BAB II DIMENSI PARTISI

BAB II DIMENSI PARTISI. Defns dasar dan eteratannya dengan metrc dmenson Dalam pembahasan dmens parts, graf yang dbahas adalah graf terhubung sederhana dan tda meml arah. Sebelum mendefnsan graf yang dgunaan dalam peneltan n, aan ddefnsan penggabungan dan penjumlahan graf. Msalan G dan H adalah dua buah graf. Graf G H adalah penggabungan G dan H ja hmpunan tt V(G H) = V(G) V(H), dengan V(G) V(H) = { } dan hmpunan ss E(G H) = E(G) E(H). Graf G H adalah graf dengan hmpunan tt V(G H) = V(G) V(H) dan hmpunan ss E(G H) = E(G) E(H) {uv u V(G) dan v V(H)}. Ilustras dapat dlhat pada gambar berut. v v v 3 u u u 3 G H v v v 3 v v v 3 u u u 3 G H u u u 3 G H Gambar Penggabungan dan Penjumlahan Graf Dmens Parts Graf Kpas dan Graf Kncr 4

Berut adalah defns beberapa graf yang dgunaan dalam tugas ahr n.. Graf Wheel Dalam teor graf, graf Wheel (W n ) atau graf roda adalah graf hasl tambah K C n, dmana K adalah graf lengap satu tt dan C n adalah graf cycle. Ss pada graf n ada dua jens, yatu ss dalam yang merupaan jar-jar dan ss luar. Ttnya juga ada dua jens, tt pusat dan tt luar. W 4 W 5 W 6 W 7 W 8 W 9 Gambar Enam buah graf Wheel pertama. Graf Kpas Graf Kpas atau Fan (F n ) adalah graf hasl tambah K P n. Graf n meml banya tt n 4. Graf n juga dapat dbentu dar graf Wheel yang durang sebuah ss luarnya. F 4 F 5 F 6 F 7 Gambar 3 Beberapa contoh graf Kpas Dmens Parts Graf Kpas dan Graf Kncr 5

3. Graf Kncr Graf Kncr adalah graf hasl tambah K nk. Graf Kncr (K) atau serng dsebut dengan graf Wndmll merupaan graf terhubung n buah batang dengan n. Basanya n dgunaan untu menyataan banyanya tt, tetap tda untu tugas ahr n. Setap batang n memuat tt sehngga graf K(n) adalah graf n batang dengan (n) tt. Sebaga contoh, graf ncr dua batang (5 tt), tga batang (7 tt), dan empat batang (9 tt) dapat dlhat pada gambar berut. Gambar 4 Beberapa contoh graf Kncr D dalam jurnalnya, Gary Chartrand, Ebrahm Saleh, dan Png Zhang memberan defns jara pada graf. Untu tt u dan v d graf terhubung G, jara d(u, v) adalah panjang lntasan terpende antara u dan v d G. Untu hmpunan terurut W = {w, w,, w } dar hmpunan tt d graf terhubung G dan sebuah tt v d G, -vetor (-tuple terurut) ( v W) = ( d( v, w ), d( v, w ),..., d( v )) r, adalah metrc representaton (oordnat metrc) dar v terhadap W. Hmpunan W dsebut resolvng set untu G ja semua tt d G meml oordnat metrc yang berbeda. Mnmum ardnaltas dar resolvng set atau bass dar G dsebut metrc dmenson, yang dnotasan dengan dm(g). w x u y v Gambar 5 z Dmens Parts Graf Kpas dan Graf Kncr 6

