I BBB TINJAUAN PUTAKA. Pendahuluan Dalam enulsan mater okok dar skrs n derlukan beberaa teor-teor yang mendukung, yang menjad uraan okok ada bab n. Uraan dmula dengan membahas dstrbus varabel acak kontnu, dantaranya dstrbus normal, dstrbus ch kuadrat, dstrbus beta, dstrbus samlng yang terdr dar dstrbus rata-rata dan dstrbus varans, dagram kendal, dagram kendal hewhart, dagram kendal, serta dagram kendal Fase I.. Dstrbus Normal Dstrbus normal meruakan suatu alat statstk yang sangat entng untuk menaksr dan meramalkan erstwa-erstwa yang lebh luas. Dstrbus normal dsebut juga dengan dstrbus Gauss (777-855). Fungs denstas dar varabel acak yang berdstbus normal dengan mean dan varans adalah : f ( x) ( x) e...(.) dmana : x,, dtuls ~ N, (Hogg dan Crag, 978). Dstrbus Normal memlk kurva yang smetrs membentuk suatu lonceng. Kurva dstrbus normal umum dsajkan ada Gambar. berkut n. reostory.unsba.ac.d
f (x) x Gambar. Kurva dstrbus normal umum elan dstrbus normal umum, orang juga lebh banyak menggunakan dstrbus normal baku. Kurva dstrbus normal baku deroleh dar dstrbus normal umum dengan cara transformas : z...(.) Oleh karena tu fungs denstas dstrbus normal baku adalah : f ( z) e z, z...(.3) (Hogg dan Crag, 978). Bentuk transformas d atas memetakan dstrbus normal menjad dstrbus normal baku, sebab dstrbus normal dengan varabel z n memlk nla rata-rata = nol dan smangan baku = satu. Transformas n juga memertahankan luas d bawah kurva dstrbus normalnya. Artnya, Luas d bawah kurva dstrbus normal antara x dan x = Luas d bawah kurva dstrbus normal baku antara z dan z. Kurva dstrbus normal baku dsajkan ada Gambar. berkut n. f (z) z Gambar. Kurva dstrbus normal baku reostory.unsba.ac.d
.3 Dstrbus Ch Kuadrat Dstrbus ch-kuadrat dengan db k adalah dstrbus jumlah kuadrat k eubah acak normal baku yang salng bebas. Dstrbus n juga meruakan eluang suatu samel acak yang menghaslkan nla yang lebh besar dar suatu nla tertentu, sama dengan luas daerah d bawah kurva d sebelah kanan nla tersebut. Nla tertentu tersebut basanya dtuls dengan. Dengan demkan menyatakan nla yang luas d sebelah kanannya sama dengan. Daerah yang luasnya sama dengan n dnyatakan oleh daerah yang darsr. eert yang terlhat ada Gambar.3. f (x) Gambar.3 Kurva dstrbus ch-kuadrat Dstrbus n serngkal dgunakan dalam statstka nferensal, seert dalam uj hotess, atau dalam enyusunan selang keercayaan. Fungs denstas dar dstrbus ch-kuadrat adalah : f ( x)...(.4) Untuk x dan adalah derajat kebebasan dstrbus yang dnotaskan dengan x e x ~. Daat dtunjukkan bahwa : a. Mean = E b. Varans = Var reostory.unsba.ac.d
c. Momen = M x (Hogg dan Crag, 978). t t.4 Dstrbus Beta Dstrbus beta meruakan engembangan dar dstrbus unform. Dstrbus beta meruakan dstrbus kontnu yang fleksbel teta terbatas ada suatu rentang. Fungs beta : B, x x dx, untuk,...(.5) arameter,. Fungs denstas dar dstrbus beta dengan arameter, adalah : f ( x), x, x...(.6) Catatan: dstrbus unform (,) adalah dstrbus beta dengan arameter,. Ketka, dstrbus beta akan berbentuk smetrs. Mean dan varans x dar dstrbus beta adalah : sedangkan modusnya adalah : dan...(.7) O M...(.8).5 Dstrbus Rata-rata ( ) Msalkan,...,, n meruakan samel acak yang berukuran n dar dstrbus N (, ), rata-rata samel adalah : reostory.unsba.ac.d
