SEMI MODUL POLINOMIAL FUZZY ATAS ALJABAR MAX-PLUS FUZZY

JMP : Volume 3 Nomor 1, Jui 2011 SEMI MODUL POLINOMIAL FUZZY ATAS ALJABAR MAX-PLUS FUZZY Ari Wardayai da Suroto Prodi Matematika, Jurusa MIPA, Fakultas Sais da Tekik Uiversitas Jederal Soedirma (email : ariwardayai@yahoo.co.id, suroto_80@yahoo.com) ABSTRAK. Pada makalah ii dibahas megeai perluasa aljabar max-plus fuzzy pada poliomial dega koefisie bilaga fuzzy. Selajutya, dibuktika poliomial fuzzy tersebut merupaka semi modul atas aljabar max-plus fuzzy. Kata kuci : aljabar max-plus fuzzy, poliomial fuzzy, semi modul ABSTRACT. I this paper, we discuss the extesio of fuzzy max-plus algebra o polyomial with coefficiet i fuzzy umber. We also proof that fuzzy polyomial is semi modul over fuzzy max-plus algebra. Key word : fuzzy max-plus algebra, fuzzy polyomial, semi modul PENDAHULUAN Aljabar max-plus merupaka struktur aljabar Rmax = R { } yag disertai dega dua operasi bier yaki maksimum da pejumlaha. Struktur aljabar Rmax yag disertai dega operasi bier maksimum sebagai operasi da operasi pejumlaha sebagai operasi adalah semi lapaga komutatif idempote (Bacelli, 2001). Pada dasarya, himpua yag dibicaraka dalam pembahasa kosep aljabar max-plus lebih terpusat pada himpua bilaga real R. Namu, dalam perkembaga selajutya aljabar max-plus dapat diperluas himpua pembicaraaya mejadi himpua bilaga fuzzy (Rudhito, 2006). Bilaga fuzzy adalah himpua fuzzy dalam semesta R yag memeuhi sifat ormal, mempuyai support terbatas, setiap α-cutya merupaka selag

A. Wardayai da Suroto 2 tertutup, da koveks. Utuk selajutya himpua bilaga fuzzy dilambagka dega R. Operasi maksimum da pejumlaha pada R dapat didefiisika dega megguaka prisip perluasa atau dega α-cut pada himpua fuzzy (Zimmerma, 1991). Teorema dekomposisi merupaka ladasa kerja pemafaata prisip perluasa da α-cut pada himpua fuzzy yag dapat diguaka utuk meetuka operasi aritmatika pada bilaga fuzzy (Susilo, 2006). Utuk selajutya aljabar max-plus fuzzy diotasika dega Rmax, dega R adalah himpua bilaga fuzzy. Pada tahu 2007, Rudhito membuktika semi modul bilaga fuzzy atas aljabar max-plus fuzzy da perluasaya pada matriks bilaga fuzzy. Pada tulisa ii, aka dibuktika bahwa himpua poliomial fuzzy merupaka semi modul atas semi rig aljabar max-plus fuzzy. SEMI MODUL POLINOMIAL FUZZY Semi rig K merupaka suatu himpua tak kosog yag disertai dega dua operasi bier da yag memeuhi (K, ) semi grup komutatif dega eleme ol ε, (K, ) semi grup dega eleme satua e, eleme ol ε merupaka eleme peyerap terhadap operasi, da distributif terhadap. Suatu semi rig dikataka idempote jika operasi bersifat idempote da dikataka komutatif jika operasi bersifat komutatif. Semi modul M atas semi rig K adalah himpua tak kosog yag disertai operasi iteral dega eleme ol ε, da operasi eksteral yag didefiisika pada KxM dega hasilya pada M yag memeuhi operasi bersifat assosiatif, komutatif da utuk setiap α, β K da x, y M berlaku y) = αx αy, (α β)x = αx βx, α(βx) = ( αβ)x, ex = x da α(x εx = ε Misalka dibetuk suatu himpua yag beraggotaka poliomialpoliomial dega idetermiate γ da koefisieya bilaga fuzzy { p p a i γ i, a i Rmax }