Sebaga contoh, graf G pada gambar 7 d atas meml bass W = {u, z} sehngga dm(g) =. Koordnat untu semua tt d G terhadap W adalah r(u W) = (, ) r(y W) = (, ) r(u W) = (, ) r(z W) = (, ). r(x W) = (, ) Msalan terdapat sebuah graf terhubung G dengan V(G) adalah hmpunan ttttnya, S adalah hmpunan bagan dar V(G) dan v tt d G, jara antara v dengan S yang dnotasan d(v, S) ddefnsan sebaga d ( v S ) = mn { d ( v, x) x S },. Msalan terdapat sebuah graf terhubung G dan buah parts Π = {S, S,, S } dar V(G) dan v tt d G. Koordnat v terhadap Π ddefnsan sebaga ( v ) = ( d( v, S ), d( v, S ),..., d( v )) r, Π. Parts Π dataan resolvng partton ja -vetor r(v Π) untu setap v V(G), berbeda. Nla mnmum agar terdapat resolvng -partton dar V(G) adalah partton dmenson dar G atau serng dnotasan dengan pd(g).sebaga lustras dar defns d atas, dberan contoh berut. v v S v 3 v 4 v 5 Gambar 6 Msalan Π = {S, S }, dengan S = {v, v, v 3 } dan S = {v 4, v 5 } maa semua oordnat tt d G terhadap Π adalah r(v Π ) = (, ) r(v Π ) = (, ) r(v 3 Π ) = (, ) r(v 4 Π ) = (, ) Dmens Parts Graf Kpas dan Graf Kncr 7

r(v 5 Π ) = (, ). Karena r(v Π ) = r(v 3 Π ) = (, ) dan r(v 4 Π ) = r(v 5 Π ) = (, ) maa Π buan resolvng partton dar G. Berutnya, msalan Π = {S, S, S 3, S 4, S 5 }, dengan S = {v }, S = {v }, S 3 = {v 3 }, S 4 = {v 4 }, dan S 5 = {v 5 } maa semua oordnat tt d G terhadap Π adalah r(v Π ) = (,,,, ) r(v Π ) = (,,,, 3) r(v 3 Π ) = (,,,, ) r(v 4 Π ) = (,,,, ) r(v 5 Π ) = (, 3,,, ). Karena smua oordnat tt d G terhadap Π berbeda maa Π merupaan resolvng partton dar G. Mespun deman, Π buan mnmum resolvng partton dar G. Untu menunjuannya, msalan Π 3 = {S, S, S 3 }, dengan S ={v, v }, S ={v 3 }, dan S 3 ={v 4, v 5 } maa semua oordnat tt d G terhadap Π 3 adalah r(v Π 3 ) = (,, ) r(v Π 3 ) = (,, ) r(v 3 Π 3 ) = (,, ) r(v 4 Π 3 ) = (,, ) r(v 5 Π 3 ) = (,, ). Jad, Π 3 merupaan resolvng partton dar G. Lebh lanjut, arena tda ada parts dar V(G) yang merupaan resolvng partton dar G maa Π 3 merupaan mnmum resolvng partton dar G. Jad, pd(g) = 3. Partton dmenson dan metrc dmenson salng berhubungan. Hubungan tersebut dapat dlhat pada teorema berut. Teorema. (G. Chartrand, E. Saleh, P. Zhang) Ja G adalah graf terhubung tda trval, maa ( G ) dm ( G ) pd. Dmens Parts Graf Kpas dan Graf Kncr 8

But : Msalan dm(g) = dan msal W = {w, w,..., w } adalah bass dar G. Anggap parts terurut Π = {S, S,..., S } dar hmpunan tt V(G), dmana S = {w } ( ) dan S = V(G) W. Oleh arena r(v Π) = (d(v, w ), d(v, w ),..., d(v, w ), ) untu v V(G) W dan W adalah resolvng set dar G, hal n mengabatan oordnat r(v Π), untu v S, berbeda. Lebh lanjut, hanya oordnat r(w Π), untu, meml elemen e- sama dengan, yang mengabatan r(v Π) r(w Π) untu semua v V(G) W dan semua dengan. Jad, Π adalah sebuah resolvng ()-partton dar G dan pd ( G ) dm ( G ). Nla batas atas dar teorema d atas dapat dtemuan pada graf P n, C n, K n, dan K,. Peneltan dasar yang merea lauan tentang dmens parts menghaslan teorema-teorema untu graf P n, K n, K,, dan graf-graf yang berdmens parts (n ). Untu lebh jelasnya, dapat dlhat pada subbab berut.. Dmens Parts Graf Lntasan dan Graf Lengap Msalan G adalah graf terhubung orde n maa pd(g) n. Untu setap blangan bulat n, hanya terdapat sebuah graf orde n yang meml dmens parts. Proposs. (G. Chartrand, E. Saleh, P. Zhang) Msal G adalah graf terhubung orde n. Jad, pd(g) = ja dan hanya ja G = P n. But : Pertama, msal P n : v, v,..., v n dan msal Π = {S, S } adalah parts dar V(P n ) dengan S = {v } dan S = {v, v 3,..., v n }. Karena r(v Π) = (,,) dan r(v Π) = ( -, ) untu n, berart Π adalah resolvng partton dar P n sehngga pd(p n ) =. Kedua, msal Π = {S, S } adalah resolvng partton dar sebuah graf G orde n. Karena G terhubung, terdapat etetanggan tt u S dan v S. Karena oordnat r(w Π) = (, d(w, S )) untu w S, dan Dmens Parts Graf Kpas dan Graf Kncr 9

