BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan menenai teori teori yan berhubunan denan penelitian sehina dapat dijadikan sebaai landasan berfikir dalam melakukan penelitian dan akan mempermudah dalam hal pembahasan hasil utama pada bab berikutnya. Adapun teori teori tersebut mencakup penertian dari rin, field, polynomial, eneratin matrix, dan check matrix. 2.1 Rin dan Field Pada baian ini akan diberikan beberapa definisi dan teorema dasar tentan field dan rin. Definisi 2.1 : Suatu rin adalah suatu himpunan tak koson R denan dua operasi biner yan dinotasikan denan operasi penjumlahan dan perkalian sehina memenuhi aksioma aksioma 1. untuk semua, berlaku 2. untuk semua, berlaku 3. R mempunyai unsur identitas relatif terhadap operasi penjumlahan, yakni terdapat suatu unsur sehina untuk semua 4. untuk setiap, terdapat sehina 5. untuk semua, berlaku 6. untuk semua, dipenuhi, a) b) Dari definisi 2.1 jua dapat dikatakan bahwa suatu himpunan tak koson R denan operasi biner + dan dikatakan suatu rin bila 1. adalah suatu rup komutatif 2. adalah suatu semirup 3. operasi perkalian adalah distributif terhadap penjumlahan, yakni untuk semua dan

Jika operasi perkalian dari R adalah komutatif, maka R disebut sebaai rin komutatif. Jika terdapat suatu unsur yan dinotasikan denan 1 sedemikian hina untuk semua, maka R disebut sebaai rin denan unsur kesatuan, dan unsur 1 disebut sebaai unsur kesatuan. Selanjutnya apabila memunkinkan penulisan notasi cukup dituliskan saja. Definisi 2.2 : Suatu rin komutatif F denan unsur kesatuan disebut sebaai field bilamana setiap unsur tak nol adalah unsur satuan. Definisi di atas jua dapat dinyatakan sebaai berikut. Suatu field F adalah suatu struktur aljabar denan dua operasi biner + dan sehina 1. adalah suatu rup komutatif 2. adalah suatu semirup 3. operasi perkalian adalah distributif terhadap penjumlahan, yakni untuk semua dan 2.2 Rin Polinomial Andaikan R adalah suatu rin komutatif. Himpunan R[x] = {a + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n ; a i R dan n Z + } disebut sebaai rin polynomial atas R dalam indeterminate x. Pada definisi di atas, symbol x, x 2,, x n tidak menyatakan suatu variabel yan berasal dari rin R, tetapi symbol symbol tersebut semata mata hanyalah sebaai suatu tempat penyimpanan yan pada suatu saat munkin saja diantikan denan unsur R. Dua unsur di R[x] a + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n dan b + b 1 x + b 2 x 2 + + b m x m dikatakan sama jika dan hanya jika a i = b i untuk semua bilanan bulat tak neatif i. Tentu saja pada definisi ini harus menambil a i = jika i > n dan b i = jika i > m.

Selanjutnya perhatikan suatu polynomial a(x) = a + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n di R[x]. Pada polynomial ini, bentuk a k x k disebut sebaai suku dari polynomial a(x) dan untuk setiap suku a k x k, k =,1,,n, a k disebut sebaai koefisien dari x k. Derajat dari suatu polynomial a(x) adalah bilanan bulat positif terbesar n sehina a n. Denan kata lain suatu polynomial a(x) = a + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n dikatakan berderajat s, jika a s dan a n untuk semua k > s. Derajat dari a(x) ditunjukkan denan de(a), atau de[a(x)]. De(a) = jika dan hanya jika a(x) adalah polynomial konstan (constant polynomial) yan tak nol, yaitu, jika dan hanya jika a(x) adalah polynomial a o, untuk tak nol a R. Bila a(x) adalah polynomial berderajat s, maka koefisien a s disebut sebaai koefisien utama (leadin coefisien) dari a(x). Polinomial a(x) dikatakan sebaai polynomial monic jika koefisien utamanya adalah 1. Himpunan semua polynomial atas R ditunjukkan denan R[x]. Selanjutnya akan dilakukan abstraksi dari konsep pembaian polynomial, yakni konsep pembaian pada polynomial atas suatu field F. Teorema berikut ini memperlihatkan secara umum bahwa dapat dilakukan pembaian polynomial atas sebaran field F. Teorema 2.1 : Andaikan F adalah suatu field. Bila f(x), (x) F[x] denan (x), maka terdapat polynomial q(x) dan r(x) di F[x] yan tunal sehina f(x) = (x)q(x) + r(x) denan r(x) = atau derajat r(x) lebih kecil dari derajat (x). Bukti : Denan menunakan induksi pada derajat polynomial f(x) akan diperlihatkan keberadaan polynomial q(x) dan r(x). Jika f(x) = atau derajat f(x) lebih kecil dari derajat (x), maka q(x) dan r(x) diperoleh r(x) = f(x) dan q(x) =. Selanjutnya, andaikan f(x) berderajat n dan (x) berderajat m denan n > m. Misalkan f(x) = a + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n (x) = b + b 1 x + b 2 x 2 + + b m x m

