewat nla krt c, dnamka nfla dtentukan oleh potenal V. Untuk daerah gelndngan perlahan tandar permaan Fredmann dan peramaan gerak medan kalar menjad 8π G = V 3 +, (VIII.90 4πG + 0 =, (VIII.9 V, =0. (VIII.9 Syarat gelndngan perlahan tandar menghalkan peramaan gelndngan perlahan 8 π V, 3G V 8π GV,. (VIII.93 Untuk potenal fung pangkat kebalkan, peramaan evolu dar medan kalar nflaton dan parameter ubble ebaga fung dar faktor kala adalah ν ( α = c + ( α αc, (VIII.94 4π G 8πG + ν c 3 4π G ν ( α = μ + ( α α 4 c ν. (VIII.95 77

17 Solu untuk faktor kala dperoleh ( at a c 4π G exp ( ( t = c ν. (VIII.96 Ketka yarat gelndngan perlahan dlanggar maka nfla pada daerah tandar berakhr dan alam emeta mula dengan perode pemanaan kembal (reheatng. Peramaan-peramaan evolunya dberkan oleh ρ ( ( at B = exp + B + AC D + t t ac C C ( c D + ( t B AC ( D ( t t ( ( D + c ( D + ( D +, (VIII.97 = + +, (VIII.98 ( D + ( ( ( ( D + D = + + c. (VIII.99 t A B AC D t t 3 8 AC ( D + ( t = B + AC ( D + ( t t D c D ( D +, (VIII.00 d mana 8 G 4 A π, B c, C ν ν, D ν + = μ = = =. (VIII.0 3 4π G 4 Berbeda dengan daerah nfla pelanggran Lorentz pada daerah gelndngan perlahan tandar, parameter ubble bertambah bear elama evolu. Kuantta lan yang dhtung elama faa nflan adalah jumlah e-foldng. Jumlah e-foldng total dberkan oleh untuk m >, ν m dan B N = + AC D t D c C C B ( ( t ( D D ( ( ( ( D + + B AC D te tc B C C 4π G = +,. (VIII.0 m m ( ( C c ν e c N = log n( ν 4 ( t c t n ( ν 4 D ( ( ( ( D + + B AC D te tc B C C 78

18 4πG = log + ( ( e c, (VIII.03 n ν c ν untuk m =, ν. D dalam peramaan-peramaan d ata, uku pertama adalah kontrbu dar daerah nfla pelanggaran Lorentz dan uku kedua adalah kontrbu dar daerah nfla tandar. Sebuah contoh, jka nla-nla parameter dambl ebaga berkut: N = 70, n = 0 -, m = dan ν =. Jka e ~ 0.3 M pl adalah bearan medan kalar pada akhr nfla maka dperoleh nla krtnya c ~ M pl dan bearan n mah lebh kecl dar ~.5M dar akhr nfla mah relevan. pl. Sehngga kontrbu VIII.4. Potenal Fung Pangkat Pada paal n dtnjau untuk potenal fung pangkat, dbata hanya pada pangkat dua, yatu V =. (VIII.04 ( M VIII.4.. Daerah Gelndngan Perlahan Pelanggaran Lorentz Untuk model potenal yang dberkan oleh peramaan (VIII.04 dan memanfaatkan yarat gelndngan perlahan, maka peramaan gelndngan perlahan pada daerah pelanggaran Lorentz adalah M ( m 6n =, (VIII.05 ( ( m Solu untuk medan kalar dberkan oleh untuk m dan = nm+. (VIII.06 m ( = + nm ( 4( α α α ( e 4n( α α ( m, (VIII.07 α =, (VIII.08 untuk m =. Skenaro untuk kau m = telah dkaj oleh Kanno dan Soda (006, dperoleh bahwa parameter ubble menjad kontan elama nfla daerah 79