r(w Π) = (d(w, S ), ) untu w S, berbeda, u adalah tt tunggal d S yang bertetangga dengan sebuah tt d S dan v adalah tt tunggal d S yang bertetangga dengan sebuah tt d S. Aan dtunjuan bahwa <S > dan <S > adalah lntasan d G. Lebh lanjut, tt u bertetangga dengan palng banya satu tt d S. Bla u bertetangga dengan dua tt u, u S maa r(u Π) = r(u Π) = (, ), hal n berontrads dengan Π adalah resolvng partton dar V(G). Asumsan w adalah tt tunggal d S yang bertetangga dengan u. w juga bertetangga dengan palng banya satu tt d S yang berbeda dengan u. Dengan melanjutan proses n, ddapatan bahwa <S > adalah lntasan d G. Dengan alasan yang sama, <S > juga merupaan lntasan d G sehngga G tu sendr adalah sebuah lntasan. Sama halnya dengan hanya terdapat sebuah graf dengan dmens parts, untu n hanya terdapat satu buah graf n tt berdmens parts n. Sebelumnya, aan donstrus Lemma berut. Lemma. (G. Chartrand, E. Saleh, P. Zhang) Msal Π resolvng partton dar hmpunan tt V dan u, v V. Ja d(u, w) = d(v, w) untu setap w V {u, v}, maa u dan v berada pada elemen yang berbeda dalam Π. But : Msal Π = {S, S,..., S }, dmana u dan v berada pada elemen yang sama, sebut S, dalam Π. Maa d(u, S ) = d(v, S ) =. Oleh arena d(u, w) = d(v, w) untu setap w V {u, v}, ddapat juga bahwa d(u, S j ) = d(v, S j ) untu setap j, dmana j. Pada ahrnya, r(u Π) = r(v Π) dan Π buan resolvng partton. Proposs. (G. Chartrand, E. Saleh, P. Zhang) Msal G adalah graf terhubung orde n. Jad, pd(g) = n ja dan hanya ja G = K n. But : Berdasaran Lemma, pd(k n ) = n. Untu ebalannya, msal G adalah graf orde n dengan pd(g) = n, dmana V(G) = {v, v,..., v n }. Andaan G Dmens Parts Graf Kpas dan Graf Kncr