Denan menunakan teknik pembaian seperti di atas, misalkan h(x) = f(x) a n b -1 mx n-m (x) Sehina h(x) = atau derajat h(x) lebih kecil dari derajat f(x). Denan menunakan asumsi pada induksi, untuk polynomial h(x) terdapat polynomial q 1 (x) dan r 1 (x) sehina h(x) = (x)q 1 (x) + r 1 (x) denan r 1 (x) = atau derajat r 1 (x) lebih kecil dari derajat (x). Hal ini berakibat f(x) = a n b m -1 x n-m (x) + h(x) = a n b -1 m x n-m (x) + (x)q 1 (x) + r 1 (x) = (x) [a n b -1 m x n-m + q 1 (x)] + r 1 (x) Denan menambil q(x) = a n b -1 m x n-m + q 1 (x) dan r(x) = r 1 (x), diperoleh f(x) = (x) q(x) + r(x) Denan r(x) = atau derajat r(x) lebih kecil dari derajat (x). Selanjutnya akan diperlihatkan ekspresi f(x) = (x) q(x) + r(x) adalah tunal. Misalkan f(x) jua dapat ditulis sebaai f(x) = (x) s(x) + t(x) denan t(x) = atau derajat t(x) lebih kecil dari derajat (x). Perlihatkan bahwa (x) q(x) + r(x) = (x) s(x) + t(x) Sehina (x) [q(x) s(x)] = t(x) r(x) Karena derajat t(x) r(x) lebih kecil dari derajat (x), maka haruslah q(x) s(x) =. Yakni, q(x) = s(x) dan tentunya r(x) = t(x). Polinomial q(x) disebut quotient dan r(x) disebut remainder (sisa) dalam pembaian f(x) denan (x). Jika f(x), (x) F[x] denan (x), maka f(x) dapat dibai denan (x) atas F jika f(x) = (x) q(x) untuk q(x) F[x]. Jika f(x) dapat dibai denan (x) (atas F), maka dapat dikatakan (x) adalah faktor dari f(x) (atas F). Suatu elemen c F disebut akar (atau pembuat nol) dari polynomial f(x) F[x] jika f(c) =.

Akibat lansun dari teorema di atas diperoleh hasil sebaai berikut. Akibat 2.1 : Andaikan F adalah suatu field. Bila a F dan f(x) F[x], maka f(a) adalah sisa hasil bai dari f(x) oleh (x a). Bukti : Menurut teorema 2.1 untuk polynomial f(x) dan (x a) terdapat polynomial q(x), r(x) F[x] sehina f(x) = (x a) q(x) + r(x) denan derajat r(x) lebih kecil dari derajat (x a). Akibatnya r(x) adalah suatu konstanta yan berada di F, sehina f(x) = (x a) q(x) + r. Karena f(x) F[x], untuk x F kita dapat memandan f sebaai suatu pemetaan f : F F. Sehina f(x) = (a a) q(a) + r, yakni sisa hasil bai r = f(a). Akibat 2.2 : Andaikan F adalah suatu field, dan misalkan a F dan f(x) F[x]. Unsur a adalah pembuat nol dari f(x) jika dan hanya jika (x a) adalah faktor dari f(x). Bukti : Denan menunakan aloritma pembaian, maka polynomial f(x) dapat ditulis sebaai f(x) = (x a) q(x) + r(x) denan r(x) = atau derajat dari r(x) adalah. Bila a pembuat nol dari f(x) maka f(a) = = (a a) q(x) + r, yan berakibat r =. Jadi (x a) adalah faktor dari f(x). Sebaliknya jika (x a) adalah faktor dari f(x), maka terdapat polynomial q(x) F[x] sehina f(x) = (x a) q(x). Hal ini berakibat f(a) = (a a) q(a) = q(a) =. Jadi a adalah pembuat nol dari f(x). Akibat 2.3 : Bila F adalah suatu field, maka suatu polynomial di F[x] yan berderajat n 1 mempunyai palin banyak n akar.