Semi Modul Poliomial 3 utuk suatu N. Utuk selajutya, himpua ii di otasika dega Rmax[γ] da diamaka himpua poliomial fuzzy. Misalka p da q eleme pada Rmax[γ] dega p a i γ i utuk a i Rmax,, q = m Eleme p da q dikataka sama jika m = da a i = b i. b i γ i utuk b i Rmax. Utuk meyelidiki sifat-sifat yag terdapat pada struktur Rmax[γ] terlebih dahulu didefiisika dua operasi pada Rmax[γ] yaki operasi iteral sebagai operasi pejumlaha kompoe demi kompoe pada poliomial, da operasi eksteral pergadaa dega skalar pada Rmax. p Utuk setiap p, p, q, q Rmax[γ] dega p = p da q = q. Misalka a i γ i utuk a i Rmax, da p = m b i γ i utuk b i Rmax. Karea p = p, maka a i = b i diperoleh a i α = b i α utuk setiap α [0,1], i = 1, 2,..., da = m. k Secara aalog, misalka q c i γ i l utuk c i Rmax, da q d _ γ i utuk d i Rmax. Karea q = q, maka c i = d i diperoleh c i α = d i α utuk setiap α [0,1], i = 1, 2,..., k da k = l. Tapa meguragi keumuma, misalka k da m l. Dega demikia, 獮 p q = ( a i γ i k ) ( c i γ i ) t i γ i, dega t i = a i c i p q = ( m b iγ i l ) ( d iγ i ) s iγ i, dega s i = b i d i Semetara itu, t i = a i c i merupaka himpua fuzzy yag α-cutya adalah iterval [a α c α, a α c α ] utuk setiap α [0,1] da [a α c α, a α c α ] = [a α, a α ] [c α,c α ]. Karea a i=b i, maka α-cutya sama, yaki a i α = b iα. Dari sii diperoleh [a α,a α ]=[b α,b α ], sehigga a α = b α, a α = b α da aalog utuk c i = d i. Disisi lai, t i = a i c i = [a α c α, a α c α ] = [a α, a α ] [c α, c α ] = [b α, b α ] [d α, d α ] = [b α d α, b α d α ] = b i d i = s i

A. Wardayai da Suroto 4 sehigga berlaku p q = p q. Dega demikia, operasi iteral yag didefiisika pada Rmax[γ] merupaka operasi yag terdefiisi dega baik. Selajutya, utuk setiap p, p Rmax[γ] da v, w Rmax dega p = p da v = w, diperoleh v p = v ( a iγ i ) v a iγ i x iγ i dega x i = v a i w p = w ( b iγ i ) w b iγ i y iγ i dega y i = w b i Disii, v a i merupaka himpua fuzzy yag α-cutya adalah iterval [a α v α, a α v α ] utuk setiap α [0,1] da [a α v α, a α v α ] = [a α, a α ] [v α, v α ]. Karea a i = b i, maka α-cutya, sama yaki a iα = b iα. Dari sii diperoleh [v α, v α ] = [w α, w α ]. Akibatya v α = w α da v α = w α. Kemudia, x i = v a i = [a α v α, a α v α ] = [a α, a α ] [v α, v α ] = [b α, b α ] [w α, w α ]= [b α w α, b α w α ] = w b i = y i sehigga diperoleh v p = w p. Dega demikia, operasi eksteral yag didefiisika pada Rmax[γ] merupaka operasi yag terdefiisi dega baik. Utuk selajutya aka diselidiki sifat-sifat yag berlaku pada operasi. Misalka, utuk p, q, r Rmax[γ], p m b iγ i k dega b i Rmax da r meguragi keumuma, diambil m k, sehigga a iγ i dega a i Rmax, q = c iγ i dega c i Rmax. Tapa [ p q ] r = [ ( a iγ i ) ( m b iγ i k ) ] ( c iγ i ) = [ ( ( a i b i)γ i k ) ] ( [( a i b i ) c i] γ i ) c i γ i ) [ a i ( b i c i)] γ i = ( a iγ i ) [ ( m (b i c i)γ i ) ]

