IV. HASIL DAN PEMBAHASAN. Pada bab ini akan dikaji beberapa karakteristik ring dan ring faktor serta suatu
|
|
- Liani Pranata
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 IV. HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bab ini akan dikaji beberapa karakteristik ring dan ring faktor serta suatu struktur ring yang mempunyai sifat Armendariz. Teorema 4.1 Jika R adalah daerah ideal utama yang komutatif dan A ideal di R maka R/A merupakan ring Armendariz. Diketahui R adalah daerah ideal utama yang komutatif dan A ideal di R. Misalkan A = x 0 yaitu ideal A yang dibangun oleh unsur x 0. Diberikan sebarang dua polinomial f (x) = n i=0 a ix i, g (x) = m j=0 b jx j R/A[x] dimana a i, b j untuk setiap i dan j merupakan elemen ring faktor R/A ={a = a + A a R}. Akan ditunjukkan ring faktor R/A merupakan ring Armendariz dengan kata lain jika f (x)g (x) = 0 maka a i b j 0. Diasumsikan f (x)g (x) = 0 (a 0 + a x 1 + a 2 x a n x n )(b 0 + b 1 x + b 2 x b m x m ) = 0 (a 0 b ) 0 + (a 0 b 1 +a 1 b )x (a 0 b m + a 1 b m a n b ) 0 x n+m = 0 a 0 b 0 + (a )x+ 0 b b 0 + (a ) 0 b m + 1 b m n b 0 x n+m = 0. 17
2 Akibatnya a 0 b 0 = 0 (4.1) a 0 b b 0 = 0 (4.2) a 0 b b b 0 = 0 (4.3) dan seterusnya. Dari persamaan (4.1) didapat bahwa a 0 b 0 = 0 dapat ditulis a 0 b 0 + A = 0 + A dimana a 0 b 0 R. Karena R daerah ideal utama, maka a 0 dapat dinyatakan sebagai a 0 = x 0 r 0 x 0 R = A suatu elemen ideal utama yang dibangun oleh x 0 A yang mengakibatkan a 0 b 0 + A = 0 + A (x 0 r 0 )b 0 + A = 0 + A r 0 x 0 b 0 + A = 0 + A (R komutatif) r 0 (x 0 b 0 ) + A = 0 + A. Karena x 0 A dan A ideal utama maka diperoleh x 0 b 0 + A = 0 + A. Dari persamaan (4.2) didapat bahwa a 0 b b 0 = 0 dapat ditulis a 0 b 1 + a 1 b 0 + A = 0 + A dimana a 0 b 1 + a 1 b 0 R. a 0 b 1 + a 1 b 0 + A = 0 + A (x 0 + A)(a 0 b 1 + a 1 b 0 + A ) = 0 + A (dikali x 0 + A) x 0 (a 0 b 1 + a 1 b 0 ) + A x 0 a 0 b 1 + x 0 a 1 b 0 + A = 0 + A = 0 + A x 0 a 0 b 1 + a 1 x 0 b 0 + A = 0 + A (R komutatif) x 0 a 0 b A = 0 + A (x 0 b 0 + A = 0 + A) 18
3 x 0 (a 0 b 1 ) + A = 0 + A. Karena x 0,a 0 A dan A ideal utama maka diperoleh a 0 b 1 + A = 0 + A dan x 0 b 1 + A = 0 + A. Selanjutnya subtitusikan a 0 b 1 + A = 0 + A ke persamaan (4.2) dan diperoleh a 1 b 0 + A = 0 + A. Sehingga terbukti a 0 b 1 + a 1 b 0 + A = 0 + A dengan kata lain a 0 b b 0 = 0. Dari persamaan (4.3) didapat bahwa a 0 b b b 0 = 0. Dapat ditulis a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0 + A = 0 + A dimana a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0 R. a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0 + A = 0 + A (x 0 + A)(a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0 + A) = 0 + A (dikali x 0 + A) x 0 a 0 b 2 + x 0 a 1 b 1 + x 0 a 2 b 0 + A = 0 + A x 0 a 0 b 2 + a 1 x 0 b 1 + a 2 x 0 b 0 + A = 0 + A (R komutatif) x 0 a 0 b 2 + a 1 x 0 b A = 0 + A (x 0 b 0 + A = 0 + A) x 0 a 0 b A = 0 + A (x 0 b 1 + A = 0 + A) x 0 a 0 b 2 + A = 0 + A. Karena x 0,a 0 A dan A ideal utama maka diperoleh a 0 b 2 + A = 0 + A dan x 0 b 2 + A = 0 + A. Selanjutnya subtitusikan a 0 b 2 + A = 0 + A ke persamaan (4.3) sehingga diperoleh a 1 b 1 + a 2 b 0 + A = 0 + A. Karena R daerah ideal utama maka haruslah memenuhi sifat tertutup pada operasi penjumlahan, sehingga diperoleh a 1 b 1 + A = 0 + A dan a 2 b 0 + A = 0 + A. Dengan kata lain terbukti a 0 b 2 + a 1 b 1 + a 2 b 0 + A = 0 + A atau a 0 b b b 0 = 0. 19
4 Berdasarkan persamaan (4.1), (4.2), (4.3) dan dapat dilanjutkan dengan langkah yang serupa sehingga didapat a = i b j 0 untuk setiap i dan j. Oleh karena itu R/A merupakan ring Armendariz. Untuk selanjutnya akan diselidiki suatu struktur ring memenuhi sifat Armendariz namun dibuktikan terlebih dahulu bahwa struktur ring memenuhi aksiomaaksioma ring. Lemma 4.2 Diberikan R ring dan didefinisikan dua operasi pada struktur ring R R/A maka memenuhi aksioma-aksioma ring. Dua operasi biner didefinisikan sebagai berikut: (a,u ) + (b,v ) = (a + b, u + v ) dan (a,u ) (b,v ) = ab,av. + ub Akan ditunjukkan < R R/A, +, > ring. 1. Terhadap operasi +, (i) Tertutup, yaitu untuk setiap (a,u ),(b,v ) R R/A berlaku (a,u ) + (b,v ) = (a + b, u + v ) (a,u ) + (b,v ) R R/A. = (a + b, u ). + v Karena a + b R dan u + v R/A maka (a,u ) + (b,v ) R R/A. (ii) Asosiatif, yaitu untuk setiap (a,u ),(b,v ),(c,w ) R R/A berlaku ((a,u ) + (b,v )) + (c,w ) = (a,u ) + ((b,v ) + (c,w )). 20