K n. Dapat dasumsan bahwa d(v, v n ) = dan d(v n -, v n ) =. Msal Π = {S, S,..., S n - } adalah parts dar V(G) dengan S = {v, v n } dan S = {v } untu n-. Untu setap ( n ), hanya elemen e- dar r(v Π) yang bernla. Jad, oordnat r(v Π), n, berbeda. Oleh arena elemen pertama r(v n Π) adalah, r(v n Π) berbeda dar semua r(v Π), dmana n. Selan tu, oleh arena elemen e- (n -) dar r(v n Π) adalah dan elemen e- (n -) dar r(v Π) adalah, abatnya r(v n Π) r(v Π). Jad, Π adalah resolvng partton dar G dan pd(g) n, mengabatan ontrads. Berdasaran Proposs dan Proposs, semua graf G selan graf P n dan K n meml 3 pd(g) n -. Selan edua graf d atas, Gary Chartrand, Ebrahm Saleh, dan Png Zhang juga mendapatan dmens parts untu graf bpartt. Untu lebh jelas, dapat dlhat pada teorema berut. Teorema. (G. Chartrand, E. Saleh, P. Zhang) Msal G adalah graf bpartt yang terhubung dengan hmpunan tt V dan V berardnaltas r dan s berturut-turut. Maa () pd(g) r, bla r = s, dan () pd(g) max{r, s}, bla r s. Lebh lanjut, persamaan () atau () berlau, ja dan hanya ja G adalah graf bpartt lengap. Pada teorema 3 berut, dmens parts (n ) hanya dml oleh 3 buah graf. Gary Chartrand, Ebrahm Saleh, dan Png Zhang memberan but lengapnya pada jurnal The partton dmenson of a graph. Teorema 3. (G. Chartrand, E. Saleh, P. Zhang) Msalan G adalah graf terhubung dengan orde n 3. Maa pd(g)= n ja dan hanya ja G adalah salah satu dar graf K,n -, K n e, K (K K n ). Dmens Parts Graf Kpas dan Graf Kncr

.3 Dmens Parts Graf Wheel Ioan Tomescu, Imran Javad dan Slamn memberan dmens parts untu graf Wheel. Sebelum tu, dperluan buah Lemma yang mewal ardnaltas dar parts yang memuat atau tda memuat tt pusat sebaga berut. Lemma. (Ioan Tomescu, Imran Javad, Slamn) Msalan terdapat graf Wheel (W n ) dengan (n) tt dan V(W n ) adalah hmpunan dar tt-ttnya. Msal c adalah tt pusat dan Π = {S, S,..., S } adalah resolvng -partton dar V(W n ). Ja c S, maa S. But : Koordnat tt pusat c adalah r(c Π) = (,,,..., ) dan untu setap v S \ {c}, r(v Π) = (,...). Elemen vetor dar oordnat r(v Π) untu v S \ {c} hanya boleh ds oleh dan arena dameter graf Kncr adalah. Aan tetap, hanya boleh ada palng banya elemen yang bernla. Pada ahrnya, hanya terdapat ( ) poss yang hanya boleh ds oleh palng banya buah anga dan ssanya dapat ds oleh anga. Jad, bla dtambahan dengan oordnat tt pusat, hanya terdapat palng banya S. oordnat yg berbeda atau Lemma 3. (Ioan Tomescu, Imran Javad, Slamn) Msalan terdapat graf Wheel (W n ) dengan (n) tt dan V(W n ) adalah hmpunan dar tt-ttnya. Msal c adalah tt pusat dan Π = {S, S,..., S } adalah resolvng -partton dar V(W n ). Ja c S, maa S untu. Dmens Parts Graf Kpas dan Graf Kncr

But : Ambl sebuah hmpunan selan S, tanpa mengurang eumuman, sebut S yang tda memuat tt pusat. Koordnat untu setap w S adalah r(w Π) = (,,...). Terdapat ( ) poss d dalam vetor oordnat yang dapat ds oleh palng banya buah nla dan ssanya dapat ds oleh nla. Jad, hanya terdapat palng banya oordnat yang berbeda untu setap w S. S untu. Teorema 4. (Ioan Tomescu, Imran Javad, Slamn) Untu setap tt n 4 tt, ( ) ( ) / / 3 n pd W n n But : Batas bawah. Msal terdapat graf Wheel (W n ) dengan (n) tt yang meml pd[w n ] = dan Π = {S, S,..., S } resolvng -partton dar hmpunan tt V(W n ). Msal c adalah tt pusat dan c S, dar Lemma, ta punya S dan dar Lemma 3, ta juga punya S untu. Kta dapat ( ) ( ) = = = = = n S n W V, abatnya ( ) / / 6 3 3 3 n < untu setap. Jad, ( ) /3 n. Dmens Parts Graf Kpas dan Graf Kncr 3