n n...(.9) dan varans samel : n n...(.) daat dtunjukkan bahwa berdstrbus normal dengan rata-rata dan varans atau n ~ N, serta dan n salng bebas (Hogg dan Crag, 978)..6 Dstrbus Varans ( ) Jka varans samel acak berukuran n yang dambl dar oulas normal dengan varans, maka statstk : ( n )...(.) berdstrbus Ch Kuadrat dengan n db (Hogg dan Crag, 978)..7 Dagram Kendal Dagram Kendal alah tamlan grafs dar karakterstk mutu yang telah dukur atau dhtung dar samel terhada nomor atau waktu erode samel dambl. Grafk bers Gars Pusat yang mewakl nla rata-rata karakterstk mutu yang sesua dengan keadaan n control. Dua gars horzontal lannya dsebut Batas Kendal Atas (BKA) dan Batas Kendal Bawah (BKB). Batas kendal n dlh sehngga jka roses terkendal, hamr semua ttk samel akan jatuh dantara mereka. elama lot nla dalam batas kendal dengan ola acak roses n dangga berada dalam kendal, dan tdak ada tndakan yang derlukan. Namun, saat lot dluar batas kendal reostory.unsba.ac.d
dtafsrkan sebaga bukt bahwa roses n d luar kendal, dan nvestgas dan tndakan erbakan yang derlukan untuk menemukan dan menghlangkan enyebab dalhkan atau menyebabkan bertanggung jawab atas erlaku n. Tujuan dar menggambarkan dagram kendal adalah untuk menetakan aakah seta ttk ada grafk normal atau tdak normal dan daat mengetahu erubahan dalam roses dar mana data dkumulkan, sehngga seta ttk ada grafk harus mengndkaskan dengan ceat dar roses mana data dambl. edangkan dalam enggunaannya dagram kendal dantaranya daat membantu untuk mendeteks adanya varas enyebab khusus, menyaknkan kestablan sebuah roses serta mendeteks erubahan roses dar waktu ke waktu..7. Dagram Kendal hewhart Dagram Kendal hewhart meruakan dagram yang dbuat ada sstem kartesus dengan sumbu datar menyatakan erode dan sumbu tegak menyatakan karakterstk mutu. ejajar dengan sumbu datar dgambarkan ula Gars Pusat (GP), seasang batas-batas kontrol, masng-masng berada d atas atau Batas Kendal Atas (BKA) dan d bawah gars usat atau Batas Kendal Bawah (BKB), seert ada Gambar.4. Gambar.4 Dagram kendal hewhart reostory.unsba.ac.d
Nla karakterstk mutu dlotkan ada dagram yang menjelaskan keadaan roses (Handayan, ). Msalkan karakterstk mutu dnotaskan dengan, dmana meruakan varabel acak yang berdstrbus normal dengan rata-rata dan varans. ecara umum BKA, GP, BKB untuk melukskan dagram hewhart ratarata drumuskan sebaga berkut: BKA E( ) k Var ( ) GP E( ) atau : BKB E( ) k Var ( ) BKA k GP BKB k...(.)...(.3) dengan k meruakan konstanta yang menentukan besarnya eluang menyatakan roses out of control adahal roses n control. Umumnya nla k = 3, bersesuaan dengan α =.7. Batas-batas engendal n dlh sedemkan sehngga aabla roses terkendal, hamr semua ttk-ttk samel akan jatuh d kedua gars tu. Namun demkan, meskun semua ttk-ttk terletak d dalam batas kendal, belum tentu roses tersebut terkendal. Untuk menentukan krtera tdak terkendal n, dagram kendal dbag menjad 3 zona yang dukur dalam satuan smangan baku antara gars tengah dengan batas kontrol sebaga berkut : reostory.unsba.ac.d
Gambar.5 Pembagan zona dagram kendal 3σ Menurut Kemele dkk () ada 7 gejala-gejala dagram kendal tdak terkendal, yatu:. Terdaat atau lebh ttk yang berada d luar batas kendal.. 7 ttk berturut-turut berada d ss yang sama dar gars tengah. 3. 7 ttk berturut-turut membentuk tren menngkat atau menurun. 4. dar 3 ttk secara berturut-turut jatuh d zona A atau lebh, d ss yang sama dar gars tengah. 5. 4 dar 5 ttk secara berturut turut jatuh d Zona A atau lebh, d ss yang sama dar gars tengah. 6. 4 ttk berturut-turut nak dan turun secara bergantan. 7. 4 ttk berturut-tutur jatuh d zona C. Jka dagram kendal roses tdak menunjukkan ketujuh gejala d atas, atau membentuk ola tdak acak lannya, kta daat mengatakan bahwa roses terkendal. Dagram kendal n bak dgunakan untuk ergeseran datas.5. Kemamuan untuk mendeteks ergeseran yang kecl atau kurang dar.5, daat dlakukan dengan menggunakan dagram kendal yang menyertakan nformas dar samel sebelumnya. reostory.unsba.ac.d
