TEORI KESALAHAN GALAT Penyelesaan numerk dar suatu persamaan matematk hanya memberkan nla perkraan yang mendekat nla eksak yang benar dar penyelesaan analts. Berart dalam penyelesaan numerk tersebut terdapat kesalahan galat terhadap nla eksak. Keandalan suatu nla numerk dapat dtanda memaka konsep Angka Bena yatu angka yang dapat dpergunakan dengan past.
Angka n dperoleh dar sejumlah angka tertentu dtambah dengan satu taksran. Konsep angka bena mempunya dua terapan yatu : 1. Krtera untuk memernc seberapa jauh hampran aproksmas tersebut dapat dpercaya. 2. Tdak menyatakan blangan tertentu sepert π, e, atau 7 secara eksak memaka sejumlah berhngga blangan. Contoh : 7 = 2,645751311..
Macam macam kesalahan Kesalahan Bawaan Merupakan kesalahan dar nla data. Kesalahan n basanya terjad karena kekelruan dalam menyaln data, salah membaca skala atau kesalahan karena kurangnya pengertan mengena hukum - hukum sk dar data yang dukur. Kesalahan Pemotongan Kesalahan n terjad karena tdak dlakukannya perhtungan sesua dengan prosedur matematk yang benar
Kesalahan Pembulatan Merupakan kesalahan yang terjad karena tdak dperhtungkannya beberapa angka terakhr dar suatu blangan. Kesalahan n terjad apabla : Blangan perkraan dgunakan sebaga penggant blangan eksak. Suatu blangan dbulatkan pada poss ke n dengan membuat semua angka d sebelah kanan dar poss tersebut nol, sedang angka pada poss ke n tersebut tdak berubah atau dnakkan satu dgt yang tergantung apakah nla tersebut lebh kecl atau lebh besar dar setengah dar angka poss ke n.
Pengabaan dluar angka bena yang terjad karena kesalahan kesalahan tersebut dkenal dengan galat. Galat terbag menjad : 1. Galat pembulatan untuk menyatakan blangan eksak 2. Galat pemotongan untuk menyatakan prosedure matemats.
Galat yang berhubungan dengan perhtungan / pengukuran dcrkan dengan memperhatkan keteltan merupakan nla sejat yang dhtung / dukur dan ketepatan merupakan banyaknya angka bena yang menyatakan suatu nla atau sebaran dalam perhtungan berulang atau pengukuran nla yang telt. sehngga : Dmana : Nla sejat = aproksmas galat E t E t galat sejat = Nla sejat aproksmas
galat % Galat relat ε = nla 100 % Notas t merupakan nla sejat, sedangkan a merupakan aproksmas, selanjutnya galat aproksmas E a dnyatakan sebaga : aproksmas sekarang aproksmas sebelumnya
Deret Taylor Deret Taylor merupakan dasar untuk menyelesakan masalah dalam metode numerk, khususnya penyelesaan persamaan Derensal. Jka suatu ungs ƒx dketahu dttk X dan semua turunan dar ƒ terhadap X dketahu pada ttk tersebut, maka dengan deret Taylor dapat dnyatakan nla ƒ pada ttk X 1 yang terletak pada jarak X dar ttk X.
dmana : ƒx : ungs dttk I ƒx 1 : ungs dttk 1 ƒ, ƒ ƒ n : turunan pertama, kedua,,ke n X : jarak antara ƒx dan ƒx 1 R n : kesalahan pemotongan Memperhtungkan satu suku pertama order nol = 1
Memperhtungkan dua suku pertama order satu 1! ' 1 = Memperhtungkan tga suku pertama order dua 2! ' ' 1! ' 2 1 =
y order 2 order 1 order 0 1
Jka Tolerans galat e s yang d jnkan adalah : 0,5 10 2-n % untuk h = 1, maka deret Taylor dnyatakan sebaga :... 3 '" 2 " ' 1 h h h = 3! 2!. 1 h = n n n R n h!.... 1!. 1 1 = n h R n n n ξ
Contoh 1 : Tentukan krtera nla galat dar e memaka deret Maclaurne d bawah n palng sedkt 3 angka bena dmana = 0,5. e = 1... 2! 3! 2 3 n n! Penyelesaan : Htung krtera galat e s = 0,5 10 2-n % = 0,5 10 2-3 % = 0,05 %
Nla sejat e 0,5 = 1,648721271, hasl selanjutnya lhat table d bawah n: Suku Hasl e t % e a % 1 2 3 4 5 1 1,5 1,625 1,645833333 1,648437500 39,3 9,02 1,44 0,175 0,0172-33,3 7,69 1,27 0,158
Contoh 2 : Aproksmas Deret Taylor dar Polnom Gunakan uraan deret Taylor orde - nol sampa orde empat untuk ungs : ƒ = -0,1 4 0,15 3 0,5 2 0,25 1,2 Mula dar = 0 dengan h = 1 s / d 1 = 1. Ramalkan ungs tersebut. Penyelesaan : Μasukkan nla = 0 dan = 1 ke ƒ akan dperoleh nla ungsnya adalah ƒ0 = 1,2 dan ƒ1 = 0,2
Aproksmas deret Taylor dengan n = 0 adalah ƒ 1 ƒ 1,2; maka : E t = 0,2 1,2 = -1,0 Pada = 1, n = 1 dperoleh dar turunan pertama pada = 0; ƒ 0 = - 0,4.0 3 0,45.0 2 1.0 1 0,25 = - 0,25 aproksmas ordo ke 1 adalah : ƒ 1 1,2 0,25h dan ƒ1 0,95; maka E t = 0,2 0,95 = - 0,75
Lanjutkan untuk turunan kedua pada = 0 ƒ 0 = -1,2.0 2 0,9.0 1 1.0 = - 1 aproksmas ordo ke 2 adalah : ƒ 1 1,2 0,25h 0,5h 2 dan ƒ1 0,45; maka : E t = 0,2 0,45 = - 0,25
Untuk turunan ketga : ƒ 0 = - 2,4.0 1 0,9 = - 0,9; dan ƒ 1 1,2 0,25h 0,5h 2 0,15h 3 ƒ1 0,3; maka : E t = 0,2 0,3 = - 0,1 Untuk turunan keempat : ƒ 0 = -2,4; dan dan ƒ 1 1,2 0,25h 0,5h 2 0,15h 3 0,1h 4 dan ƒ1 0,2; maka E t = 0,2 0,2 = 0
Untuk turunan kelma adalah nol, sehngga : R 4 0 dan taksran eksak pada 1 1.