UNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar: DAERAH IDEAL UTAMA DAN DAERAH EUCLID

Transkripsi

1 UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta Bahan Ajar: BAB / POKOK BAHASAN VI DAERAH IDEAL UTAMA DAN DAERAH EUCLID Direncanakan Untuk Perkuliahan Minggu ke-13 dan 14 PENGANTAR STRUKTUR ALJABAR II (Semester III/3 SKS/MMM-2201) Oleh: Prof. Dr. Sri Wahyuni, M.S. Dr.rer.nat. Indah Emilia Wijayanti, M.Si. Dra. Diah Junia Eksi Palupi, M.S. Didanai dengan dana DIPA-UGM (BOPTN) Tahun Anggaran 2013 November 2013

2 BAB VI DAERAH IDEAL UTAMA DAN DAERAH EUCLID Pada bab sebelumnya telah diperkenalkan beberapa jenis ring khusus, yakni daerah integral dan lapangan. Pada bab ini akan dijelaskan lebih lanjut tentang jenis ring khusus lainnya, yakni daerah ideal utama dan daerah Euclid. Daerah ideal utama merupakan kejadian khusus dari daerah integral, yaitu daerah integral yang setiap idealnya dibangun oleh satu elemen. Daerah Euclid juga merupakan kejadian khusus dari daerah integral, yaitu daerah integral yang dilengkapi suatu fungsi valuasi Euclid. Munculnya definisi fungsi valuasi Euclid tersebut dimotivasi dari sifat fungsi nilai mutlak pada daerah integral Z Ideal Utama Sebelum masuk ke pokok bahasan tentang Daerah Ideal Utama, terlebih dahulu akan ditampilkan sifat-sifat ideal dalam daerah integral bilngan bulat (Z, +, ). Dalam ring Z sudah diketahui bahwa untuk sebarang bilangan bulat n, himpunan nz merupakan ideal yang dibangun singleton {n}; secara singkat dikatakan ideal nz dibangun oleh satu elemen n. Berikut ini akan ditunjukkan bahwa setiap ideal dalam daerah integral (Z, +, ) dapat dibangun oleh suatu elemen a Z. Untuk membuktikannya, dibedakan untuk I = {0} dan I {0}. Untuk I = {0} jelas dapat diambil a = 0, sebab 0.Z = {0n n Z} = {0}. Sedangkan untuk I {0}, maka kita dapat memilih a 0 Z sedemikian hingga a = min{ n n Z, n 0}. Dengan menggunakan perhitungan sederhana dapat dibuktikan bahwa I {0}=aZ. Dengan fenomena tersebut didefinisikan pengertian Ideal Utama pada sebarang ring R. 63

3 Definisi Misalkan (R, +, ) suatu ring. Ideal I disebut ideal utama jika I dapat dibangun oleh suatu elemen dalam R, yaitu ada a R sedemikian sehingga I = a. Tidak semua ideal dalam suatu ring merupakan ideal utama, sebagai contoh ideal I = 2, x pada ring suku banyak Z[x] bukan merupakan ideal utama karena tidak ada p(x) Z[x] sedemikian sehingga I = 2, x = p(x). Buktikan pernyataan tersebut sebagai latihan. Perhatikan kembali bahwa setiap ideal di ring bilangan bulat Z berbentuk nz = n, untuk suatu n Z. Dengan demikian dapat ditarik kesimpulan bahwa pada ring bilangan bulat Z setiap idealnya merupakan ideal utama, sedangkan pada ring Z[x] tidak setiap idealnya merupakan ideal utama. Fenomena inilah yang akan mendasari munculnya definisi Daerah Ideal Utama pada subbab berikutnya. Namun sebelum masuk ke subbab berikutnya, akan diperkenalkan terlebih dahulu beberapa dafinisi beserta sifatnya. Definisi Diberikan sebarang ring komutatif dan a, b R dengan a 0 R. Elemen a dikatakan membagi b, dinotasikan dengan a b, jika b = ca untuk suatu c R. Contoh Pada ring komutatif Z, 3 6 sebab terdapat 2 Z sedemikian sehingga 6 = Pada ring komutatif Z 10, 3 5 sebab terdapat 5 Z 10 sedemikian sehingga 5 = Dari Definisi di atas, dapat diturunkan sifat-sifat dasar sebagai berikut. Untuk setiap a, b, c R, (i). a a, 1 a, dan a 0, (ii). a merupakan elemen unit jika dan hanya jika a 1, (iii). jika a b dan b c, maka a c. (Buktikan sebagai latihan!) 64