Bukti : Andaikan f(x) adalah suatu polynomial berderajat n di F[x]. Akan diperlihatkan pernyataan di atas denan menunakan induksi pada derajat dari f(x). Andaikan f(x) adalah polynomial berderajat n = 1. Misalkan f(x) = ax + b, denan a, b F dan a. Akibatnya ab -1 adalah akar dari f(x). Sekaran andaikan f(x) berderajat n > 1. Andaikan adalah pembuat nol dari f(x). Menurut akibat 2.1, f(x) dapat ditulis sebaai f(x) = (x a) (x) denan (x) adalah polynomial berderajat n 1. Jika adalah akar dari f(x), maka = f( ) = ( ) ( ). Karena, maka ( ) =. Yakni adalah pembuat nol dari ( ). Tetapi menurut hipotesis induksi ( ) mempunyai banyak n 1 akar. Sehina f mempunyai palin banyak n akar. Definisi 2.3 : Andaikan f(x) = a + a 1 x + a 2 x 2 + + a n x n adalah suatu polynomial di Z[x]. Isi dari f(x) didefinisikan sebaai pembai persekutuan terbesar dari a(x) = a, a 1,, a n. Suatu polynomial f(x) Z[x] dikatakan primitip jika isi dari f(x) adalah 1. Contoh 2.2.1 : Isi dari polynomial f(x) = 6 + 4x + 1x 2 + 18x 6 adalah 2, karena pembai persekutuan terbesar dari 6, 4, 1 dan 18 adalah 2. Sementara isi dari polynomial (x) = 3x + 9x 3 + 4x 5 adalah 1. Sehina (x) adalah primitip. Definisi 2.4 : Untuk suatu polynomial monik f(x) denan derajat tak nol atas field F, rin polynomial modulo f(x) adalah himpunan semua polynomial denan derajat lebih kecil dari f(x), bersama denan penjumlahan dan perkalian polynomial modulo f(x). Rin ini biasanya ditunjukkan denan F(x) /

Selanjutnya, a(x) konruens ke b(x) modulo f(x), ditunjukkan denan a(x) b(x) (modulo ), jika dan hanya jika terdapat c(x) denan a(x) = c(x) f(x) + b(x). Untuk setiap polynomial monik f(x) denan derajat tak nol, misalkan F(x) / yan menunjukkan himpunan kelas kelas konruens dari polynomial di F[x] modulo f(x). Ini disebut rin polynomial modulo f(x). Ini adalah suatu rin yan terdiri dari semua polynomial denan derajat yan lebih kecil dari derajat f(x). Teorema 2.2 : F(x) / adalah field jika dan hanya jika f(x) irreducible. Bukti : Misalkan I merupakan principal ideal f(x). Andaikan f(x) reducible atas F, katakan f(x) = a(x)b(x) denan a(x) dan b(x) keduanya berderajat lebih rendah dari p(x). F[x]/I bukan suatu field. Derajat polynomial tak nol di I harus palin sedikit sebesar def(x), jadi a(x) I dan b(x) I. Oleh karena itu I + a(x) dan I + b(x) keduanya elemen tak nol F[x]/I. Tetapi (I + a(x))(i + b(x)) = I + a(x)b(x) = I + f(x) = I, elemen nol dari F[x]/I. Disimpulkan, F[x]/I memiliki pembai nol sehina F[x]/I bukan field (bukan jua daerah interal). Ini membuktikan bahwa F[x]/I suatu field, maka f(x) irreducible. Andaikan f(x) irreducible. F[x]/I komutatif dan I + e adalah unsur kesatuan untuk F[x]/I (denan e unsure kesatuan dari F). Jadi ini mencukupi untuk membuktikan setiap elemen tak nol dari F[x]/I memiliki perkalian inverse di F[x]/I. Ambil I + F[x] tak nol. Maka f(x) I, berarti r(x) bukan perkalian f(x) di F[x]. Karena f(x) irreducible, ini menyatakan secara tidak lansun bahwa f(x) dan r(x) memiliki pembai bersama terbesar e. Oleh karena itu e = f(x)u(x) + r(x)v(x) untuk u(x),v(x) F[x]. Berarti e r(x)v(x) = f(x)u(x) I, dan oleh karena I + e = I + r(x)v(x) = (I + r(x))(i + v(x)). Ini menunjukkan bahwa I + v(x) adalah perkalian invers dari I + r(x).