.7. Pemlhan Dagram Kendal hewhart Dalam emlhannya, dagram kendal dbedakan berdasarkan jens data. Dar jens data tersebut, Gasersz (998) menjelaskan bahwa dalam konteks engendalan roses statstk dkenal dua jens data, yatu dagram kendal untuk data attrbute (dhtung) dan dagram kendal untuk data varable (dukur). Data attrbute (dhtung), meruakan data kualtatf yang daat dhtung untuk encatatan dan analsa. Contoh dar data attrbute karakterstk kualtas adalah ketadaan label ada kemasan roduk, kesalahan roses admnstras, banyaknya jens cacat ada roduk, dan lannya. edangkan data varable (dukur), meruakan data kuanttatf yang dukur untuk keerluan analss. Contoh dar data varabel karakterstk kualtas adalah : dameter a, ketebalan roduk kayu, berat semen dalam kantong, dan lannya. Beberaa jens dagram kendal attrbute dan varable djelaskan ada Gambar.6. Gambar.6 Beberaa Jens Dagram Kendal Pada Gambar.6 tamak bahwa untuk jens data varabel terdaat beberaa dagram kendal dsers yatu R (Rentang), (mangan Baku), dan (Varans). Untuk uraan selanjutnya dfokuskan ada embahasan dagram kendal hewhart. reostory.unsba.ac.d
Karakterstk dar dagram kendal hewhart tu sendr alah karakterstk hanya dhtung berdasarkan statstk yang dhtung ada erode tersebut..8 Dagram Kendal Andakan suatu roses roduks akan dkendalkan melalu karakterstk mutu yang berdstrbus normal dengan arameter rata-rata μ dan varans σ dalam keadaan n control dan. Pengontrolan fokus ada memantau ergeseran melalu statstk atau dagram kendal hewhart. Adaun langkah-langkah menentukan dagram kendal hewhart (Montgomerry, ) :. Tentukan ukuran samel n, basanya 4, 5, 6.. Tentukan banyaknya erode / subgru m antara -5. 3. Htung varans masng-masng erode : n n j j...(.4) dmana n j n j ; =,,...,m. 4. Batas-batas kendal hewhart dtentukan sebaga berkut: Msalnya samel acak,,..., n dambl dar dstrbus ~ N,, maka eksektas dan varans rata-rata samel n N j ~,, n j n selanjutnya tentukan statstk ada Persamaan (.) yang berdstrbus. n Oleh karena tu batas-batas kendal untuk : reostory.unsba.ac.d
BKA GP ( n)( ) n BKB ( n)( ) n...(.5) Batas-batas kendal ada Persamaan (.5) dsebut batas kendal False Alarm Rate (FAR) (Human dkk, ). Dalam hal smangan baku ( ) tdak dketahu, dtaksr dar data yang dambl selama m erode sebagamana ada langkah, yatu : m m...(.6) sehngga batas-batas kendalnya menjad : B K A GP ( n)( ) n B K B ( n)( ) n...(.7) (Montgomery, 5). Akan teta, batas-batas kendal (.7) kurang cocok dgunakan bak untuk Fase I mauun Fase II karena raso daat dkatkan dengan generalsas dstrbus beta multvarat yang dkenal sebaga dstrbus Drchlet dan dalam keadaan n control dstrbus margnal dar setay daat dtunjukkan berdstrbus beta dengan reostory.unsba.ac.d
arameter ( n ) / dan ( m )( n ) /. elan tu, y dan y j dengan j berkorelas negatf dengan korelas umum sebesar P y, yj. Oleh karena tu, m erlu dbuat batas-batas kendal berbass False Alarm Probablty (FAP) (Human dkk, ) yang akan djelaskan berkut n..9 Dagram Kendal Fase I.9. Batas-batas Dagram Kendal FAP FAP adalah eluang yang menunjukkan bahwa alng sedkt satu ttk erode engamatan menunjukkan out of control adahal n control. Andakan batas-batas dagram kendal berbass FAP adalah B K A F C A dan B K B F C B kemudan E menunjukkan bahwa jatuh d dalam batas-batas kendal, maka nla FAP daat dturunkan sebaga berkut : FAP P P m dengan mengandakan bahwa Y n ) / m( n ).8 daat juga dnyatakan sebaga : IC P C C IC B m E A m B K B ( P F B K A F IC...(.8), FAP ada Persamaan FAP P m C / m Y C / m IC B A...(.9) sehngga FAP daat dtuls ulang sebaga : dmana FAP P b a b... a m f ( y, y a Y,..., y m b ) dy dy IC... dy m...(.) reostory.unsba.ac.d