4 Definisi Diberikan sebarang ring komutatif R dengan elemen satuan 1 R, dan a, b R\{0 R }. 1. Elemen a dan b disebut berasosiasi, dinotasikan dengan a b, jika a = ub untuk suatu unit u R. 2. Elemen tak unit a disebut elemen tak tereduksi jika berlaku ( r, s R)a = rs r = unit atau s = unit 3. Elemen tak unit a disebut elemen prima jika berlaku ( r, s R)a rs a r atau a s Contoh Berikut ini diberikan contoh-contoh terkait Definisi Pada ring Z, setiap elemen a Z berasosiasi dengan a. 2. Misal p(x) = x adalah suku banyak di R[x]. Suku banyak p(x) merupakan elemen tak tereduksi di R[x]. Andaikan p(x) elemen tereduksi di R[x], yaitu terdapat a, b, c, d R sedemikian sehingga x = (ax + b)(cx + d) = acx 2 + (ad + bc)x + bd. Dari sini diperoleh ac = 1 = bd dan ad + bc = 0, sehingga 1 = (ac)(bd) = (ad)(bc) = (ad)( ad). Oleh karena itu, diperoleh 1 = (ad) 2 yang tidak mungkin terjadi di R (kontradiksi). Jadi pengandaian salah, yang benar p(x) elemen tak tereduksi. 3. Misal p(x) = x adalah suku banyak di C[x]. Suku banyak p(x) merupakan elemen tereduksi di R[x], sebab terdapat x+i, x i C[x] sedemikian sehingga x = (x + i)(x i), dengan x + i dan x i elemen tak unit di C[x]. 4. Pada ring Z, mudah kita pahami bahwa elemen 2 merupakan elemen prima. 65

5 5. Elemen 2 di ring Z 10 merupakan elemen prima. Sebagai buktinya, diambil sebarang a, b Z 10 dengan 2 ab. Karena 2 ab, diperoleh ab = k2 untuk suatu k Z 10. Hal ini berakibat ab 2k = 10r, untuk suatu r Z. Diperoleh ab = 2k + 10r = 2(k + 5r), sehingga 2 ab. Mengingat 2 adalah elemen prima di Z, diperoleh 2 a atau 2 b. Akibatnya, 2 a atau 2 b. Jadi, terbukti 2 merupakan elemen prima di ring Z 10. Dari definisi tersebut dapat ditarik beberapa kesimpulan yang disajikan dalam teorema berikut Teorema Misalkan R adalah daerah integral, dan a, b R {0 R }. 1. Elemen a berasosiasi dengan b jika dan hanya jika a b dan b a. 2. Elemen a membagi b jika dan hanya jika b a 3. Elemen a merupakan elemen prima di R jika dan hanya jika a merupakan ideal prima di R. 4. Jika a adalah elemen prima di R maka a merupakan tak tereduksi. Bukti. Diketahui R adalah daerah integral dan a, b R {0 R } 1. ( ). Diketahui a b, artinya terdapat elemen unit u R sedemikian sehingga a = ub. Dengan demikian berakibat b a Dari a = ub, diperoleh b = u 1 a sehingga a b. ( ). Diketahui a b dan b a, artinya terdapat q 1, q 2 R sedemikian sehingga a = q 1 b dan b = q 2 a. Dari sini diperoleh b = q 2 q 1 b dan menggunakan sifat kanselasi diperoleh 1 R = q 2 q 1. Dengan demikian elemen q 1 dan q 2 masingmasing merupakan elemen unit di R. Terbukti elemen a dan b berasosiasi. 2. ( ). Diketahui a b, artinya terdapat q R sedemikian sehingga b = qa. Diambil sebarang x b = {rb r R}, berarti x = sb untuk suatu s R. Dari sini diperoleh x = s(qa) = (sq)a = ta, untuk suatu t R. Jadi, diperoleh x a dan terbukti b a. 66

