Matematika asar INTEGRAL PERMUKAAN Misal suatu permukaan yang dinyatakan dengan persamaan z = f( x,y ) dan merupakan proyeksi pada bidang XOY. Bila diberikan lapangan vektor F( x,y,z ) = f( x,y,z ) i + g( x,y,z ) j + h ( x,y,z ) k dan vektor n merupakan vektor normal dari. Maka integral dari lapangan vektor F atas permukaan dinyatakan dengan : F n da = F n da Untuk permukaan tertutup, dinotasikan dengan : F n da. Bentuk integral tersebut disebut Integral Permukaan. Vektor posisi ( posisi suatu titik, misal ( x,y,z ) yang terletak pada permukaan yang dinyatakan sebagai besaran vektor ) dari, dinyatakan dengan : r ( x,y ) = x i + y j + z k = x i + y j + f ( x,y ) k Normal n dari permukaan diberikan, i j k n = = 1 fx = f x i f y j + k x y 1 f y yang mempunyai arah ke atas, sedangkan normal yang mempunyai arah ke bawah diberikan, i j k n = = 1 fy = f x i + f y j k y x 1 fx Oleh karena itu, integral permukaan dengan vektor normal n mempunyai arah ke atas dapat dituliskan : ( (,, ) (,, ) (,, ) ) ( x y ) F n da = f x y z i + g x y z j + h x y z k f i f j + k da ( x y ) = f f g f + h da Bentuk da = dx dy atau da = dy dx. Contoh 8 Hitung F n da bila F( x,y,z ) = 18z i - 1 j + y k dan merupakan bagian dari bidang x + y + 6z = 1 yang terletak di oktan pertama. ari x + y + 6z = 1 didapatkan z = f ( x,y ) = - 1/ x - ½ y dan vektor posisi dari sembarang titik pada permukaan, r ( x,y ) = x i + y j + z k = x i + y j + ( - 1/ x - ½ 1 1 y ) k. Normal bidang, n = = i + j + k. x y anang Mursita ekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika asar Proyeksi dari pada bidang XOY, 1 y = ( x, y) x, y 4 Jadi 1 x = x, y x 6, y F n = 1 ( ) 1 da 18z 1 + y dy dx 6 ( 1 x) 6 ( 1 x) 1 1 = 1 ( ) 1 18 x y 1 + y dy dx 6 ( 1 x) = ( 6 x) dy dx = 4 atau eringkali dijumpai bentuk permukaan bermuka dua ( mempunyai dua muka / sisi), secara fisis kita dapat menghitung besarnya garis gaya ( fluks ) dari gaya / lapangan vektor F( x,y,z ) = f( x,y,z ) i + g( x,y,z ) j + h ( x,y,z ) k yang menembus permukaan menggunakan integral permukaan. Misal merupakan permukaan yang mempunyai dua sisi yang dinyatakan dengan z = f ( x,y ). Maka besar garis gaya ( fluks ) dari gaya F( x,y,z ) = f( x,y,z ) i + g( x,y,z ) j + h ( x,y,z ) k menembus permukaan dinyatakan oleh : ( x y ) fluks F = F n da = f f g f + h da Contoh 9 Hitung besar garis gaya ( fluks ) dari F ( x,y,z ) = -y i + x j yang menembus permukaan yang merupakan bagian dari bidang z = 8x - 4y - 5 yang terletak di atas segitiga dengan titik sudut (,, ), (,1, ) dan ( 1,, ). Jawab: Proyeksi pada bidang XOY, = { x, y x 1, y x + 1 }. 1 x+ 1 ( x y ) fluks F = F n da = f f g f + g da = y 8 x 4 dy dx = atu cara dikenalkan untuk menentukan besar garis gaya ( fluks ) dari gaya F yang menembus permukaan. Bila permukaan bermuka dua yang tertutup dan menutupi volume V maka besar fluks dari F dicari menggunakan teorema divergensi. Teorema ivergensi Misal merupakan permukaan padat yang menutupi volume V. Maka integral permukaan dari lapangan vektor F( x,y,z ) = f( x,y,z ) i + g( x,y,z ) j + h ( x,y,z ) k atas anang Mursita ekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika asar permukaan atau besarnya fluks dari F yang menembus permukaan dapat diselesaikan menggunakan integral rangkap tiga, yaitu : F n da = div F dv Vektor normal n diambil yang mengarah keluar. Teorema di atas lebih dikenal dengan Teorema ivergensi