Definisi 2.5 : Suatu elemen primitip dari field GF(q) adalah elemen sehina setiap elemen field kecuali nol dapat ditulis sebaai pankat dari. Contoh 2.2.2 : Field GF(5) 2 1 = 2, 2 2 = 4, 2 3 = 3, 2 4 = 1 Dan denan demikian 2 adalah elemen primitip dari GF(5). Jadi, adalah elemen primitip dari F jika setiap elemen tak nol di F adalah pankat dari. Suatu elemen primitip di field denan q elemen memiliki order q 1. Tidak selalu akar dari polynomial irreducible adalah elemen primitip. Suatu polynomial irreducible yan memiliki elemen primitip sebaai akar disebut polynomial primitip. Denan menemukan irreducible polynomial berderajat n atas GF(p), pembentukan field berhina denan p n elemen dapat dilakukan. Contoh, pembentukan field denan 16 elemen, atau GF(24), menunakan polynomial f(x) = x 4 + x 3 + 1. Misalkan adalah akar dari f(x), f( ) = 4 + 3 + 1 =, sehina 4 = 3 + 1.

Tabel 2.1 Representasi GF (2 4 ) Bentuk Pankat Bentuk n - Tuple Bentuk Polinomial 1 1 1 1 2 1 2 3 1 3 4 11 1 + 3 5 111 1 + + 3 6 1111 1 + + 2 + 3 7 111 1 + + 2 8 111 + 2 + 3 9 11 1 + 2 1 11 + 3 11 111 1 + 2 + 3 12 11 1 + 13 11 + 2 14 11 2 + 3 Denan menentukan setiap pankat dari, mempermudah menentukan invers dari suatu elemen dan menalikan dua elemen. Contoh, invers dari 3 + 1. Karena 3 + 1 = 4 dan 4 11 = 15 = 1 sehina ( 3 + 1) 1 = 11 = 3 + 2 + 1. Teorema 2.3 : Misalkan m(x) adalah minimal polynomial denan elemen di finite field GF(pr). Maka yan fakta fakta berikut diperoleh : 1. m(x) irreducible. 2. Jika adalah akar dari polynomial f(x) denan koefisien koefisien di GF(p), maka m(x) membai f(x). 3. m(x) membai r p x = x. 4. Jika m(x) adalah primitip, maka derajatnya adalah r. Dalam suatu kasus derajat m(x) r.

Bukti : 1. Jika m(x) irreducible, maka m(x) = a(x)b(x) dan m( ) =, salah satunya a(x) atau b(x) adalah menyankal fakta bahwa m(x) adalah polynomial denan derajat terkecil denan sebaai akar. 2. Denan aloritma pembaian, f(x) = a(x)m(x) + r(x) denan derajat r(x) lebih kecil dari derajat m(x). Karena f( ) = m( ) =, r( ) = dan karena derajat r(x) lebih kecil dari derajat m(x), r(x) sama denan. 3. Ini menikuti dari (2) karena suatu elemen di GF(p r ) adalah akar dari persamaan = x. 4. Karena di GF(p r ) dan GF(p r ) adalah r dimensional vector space atas GF(p), himpunan 1,,, r adalah linierly independent dan jua memenuhi persamaan derajat lebih kecil r p x dari atau sama denan r. Jika m(x) adalah primitip membankitkan semua GF(p r ) dan jua m(x) memiliki derajat r. Jika f(x) adalah polynomial berderajat m, reciprocal polynomial dari f(x) didefinisikan menjadi x m f(x -1 ). Jika f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 + + a, reciprocal polynomialnya sama denan a x n + a 1 x n-1 + + a n. 2.3 Menubah Codeword dalam Bentuk Polinomial Information diit yan berupa barisan diit dan 1 merupakan elemen dari kode yan disebut codeword. Misalkan, suatu kode yan terdiri dari semua codeword denan panjan dua adalah C = {, 1, 1, 11} Suatu codeword v = a a 1 a 2 a n-1 denan panjan n dapat diubah dalam bentuk polynomial f(x) = a + a 1 x + a 2 x 2 + + a n-1 x n-1 berderajat n.contoh, codeword denan panjan 7; v = 1111 diubah dalam polynomial f(x) = 1 + x 4 + x 5 + x 6. Jadi suatu kode denan panjan n dapat ditunjukkan sebaai himpunan polynomial atas GF(2) berderajat n 1.