6 ( ). Diketahui b a, berarti b = ta untuk suatu t R. Jadi, terbukti a b. 3. (sebagai latihan) 4. Diambil sebarang b, c R sedemikian sehingga a = bc. Mudah dipahami bahwa a bc. Mengingat a adalah elemen prima, berakibat a b atau a c. Jika a b, maka b = ar untuk suatu r R. Oleh karena itu, diperoleh a = bc = arc, sehingga a(1 R rc) = 0 R. Mengingat R adalah daerah integral, berakibat 1 R rc = 0. Dari sini diperoleh rc = 1 R yang berarti c merupakan elemen unit. Dengan langkah yang analog, jika a c, maka dapat ditunjukkan b merupakan elemen unit. Jadi, terbukti bahwa p merupakan elemen tak tereduksi. Kita sudah mengetahui makna dari pembagi persekutuan terbesar dan kelipatan persekutan terkecil dari bilangan-bilangan dalam daerah integral Z. Berikut ini akan didefinisikan pengertian umum tentang pembagi persekutuan terbesar dan kelipatan persekutan terkecil dalam sebarang daerah integral R. Definisi Misalkan R daerah integral, dan A R {0}. 1. Elemen d disebut Pembagi Persekutuan Terbesar (PPB) A jika (a) ( a A) d a (b) ( e A) (( a A) e a e d) 2. Elemen l disebut Pembagi Persekutuan Terkecil (PPK) A jika (a) ( a A) a l (b) ( f A) (( a A) a f l f) Dapat ditunjukan bahwa sebarang dua PPB (jika ada) dari suatu himpunan saling berasosiasi. Dengan demikian dapat disimpulkan PPB suatu himpunan tunggal relatif terhadap relasi asosiasi. Dapat ditunjukkan bahwa PPB suatu himpunan 67

7 dalam suatu daerah integral tidak selalu ada, dalam daerah daerah ideal utama yang akan dibahas pada subbab berikut akan dapat ditunjukkan bahwa PPB suatu himpunan bagian selalu ada Daerah Ideal Utama Seperti sudah dikemukakan di depan bahwa pada subbab ini akan dibahas suatu daerah integral khusus yang dimotivasi oleh sifat khusus yang dimiliki oleh daerah integral bilangan bulat (Z, +, ). Definisi Daerah integral R disebut Daerah Ideal Utama (DIU) jika setiap idealnya merupakan ideal utama, yakni setiap idealnya dapat dibangun oleh satu elemen. Contoh Dari definisi tersebut, jelas dapat disimpulkan bahwa (Z, +, ) merupakan daerah ideal utama. Ring (Z[x], +, ) bukan daerah ideal utama walaupun masih merupakan daerah integral, sebab ideal 2, x bukan ideal utama. Contoh Jika F lapangan maka ring suku banyak yang terbentuk yakni F [x] merupakan daerah ideal utama. (Buktikan sebagai latihan!) Berikut sifat penting dari DIU dalam kaitannya dengan eksistensi dari PPB, dan sifat dari PPK. Teorema Jika R merupakan daerah ideal utama dan A adalah himpunan bagian tak kosong dalam R {0}, maka berlaku 1. Elemen d R merupakan PPB dari A jika dan hanya jika d merupakan pembangun dari ideal yang dibangun oleh A yakni ( d = A ). 2. Jika A berhingga dan A = {a 1, a 2, a 3,, a n }, mka suatau elemen l merupakan PPK dari A jika dan hanya jika membangun dari ideal a 1 a 2 a n. 68