Gauss ( Teorema Gauss ). Contoh 9 Hitung F a. F( x,y,z ) = ( x - z) i + x y j - x z k dan merupakan daerah yang dibatasi oleh x =, x = 1, y =, y = 1, z = dan z = 1 div F = f + g + h = + x xz x y z = { x, y, z x 1, y 1, z 1 } ( ), F n da = div F dv = + x xz dx dy dz = 1 1 1 Contoh 1 Hitung besar fluks dari gaya F( x,y,z ) = 4x i - y j + z k yang menembus permukaan yang dibatasi oleh x + y = 4, z = dan z =. div F = f + g + h = 4 4y + z, x y z {(,, ), 4 4, } = x y z x x y x z ( y ) ( 4 4 4 ) F n da = div F dv = y + z dy dx dz 4 x 4 x 4 x = 4 4 4 + 4z dy dx dz = 1π 18 11 6 Teorema tokes Misal permukaan terbuka bermuka dua dinyatakan oleh z = f(x,y) yang dibatasi oleh lengkungan / lintasan tutup sederhana C. Maka integral dari F( x,y,z ) = f( x,y,z ) i + anang Mursita ekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika asar g( x,y,z ) j + h ( x,y,z ) k atas lengkungan / lintasan C dalam arah positif $ dapat dinyatakan sebagai integral permukaan dari curl F atas berikut. C F dr = curl F n da Normal n ditentukan dari normalisasi gradien dari permukaan yang dinyatakan secara f ( x,y,z) implisit, f ( x,y,z ) =, yaitu n =. f x,y,z Contoh 11 iketahui lapangan vektor F( x,y,z ) = y i - x z j + y z k dan permukaan paraboloida z = x + y dibatasi oleh z = dengan lintasan C merupakan kelilingnya. Gunakan teorema tokes untuk menghtiung curl F n da Lintasan C, x + y = 4, z = atau x = cos t, y = sin t, z = dengan t π. π ( sin ) ( sin ) ( cos ) curl F n da = F dr = y dx xz dy + yz dz = t t t dt C C = 1π oal Latihan ( Nomor 1 sd ) elesaikan integral F 1. F( x,y,z ) = i + x j + x y z k dan permukaan dinyatakan oleh daerah yang dibatasi z = xy, x y dan y 1. F( x,y,z ) = cosh x i + sinh y k dan permukaan dinyatakan oleh daerah yang dibatasi z = x + y, y x dan x 1.. F( x,y,z ) = x i - x j + y z k dan permukaan dinyatakan oleh daerah yang dibatasi z = x + y, x y dan y 1. ( Nomor 4 sd 6 ) Hitung besar fluks dari gaya F yang menembus permukaan bila 4. F( x,y,z ) = ( 9 - x ) j dan permukaan merupakan bagian bidang x + y + 6z = 6 yang terletak di oktan pertama. 5. F( x,y,z ) = y i - x j + k dan permukaan ditentukan oleh z = 1 y x 5, $ Lintasan C mempunyai arah positif bila seseorang berjalan menyusuri lintasan tersebut maka permukaan selalu terletak di sebelah kirinya. anang Mursita ekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
Matematika asar 1 6. F( x,y,z ) = i + 5 j + k dan permukaan adalah bagian dari z = ( x + y ) terletak di dalam tabung x + y = 1. ( Nomor 7 sd 1 ) Gunakan teorema divergensi gauss untuk menghitung F / yang 7. F( x,y,z ) = z i + x j + y k dan permukaan ditentukan oleh z 9 x y 8. F( x,y,z ) = x i + y j + z k dan permukaan berupa kubus x 1, y 1, z 1 9. F( x,y,z ) = x i - y j + 4z k dan permukaan dinyatakan oleh x + y + z 9 1. F( x,y,z ) = xyz k dan permukaan merupakan tetrahedron yang dibatasi oleh bidang x =, y =, z = dan x + y + z =1 ( Nomor 11 sd 1 ) Gunakan teorema tokes untuk menghitung curl F n da 11. F( x,y,z ) = xy i + yz j + xz k dan merupakan segitiga dengan titik sudut (,, ), ( 1,, ) dan (,,1 ) 1. F( x,y,z ) = yz i + xz j + z k dan merupakan bagian bola x + y + z = 16 yang terletak di bawah bidang z =. 1. F( x,y,z ) = ( z -y ) i + ( z + x ) j - ( x + y ) k dan merupakan bagian paraboloida z = 1 - x - y yang terletak di atas bidang XOY. anang Mursita ekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung