Metode Numerik Analisa Galat & Deret Taylor. Teknik Informatika-Unitomo Anik Vega Vitianingsih

Transkripsi

1 Metode Numerik Analisa Galat & Deret Taylor Teknik Inormatika-Unitomo Anik Vega Vitianingsih

2 TEORI KESALAHAN (GALAT) -Penyelesaian numerik dari suatu persamaan matematik hanya memberikan nilai perkiraan yang mendekati nilai eksak (yang benar) dari penyelesaian analitis -Penyelesaian numerik tersebut terdapat kesalahan (galat) terhadap nilai eksak -Keandalan suatu nilai numerik dapat ditandai memakai konsep Angka Bena yaitu angka yang dapat dipergunakan dengan pasti.

3 Angka ini diperoleh dari sejumlah angka tertentu ditambah dengan satu taksiran. Konsep angka bena mempunyai dua terapan yaitu : 1. Kriteria untuk memerinci seberapa jauh hampiran (aproksimasi) tersebut dapat dipercaya. 2. Tidak menyatakan bilangan tertentu seperti p, e, atau 7 secara eksak memakai sejumlah berhingga bilangan. Contoh : 7 = 2,

4 Macam macam kesalahan Kesalahan Bawaan Merupakan kesalahan dari nilai data Kesalahan terjadi karena kekeliruan dalam menyalin data Kesalahan dalam membaca skala kesalahan karena kurangnya pengertian mengenai hukum - hukum isik dari data yang diukur Kesalahan Pemotongan Kesalahan terjadi karena tidak dilakukannya perhitungan sesuai dengan prosedur matematik yang benar

5 Kesalahan Pembulatan kesalahan terjadi karena tidak diperhitungkannya beberapa angka terakhir dari suatu bilangan Bilangan perkiraan digunakan sebagai pengganti bilangan eksak Suatu bilangan dibulatkan pada posisi ke n dengan membuat semua angka di sebelah kanan dari posisi tersebut nol, sedang angka pada posisi ke n tersebut tidak berubah atau dinaikkan satu digit yang tergantung apakah nilai tersebut lebih kecil atau lebih besar dari setengah dari angka posisi ke n

6 Pengabaian diluar angka bena yang terjadi karena kesalahan kesalahan tersebut dikenal dengan galat. Galat terbagi menjadi : 1. Galat pembulatan (untuk menyatakan bilangan eksak) 2. Galat pemotongan (untuk menyatakan prosedure matematis).

7 Galat yang berhubungan dengan perhitungan / pengukuran dicirikan: - ketelitian (merupakan nilai sejati yang dihitung) - ketepatan (merupakan banyaknya angka bena yang menyatakan suatu nilai atau sebaran dalam perhitungan berulang atau pengukuran nilai yang teliti) sehingga : Dimana : Nilai sejati = aproksimasi + galat (E t ) E t = galat sejati = Nilai sejati aproksimasi

8 galat % Galat relat i ( e ) = nilai 100 % Dimana: -t : nilai sejati -a : aproksimasi - E a : galat aproksimasi aproksimasi sekarang aproksimasi sebelumnya

9 Deret Taylor Mrk penyelesaian persamaan Dierensial Jika suatu ungsi ƒ(x) diketahui dititik X i dan semua turunan dari ƒ terhadap X diketahui pada titik tersebut deret Taylor dinyatakan nilai ƒ pada titik X i+1 yang terletak pada jarak X dari titik X i.

10 2. Memperhitungkan dua suku pertama (order 1) 1! ) '( ) ( ( 1 ) i i i = 3. Memperhitungkan tiga suku pertama (order 2) 2! ) ''( 1! ) '( ) ( ) ( 2 1 i i i i = 1. Memperhitungkan satu suku pertama (order 0) ) ( ) ( 1 i i = 4. Iterasi akan berhenti jika Rn = 0

11 y () order 2 order 1 order 0 i i+1

12 Persamaan deret Taylor: R n = ( n 1) ( ). h ( n 1)! ( n1) Ket: ƒ(x i ) : ungsi dititik 1 ƒ(x i+1 ) : ungsi dititik i+1 ƒ, ƒ ƒ n : turunan pertama, kedua,,ke n X : jarak antara ƒ(x i ) dan ƒ(x i+1 ) R n : kesalahan pemotongan! : operator aktorial

13 c/: Diketahui seuatu ungsi : dengan menggunakan Deret Taylor pada order berapa, hasil penyelesaian numerik sama dengan penyelesaian eksak? dimana order 0,1,2 dan 3 perkiraan ungsi tersebut pada titik i+1 = 1 & titik i+1 =1 berada pada jarak=1 dari titik = 0. Jawab : (0) = 0.5 (1) = 1.5

14 Untuk order 0 : (i+1) = (i) (0 +1) = (0) (1) = 0.5 Kesalahan pemotongan : Rn = = 1 Untuk order 1 : (i+1)= (i) + (i) X /1! (0+1) = 0.5 +( ) 1 = 0.5 (0.75 (0) = 0.75 Kesalahan pemotongan Rn = = 0.75

15 Untuk Order 2 : (i+1) = * * (1/2)(1/2) = 1.25 Kesalahan pemotongan: Rn = = 0.25 Untuk Order 3 : (i+1) = = 1.5 Kesalahan pemotongan : Rn = = 0 (terbukti)

16 Algoritma: 1. Tentukan order dari deret Taylor 2. Masukkan nilai 0 kedalam rumus deret Taylor 3. Gabungkan semua perhitungan deret Taylor - looping sebanyak i=0; i= ƒ(x i+1 ) - i (i==0) Rn=ƒ() else i ((i+1)%2==0) Rn=0 else i ((i+1)%2!=0 && (i+1)!=1) Rn=i