8 Bukti. 1. ( ) Misalkan d pembangun dari A maka jelas bahwa d a untuk setiap a A, sebab A A = d. Selanjutnya mengingat d A, maka diperoleh d = Σr i a i untuk suatu r 1, r 2, r 3,, r n R dan a 1, a 2, a 3,, a n A. Sehingga jika e a untuk setiap a A akan diperoleh e d yang berarti d merupakan PPB dari A. ( ) (sebagai latihan) 2. (sebagai latihan) Dari teorema di atas akan dapat dibuktikan bahwa pada DIU, elemen prima identik dengan elemen tak tereduksi sebagaimana dinyatakan dalam akibat berikut. Teorema Jika R merupakan DIU dan a non unit dan a R {0}, maka berlaku a prima jika dan hanya jika a tak tereduksi. Bukti. ( ). Telah terbukti di Teorema ( ). Misalkan a tak tereduksi, dan misalkan a bc. Akan dibuktikan a b atau a c. Misalkan d adalah PPB dari {a, b}, maka a = de dan b = df untuk suatu e dan f di R. Mengingat a = de dan a tak tereduksi maka d atau e unit. Jika e unit maka a b sebab a berasosiasi dengan d, dan d b. Jika d unit, maka d = ar + bs untuk suatu r dan s di R. Dengan demikian diperoleh 1 = ar + bs untuk suatu r dan s di R. Dengan demikian diperoleh c = arc + bsc. Mengingat a arc, maka diperoleh a bsc, dengan demikian disimpulan a c. Dari sifat di atas untuk DIU akan dapat dtunjukkan ideal prima di DIU identik dengan ideal maksimal. Teorema Jika R merupakan DIU dan I merupakan ideal tak nol di R, maka berlaku I prima jika dan hanya jika I maksimal. 69

9 Bukti. ( ). Telah terbukti di Teorema ( ). Misalkan I prima, maka mengingat R DIU maka I dibangun oleh suatu elemen prima p di R, yakni I = p. Mengingat p prima dalam DIU maka p tak terduksi. Misalkan J adalah suatu ideal di R dengan I J dengan J = a, maka p ar untuk suatau r R. Mengingat p prima maka a atau r unit di R. Jika r unit maka haruslah I = p = a = J. Sementara itu jika a unit maka J = R. Terbukti J maksimal Daerah Euclid Dalam subbab ini akan dibahas daerah integral khusus yang merupakan abstraksi dari daerah integral bilangan bulat (Z, +, ) dalam kaitannya dengan sifatsifat nilai mutlak bilangan bulat yang didefinisikan sebagai suatu fungsi dari (Z, +, ) ke Z 0 sebagai berikut: n, n 0 n = n, n < 0. Seperti sudah dketahui bahwa fungsi nilai mutlak bersifat 1. untuk setiap n 1, n 2 Z dengan n 2 0, terdapat q, r Z sedemikian sehingga n 1 = qn 2 + r dengan r < n 2 atau r = untuk setiap n 1, n 2 Z\{0}, n 1 n 1 n 2. Dari sifat fungsi nilai mutlak tersebut didefinisikankanlah fungsi Euclid pada sebarang daerah integral sebagai berikut. Definisi Misalkan R adalah suatu daerah integral. Suatu fungsi ν : R\{0 R } Z 0 disebut fungsi valuasi Euclid jika 1. untuk setiap r 1, r 2 R dengan r 2 0 R, terdapat q, r R sedemikian sehingga r 1 = qr 2 + r dengan ν(r) < ν(r 2 ) atau r = untuk setiap r 1, r 2 R\{0 R }, ν(r 1 ) ν(r 1 r 2 ). 70

10 Contoh Dari sifat-sifat fungsi nilai mutlak dapat disimpulkan bahwa fungsi nilai mutlak pada daerah integral bilangan bulat Z merupakan fungsi valuasi Euclid. Contoh Jika F merupakan lapangan maka fungsi ν : F \{0 F } Z 0, dengan ν(α) = 1 untuk setiap α F \{0 F }, merupakan fungsi valuasi Euclid. Contoh Jika F merupakan lapangan maka fungsi ν : F [x]\{0 F } Z 0 ν(p(x)) = deg(p(x)) merupakan fungsi valuasi Euclid. Pada daerah integral tidak sealu dapat dibuat fungsi valuasi Euclid. Dari kenyatakan ini didefinisikanlah Daerah Euclid berikut ini. Definisi Suatu daerah integral R disebut Daerah Euclid jika terdapat fungsi valuai Euclid pada R. Dari definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa daerah intergral bilangan bulat Z, sebarang laoangan F, serta ring suku banyak atas lapangan F merupakan contoh-contoh daerah Euclid. Teorema berikut menunjukkan hubungan antara daerah Euclid dan daerah ideal utama. Teorema Jika R merupakan daerah Euclid maka R merupakan daerah ideal utama. Bukti. Misalkan R merupakan daerah Euclid dengan fungsi valuasi Euclid ν : R\{0 R } Z 0. Misalkan I sebarang ideal dalam R, akan ditunjukkan bahwa I dapat dibangun oleh satu elemen. Untuk membuktukan hal tersebut, dibedakan atas 2 (dua) kasus, yaitu kasus I = {0 R } dan I {0 R }. Untuk kasus I = {0 R }, jelas I = 0 R. Tinggal ditunjukkan untuk kasus I {0 R }. Untuk kasus ini jelas kita dapat memilih a I dengan a 0 R. Bentuk himpunan ν(i) = {ν(a) a I\{0 R }}. 71