5 ((a,u ) + (b,v )) + (c,w ) = (a + b,u + v ) + (c,w ) = (a + b,u ) + v + (c,w ) = (a + b + c,u + v + ) w = (a + b + c,u ) + v + w = (a + b + c,u + v ) + w = (a,u ) + (b + c,v ) + w = (a,u ) + (b + c,v + w ) = (a,u ) + ((b,v ) + (c,w )). (iii) Mempunyai elemen identitas, yaitu terdapat (y,e ) R R/A sedemikian sehingga untuk setiap (a,u ) R R/A berlaku (y,e ) + (a,u ) = (a,u ) + (y,e ) = (a,u ). Misalkan (y,e ) elemen identitas untuk + dari R R/A, maka : (y,e ) + (a,u ) = (a,u ) (y+a,e + u ) = (a,u ) (y+a,e ) + u - (a,u ) = (a,u ) - (a,u ) (y+a-a,e ) + u u - (a,u ) = (0,0 ) (y,e ) = (0,0 ). Oleh karena itu (y,e ) = (0,0 ) merupakan elemen identitas untuk + dari R R/A. (iv) Setiap elemen dari R R/A mempunyai invers, yaitu untuk setiap (a,u ) R R/A terdapat (x, d ) R R/A sedemikian sehingga (a,u ) + (x, d ) = (x, d ) + (a,u ) = (0,0 ). 21
6 (a,u ) + (x, d ) = (0,0 ) (a + x,u + d ) = (0,0 ) (a + x,u + d ) - (a,u ) = (0,0 ) - (a,u ) (a + x -a,u + d -u ) = (-a,-u ) (x,d ) = (-a,-u ). Jadi (x,d ) = (-a,-u ) merupakan invers untuk setiap (a,u ) R R/A. (v) Komutatif, yaitu untuk setiap (a,u ),(b,v ) R R/A berlaku (a,u ) + (b,v ) = a + b, u v 2. Terhadap operasi, = a + b, uv = b + a, v u (a,u ) + (b,v ) = (b,v ) + (a,u ). = (b,v ) + (a,u ). (i) Tertutup, yaitu untuk setiap (a,u ),(b,v ) R R/A berlaku (a,u ) (b,v ) = ab,av. + ub (a,u ) (b,v ) R R/A. Karena ab R dan av + ub R/A maka (a,u ) (b,v ) R R/A. (ii) Asosiatif, yaitu untuk setiap (a,u ),(b,v ),(c,w ) R R/A berlaku ((a,u ) (b,v )) (c,w ) = (a,u ) ((b,v ) (c,w )). ((a,u ) (b,v )) (c,w ) = (ab,av ) + ub (c,w ) 22
7 = abc,abw + (av + ub)c = abc,abw + avc + ubc = abc,a(bw + vc) + ubc = (a,u ) (bc, bw ) + vc = (a,u ) ((b,v ) (c,w )). 3. Pada operasi + dan, (i) Distribusi kanan, yaitu untuk setiap (a,u ),(b,v ),(c,w ) R R/A berlaku (a,u ) ((b,v ) + (c,w )) = (a,u ) (b,v ) + (a,u ) (c,w ). (a,u ) ((b,v ) + (c,w )) = (a,u ) (b+c,v w ) = (a,u ) (b+c,v ) + w = a(b+c),a(v + w) + u(b + c) = ab+ac,av + aw + ub + uc = ab+ac,av + ub + aw + uc = ab+ac,av + ub + aw + uc = (ab,av ) + ub + (ac,aw ) + uc = (a,u ) (b,v ) + (a,u ) (c,w ). (ii) Distribusi kiri, yaitu untuk setiap (a,u ), (b,v ), (c,w ) R R/A berlaku ((a,u ) +(b,v )) (c,w ) = (a,u ) (c,w ) + (b,v ) (c,w ). ((a,u ) + (b,v )) (c,w ) = (a+b,u +v ) (c,w ) = (a+b,u ) + v (c,w ) = (a+b)c,(a + b)w + (u + v)c = ac+bc,aw + bw + uc + vc 23
8 = ac+bc,aw + uc + bw + vc = ac+bc,aw + uc + bw + vc = (ac,aw ) + uc + (bc,bw + vc = (a,u ) (c,w ) + (b,v ) (c,w ). Dari aksioma diatas maka terbukti < R R/A, +, > ring. Berikut ini akan disajikan teorema suatu struktur ring yang memenuhi sifat Armendariz. Teorema 4.3 Diketahui R daerah integral. Jika A ideal di R dan ring faktor R/A merupakan Armendariz maka ring R R/A adalah Armendariz. Diketahui R adalah daerah integral dengan A ideal di R dan ring R/A merupakan Armendariz. Diberikan sebarang dua polinomial yang koefisiennya merupakan elemen ring R R/A = {(a, u ) a R dan u R/A }. Diberikan sebarang f(x) = n i=0 (a i, u i)x i, g(x) = m j=0 (b j, v j)x j (R R/A)[x], dimana (a i, u i), (b j, v j) R R/A untuk setiap i dan j. Akan ditunjukkan ring R R/A adalah Armendariz dengan kata lain jika f(x)g(x) = (0,0 ) = 0 maka (a i, u i)(b j, v j) = (a i b j,a ) i v j + u i b j = 0. Selanjutnya untuk mempermudah pembuktian, digunakan notasi sebagai berikut : f(x) = (f 0 (x), f 1 (x)) dan g(x) = (g 0 (x), g (x)). 1 Diasumsikan f(x)g(x) = 0 24
9 ((a 0, u 0) + (a 1, u 1)x + (a 2, u 2)x (a n, u n)x n )((b 0, v 0) + (b 1, v 1)x + (b 2, v 2)x (b m, v m) x m ) = 0 ((a 0, u 0)(b 0, v 0)) + ((a 0, u 0)(b 1, v 1) + (a 1, u 1)(b 0, v 0))x + + ((a 0, u 0)(b m, v m + (a 1, u 1)(b m 1, v m 1) + + (a n, u n)(b 0, v 0)) x n+m = 0 (a 0 b 0, a ) 0 v 0 + u 0 b 0 + ((a 0 b 1, a ) 0 v 1 + u 0 b 1 + (a 1 b 0, a ))x... 1 v 0 + u 1 b 0 = 0 (a 0 b 0, a ) 0 v 0 + u 0 b 0 + (a 0 b 1 + a 1 b 0, a )x... 0 v 1 + u 0 b v 0 + u 1 b 0 = 0 a 0 b 0 + (a 0 b 1 + a 1 b 0 )x+, a 0 v 0 + u 0 b 0 + (a )x 1 v 0 + u 1 b v 0 + u 1 b 0 + = 0 f 0 (x)g 0 (x), f 0 (x)g 1 (x) + 1 (x)g 0 (x) = 0. Akibatnya f 0 (x)g 0 (x) = 0 (4.4) f 0 (x)g 1 (x) + 1 (x)g 0 (x) = 0. (4.5) Karena R adalah daerah integral maka terdapat dua kemungkinan, yaitu : a) f 0 (x) = 0, Jika f 0 (x) = 0, maka dari persamaan (4.5) diperoleh : f 0 (x)g 1 (x) + 1 (x)g 0 (x) 0g 1 (x) + f 1 (x)g 0 (x) 0 + f 1 (x)g 0 (x) = 0 = 0 = 0 f 1 (x)g 0 (x) = 0. Karena R/A adalah Armendariz, f 1 (x)g 0 (x) = 0 berakibat u i b j = 0 untuk setiap i dan j dan f 0 (x) = 0 berakibat a i = 0 untuk setiap i. Selanjutnya dapat disimpulkan sebagai berikut : 25