19 pelanggaran Lorentz. Dn akan dbaha untuk kau m dan parameter ubble dberkan oleh M α = + α α 6n, (VIII.09 m ( n( m 4( dan olu untuk faktor kala dberkan oleh ( at a = exp m nm ( 4 ( t Sepert juga dalam kau ebelumnya, untuk m m > dapat terjad. Evolu waktu dar peramaan (VIII.0 adalah. (VIII.0 efek pelanggaran Lorentz d mana b ( ( t = + b + dc t t α α c c, (VIII. m M b=, c = n( m 4, d =, 6n m>. (VIII. Dengan memanfaatkan olu (VIII. maka dperoleh ( at b = exp + + a c c ( t = b + dc( t t ( b dc t t ( m, (VIII.3, (VIII.4 ( t d = b + dc( t t, (VIII.5 β ( t = n b + dc( t t ( m m ρ ( t = 3nd b + dc( t t ( m 4, (VIII.6, (VIII.7 d mana b, c, dan d adalah kontanta-kontanta potf. al yang gnfkan adalah parameter ubble dan faktor kala bertambah bear elama nfla pelanggaran Lorentz untuk m >. Sedangkan untuk m = parameter ubble adalah kontan. Pada paal berkut n dapat dlhat bahwa parameter ubble menurun dalam daerah gelndngan perlahan tandar. Sehngga elama perode nfla dapat dhalkan pektrum dengan pektrum awal bru dan kemudan 80

20 pektrum warna merah. al n dapat menjelakan pektrum daya CMB pada kala bear yang damat oleh WMAP (Bennet, dkk., 003. Secara kualtatf dapat djelakan ebaga berkut. Ketka parameter ubble bertambah bear maka medan kalar memlk energ yang tngg elama perode nfla pelanggaran Lorentz dan dapat menghalkan pektrum warna bru. Sebalknya, dalam daerah gelndngan perlahan tandar, parameter ubble menurun yang berart energ medan kalar menurun dan kemudan menghalkan pektrum warna merah. VIII.4.. Daerah Gelndngan Perlahan Standar Berkut n dtnjau kenaro nfla chaotc dalam daerah gelndngan perlahan tandar. Peramaan Fredmann dan peramaan gerak dberkan oleh peramaan (VIII.90 (VIII.9. Dengan aum yarat gelndngan perlahan tandar dpenuh maka peramaan gelndngan perlahan dberkan oleh 4πG M 3 4π G., Peramaan-peramaan evolu ebaga fung dar faktor kala adalah ( ( c (VIII.8 (VIII.9 α = α α c, (VIII.0 π G 4π GM = ( α α c 3 π G. (VIII. c Integra peramaan (VIII. menghalkan b ( ( t = b d c t t α α c c c c. (VIII. Dengan memanfaatkan hubungan n, dnamka evolu dar alam emeta dgambarkan oleh peramaan berkut: ( at b = exp b d c t t ac c c ( ( c ( c, (VIII.3 t = b d c t t, (VIII.4 8

21 d mana c ( = ( t d b d c t t ρ, ( 3 cd ( t = b d c t t 4 c, (VIII.5 (VIII.6 4π GM b = c, c =, d =. (VIII.7 π G 3 Sebagamana telah debutkan ebelumnya, parameter ubble menurun dalam daerah gelndngan perlahan tandar. Untuk kau potenal chaotc, jumlah total e-foldng adalah b b N = + b dc( tc t b dc( te c c c + + c c t = c + π c e. (VIII.8 n m ( ( m m G ( 4 d mana e adalah nla medan calar pada akhr nfla. Kembal uku pertama muncul dar nfla pada daerah pelanggaran Lorentz. VIII.5 Anal Ruang Faa VIII.5. Stem Dnamk Metode tem dnamka dapat dgunakan ebaga anal kualtatf dar ebuah model komolog yang terdr dar peramaan-peramaan dferenal baa. Interpreta f untuk melengkap tem dnamk dpaham dar defn-defn varabel yang dberkan. Sebaga contoh, tnjau ebuah tem yang terdr dar tga buah derajat kebebaan yatu terdr dar tga buah varabel: u, v dan w, untuk menggambarkan tem. Maka dnamka dar tem dapat dnyatakan oleh peramaan-peramaan dferenal baa yang terkopel: du f ( uvw,, dt =, (VIII.9 dv = g( u, v, w, (VIII.30 dt dw = huvw (,,. (VIII.3 dt 8

22 Fung-fung f, g, dan h tdak melput waktu ehngga temnya adalah outonomou. Bentuk dar peramaan-peramaan tem dnamk d ata dapat dmanfaatkan untuk mengdentfka ttk-ttk tetap dar tem. Ttk-ttk tetap ddefnkan ebaga ttk-ttk d mana turunan waktu dar varabel-varabel lenyap, untuk kau d ata adalah f ( u, v, w = 0, (VIII.3 g( u, v, w = 0, (VIII.33 huvw= (,, 0. (VIII.34 Ttk-ttk tetap yang dperoleh menentukan trayektor dar tem. Sebaga contoh, untuk tem -dmen, peramaan dnamkanya adalah dx f ( x dt =. (VIII.35 Maka ttk-ttk tetap dperoleh dengan mengambl f ( x = 0. VIII.5. Stem Dnamk Medan Skalar Pada paal n dbaha truktur global dar dnamka tem melalu anal bdang faa dan menghtung evolu komolog ecara numerk. Dengan memperkenalkan varabel-varabel berkut: V x, y, (VIII.36 6β 3 β β, V,, λ λ β, (VIII.37 β V ββ VV Γ, Γ. (VIII.38,, β, V, maka peramaan gerak medan kalar (VIII.56 dan (VIII.57 dapat dnyatakan ebaga tem bdang-autonomou: 3 x = 3x( x + ( λ+ λ y, (VIII.39 3 y = 3x ( λ + λ xy, (VIII.40 83

23 λ 6 λ = Γ x, (VIII.4 λ λ = 6λ Γ x. (VIII.4 λ Sebuah aken menyatakan turunan terhadap logartme dar faktor kala, α = ln a. Fung-fung λ ( dan λ ( mang-mang menentukan vektor koplng dan potenal. Peramaan Fredmann (VIII.55 menjad x + y =. (VIII.43 Peramaan keadaan medan kalar dapat dungkapkan dalam varbel-varabel baru p ω = = ρ x x y + y. (VIII.44 Ungkapan kalar dan x mengandung nforma untuk ekpan oleh energ knetk medan y oleh potenal dalam kenaro pelanggaran Lorentz. Dalam tem autonomou, peramaan-peramaan (VIII.39 (VIII.4 dapat dnyatakan dalam bentuk x = f(x d mana x(x, y, λ, λ, dan ttk-trtk tetap yang dnamakan dengan ttk-ttk krt x 0 adalah olu dar tem peramaan f(x 0 = 0. Untuk menentukan tablta dar tem, gangguan dlakukan dektar ttk-ttk krt dalam bentuk x = x 0 + u dan menghalkan peramaan gerak u = M u, d mana M j f x =. (VIII.45 j x0 Untuk peramaan-peramaan dnamka (VIII.39 (VIII.4, u adalah ebuah vektor kolom yang terdr dar gangguan x, y, λ, λ. Jad M j adalah ebuah matrk 4 x 4. Stablta dar ttk-ttk krt dtentukan oleh nla-nla egen μ dar matrk M pada ttk krt. Ttk krt dkatakan tabl jka nla-nla egen dar M adalah rl negatf Re( μ < 0 dan tdak tabl jka Re( μ > 0 dan jka tdak memenuh keduannya, ttk krt dkatakan ttk balk (addle pont. Berkut n dtnjau model yang ederhana 84

24 (, ( β = m V = M, (VIII.46 dengan m dan M adalah parameter-parameter. Subttu peramaan n ke peramaan-peramaan (VIII.37 dan (VIII.38 menghalkan λ = λ = m, Γ =Γ =. (VIII.47 Dan ecara trval dpenuh untuk peramaan-peramaan (VIII.4 dan (VIII.4. Peramaan (VIII.39 dan peramaan (VIII.40 dapat dyatakan dalam peramaan tunggal 3 x = 3x + x ( λ λ ( ( = 3x 6m + x. (VIII.48 Solu-olu pelanggaran Lorentz dapat dperoleh dar peramaan = 3x + 6λx. (VIII.49 Suku kedua rua kanan peramaan n muncul akbat dar pelanggaran Lorentz. Ttk-ttk krt ( x0, y0 dar tem adalah (, 0, (,0 dan ( 8 m/3, 8 m/3. (VIII.50 Ttk-ttk krt (, 0 atau (,0 berhubungan dengan olu-olu ddomna oleh uku knetk pelanggaran Lorentz dan ttk krt ( 8 m/3, 8 m/3 berhubungan dengan olu potenal-knetk pelanggaran Lorentz. Dengan mengntegra peramaan (VIII.49, olu untuk parameter ubble dberkan oleh α exp p. (VIII.5 Solu n berhubungan dengan alam emeta mengembang dengan faktor kala dberkan oleh at (~ t p, p =. (VIII.5 3x 6λ x 3x + 6mx Sehngga ttk krt x =± menghalkan m > /6 dan ttk krt x0 = 8m/3 menghalkan m </6. 85