11 Selanjutnya pilih b I dengan ν(b) terkecil diantara elemen-elemen di ν(i). Akan dibuktikan bahwa I = b. Ambil sebarang x I, dengan mengingat ν merupakan fungsi valusi Euclid, maka disimpulkan ada q dan r di R sedemikian hingga x = qb + r dengan ν(r) < ν(r 2 ) atau r = 0.. Akan ditunjukkan bahwa r = 0. Andaikan r 0, maka haruslah ν(r) < ν(b), dengan r = qb x. mengingat b I dengan I ideal maka qb I. Selanjutnya mengingat x I dan I ideal, maka r = qb x juga di I, hal ini bertentangan dengan fakta bahwa b merupakan elemen dengan ν(b) terkecil. Jadi pengandaian salah, yang benar r = 0, sehingga x = qb. Dengan kata lain diperoleh I dibangun oleh b. Jika R merupakan daerah Euclid dengan fungsi valuasi ν. Dalam teorema berikut ditunjukkan karakteristik suatu unit dalam R. Teorema Jika R merupakan daerah Euclid dengan fungsi valuasi ν, maka 1. ν(1) ν(r) untuk setiap setiap r R\{0 R }. 2. u unit di R jika dan hanya jika ν(u) = ν(1) Bukti. 1. Sebagai latihan. 2. ( ). Misalkan r elemen tak nol di R. Jelaslah bahwa ν(1) ν(1r) = ν(r). Di sisi lain jika u unit maka ν(u) ν(uu 1 ) = ν(1). Akibatnya diperoleh untuk setiap unit di R. ν(u) = ν(1) 72

12 ( ). Misalnya u adalah elemen tak nol di R dengan ν(u) = ν(1). Mengingat ν adalah suatu fungsi valuasi Euclid, maka ada q dan r di R sedemikian sehingga 1 = qu + r, dengan ν(r) < ν(u) atau r = 0. Akan ditunjukkan bahwa r = 0. Mengingat ν(u) = ν(1) minimal meliputi nilai-nilai ν(r) dengan r R. Dengan demikian tidak mungkin terjadi ν(r) < ν(u), sehingga haruslah r = 0. Dengan demikian diperoleh 1 = qu, sehingga u merupakan unit. Berikut akan ditampilkan salah satu cara untuk mendapatkan PPB dari dua elemen menggunakan algoritma pembagian. Misalkan akan ditentukan PPB dari himpunan yang terdiri dari dua elemen A = {a 1, a 2 } R\{0 R } dengan R merupakan daerah Euclid. Mengingat R daerah Euclid, maka akan ada q 1 dan a 3 di R sedemikian hingga a 1 = a 2 q 1 + a 3. dengan ν(a 3 ) < ν(a 2 ) atau a 3 = 0. Jika a 3 = 0, maka diperoleh PPB dari A = {a 1, a 2 } adalah a 2. Jika a 3 0 maka dengan mengingat R daerah Euclid akan diperoleh: Mengingat R daerah Euclid, maka akan ada q 2 dan a 4 di R sedemikian hingga a 2 = a 3 q 2 + a 4. dengan ν(a 4 ) < ν(a 3 ) atau a 4 = 0. Jika a 4 = 0, maka diperoleh PPB dari A = {a 2, a 3 } adalah a 3. Jika a 4 0 maka dengan mengingat R daerah Euclid akan diperoleh: Mengingat R daerah Euclid, maka akan ada q 3 dan a 5 di R sedemikian hingga a 3 = a 4 q 3 + a 5. 73