10 (a i, u i)(b j, v j) = (a i b j,a ) i v j + u i b j b) g 0 (x) = 0, = (0b j,0v ) j + 0 = (0,0 ) = 0. Jika g 0 (x) = 0, maka dari persamaan (4.5) diperoleh : f 0 (x)g 1 (x) + 1 (x)g 0 (x) f 0 (x)g 1 (x) + 1 (x)0 f 0 (x)g 1 (x) + 0 = 0 = 0 = 0 f 0 (x)g 1 (x) = 0. Karena R/A adalah Armendariz, f 0 (x)g 1 (x) = 0 berakibat a i v j = 0 untuk setiap i dan j dan g 0 (x) = 0 berakibat b j = 0 untuk setiap j. Selanjutnya dapat disimpulkan sebagai berikut : (a i, u i)(b j, v j) = (a i b j,a ) i v j + u i b j = (a i 0,0 ) + u i 0 = (0,0 ) = 0. Dari a) dan b) terbukti bahwa (a i, u i)(b j, v j) = (a i b j,a ) i v j + u i b j = 0 untuk setiap i dan j. Oleh karena itu ring R R/A merupakan ring Armendariz. Pada Teorema 4.3, bahwa jika R daerah integral dengan A ideal di R dan ring R/A merupakan Armendariz maka ring R R/A merupakan ring Armendariz. 26
11 Pembahasan selanjutnya akan dikaji karakterisasi ring reduced pada suatu struktur ring yang juga mempunyai sifat Armendariz. Berikut ini akan disajikan terlebih dahulu beberapa lemma yang mendukung. Lemma 4.4 Diketahui ring R reduced. Untuk setiap a,b R, ab = 0 jika dan hanya jika ba = 0. bukti : ( ) Diberikan R merupakan ring reduced. Diambil sebarang a,b R dengan ab = 0. Akan ditunjukkan ba = 0. Andaikan ba 0, karena R ring reduced maka ba bukan elemen nilpoten yang artinya (ba) n 0 untuk suatu n. Ambil n = 2 sehingga diperoleh (ba) 2 = baba 0. Diketahui bahwa ab = 0 sehingga (ba) 2 = baba = b0a = 0 yang berarti ba merupakan elemen nilpoten. Hal ini kontradiksi dengan ba 0. Sehingga haruslah ba = 0. ( ) Diberikan R merupakan ring reduced. Diambil sebarang a,b R dengan ba = 0. Akan ditunjukkan ab = 0. Andaikan ab 0, karena R ring reduced maka ab bukan elemen nilpoten yang artinya (ab) n 0 untuk suatu n. Ambil n = 2 sehingga diperoleh (ab) 2 = abab 0. Diketahui bahwa ba = 0 sehingga (ab) 2 = abab = a0b = 0 yang berarti ab merupakan elemen nilpoten. Hal ini kontradiksi dengan ab 0. Sehingga, haruslah ab = 0. Lemma 4.5 Jika R ring reduced maka R ring Armendariz. 27
12 Diketahui R ring reduced. Diberikan f(x) = n i=0 a i x i, g(x) = m j=0 b j x j R[x], dimana a i, b j R untuk setiap i dan j. Akan ditunjukkan jika f(x)g(x) = 0 maka a i b j = 0. Diasumsikan f(x)g(x) = 0 (a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n )(b 0 + b 1 x + b 2 x b m x m ) = 0 a 0 b 0 + (a 0 b 1 + a 1 b 0 )x + + (a 0 b m + a 1 b m a n b 0 ) x n+m = 0. Akibatnya a 0 b 0 = 0 (4.6) a 0 b 1 + a 1 b 0 = 0 (4.7) dan seterusnya. Dari persamaan (4.6) didapat bahwa a 0 b 0 = 0. Karena R merupakan ring reduced, maka b 0 a 0 = 0. Selanjutnya perhatikan persamaan (4.7). a 0 b 1 + a 1 b 0 = 0 (dikali b 0 ) b 0 a 0 b 1 + b 0 a 1 b 0 = 0 (b 0 a 0 = 0) 0 + b 0 a 1 b 0 = 0 b 0 a 1 b 0 = 0. Karena (a 1 b 0 ) 2 = a 1 b 0 a 1 b 0 = a 1 0 = 0, artinya a 1 b 0 adalah elemen nilpoten. Karena R ring reduced maka a 1 b 0 = 0. Selanjutnya subtitusikan a 1 b 0 = 0 ke persamaan (4.7) sehingga diperoleh a 0 b 1 = 0. Untuk persamaan selanjutnya dengan langkah yang serupa sehingga didapat a i b j = 0 untuk setiap i dan j. Oleh karena itu R merupakan ring Armendariz. 28
13 Pada Lemma 4.5, tidak berlaku sebaliknya. Dengan kata lain jika diketahui R ring Armendariz maka belum tentu R ring reduced. Ring faktor Z/nZ merupakan contoh ring Armendariz tetapi bukan ring reduced. Lemma 4.6 Jika R ring reduced maka R[x] ring reduced. Diketahui R ring reduced dengan kata lain berlaku a n = 0 untuk suatu n Z + maka a = 0. Diberikan sebarang f(x) = n i=0 a i x i R[x] dimana a i R untuk setiap i. Akan ditunjukkan jika {f(x) } n = 0 maka f(x) = 0 dengan kata lain a i = 0. m n {f(x) } n = { a i x i } i=0 {a 0 + a 1 x 1 + a 2 x a m x m } n a n 0 + (ma 0 a 1 )x + + a n m x m+m 0 n + 0x + + 0x m+m 0. Karena R ring reduced maka a n 0 = a n 1 1 = = a n m = 0 untuk suatu n Z + sehingga berakibat a 0 = a 1 = = a m = 0. Dengan kata lain terbukti a i = 0. Teorema 4.7 Jika R ring reduced dengan A ideal di R dan ring faktor R/A ring reduced, maka ring R R/A = {(a, u ) a R dan u R/A } merupakan Armendariz. 29
