Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat Ring Polinom

Transkripsi

1 BAB 9 RING POLINOM Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat Ring Polinom Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan penjelasan mengenai gabungan dari ring-ring, mahasiswa minimal 80% dapat : a. Menjelaskan definisi dari Ring Polinom b. Menjelakan definisi algoritma pembagian dari Ring Polinom c. Menentukan hasil penjumlahan dari Ring Polinom d. Menentukan pengurangan dari Ring Polinom e. Menentukan perkalian dari Ring Polinom f. Menentukan pembagian dari Ring Polinom g. Menentukan unsur-unsur tereduksi dari Ring Polinom h. Menentukan unsur-unsur tidak tereduksi dari Ring Polinom Deskripsi Singkat : Ring Polinom merupakan gabungan dari dua atau lebih Ring. Bab ini akan membahas mengenai sifat-sifat dari Ring Polinom, algoritma pembagian dan unrur tereduksi dan tidak tereduksi dari Ring Polinom. 138

2 9.. Ring Polinom Salah satu kegunaan yang terpenting dari teori Ring dan Field adalah perluasan dari suatu Field menjadi Field yang lebih besar atau lebih luas sehingga suatu polinom (suku banyak) yang diketahui mempunyai akar. Sebagai contoh Field bilangan kompleks dapat diperoleh dengan memperluas Field bilangan real sehingga semua persamaan kuadrat akan mempunyai solusi. Pada sub pokok bahasan ini, akan dibahas mengenai struktur dari Ring Polinom yang merupakan gabungan dari ring-ring (suku banyak-suku banyak). Berikut ini akan merupakan definisi dari Ring Polinom, yaitu sebagai berikut : Definisi 9.1 : Bentuk umum dari suatu polinom (suku banyak) adalah p() = a 0 + a n a + + a n n = i = a i 0 i, dimana a i adalah koefisien dari p(). Bila n 0 maka derajat dari p() adalah n dan bila n = 0 maka derajat p() adalah nol. Contoh 9.1 : p() = , adalah polinom yang mempunyai derajat 6. Berikut merupakan definisi dari kesamaan dua buah polinom, yaitu : Definisi 9. : Misalkan dua buah polinom p() = a 0 + a a + + a n n dan q() = b 0 + b b + + b m m dikatakan sama jika dan hanya jika a i = b i untuk semua i

3 Contoh 9. : karena terdapat koefisien yang tidak sama, yaitu koefisien 4 di ruas kiri tidak sama dengan koefisien 4 di ruas kanan. Sedangkan = karena untuk masing-masing suku yang bersesuaian mempunyai koefisien yang sama. Untuk perkalian dan penjumlahan dua buah polinom didefinisikan sebagai berikut : Definisi 9.3 : Misalkan dua buah polinom p() = a 0 + a a + + a n n dan q() = b 0 + b b + + b m m, p() + q() = c 0 + c c + + c k k dimana k = maks{n,m} untuk setiap i, c i = a i + b i, untuk 0 i k. Definisi 9.4 : Misalkan dua buah polinom p() = a 0 + a a + + a n n dan q() = b 0 + b b + + b m m, p(). q() = c 0 + c c + + c k k dimana k = n + m untuk setiap i, c i = a i b 0 + a i-1 b a 1 b i-1 + a 0 b i. Dari definisi dan sifat-sifat polinom-polinom tersebut, berikut merupakan definisi dari Ring Polinom. Definisi 9.5 : Misalkan R adalah suatu Ring Komutatif. R[] dikatakan sebagai Ring Polinom atas R dengan R[] = {p(), q(), r(), } untuk n p() = i = a i 0 i, q() = i = b i 0 i, dan a i R. n 140

4 Contoh 9.3 : Misalkan p() dan q() dengan p() = + dan q() = +, maka : p() + q() = ( + ) + ( + ) = Contoh 9.4 : Misalkan p() dan q() dengan p() = + dan q() = +, maka : p() + q() = ( + ). ( + ) = Contoh 9.5 : Misalkan p() dan q() adalah polinom-polinom pada Z 3 [], dengan p() = + dan q() = +, maka : p() + q() = ( + ) + ( + ) = + + (+) = Contoh 9.6 : Misalkan p() dan q() adalah polinom-polinom pada Z 3 [], dengan p() = + dan q() = +, maka : p(). q() = ( + ). ( + ) = (.) (+1) + (.) + (.) + (.) = = + + Dari contoh-contoh tersebut, bila tidak ada penjelasan mengenai koefisien maka polinomnya dianggap sebagai bilangan real. Tetapi bila ada penjelasan lebih lanjut, maka koefisien sesuai dengan Ring yang ditunjuk. Pada Z 3 [], artinya koefisiennya adalah hanya 0, 1 dan saja. 141

5 9.. Algoritma Pembagian Polinom Pada bab terdahulu telah dibahas mengenai algoritma pembagian bilangan bulat, dimana bila suatu bilangan bulat dibagi oleh bilangan bulat yang lainnya, maka diperoleh suatu hasil bagi (faktor) dan sisa. Dalam sub pokok bahasan ini, akan dibahas mengenai algoritma pembagain polinompolinom, adapun tentang pembagian itu dapat dinyatakan dalam algoritma pembagian sebagai berikut : Teorema 9.1 : (Algoritma Pembagian Polinom-Polinom) Misalkan f() dan g() adalah dua buah polinom, f(), g() R[] dan g() 0, maka terdapat polinom-polinom yang unik q(), r() R[] sedemikian sehingga: f() = q().g() + r() dengan r() = 0 atau derajat r() < derajat g(). Polinom-polinom q() dan r() ditentukan secara tunggal oleh f() dan g() yang diperlukan. Selanjutnya f() disebut polinom yang dibagi, g() disebut polinom pembagi, q() disebut hasil bagi polinom, dan r() disebut sisa hasil bagi polinom. Bukti : Bila f() adalah polinom nol, maka q() = 0 dan r() = 0 adalah polinompolinom dari R[] sehingga : f() = q().g() + r() dengan r() = 0 Bila f() adalah bukan polinom nol, dimana f() 0 dan g() 0 Misalkan : p() = a 0 + a a + + a n n, a n 0 dan q() = b 0 + b b + + b m m, b m 0 14

6 Berarti derajat f() = n dan derajat g() = m Bila n < m berarti derajat f() < derajat g() Maka terdapat q() = 0 dan r() = f() di R[] sehingga f() = q().g() + r() dengan derajat r() = derajat f() < derajat g() Bila n m berarti derajat f() derajat g() Misalkan : Pembagian f() dan g() menghasilkan: f() = (a n b -1 m n-m )g() + f 1 () dengan f 1 () adalah polinom berderajat (n 1) di R[] Pembagian f 1 () dan g() pada R[] terdapat q 1 () dan r() di R[], sehingga : f 1 () = q 1 ().g() + r() dengan derajat r() = derajat f() < derajat g() Sehingga diperoleh : f() = (a n b -1 m n-m )g() + q 1 ().g() + r() = [(a n b -1 m n-m ) + q 1 ()]g() + r() = q().g() + r() dengan q() = (a n b -1 m n-m ) + q 1 () dan derajat r() = derajat f() < derajat g(). Hasil ini diulang terus sehingga diperoleh hasil yang diinginkan. Untuk membuktikan membuktikan keunikan dari q() dan r(), kita misalkan polinom-polinom lain q () dan r () sehingga : f() = q ().g() + r () dengan r () = 0 atau derajat r () < derajat g() Karena berlaku juga : f() = q().g() + r(0) dengan r() = 0 atau derajat r() < derajat g() 143

7 diperoleh : q().g() + r() = q ().g() + r () karena itu [q() q ()]g() = r () r() Sehingga ada kemungkinan yang didapat : o q() q () = 0 dan r () r() = 0, sehingga q() = q () dan r () = r() o q() q () 0 dan r () r() 0 Jadi terbukti bahwa q() dan r() adalah unik. Keunikan dari faktor g() dan keunikan sisa r() sama seperti ditunjukan oleh faktor dan sisa dalam algoritma pembagian bilanganbilangan bulat. Polinom faktor dan polinom sisa dapat dihitung dengan pembagian panjang dari polinom-polinom tersebut. Contoh 9.7 : Tentukan hasil bagi dari polinom-polinom berikut, dimana p() = + dan q() = +, p() adalah polinom yang dibagi dan g() polinom pembagi. Penyelesaian : Diketahui : p() = + adalah polinom yang dibagi g() = + adalah polinom pembagi Artinya koefisien-koefisien dari polinom-polinom tersebut adalah bilangan real R[]. p() / g() = +, selanjutnya : + 144

8 Dari pembagian polinom-polinom tersebut didapat hasil bagi q() = 1 dan sisa r() = 4. Sehingga : p() = q().g() + r() = ( 1).( + ) + 4 = = + Jadi terbukti bahwa hasil bagi dari p() / g() = 1 dengan sisa adalah Bila tidak ada penjelasan mengenai koefisien dari polinompolinomnya, maka polinom-polinomnya dianggap sebagai bilangan real. Tetapi bila koefisien polinom-polinomnya ditentukan seperti pada contoh berikut ini, maka koefisien dan derajat dari polinom-polinomnya sesuai dengan koefisien sesuai dengan Ring yang ditunjuk. Misalkan dalam contoh berikut ditentukan koefisien dengan Ring Z 3 []. Contoh 9.8 : Tentukan hasil bagi dari polinom-polinom berikut terhadap Z 3 [], dimana p() = + dan q() = +, p() adalah polinom yang dibagi dan g() polinom pembagi. 145

9 Penyelesaian : Diketahui : p() = + adalah polinom yang dibagi dalam Z 3 [] g() = + adalah polinom pembagi dalam Z 3 [] Artinya koefisien-koefisien dari polinom-polinom tersebut adalah hanya bernilai 0, 1 dan saja. p() / g() = + +, selanjutnya : Dari pembagian polinom-polinom tersebut dalam Z 3 [] didapat hasil bagi q() = dan sisa r() = +. Sehingga : p() = q().g() + r() =.( + ) + ( + ) = = + ( +1) + = = + Jadi terbukti bahwa hasil bagi dalam Z 3 [] dari p() / g() = + + adalah dengan sisa

10 Contoh 9.9 : Tentukan hasil bagi dari polinom-polinom berikut terhadap Z 4 [], dimana p() = dan q() = +, p() adalah polinom yang dibagi dan g() polinom pembagi. Penyelesaian : Diketahui : p() = adalah polinom yang dibagi dalam Z 4 [] g() = + adalah polinom pembagi dalam Z 4 [] Artinya koefisien-koefisien dari polinom-polinom tersebut adalah hanya bernilai 0, 1, dan 3 saja. p() / g() = , selanjutnya : Dari pembagian polinom-polinom tersebut dalam Z 4 [] didapat hasil bagi q() = dan sisa r() = 3. Sehingga : p() = q().g() + r() = (3 + 3).( + ) + 3 = (3.) + (3.) + 3 = = Jadi terbukti bahwa hasil bagi dalam Z 4 [] dari p() / g() = adalah dengan sisa

11 9.3. Unsur Tereduksi dan Tidak Tereduksi Pada sub pokok bahasan ini kita akan mempelajari tentang unsur tereduksi dan tidak tereduksi pada Ring Polinom. Adapun definisidefinisinya adalah sebagai berikut : Definisi 9.6 : Misalkan f() adalah suatu polinom dan R[] adalah merupakan Ring Polinom, f() R[] dikatakan polinom monik (monic polinomial) bila koefisien dengan pangkat tertingginya adalah 1. Contoh 9.10 : Polinom f() = n + a n-1 n a 1 + a 0 adalah merupakan polinom monik. Definisi 9.7 : Misalkan f() dan g() adalah dua buah polinom dan R[] merupakan Ring Polinomnya, sehingga f(), g() R[]. Polinom g() dikatakan membagi f() dengan g() 0, ditulis g() f(), bila f() = a().g() untuk suatu a() R[]. Contoh 9.11 : Misalkan f() = + R[] dikatakan membagi g() = + 4 R[], ditulis karena + 4 = ( + ). Contoh 9.1 : Misalkan f() = + 1 R[] dikatakan membagi g() = R[], ditulis karena = ( + )( + 1). 148