25 Gangguan lner dektar ttk x 0 + = + dan = berturut-turut menghalkan 0 nla-nla egen μ + = m dan μ = 6 4 6m. Jad untuk nla m potf, x + =+ elalu tdak tabl dan x 0 = adalah tabl untuk m > 3/8 tetap tdak 0 tabl untuk m < 3/8. x 0.8 y Gambar VIII x Bdang faa olu domna knetk pelanggaran Lorentz y Gambar VIII x Bdang faa olu potenal-knetk pelanggaran Lorentz. 86

26 Kemudan gangguan lnear dektar ttk potenal-knetk pelanggaran Lorentz menghalkan nla egen μ = 8m 3, dan memberkan olu tabl untuk m < 3/8. Gambar VIII. dan Gambar VIII.3 menunjukan kurva bdang faa untuk m > 3/8 dan m < 3/8. Trayektor dbata d dalam lngkaran x + y =. Dalam model (VIII.46, peramaan keadaan medan kalar dberkan oleh 6m ω = +, (VIII.53 3 yatu dtentukan oleh parameter m dar vektor koplng, dan elalu memenuh ω > untuk m potf. VIII.6 Rangkuman Dalam bab n telah dperoleh perumuan komolog dar teor gravta kalarvektor-tenor dengan medan vektor erupa waktu. Dengan aum bahwa medanmedan adalah homogen, rapat energ dan tekanan dar medan kalar dperoleh dan peramaan (VIII.0 (VIII. berama-ama dengan peramaan Fredmaan dapat dgunakan untuk menggambarkan olu-olu komolog. D dalam ub Bab VIII.3, olu ekak peramaan keadaan dperoleh dar model parameter ubble dan vektor koplng fung pangkat. Peramaan keadaan non dnamk dperoleh untuk n = dan n > menjad dnamk. Untuk kau n medan kalar terkat dengan pelanggaran Lorentz dan peramaan keadaan dar medan kalar dtentukan oleh parameter koplng vektor. Infla pelanggaran Lorentz yang dbaha d dalam ub Bab VIII.4 menunjukkan bahwa untuk potenal fung pangkat kebalkan, evolu parameter ubble menurun pada daerah pelanggaran Lorentz dan bertambah bear pada daerah gelndngan perlahan tandar. Untuk kau potenal fung pangkat, potenal chaotc, evolu parameter ubble menurun pada daerah pelanggaran Lorentz dan bertambah bear pada daerah gelndngan perlahan tandar. 87

27 Vektor koplng kuadratk dan potenal chaotc berhubungan dengan nla-nla kontan λ = λ = m dan Γ =Γ = /. Untuk kau ebalknya jka λ dan λ dbuat kontan, dtemukan bahwa bentuk vektor koplng mah dalam fung kuadratk dar medan kalar edangkan potenal ebaga fung dar medan kalar adalah fung pangkat V ~ γ dan / Γ =, Γ = /( γ d mana γ = λ/ λ. D dalam ub Bab VIII.5, dpelajar perlaku atraktor dar medan kalar penyebab nfla dalam kontek pelanggaran Lorentz. Dperoleh bahwa ada olu-olu tabl dar evolu alam emeta. Ada tga buah ttk krt yang dperoleh yatu: dua buah olu ketka uku knetk menjad domnan dan atu buah olu ketka uku knetk-potenal menjad domnan. Bergantung dar koplng parameter, jka alah atu dar ttk krt adalah tabl maka ttk krt yang lan menjad tdak tabl. Alam emeta kemudan berevolu dar keadaan yang tdak tabl menuju ke alah atu ttk krt yang tabl. 88