14 Diketahui R ring reduced dengan A ideal di R dan ring R/A juga ring reduced. diberikan sebarang f(x) = n i=0 (a i, u i)x i, g(x) = m j=0 (b j, v j)x j (R R/A )[x], dimana (a i, u i), (b j, v j) R R/A untuk setiap i dan j. Akan ditunjukkan jika f(x)g(x) = 0 maka (a i, u i)(b j, v j) = (a i b j,a ) i v j + u i b j = 0. Selanjutnya untuk mempermudah pembuktian, digunakan notasi sebagai berikut : f(x) = (f 0 (x), f 1 (x)) dan g(x) = (g 0 (x), g (x)). 1 Diasumsikan f(x)g(x) = 0 ((a 0, u 0) + (a 1, u 1)x + (a 2, u 2)x (a n, u n)x n )((b 0, v 0) + (b 1, v 1)x + (b 2, v 2)x (b m, v m) x m ) = 0 ((a 0, u 0)(b 0, v 0)) + ((a 0, u 0)(b 1, v 1) + (a 1, u 1)(b 0, v 0))x + + ((a 0, u 0)(b m, v m + (a 1, u 1)(b m 1, v m 1) + + (a n, u n)(b 0, v 0)) x n+m = 0 (a 0 b 0, a ) 0 v 0 + u 0 b 0 + ((a 0 b 1, a ) 0 v 1 + u 0 b 1 + (a 1 b 0, a ))x... 1 v 0 + u 1 b 0 = 0 (a 0 b 0, a ) 0 v 0 + u 0 b 0 + (a 0 b 1 + a 1 b 0, a )x... 0 v 1 + u 0 b v 0 + u 1 b 0 = 0 a 0 b 0 + (a 0 b 1 + a 1 b 0 )x+, a 0 v 0 + u 0 b 0 + (a )x 1 v 0 + u 1 b v 0 + u 1 b 0 + = 0 f 0 (x)g 0 (x), f 0 (x)g 1 (x) + 1 (x)g 0 (x) = 0. Akibatnya f 0 (x)g 0 (x) = 0 (4.8) f 0 (x)g 1 (x) + 1 (x)g 0 (x) = 0. (4.9) Karena R ring reduced maka persamaan (4.8) berakibat g 0 (x)f 0 (x) = 0. Pada persamaan (4.9) f 0 (x)g 1 (x) + 1 (x)g 0 (x) = 0 (dikali g ) 0 (x) 30
15 g 0 (x)f 0 (x)g 1 (x) + 0 (x)f 1 (x)g 0 (x) = g 0 (x)f 1 (x)g 0 (x) = 0 (g 0 (x)f 0 (x) = 0) g 0 (x)f 1 (x)g 0 (x) = 0. Karena (f )2 1 (x)g 0 (x) = f 1 (x)g 0 (x)f 1 (x)g 0 (x) = f. 1 (x) 0 ( g = 0 (x)f 1 (x)g 0 (x) 0 ) = 0, artinya f 1 (x)g 0 (x) adalah elemen nilpoten dan R/A[x] adalah ring reduced maka diperoleh f 1 (x)g 0 (x) = 0. Selanjutnya subtitusikan f 1 (x)g 0 (x) = 0 ke persamaan(4.9) sehingga diperoleh f 0 (x)g 1 (x) = 0. Karena R Armendariz maka persamaan (4.8) dan (4.9) menghasilkan (a i, u i)(b j, v j) = (a i b j,a ) i v j + u i b j = 0. Oleh karena itu, terbukti bahwa R R/A merupakan ring Armendariz. Berdasarkan Teorema 4.7, struktur ring R R merupakan ring Armendariz jika diambil A = 0. Berikut ini diberikan akibatnya secara lengkap. Akibat 4.8 Diketahui R ring reduced. Jika sebarang dua polinomial yang koefisiennya merupakan elemen ring R R = {(a,u) a,u R}, maka struktur ring R R merupakan Armendariz. 31
II. LANDASAN TEORI. Pada bagian ini akan dikaji konsep operasi biner dan ring yang akan digunakan
II. LANDASAN TEORI Pada bagian ini akan dikaji konsep operasi biner dan ring yang akan digunakan dalam pembahasan penelitian ini. Untuk lebih mudah memahami, akan diberikan beberapa contoh. Berikut ini
Lebih terperinciBAB 3 RING ARMENDARIZ. bahwa jika ab = 0, maka ba = 0 (diketahui ab = 0, maka (ba) 2 = baba = b.0.a = 0
BAB 3 RING ARMENDARIZ 3.1 Ring Terreduksi Suatu ring R disebut ring terreduksi jika tidak mempunyai elemen nilpoten tak nol. Secara ekuivalen, suatu ring dikatakan terreduksi jika tidak mempunyai elemen
Lebih terperinciSIFAT ARMENDARIZ P A D A BEBERAPA RING GRUP
SIFAT ARMENDARIZ P A D A BEBERAPA RING GRUP oleh : Mulvi Ludiana (1) Cece Kustiawan (2) Sumanang Muhtar Gozali (2) ABSTRAK Dari suatu ring dan grup, dapat dikonstruksi suatu ring baru yang disebut ring
Lebih terperinciG a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
Lebih terperinciKeberlakuan Teorema pada Beberapa Struktur Aljabar
PRISMA 1 (2018) https://journal.unnes.ac.id/sju/index.php/prisma/ Keberlakuan Teorema pada Beberapa Struktur Aljabar Mashuri, Kristina Wijayanti, Rahayu Budhiati Veronica, Isnarto Jurusan Matenmatika FMIPA
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR: RING
STRUKTUR ALJABAR: RING BAHAN AJAR Oleh: Rippi Maya Program Studi Magister Pendidikan Matematika Sekolah Tinggi Keguruan dan Ilmu Pendidikan (STKIP) SILIWANGI - Bandung 2016 1 Pada grup telah dipelajari
Lebih terperinci0,1,2,3,4. (e) Perhatikan jawabmu pada (a) (d). Tuliskan kembali sifat-sifat yang kamu temukan dalam. 5. a b c d
1 Pada grup telah dipelajari himpunan dengan satu operasi. Sekarang akan dipelajari himpunan dengan dua operasi. Ilustrasi 1.1 Perhatikan himpunan 0,1,2,3,4. (a) Apakah grup terhadap operasi penjumlahan?