12 Definisi 9.8 : Polinom d() R[] disebut pembagi sekutu terbesar dari f(), g() R[], dinotasikan dengan (f(),g()) = d() dengan f() dan g() tidak boleh keduanya nol, bila d() adalah polinom monik sehingga : d() f() dan d() g() Jika () f() dan () g(), maka () d() Contoh 9.13 : Pembagi sekutu terbesar antara p() = dengan q() = + 1 adalah + 1. Karena + 1 adalah bukan polinom monik, sehingga () ( ) dan () ( + 1), maka () ( + 1) Definisi 9.9 : Polinom-polinom f(), g() R[] dikatakan relatif prima jika pembagi sekutu terbesarnya adalah 1. Contoh 9.14 : p() = 1 dengan g() = + 1 adalah merupakan relatif prima. Definisi 9.10 : Suatu polinom tak konstan f() R[] dikatakan tak tereduksi atas R jika f() tidak dapat dinyatakan sebagai perkalian dua polinom g(), h() R[] dengan derajat (g,h) < derajat (f) Contoh 9.15 : f() = 3 3 tidak tereduksi di R[], karena 3 3 tidak dapat dinyatakan sebagai perkalian dua polinom g(), h() R[] dengan derajat (g,h) < derajat (f). 149

13 Contoh 9.16 : f() = 3 tereduksi di R[], karena 3 dapat dinyatakan sebagai perkalian dua polinom g(), h() R[] dengan derajat (g,h) < derajat (f), sehingga 3 = ( + 3 )( 3 ). Berikut ini adalah suatu teorema yang dapat digunakan untuk mempermudah atau dapat merupakan suatu teknik untuk menentukan suatu polinom kuadratik (berderajat ) atau polinom kubik (berderajat 3) tereduksi atau tidak tereduksi. Teorema 9. : Bila f() R[] dan misalkan derajat (f()) = atau 3, maka berlaku f() tereduksi atas R jika dan hanya jika f mempunyai pembuat nol di R. Bukti : Misalkan f() tereduksi atas R Berarti f() = g().h() dengan 0 < derajat (g()) dan derajat (h()) < derajat (f()). Diperoleh g() atau h() berderajat 1. Misalkan g() berderajat 1, maka g() = a, untuk a R, berarti g(a) = 0 sehingga f(a) = 0. Jadi f mempunyai pembuat nol di R. Misalkan f(a) = 0 dan a R Berarti ( a) adalah faktor dari f() Jadi f() tereduksi atas R. Contoh 9.17 : Tunjukan bahwa polinom p() = + + tidak tereduksi atas Z 3. Penyelesaian : Z 3 = {0, 1, }, maka diperoleh : p(0) =

14 = p(1) = = = 1 p() = + + = = karena tidak terdapat Z 3 sehingga p() = 0 Jadi p() tidak tereduksi atas Z 3. Contoh 9.18 : Tunjukan bahwa polinom p() = tereduksi atas Z 3. Penyelesaian : Z 3 = {0, 1, }, maka diperoleh : p(0) = = 1 p(1) = = 1 + = 0 p() = = = 1 karena terdapat = 1 Z 3 sehingga p(1) = 0 Jadi p() tereduksi atas Z

15 9.4. Rangkuman 1. Bentuk umum dari suatu polinom (suku banyak) adalah p() = a 0 + n a a + + a n n = i = a i 0 i, dimana a i adalah koefisien dari p(). Bila n 0 maka derajat dari p() adalah n dan bila n = 0 maka derajat p() adalah nol.. Misalkan dua buah polinom p() = a 0 + a a + + a n n dan q() = b 0 + b b + + b m m dikatakan sama jika dan hanya jika a i = b i untuk semua i 0. Penjumlahan polinom-polinom p() + q() = c 0 + c c + + c k k dimana k = maks{n,m} untuk setiap i, c i = a i + b i, untuk 0 i k. Perkalian polinom-polinom p(). q() = c 0 + c c + + c k k dimana k = n + m untuk setiap i, c i = a i b 0 + a i-1 b a 1 b i-1 + a 0 b i. 3. Misalkan R adalah suatu Ring Komutatif. R[] dikatakan sebagai Ring Polinom atas R dengan R[] = {p(), q(), r(), } untuk n p() = i = a i 0 i, q() = i = b i 0 i, dan a i R. n 4. Misalkan f() dan g() adalah dua buah polinom, f(), g() R[] dan g() 0, maka terdapat polinom-polinom yang unik q(), r() R[] sedemikian sehingga: f() = q()g() + r() dengan r() = 0 atau derajat r() < derajat g(). Polinom-polinom q() dan r() ditentukan secara tunggal oleh f() dan g() yang diperlukan. 15

16 Selanjutnya f() disebut polinom yang dibagi, g() disebut polinom pembagi, q() disebut hasil bagi polinom, dan r() disebut sisa hasil bagi polinom. 5. Misalkan f() adalah suatu polinom dan R[] adalah merupakan Ring Polinom, f() R[] dikatakan polinom monik (monic polinomial) bila koefisien dengan pangkat tertingginya adalah Misalkan f() dan g() adalah dua buah polinom dan R[] merupakan Ring Polinomnya, sehingga f(), g() R[]. Polinom g() dikatakan membagi f() dengan g() 0, ditulis g() f(), bila f() = a().g() untuk suatu a() R[]. 7. Polinom d() R[] disebut pembagi sekutu terbesar dari f(), g() R[], dinotasikan dengan (f(),g()) = d() dengan f() dan g() tidak boleh keduanya nol, bila d() adalah polinom monik sehingga : d() f() dan d() g() Jika () f() dan () g(), maka () d() 8. Suatu polinom tak konstan f() R[] dikatakan tak tereduksi atas R jika f() tidak dapat dinyatakan sebagai perkalian dua polinom g(), h() R[] dengan derajat (g,h) < derajat (f). 9. Bila f() R[] dan misalkan derajat (f()) = atau 3, maka berlaku f() tereduksi atas R jika dan hanya jika f mempunyai pembuat nol di R. 153

17 9.5. Soal-soal Latihan 1. Diketahui polinom-polinom f() = dan g() = + 3. Carilah: a. f() + g() dalam Q[] b. f() g() dalam Q[] c. f() g() dalam Q[] d. f() : g() dalam Q[]. Diketahui polinom-polinom f() = dan g() = + 3. Carilah: a. f() + g() dalam Z 4 [] b. f() g() dalam Z 4 [] c. f() g() dalam Z 4 [] d. f() : g() dalam Z 4 [] 3. Diketahui polinom-polinom f() = dan g() = Carilah: a. f() + g() dalam Q[] b. f() g() dalam Q[] c. f() g() dalam Q[] d. f() : g() dalam Q[] 4. Diketahui polinom-polinom f() = dan g() = Carilah: a. f() + g() dalam Z 5 [] b. f() g() dalam Z 5 [] c. f() g() dalam Z 5 [] d. f() : g() dalam Z 5 [] 154

18 5. Diketahui polinom-polinom f() = dan g() = Carilah: a. f() + g() dalam Z [] b. f() g() dalam Z [] c. f() g() dalam Z [] d. f() : g() dalam Z [] 6. Periksalah apakah polinom-polinom berikut tereduksi atau tidak tereduksi a. p() = di Z 6 [] b. p() = 4 di R[] c. p() = di Z 10 [] d. p() = di Z 11 [] 155

19 DAFTAR PUSTAKA Durbin J.R Modern Algebra. New York: John Willey & Sons Herstein, I.N Topics in Algebra, nd Edition, New York: John Willey & Sons Hidayanto, Erry Struktur Aljabar. Malang: Universitas Negeri Malang Soebagio, A.S Materi Pokok Struktur Aljabar. Jakarta: Universitas Terbuka, Depdikbud Wahyudin, Aljabar Modern. Bandung: Tarsito 156