2.4 Cyclic Codes Cyclic codes adalah kelas yan pentin dari kode. Salah satu alasannya adalah dapat diencode secara efisien denan memakai shift reister. Beitu jua denan pola decodin yan memakai shift reister. Polinomial v(x) = a + a 1 x + a 2 x 2 + + a n-1 x n-1 dapat dianap sebaai codeword v = a a 1 a 2 a n-1. Suatu (n,k) code C disebut cyclic jika x = (a, a 1, a 2,,a n-1 ) di C, beitu jua cyclic shift pertamanya y = (a n-1, a, a 1,, a n-2 ). Ini berarti (a n-2, a n-1, a,, a n-3 ), cyclic shift dari y yan pertama, dan semua cyclic shift yan lain dari x jua di C. Misalkan suatu vector (a, a 1, a 2,,a n-1 ) dapat disamakan denan polynomial a + a 1 x + a 2 x 2 + + a n-1 x n-1. Maka (a n-1, a, a 1,, a n-2 ) dapat disamakan denan a n-1 + a x + a 1 x 2 + + a n-2 x n-1. Jadi polynomial ini sama denan polynomial (a + a 1 x + a 2 x 2 + + a n-1 x n-1 )x(modulo ). Misalkan v adalah codeword denan panjan n. Cyclic shift dari v adalah codeword denan panjan n yan diperoleh dari v denan menambil diit terakhir dari v dan memindahkan nya menjadi diit palin awal, semua diit yan lain berpindah satu posisi ke kanan. Suatu kode dikatakan cyclic code jika cyclic shift dari setiap codeword jua merupakan codeword. Untuk cyclic code, elemen dari kode bisa dikatakan sebaai codeword dan polynomial. Diberikan suatu codeword v denan panjan n, misalkan codeword dapat disamakan denan polynomial v(x), maka cyclic shift dari v dapat disamakan denan polynomial x i v(x) (mod ) untuk i =, 1,, n 1. Cyclic codes didasarkan pada R n = F[x]/, yan terdiri dari kelas kelas konruens dari polynomial polynomial berderajat lebih kecil dari n di F[x] tetapi perkaliannya adalah modulo (x n 1). Secara eksplisit, jika terdapat dua polynomial a(x) dan b(x), hasil kalinya di F[x] adalah a(x)b(x) = c(x(x n 1) + r(x) denan derajat r(x) lebih kecil dari derajat x n 1 denan aloritma pembaian. Jadi r(x) dianap sebaai hasil kali dari a(x) dan b(x) denan R n adalah himpunan semua polynomial di F[x] berderajat yan lebih kecil dari n denan perkalian modulo (x n 1). Misalkan,, r adalah elemen di field F = GF(q m ) dan misalkan f 1 (x),, f r (x) adalah minimal polynomial dari setiap. Selanjutnya, misalkan n adalah bilanan bulat sehina setiap f i (x) membai x n 1. Misalkan C adalah kode denan panjan n yan terdiri

dari semua polynomial h(x) di F[x]/ sehina h( i ) =, i = 1,, r. Maka C adalah cyclic codes denan enerator polynomial (x) = lcm(f 1 (x),, f r (x)). Jelas bahwa cyclic codes C dapat ditentukan denan cara ini karena f 1 (x) dapat diambil sebaai factor yan irreducible dari enerator polynomial dari C dan i adalah akar dari f 1 (x). 2.5 Generatin Matrix dan Check Matrix Suatu ideal I di R n = F[x]/ disebut principal ideal jika setiap elemen di I adalah perkalian dari polynomial (x) tertentu. Jika I adalah principal, maka I = {c(x)(x); c(x) di R n }. Ditunjukkan denan I =. Suatu rin disebut principal ideal rin (PIR) jika setiap ideal adalah principal. Teorema 2.4 : Jika C adalah ideal (yaitu suatu cyclic code denan panjan n) di R n, misalkan (x) adalah polynomial monik denan derajat terkecil di C. Maka (x) tunal dan C =. Bukti : Akan ditunjukkan bahwa R n adalah suatu P.I.R dan monic enerator denan derajat terkecil dari ideal adalah tunal sekalipun ideal dapat memiliki enerator lain. Pertama ditunjukkan R n adalah PIR. Misalkan (x) adalah polynomial monik denan derajat terkecil di C dan misalkan a(x) polynomial lain di C. Denan aloritma pembaian di F[x], a(x). Denan definisi ideal r(x) di C. Tetapi ini menyankal pilihan (x) kecuali kalau r(x) sama denan nol sehina a(x) = (x)b(x). Oleh karena itu R n adalah PIR. Jika (x) dan h(x) adalah polynomial monik denan derajat yan sama dan keduanya di C, maka (x) h(x) adalah polynomial di C denan derajat yan lebih rendah dari (x) atau h(x). Ini tidak dapat terjadi jika (x) memiliki derajat terkecil. Jadi (x) adalah polynomial monik tunal denan derajat terkecil di C dan C =.

Teorema berikut memberitahukan baaimana menemukan enerator dari cyclic code. Teorema 2.5 : Jika C adalah suatu ideal, monic enerator tunal, (x), dari C denan derajat terkecil yan membai x n 1 dan sebaliknya jika polynomial (x) di C membai x n 1, maka (x) memiliki derajat terrendah di. Bukti : Pertama andaikan bahwa (x) adalah polynomial monik denan derajat terkecil di C. Denan aloritma pembaian di F[x], x n 1 = a(x)(x) + r(x) denan derajat r(x) lebih kecil dari derajat (x). r(x) = a(x)(x) modulo (x n 1) dan jadi r(x) di. Ini kontradiksi kecuali kalau r(x) sama denan nol. Jadi (x) membai x n 1. Sebaliknya, andaikan (x) membai x n 1 dan b(x) di tetapi memiliki derajat yan lebih rendah dari (x). Maka b(x) = c(x)(x) + (x n 1)d(x) di F[x] karena b(x) di C. Baaimanapun, karena (x) membai x n 1, (x) membai b(x), ini kontradiksi. Polinomial monik (x) denan derajat terkecil di C disebut enerator polynomial dari C. Denan teorema sebelumnya diketahui C = dan (x) membai x n 1. Teorema 2.6 : Jika derajat (x) adalah n k, maka dimensi dari C = adalah k. Jika (x) = + 1 x + 2 x 2 + + n-k x n-k, maka enerator matrix dari C sebaai berikut. 1 n-k n-k-1 n-k M M 1 n-k Bukti : Vektor vektor (x), (x)x,(x)x 2,, (x)x k-1 adalah linierly independent jika tidak maka terdapat elemen elemen field a i, i k 1, sehina a x + a 1 x x + a 2 x x 2 + + a k-1 x x k-1 = (a + a 1 x + a 2 x 2 + + a k-1 x k-1 )(x) =.

Tetapi hasil kali ini memiliki derajat lebih kecil dari n jadi ini tidak dapat menjadi modulo (x n 1) kecuali kalau setiap a i adalah. Untuk melihat bahwa vektor vektor ini span C, catatan bahwa s(x) di C dapat diekspresikan sebaai c(x)(x) denan derajat c(x) lebih kecil dari atau sama denan k 1. Karena itu c(x)(x) = (c + c 1 x + c 2 x 2 + + c k-1 x k-1 )(x) = c x + c 1 x x + + c k-1 x x k-1 Dari sini bahwa enerator matrix dari C adalah matrix yan baris pertamanya adalah (x), baris keduanya (x)x, baris ketia (x)x 2,, hina (x)x k-1. Andaikan (x) adalah enerator polynomial dari cyclic code C. Diketahui bahwa (x) membai (x) membai x n 1 sehina x n 1 = (x)h(x). Jika (x) memiliki derajat h(x) membai x n 1, ini adalah enerator polynomial dari cyclic code C denan dimensi n k. memiliki dimensi n k dan ini tentu sesuai jika h(x) enerator polynomial dari. (x)h(x) = di R n tetapi ini tidak menikuti dari ini bahwa inner product dari dua vector (x) dan h(x) adalah. Pada kenyataannya tidak benar pada umumnya bahwa h(x) enerator dari. Jika x n 1 = (x)h(x), dan (x) adalah enerator polynomial dari cyclic code C, maka h(x) disebut check polynomial dari C. 2.6 Istilah Matrix Misalkan diberikan matriks a c A = maka berlaku aturan berikut. b d Transpose A= A' = A T a b = c d a c Determinan matriks A= A = ad bc b d = Jika A =, maka A matriks sinular. JIka A, maka A nonsinular.

Invers matriks = = = a b c d A adj A A A A 1. 1 1 Matriks identitas = 1 1 I Determinan matriks berukuran 3 3. = i h f e d c b a A, maka ) ( ) ( ce afh bdi cdh bf aei f i h e d f e d b a c b a A + + + + = =