Lebih terperinciPENGERTIAN RING. A. Pendahuluan
Pertemuan 13 PENGERTIAN RING A. Pendahuluan Target yang diharapkan dalam pertemuan ke 13 ini (pertemuan pertama tentang teori ring) adalah mahasiswa dapat : a. membedakan suatu struktur aljabar merupakan
Lebih terperinciSEKILAS TENTANG KONSEP. dengan grup faktor, dan masih banyak lagi. Oleh karenanya sebelum
Bab I. Sekilas Tentang Konsep Dasar Grup antonius cp 2 1. Tertutup, yakni jika diambil sebarang dua elemen dalam G maka hasil operasinya juga akan merupakan elemen G dan hasil tersebut adalah tunggal.
Lebih terperinciBAHAN AJAR ANALISIS REAL 1. DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN
BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 DOSEN PENGAMPU RINA AGUSTINA, S. Pd., M. Pd. NIDN. 0212088701 PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH METRO 2015 1 KATA PENGANTAR
Lebih terperinciKLASIFIKASI NEAR-RING Classifications of Near Ring
Jurnal Barekeng Vol 8 No Hal 33 39 (14) KLASIFIKASI NEAR-RING Classifications of Near Ring ELVINUS RICHARD PERSULESSY Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Pattimura Jl Ir M Putuhena, Kampus Unpatti,
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Untuk mencapai tujuan penulisan penelitian diperlukan beberapa pengertian dan teori yang berkaitan dengan pembahasan. Dalam subbab ini akan diberikan beberapa teori berupa definisi,
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan teori grup dan teori ring yang akan digunakan dalam penelitian. Pada bagian pertama akan dibahas mengenai teori grup. 2.1 Grup Dalam struktur aljabar, himpunan
Lebih terperinci1. GRUP. Definisi 1.1 (Operasi Biner) Diketahui G himpunan dan ab, G. Operasi biner pada G merupakan pengaitan
1. GRUP Definisi 1.1 (Operasi Biner) Diketahui G himpunan dan ab, G. Operasi biner pada G merupakan pengaitan pasangan elemen ( ab, ) pada G, yang memenuhi dua kondisi berikut: 1. Setiap pasangan elemen
Lebih terperinciStruktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian. grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
GRUP Bab ini merupakan awal dari bagian pertama materi utama perkuliahan Struktur Aljabar I. Pada bab ini disajikan tentang pengertian grup, sifat-sifat dasar grup, ordo grup dan elemennya, dan konsep
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. modul yang akan digunakan dalam pembahasan hasil penelitian.
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang grup, ring, dan modul yang akan digunakan dalam pembahasan hasil penelitian. 2.1 Ring Sebelum didefinisikan pengertian
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR. Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif.
STRUKTUR ALJABAR SEMIGRUP Sistem aljabar (S, ) merupakan semigrup, jika 1. Himpunan S tertutup terhadap operasi. 2. Operasi bersifat asosiatif. Contoh 1 (Z, +) merupakan sebuah semigrup. Contoh 2 Misalkan
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN
Lebih terperinciSOAL. Pada himpunan bilangan real, selidiki apakah merupakan grup terhadap operasi yang didefinisikan sebagai berikut: PEMBAHASAN
Halo! Kali ini aku mau membahas soal ujian tengah semester (UTS) mata kuliah Pengantar Struktur Aljabar I di Prodi Matematika FMIPA UGM pada tahun akademik 2014/2015. Dosen pengampunya adalah Bu Sri Wahyuni.
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN I MODUL ATAS RING Direncanakan
Lebih terperinciBAB 6 RING (GELANGGANG) BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
BAB 6 RING (GELANGGANG) Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat suatu Ring, Integral Domain dan Field Tujuan Instruksional
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB / POKOK BAHASAN
Lebih terperinciVolume 9 Nomor 1 Maret 2015
Volume 9 Nomor 1 Maret 015 Jurnal Ilmu Matematika dan Terapan Maret 015 Volume 9 Nomor 1 Hal. 1 10 KARAKTERISASI DAERAH DEDEKIND Elvinus R. Persulessy 1, Novita Dahoklory 1, Jurusan Matematika FMIPA Universitas
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
6 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Fungsi Definisi A.1 Diberikan A dan B adalah dua himpunan yang tidak kosong. Suatu cara atau aturan yang memasangkan atau mengaitkan setiap elemen dari himpunan A dengan tepat
Lebih terperinciIDEAL PRIMA DAN IDEAL MAKSIMAL PADA GELANGGANG POLINOMIAL PRIME IDEAL AND MAXIMAL IDEAL IN A POLYNOMIAL RING
IDEAL PRIMA DAN IDEAL MAKSIMAL PADA GELANGGANG POLINOMIAL Qharnida Khariani, Amir Kamal Amir dan Nur Erawati Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin (UNHAS)
Lebih terperinciSEMINAR NASIONAL BASIC SCIENCE II
ISBN : 978-602-97522-0-5 PROSEDING SEMINAR NASIONAL BASIC SCIENCE II Konstribusi Sains Untuk Pengembangan Pendidikan, Biodiversitas dan Metigasi Bencana Pada Daerah Kepulauan SCIENTIFIC COMMITTEE: Prof.
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi
1 BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Struktur aljabar merupakan suatu himpunan tidak kosong yang dilengkapi dengan aksioma dan suatu operasi biner. Teori grup dan ring merupakan konsep yang memegang
Lebih terperinciAntonius C. Prihandoko
Antonius C. Prihandoko Didanai oleh Proyek DIA-BERMUTU 2009 PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA Jurusan Pendidikan MIPA Fakultas Keguruan Dan Ilmu Pendidikan Universitas Jember Prakata Puji syukur ke hadirat
Lebih terperinciBAB III PERLUASAN INTEGRAL
BAB III PERLUASAN INTEGRAL Pembahasan pada bab ini termuat pada ruang lingkup perluasan uniter atas suatu ring komutatif. Jika adalah suatu ring, maka yang dimaksud adalah suatu ring yang komutatif dan
Lebih terperinciIDEAL DAN SIFAT-SIFATNYA
IDEAL DAN SIFAT-SIFATNYA Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Stuktur Aljabar II Oleh: Kelompok VI/kelas A 1 Diah Ajeng Titisari (08144100009) Frendy Try Andyasmoko (08144100041) Herna Purwanti (08144100083)
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. Contoh sederhana dari ring adalah himpunan bilangan bulat Z.