13 dengan ν(a 5 ) < ν(a 4 ) atau a 5 = 0. Jika a 5 = 0, maka diperoleh PPB dari A = {a 3, a 4 } adalah a 4. Jika a 5 0 maka dengan mengingat R daerah Euclid akan diperoleh:. Mengingat ν(a 2 ) > ν(a 2 ) > ν(a 3 ) >, proses ini pastilah akan berakhir pada suatu langkah sehingga pada suatu langkah ke n akan diperoleh a n 1 = a n q n Selanjutnya akan dapat ditunjukkan bahwa: Teorema Elemen a n adalah PPB dari A = {a 1, a 2 }. Bukti. Sebelum membuktikan a n adalah PPB dari A = {a 1, a 2 }, terlebih dahulu akan dibuktikan bahwa untuk 1 i (n 1) berlaku ideal yang dibangun oleh {a i, a i+1 } sama dengan ideal yang dibangun oleh {a i+1, a i+2 }, yakni a i, a i+1 = a i+1, a i+2. Mengingat a i = a i+1 q i + a i+2, maka akan diperolah xa i + ya i+1 = x(a i+1 q i + a i+2 + ya i+1 ) = (xq i + y)a i+1 + xa i+1 sehingga diperoleh a i, a i+1 a i+1, a i+2. Secara similar juga akan diperoleh ra i+1 + sa i+2 = ra i+1 + s(a i a i+1 q i ) = sa i + (r q i )a i+1 sehingga akan diperoleh a i+1, a i+2 a i, a i+1. 74

14 Terbukti a i+1, a i+2 = a i, a i+1. Dari sifat diatas kita peroleh a 1, a 2 = a 2, a 3 = = a n 1, a n. Selanjutnya mengingat a n a n 1, maka diperoleh a n merupakan PPB dari {a n 1, a n }, sehingga terbukti bahwa a n merupakan PPB dari A. Sebagai ilustrasi, berikut akan disajikan contoh pada daerah Euclid Z dengan fungsi valuasi nilai mutlak. Contoh Hitung PPB dari himpunan bilangan bulat A = {1254, 1110} dan nyatakan PPB tersebut sebagai bentuk r s 1110, untuk suatu r, s Z = = = = = = dengan demikia diperoleh PPB dari A = {1254, 1110} adalah 6. Dengan melakukan perhitungan mundur akan direoleh 6 = = 42 ( )2 = = 5 ( ) = = ( ) = = 54 ( ) = nampak dapat diambil r = 54 dan s = 61 yang memenuhi 6 = r s

15 6.4. Latihan Kerjakan soal-soal latihan berikut ini. 1. Diberikan sebarang lapangan F dan a F \{0 F }. Buktikan bahwa untuk sebarang b F, ax + b merupakan elemen tak tereduksi di F [x]! 2. Apakah suku banyak x 2 +1 merupakan elemen tak tereduksi di Z 2 [x]? Berikan penjelasannya! 3. Pada ring Z 12, buktikan bahwa 3 merupakan elemen prima, tetapi bukan elemen tak tereduksi! 4. Diberikan sebarang daerah ideal utama R dan p, q R. Jika p dan q masingmasing merupakan elemen prima sedemikian sehingga p q, maka buktikan bahwa p berasosiasi dengan q! 5. Diberikan sebarang daerah ideal utama R dan a, b, c R\{0 R }. Misalkan PPB dari {a, b} adalah d. Buktikan bahwa terdapat x, y R sedemikian sehingga ax + by = c jika dan hanya jika d c! 6. Jika R daerah Euclid dengan fungsi valuasi ν, dan a dan b elemen-elemen di R tunjukkan bahwa a berasosiai dengan b jika dan hanya jika ν(a) = ν(b). 7. Jika R daerah Euclid dengan fungsi valuasi ν, dan a dan b elemen-elemen di R tunjukkan bahwa ν(a) < ν(ab) jika dan hanya jika b bukan unit di R. 8. Tentukan PPB dari {2135, 123} di daerah integral Z menggunakan algoritma pembagian! 9. Tentukan PPB dari {x 5 + 2x 2 + 3, 3x 2 + 2x + 1} di daerah integral Z 5 [x] menggunakan algoritma pembagian suku banyak! 76