a CB / mdan b CA / m dengan a b...(.) dan f y, y,..., y ) menunjukkan.d.f bersama Y, Y,..., Y ) n control. Dengan ( m ( m demkan, batas-batas kendal fase I untuk dagram berbass FAP adalah : B K A mb C A GP B K B ma C B...(.) dmana konstanta a b dtentukan dar Persamaan. untuk nla FAP tertentu msalnya FAP. Penentuan konstanta a dan b djelaskan ada uraan berkut..9. Perhtungan Konstanta a dan b Penentuan konstanta a dan b dar Persamaan. tdaklah mudah dturunkan secara eksak. Untuk tu, enentuan a dan b akan dtentukan melalu komutas dengan cara sebaga berkut : Msalkan Ymax maksmum( Y, Y,... Ym ) kemudan Ymn mn mum( Y, Y,... Ym ), dan FAP ada Persamaan. daat dtuls sebaga : FAP P( Ymax b IC) P( Ymn a IC) P( Ymax b IC) P( Ymn a IC) Nla a dan b dtetakan untuk nla FAP tertentu, msal besarnya FAP sehngga memenuh ada Persamaan.. FAP P( Y FAP max b IC) P( Ymn a IC)...(.3) atau P( Y max b IC) FAP dan P FAP a IC) ( Ymn...(.4) reostory.unsba.ac.d
Mengngat dstrbus Y max dan Y mn sult ddentfkas, erhtungan a dan b daat dtentukan melalu smulas..9.3 Algortma Menghtung a dan b Ingat bahwa : ( n ) Y,,,..., m m( n ) ( n ) m( n ) / / atau Y Jelas emblang ~ ( n) dan enyebutnya jumlah dar. Oleh karena tu, langkah-langkah menghtung a dan b dengan smulas adalah : Langkah : Bangktkan. engamatan dar dstrbus bersama dar Y, Y,..., Y m dengan cara : a. Bangktkan n blangan varabel acak ( n) salng bebas untuk m dan n yang telah dtetakan dan dber notas b. Htung jumlah UM = c. Htung raso Y d. Vektor Y Y,...,, Y m. adalah satu engamatan dar dstrbus bersama. e. Ulang sama. kal. Langkah : Htung maksmum (Y max ) dan mnmum (Y mn ) dar masngmasng vektor Y, Y,..., Y m yang dbangktkan ada Langkah. Pada akhr Langkah, akan deroleh. engamatan smulas dar dstrbus marjnal statstk order terbesar dan terkecl dar hmunan m ndenden varabel Y. reostory.unsba.ac.d
Langkah 3 : Atur. engamatan dar dstrbus marjnal Y max dan Y mn yang deroleh dar Langkah secara tersah dalam urutan menak. Langkah 4 : a. Dar hmunan. nla Y mn yang deroleh ada Langkah 3, tentukan nla a sehngga roors nla Y mn kurang dar atau sama dengan a kurang dar atau sama dengan FAP. Demkan ula dar. nla Y max ada Langkah 3, tentukan nla a sehngga roors nla Y max lebh besar atau sama dengan b lebh besar atau sama dengan FAP. b. Kedua nla memberkan konstanta a dan b yang derlukan. etelah tu tentukan BKA(m.b) dan BKB(m.a). c. Haslnya dsajkan ada Tabel L. (Lamran 4) untuk FAP. 5 dan Tabel L. (Lamran 5) untuk FAP.. Contoh Perhtungan BKA dan BKB. Msalkan m 7, n 6 dan dngnkan FAP.5. Dar Tabel L. ada Lamran 4 kta mendaatkan C B =.85 dan C A =.9897, sehngga erkraan batas kendal bawah dan atas dar chart Fase I adalah dan. B K B.85 B K A.9897.9.4 Attaned False Alarm Rate (AFAR) Telah djelaskan batas-batas kendal berbass FAP tu berkatan dengan engujan hotess yang berlaku untuk seluruh ttk engamatan. Oleh karena tu nla FAP basanya dambl antara % dan 5%. Oleh karena tu batas kendal FAP reostory.unsba.ac.d
mengnduks batas-batas kendal FAR dmana batas kendal FAR bersfat ndvdu atau batas-batas yang ddasarkan ada dstrbus marjnal Y. Batas-batas kendal FAR basanya dkatkan dengan batas kendal 3σ berkatan dengan. 7. Untuk melhat aakah batas-batas kendal FAP bersesuaan dengan batas-batas kendal 3σ erlu dhtung Attaned False Alarm Rate (AFAR). Untuk menghtungnya telah djelaskan sebelumnya bahwa dalam keadaan n control dstrbus marjnal Y adalah beta dengan arameter n dan m n.oleh karena tu, nla AFAR untuk Fase I dagram dberkan oleh: AFAR P( a Y I b I b IC) n ( m )( n ), I a n ( m )( n ),...(.5) x u d mana I ( u, ) ( u, ) t ( t) dt, x x adalah fungs dstrbus kumulatf dar dstrbus beta standar dan, a CB / m dan b CA / m dtentukan dengan menggunakan nla-nla C B dan C A seert yang tercantum dalam Tabel (Lamran 4) atau (Lamran 5) untuk nla m, n dan FAP tertentu. Nla-nla AFAR untuk FAP. 5 tercantum ada Tabel L.3 (Lamran 6) dan untuk FAP. tercantum ada Tabel L.4 (Lamran 7). reostory.unsba.ac.d