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Suatu struktur aljabar adalah himpunan takkosong yang dilengkapi satu atau lebih operasi biner pada himpunan tersebut. Salah satu contoh struktur aljabar adalah ring,
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN
Lebih terperinciIDEAL PRIMA DAN IDEAL MAKSIMAL PADA GELANGGANG POLINOMIAL
Vol 11, No 1, 71-76, Juli 2014 IDEAL PRIMA DAN IDEAL MAKSIMAL PADA GELANGGANG POLINOMIAL Qharnida Khariani, Amir Kamal Amir dan Nur Erawaty Abstrak Teori gelanggang merupakan salah satu bagian di matematika
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini dipaparkan dasar-dasar yang akan digunakan pada bagian pembahasan dari skripsi ini. Tinjauan yang dilakukan dengan memaparkan definisi mengenai himpunan fuzzy, struktur
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA. Bahan Ajar:
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Gedung Jurusan Matematika, Yogyakarta - 55281 Bahan Ajar: BAB / POKOK BAHASAN
Lebih terperinciII. SISTEM BILANGAN RIIL. Handout Analisis Riil I (PAM 351)
II. SISTEM BILANGAN RIIL Handout Analisis Riil I (PAM 351) Sifat Aljabar (Aksioma Lapangan) dari Bilangan Riil Bagian ini akan membicarakan struktur aljabar bilangan riil dengan terlebih dahulu memberikan
Lebih terperinciBAB II KERANGKA TEORITIS. komposisi biner atau lebih dan bersifat tertutup. A = {x / x bilangan asli} dengan operasi +
5 BAB II KERANGKA TEORITIS 2.1 Struktur Aljabar Struktur aljabar adalah salah satu mata kuliah dalam jurusan matematika yang mempelajari tentang himpunan (sets), proposisi, kuantor, relasi, fungsi, bilangan,
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR II. Materi : 1. Ring 2. Sub Ring, Ideal, Ring Faktor 3. Daerah Integral, dan Field.
STRUKTUR ALJABAR II Materi : 1. Ring 2. Sub Ring, Ideal, Ring Faktor 3. Daerah Integral, dan Field RING (GELANGGANG) Ring adalah himpunan G yang tidak kosong dan berlaku dua oprasi biner (penjumlahan dan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang dinotasikan. (i), untuk setiap ( bersifat assosiatif);
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Grup Pengkajian pertama, diulas tentang definisi Grup yang merupakan bentuk dasar dari suatu ring dan modul. Definisi 2.1.1 Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang
Lebih terperinciA 10 Diagonalisasi Matriks Atas Ring Komutatif
A 10 Diagonalisasi Matriks Atas Ring Komutatif Joko Harianto 1, Puguh Wahyu Prasetyo 2, Vika Yugi Kurniawan 3, Sri Wahyuni 4 1 Mahasiswa S2 Matematika FMIPA UGM, 2 Mahasiswa S2 Matematika FMIPA UGM, 3
Lebih terperinciMATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 2 No.6 Tahun 2017 ISSN
MATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 2 No.6 Tahun 2017 ISSN 2301-9115 GRAF TOTAL SUATU MODUL BERDASARKAN SUBMODUL SINGULER Dian Ambarsari (S1 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Lebih terperinciSIFAT-SIFAT PENGEMBANGAN RING ARMENDARIZ DAN RING MCCOY
Jurnal Matematika UNAND Vol. 3 No. 3 Hal. 1 8 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND SIFAT-SIFAT PENGEMBANGAN RING ARMENDARIZ DAN RING MCCOY SRI WAHYUNI, YANITA, ADMI NAZRA Program Studi Magister
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN REAL
DAFTAR ISI 1 SISTEM BILANGAN REAL 1 1.1 Sifat Aljabar Bilangan Real..................... 1 1.2 Sifat Urutan Bilangan Real..................... 6 1.3 Nilai Mutlak dan Jarak Pada Bilangan Real............
Lebih terperinciBAB III. Standard Kompetensi. 3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian homomorfisma ring dan menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari.
BAB III Standard Kompetensi 3. Mahasiswa dapat menjelaskan pengertian homomorfisma ring menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari. Kompetensi Dasar: Mahasiswa diharapkan dapat 3.1 Menyebutkan definisi
Lebih terperinciBab 4 RUANG VEKTOR. 4.1 Ruang Vektor
Bab RUANG VEKTOR. Ruang Vektor DEFINISI.. Suatu ruang vektor (V, +,, F) atas field (F, +), ditulis singkat V(F), adalah suatu himpunan tak kosong V dengan elemenelemennya disebut vektor, yang dilengkapi
Lebih terperinciRuang Vektor Real. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul Ruang Vektor Real Drs. R.J. Pamuntjak, M.Sc. P PENDAHULUAN ada bagian pertama Modul 5 Aljabar Linear Elementer I sudah kita bahas sepuluh sifat untuk R dan R 3 mengenai penjumlahan dan perkalian
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi teori pendukung dalam proses penelitian untuk penyelesaian persamaan Diophantine dengan relasi kongruensi modulo m mengenai aljabar dan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. A. Latar Belakang. Struktur aljabar merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika
1 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Struktur aljabar merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika yang dikembangkan untuk menunjang pemahaman mengenai struktur bilangan. Struktur atau sistem aljabar
Lebih terperinciPENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RING MELALUI PENGAMATAN Disampaikan dalam Lecture Series on Algebra Universitas Andalas Padang, 29 September 2017
PENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RING MELALUI PENGAMATAN Disampaikan dalam Lecture Series on Algebra Universitas Andalas Padang, 29 September 2017 Indah Emilia Wijayanti Departemen Matematika FMIPA Universitas
Lebih terperinciBAB II TEORI DASAR. untuk setiap e G. 4. G mengandung balikan. Untuk setiap a G, terdapat b G sehingga a b =
BAB II TEORI DASAR 2.1. Group Misalkan operasi biner didefinisikan untuk elemen-elemen dari himpunan G. Maka G adalah grup dengan operasi * jika kondisi di bawah ini terpenuhi : 1. G tertutup terhadap.