Semi Modul Poliomial 5 = ( a iγ i ) [ ( m b iγ i k ) ( c iγ i ) ] = p [q r] Dega demikia, operasi bersifat assosiatif pada Rmax[γ]. Berikutya aka diselidiki sifat komutatif operasi pada Rmax[γ]. Utuk setiap p, q Rmax[γ] berlaku p q = ( a iγ i ) ( m b iγ i ) (a i b i)γ i (b i a i)γ i = ( m b iγ i ) ( a iγ i ) = q p Dega demikia, operasi bersifat komutatif pada Rmax[γ]. Poliomial ol ε merupaka eleme pada Rmax[γ], karea ε a iγ i, dega a i = ε adalah himpua fuzzy dega α-cutya adalah iterval [ε,ε ]. Utuk setiap p a iγ i Rmax[γ] berlaku p ε =( a iγ i ) ( m=0 ε γ i ) (a i ε ) γ i a i γ i = p Secara aalog, juga berlaku ε p = p. Dega demikia, Rmax[γ] mempuyai eleme ol yaitu poliomial ol ε. Utuk selajutya aka diselidiki sifat yag yag berlaku pada operasi pergadaa skalar. Utuk setiap v, w Rmax da p, q Rmax[γ] i. v [ p q ] = v [( a iγ i ) ( m b iγ i ) ] = v [ (a i b i )γ i ] v ( a i b i)γ i ( v a i v b i)γ i = ( v a iγ i ) ( m v b iγ i )=v ( a iγ i ) v ( m b iγ i ) = v p v q

A. Wardayai da Suroto 6 ii. [v w ] p = [v w ] ( a iγ i ) = ( [v w ] a iγ i ) = ( [v a i w a i ] γ i ) = ( v a iγ i ) ( w a γ i ) = v ( a iγ i ) w ( a iγ i ) = v p v p iii. v [ w p ] = v [ w ( a iγ i ) ] = v [ (w a i) γ i ] = [ v (w a i) γ i ] = [ (v w ) a i γ i ] =(v w ) [ a i γ i ] = (v w ) p Selajutya e p = e ( a iγ i ) e a iγ i a iγ i = p dega e adalah eleme satua pada Rmax, yaki himpua fuzzy dega α-cutya adalah iterval [e,e]. Kemudia ε p = ε ( a iγ i ) ε a iγ i ε γ i = ε. Dari uraia sebelumya, terbukti bahwa operasi iteral pada Rmax[γ] da operasi eksteral pergadaa skalar yag dikerjaka pada Rmax[γ] da Rmax memeuhi assosiatif, komutatif da utuk setiap v, w Rmax, da p, q Rmax[γ] berlaku v (p q) = v p v q, (v w )p = v p w p, v (w p) = ( v w )p, e p = p, serta ε p = ε. Dega demikia, memeuhi aksioma-aksioma pada semi modul atas semi rig. Jadi, Rmax[γ] merupaka semimodul atas Rmax. Dega kata lai, himpua poliomial fuzzy merupaka semi modul atas semi rig aljabar max-plus fuzzy. KESIMPULAN Operasi iteral pada himpua poliomial fuzzy da operasi eksteral pada himpua poliomial fuzzy atas aljabar max-plus fuzzy memeuhi aksiomaaksioma pada semi modul atas semi rig. Dega demikia, himpua poliomial fuzzy merupaka semi modul atas semi rig aljabar max-plus fuzzy.

Semi Modul Poliomial 7 DAFTAR PUSTAKA Bacelli, F, et al. 2001. Sychroizatio ad Liearity. New York : Joh Wiley & Sos. Rudhito, A, 2007. Semimodul Bilaga Fuzzy atas Aljabar Max-Plus Bilaga Fuzzy. Prosidig Semiar Nasioal Matematika, F MIPA UPI&IdoMS 2007 ------------ 2006. Aljabar Max-Plus Bilaga Kabur. Artikel Berkala MIPA Susilo, F. 2006. Himpua da Logika Kabur serta Aplikasiya. Yogyakarta : Graha Ilmu Zimmerma, H.J. 1991. Fuzzy Set Theory ad Its Applicatios. Kluwer Academic Publishers, USA

A. Wardayai da Suroto 8