Lebih terperinciSTRUKTUR ALJABAR 1. Winita Sulandari FMIPA UNS
STRUKTUR ALJABAR 1 Winita Sulandari FMIPA UNS Pengantar Struktur Aljabar Sistem Matematika terdiri dari Satu atau beberapa himpunan Satu atau beberapa operasi yg bekerja pada himpunan di atas Operasi-operasi
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. jelas. Ada tiga cara untuk menyatakan himpunan, yaitu: a. dengan mendaftar anggota-anggotanya;
BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Himpunan 1. Pengertian Himpunan Himpunan merupakan konsep mendasar yang terdapat dalam ilmu matematika. Himpunan adalah kumpulan obyek yang didefinisikan secara jelas. Ada tiga
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Grup Pengkajian pertama, diulas tentang definisi grup yang merupakan bentuk dasar dari suatu ring dan modul. Definisi 2.1.1 Diberikan himpunan dan operasi biner disebut grup yang
Lebih terperinciSISTEM BILANGAN BULAT
SISTEM BILANGAN BULAT A. Bilangan bulat Pengertian Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0. Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Himpunan R merupakan ring jika dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian, di mana terhadap operasi penjumlahan merupakan grup komutatif, dan terhadap
Lebih terperinciDIAGONALISASI MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN INTISARI
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 02, No. 3 (2013), hal. 183-190 DIAGONALISASI MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN Fidiah Kinanti, Nilamsari Kusumastuti, Evi Noviani
Lebih terperinciHUBUNGAN DAERAH DEDEKIND DENGAN GELANGGANG HNP
HUBUNGAN DAERAH DEDEKIND DENGAN GELANGGANG HNP TEDUH WULANDARI Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor Jl. Meranti, Kampus IPB Darmaga, Bogor 16680,
Lebih terperinciMATRIKS. 3. Matriks Persegi Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai baris dan kolom yang sama.
MATRIKS Matriks adalah susunan berbeda dalam bentuk persegi panjang yang diatur pada baris dan kolom. NOTASI MATRIKS DAN ORDO MATRIKS Notasi matriks biasanya dituliskan dalam huruf kapital (huruf besar)
Lebih terperinciSyarat Cukup dan Perlu Elemen Gelanggang Merupakan Pembagi Nol Kiri maupun Kanan )(RMnn
Syarat Cukup dan Perlu Elemen Gelanggang Merupakan Pembagi Nol Kiri maupun Kanan )(RMnn Oleh K a r y a t i R. Rosnawati Abstrak Himpunan matriks ordo atas gelanggang nr komutatif, yang selanjutnya dinotasikan
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup
BAB 3 DASAR DASAR GRUP Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan mengenal sifat-sifat dasar suatu Grup Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan
Lebih terperinciALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc
ALJABAR ABSTRAK ( TEORI GRUP DAN TEORI RING ) Dr. Adi Setiawan, M. Sc PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN MATEMATIKA UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2011 0 KATA PENGANTAR Aljabar abstrak
Lebih terperinciDAFTAR ISI. HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN...
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PERSETUJUAN... II HALAMAN PENGESAHAN... III KATA PENGANTAR... IV DAFTAR ISI... V BAB I PENDAHULUAN... 1 A. LATAR BELAKANG MASALAH... 1 B. PEMBATASAN MASALAH... 2 C.
Lebih terperinci1 SISTEM BILANGAN REAL
1 SISTEM BILANGAN REAL Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita
Lebih terperinciBAB MATRIKS. Tujuan Pembelajaran. Pengantar
BAB II MATRIKS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi bab ini, Anda diharapkan dapat: 1. menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers
Lebih terperinciMATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR
MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
Lebih terperinciMATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 3 No.6 Tahun 2017 ISSN
MATHunesa Jurnal Ilmiah Matematika Volume 3 No.6 Tahun 2017 ISSN 2301-9115 SEMIGRUP KANSELATIF BERDASARKAN KONJUGAT Muhammad Ilham Fauzi (S1 Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas
Lebih terperinciGELANGGANG ARTIN. Kata Kunci: Artin ring, prim ideal, maximal ideal, nilradikal.
Jurnal Matematika UNAND Vol. 2 No. 2 Hal. 108 114 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND GELANGGANG ARTIN IMELDA FAUZIAH, NOVA NOLIZA BAKAR, ZULAKMAL Program Studi Matematika, Fakultas Matematika
Lebih terperinciPENGANTAR GRUP. Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang
PENGANTAR GRUP Yus Mochamad Cholily Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang email:ymcholily@gmail.com March 18, 2013 1 Daftar Isi 1 Tujuan 3 2 Pengantar Grup 3 3 Sifat-sifat Grup
Lebih terperinciMATRIKS A = ; B = ; C = ; D = ( 5 )
MATRIKS A. DEFINISI MATRIKS Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segi empat dari suatu unsur-unsur pada beberapa sistem aljabar. Unsur-unsur tersebut bisa berupa bilangan dan juga suatu peubah.
Lebih terperinciR maupun. Berikut diberikan definisi ruang vektor umum, yang secara eksplisit
BAB I RUANG EKTOR UMUM Dalam bab ini akan dipelajari tentang konsep ruang vektor umum, sub ruang vektor dan sifat-sifatnya. Pada pembicaraan ini, para mahasiswa dianggap sudah mengenal konsep dan sifat
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini dituliskan beberapa aspek teoritis sebagai landasan teori dalam penelitian ini yaitu teori bilangan, bilangan bulat modulo?, struktur aljabar dan masalah logaritma
Lebih terperinciDiktat Kuliah. Oleh:
Diktat Kuliah TEORI GRUP Oleh: Dr. Adi Setiawan UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA 2015 Kata Pengantar Aljabar abstrak atau struktur aljabar merupakan suatu mata kuliah yang menjadi kurikulum nasional
Lebih terperinciMATRIKS. 2. Matriks Kolom Matriks kolom adalah matriks yang hanya mempunyai satu kolom. 2 3 Contoh: A 4 x 1 =
NAMA : KELAS : 1 2 MATRIKS Matriks adalah susunan berbeda dalam bentuk persegi panjang yang diatur pada baris dan kolom. NOTASI MATRIKS DAN ORDO MATRIKS Notasi matriks biasanya dituliskan dalam huruf kapital
Lebih terperinciDefinisi Jumlah Vektor Jumlah dua buah vektor u dan v diperoleh dari aturan jajaran genjang atau aturan segitiga;
BAB I VEKTOR A. DEFINISI VEKTOR 1). Pada mulanya vektor adalah objek telaah dalam ilmu fisika. Dalam ilmu fisika vektor didefinisikan sebagai sebuah besaran yang mempunyai besar dan arah seperti gaya,
Lebih terperinciUNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara, Yogyakarta Bahan Ajar: BAB POKOK BAHASAN II HOMOMORPHISMA MODUL Direncanakan
Lebih terperinciTEORI IDEAL PADA SEMIRING FAKTOR DAN SEMIRING TERNARY FAKTOR
J. Math. and Its Appl. E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 14, No. 1, Mei 2017, 17 23 TEORI IDEAL PADA SEMIRING FAKTOR DAN SEMIRING TERNARY FAKTOR Dian Winda Setyawati Departemen Matematika, Institut
Lebih terperinciPertemuan ke-4 ALJABAR BOOLEAN I
Pertemuan ke-4 ALJABAR BOOLEAN I Materi Perkuliahan a. Pengertian Aljabar Boolean b. Ekspresi Boolean c Prinsip Dualitas Kompetensi Umum Setelah mengikuti perkuliah ini, diharapkan Anda dapat memahami
Lebih terperinciMA3231 Analisis Real
MA3231 Analisis Real Hendra Gunawan* *http://hgunawan82.wordpress.com Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, INDONESIA Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini akan dijelaskan mengenai latar belakang masalah, batasan masalah, maksud dan tujuan penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian serta sistematika penulisan dari skripsi
Lebih terperinciALJABAR WEYL, CONTOH GELANGGANG NOETHER DAN PRIM
ALJABAR WEYL, CONTOH GELANGGANG NOETHER DAN PRIM TEDUH WULANDARI Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Imu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor Jl. Raya Pajajaran, Kampus IPB Baranangsiang,
Lebih terperinci1 SISTEM BILANGAN REAL
Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita belum tahu apa-apa tentang
Lebih terperinciSkew- Semifield dan Beberapa Sifatnya
Kode Makalah M-1 Skew- Semifield dan Beberapa Sifatnya K a r y a t i Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta E-mail: yatiuny@yahoo.com
Lebih terperinciDASAR-DASAR ALJABAR MODERN: TEORI GRUP & TEORI RING
DASAR-DASAR ALJABAR MODERN: TEORI GRUP & TEORI RING Dr. Adi Setiawan, M.Sc G R A F I K A Penerbit Tisara Grafika SALATIGA 2014 Katalog Dalam Terbitan 512.24 ADI Adi Setiawan d Dasar-dasar aljabar modern:
Lebih terperinciTEORI HEMIRING ABSTRAK
TEORI HEMIRING Mahasiswa S1 Program Studi Matematika, Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Diponegoro Jl Prof H Soedarto, SH, Semarang Indonesia 50275 email :tri_matematika@yahoocom
Lebih terperinciIDEAL FUZZY NEAR-RING. Saman Abdurrahman, Na imah Hijriati, Thresye
IDEAL FUZZY NEAR-RING Saman Abdurrahman, Na imah Hijriati, Thresye Program Studi Matematika Universitas Lambung Mangkurat Jl. Jend. A. Yani km 35, 8 Banjarbaru ABSTRAK Dalam tulisan ini akan dibahas ideal
Lebih terperinciPembentukan -aljabar Komutatif dan Implikatif dari Sebuah Lapangan. Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Tembalang Semarang
Pembentukan -aljabar Komutatif dan Implikatif dari Sebuah Lapangan Mujib Nashikha 1, Suryoto, S.Si, M.Si 2, Farikhin, M.Si, Ph.D 3 1,2,3 Program Studi Matematika FSM Universitas Diponegoro Jl. Prof. H.
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai konsep teori grup, teorema lagrange dan autokomutator yang akan digunakan dalam penelitian. Pada bagian pertama ini akan dibahas tentang teori
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna,
3 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan konsep dasar (pengertian) tentang bilangan sempurna, square free, keterbagian bilangan bulat, modulo, bilangan prima, ideal, daerah integral, ring quadratic.
Lebih terperinciIDENTIFIKASI STRUKTUR DASAR SMARANDACHE NEAR-RING Identification of Basic Structure on Smarandache Near-Ring
Jurnal Barekeng Vol. 7 No. 2 Hal. 41 46 (2013) IDENTIFIKASI STRUKTUR DASAR SMARANDACHE NEAR-RING Identification of Basic Structure on Smarandache Near-Ring YOHANA YUNET BAKARBESSY 1, HENRY W. M. PATTY
Lebih terperinci1 SISTEM BILANGAN REAL
Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah, bahkan sejak dari sekolah dasar. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita belum tahu apa-apa tentang
Lebih terperinciSifat-Sifat Ideal Utama dan Ideal Maksimal dalam Near-Ring
PRISMA (208) PRISMA, Prosiding Seminar Nasional Matematika https://journal.unnes.ac.id/sju/index.php/prisma/ Sifat-Sifat Ideal Utama dan Ideal Maksimal dalam Near-Ring Zulfia Memi Mayasari Fakultas MIPA,
Lebih terperinciFUNGSI. 1. Definisi Fungsi 2. Jenis-jenis Fungsi 3. Pembatasan dan Perluasan Fungsi 4. Operasi yang Merupakan Fungsi. Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
FUNGSI 1. Definisi Fungsi 2. Jenis-jenis Fungsi 3. Pembatasan dan Perluasan Fungsi 4. Operasi yang Merupakan Fungsi Definisi Fungsi Suatu fungsi f atau pemetaan f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu
Lebih terperinciMatematika
Fungsi dan Kekontinuan D3 Analis Kimia FMIPA Universitas Islam Indonesia Ilustrasi 1 Nol mutlak, yaitu temperatur T C di mana semua aktivitas molekular berhenti, dapat didekati namun tidak pernah dapat
Lebih terperinciSYARAT ADANYA KETERKAITAN ANTARA RING EXCHANGE DAN RING QB 1 PENDAHULUAN
SYARAT ADANYA KETERKAITAN ANTARA RING EXCHANGE DAN RING QB SISWANDI 1 Abstrak Dalam teori ring ada berbagai macam klas dari ring yang merupakan akibat dari diberikannya aksioma-aksioma baru. Di antara
Lebih terperinciuntuk setiap x sehingga f g
Jadi ( f ( f ) bernilai nol untuk setiap x, sehingga ( f ( f ) fungsi nol atau ( f ( f ) Aksioma 5 Ambil f, g F, R, ( f g )( f g ( g( g( ( f g)( Karena ( f g )( ( f g)( untuk setiap x sehingga f g Aksioma
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Dalam bab ini akan didiskusikan unsur tak terdefinisi, aksioma-aksioma, istilahistilah,
3 II. LANDASAN TEORI Dalam bab ini akan didiskusikan unsur tak terdefinisi, aksioma-aksioma, istilahistilah, definisi-definisi dan teorema-teorema yang berhubungan dengan penelitian ini. 2.1 Geometri Insidensi
Lebih terperinciSifat 1 Untuksebarang bilangan rasional a tak nol dan sebarang bilangan bulat m dan n, berlaku a m. a m = a m + n
Bilangan Berpangkat Kita ingat kembali bahwa untuk bilangan-bilangan cacah a, m, dan n dengan a 0, berlaku: 1 a m = a a a a (sebanyak m faktor) a m a n = a m + n a 0 = 1, di mana a 0 Notasi-notasi di atas
Lebih terperinciSOAL DAN PENYELESAIAN RING
SOAL DAN PENYELESAIAN RING 1. Misalkan P himpunan bilangan bulat kelipatan 3. Tunjukan bahwa dengan operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan bulat, P membentuk ring komutatif. Jawaban:
Lebih terperinci