BAB V PENUTUP. Berdasarkan pembahasan pada bab-bab sebelumnnya baik secara matematis maupun dalam studi kasus, diperoleh kesimpulan sebagai berikut:

BAB V PENUTUP 5. Kesimpula Berdasarka pembaasa pada bab-bab sebelumya baik secara matematis maupu dalam studi kasus, diperole kesimpula sebagai berikut:. Dari asil studi kasus pada 74 sugai di Idoesia yag daera pegaliraya lebi dari 000 km tau 00 di bab IV diperole: a. Kerel dega ifiite order aka memberika asil yag optimal jika kelipata titik estimasi x dipili sekecil mugki atau titik-titik yag diestimasi ampir di seluru bilaga real pada iterval data yag diguaka. Hal tersebut dapat diliat ketika kelipata ilai estimasi x yag diguaka 0,, 0, da 0,3 maka ilai MSE terkecil sebagia besar diasilka pada estimasi yag megguaka kerel dega order tak igga yaitu kerel sius. Namu ketika kelipata ilai estimasi x yag diguaka 0.5, 0,6 da 0.7 maka ilai MSE terkecil sebagia besar diasilka pada estimasi yag megguaka kerel dega order berigga yaitu kerel ormal. b. Perubaa ilai badwidt pada setiap kelipata ilai estimasi x mempegarui ilai MSE yag diasilka. Nilai badwidt yag kecil yaitu 0.3 memberika ilai MSE yag cukup besar dibadigka 0.3445996 da 0.5. Begitu juga berlaku pada ilai badwidt yag besar yaitu. Hal ii disebabka ole sifat dari parameter badwidt yaitu semaki kecil ilai badwidt maka grafik yag diasilka aka semaki kasar da mejaui fugsi yag sebearya. Begitu juga ketika badwidt yag dipili besar maka grafik yag diasilka aka semaki alus. Sifat iila yag mempegarui ilai MSE yag diasilka. 55

54 Tiggi redaya grafik memperliatka besar da kecilya ilai MSE. Dari grafik MSE di atas memperliatka bawa ilai MSE yag diasilka pada badwidt lebi dari 0,3445996 tidak begitu jau berbeda atara kerel order berigga maupu yag tak igga. Namu pada badwidt kurag dari 0,3445996 memperliatka bawa terjadi perbedaa ilai MSE yag cukup sigifika dari ketiga kerel terlebi pada kelipata titik x = 0,5 da x = 0,7. Pada kelipata titik x = 0,5 kerel ormal megasilka ilai MSE yag palig besar. Sedagka pada kelipata titik x = 0,7 kerel cosius megasilka ilai MSE yag palig besar dibadigka kerel ormal utuk badwidt kurag dari 0,3445996. Grafik dari masig-masig kelipata titik dapat dega legkap diliat pada lampira 4. Berdasarka studi kasus dega pegambila ilai kelipata pada titik x atara 0, 0,7, kerel sius aka lebi uggul ketika titik-titik yag diestimasi ampir berada di seluru bilaga real di selag data pegamata. Sedagka kerel ormal aka lebi uggul ketika titik-titik yag diestimasi aya pada beberapa bilaga real di selag data pegamata. Namu secara keselurua ilai MSE yag terkecil palig bayak diasilka ole kerel dega order tak igga yaitu kerel sius. Nilai MSE yag kecil dalam al ii meujukka bawa asil estimasi yag diasilka ole estimator dekat dega ilai fugsi asliya. Seigga estimator Nadaraya Watso dega kerel berorder tak igga kususya sius dapat memberika asil estimasi yag tidak jau berbeda dega keadaa yag sebearya. Dalam al ii utuk megestimasi volume sugai di Idoesia pegamat tidak arus melakuka observasi terlebi daulu. Seigga pemerita dapat lebi emat dalam al biaya, teaga da juga waktu dalam megestimasi volume sugai di Idoesia.

53 Berikut grafik MSE dari masig-masig kelipata ilai x: Badwidt Badwidt a. Grafik MSE dega kelipata titik x = 0. b. Grafik MSE dega kelipata titik x = 0.3 Badwidt Badwidt c. Grafik MSE dega kelipata titik x = 0.5 d. Grafik MSE dega kelipata titik x = 0.7 Gambar 4.5 Grafik MSE

5. pada kelipata x sebesar 0,3, ilai MSE yag terkecil masi didomiasi ole kerel ifiite order yaitu sius dega badwidt 0,3, 0,5 da. Sedagka pada badwidt 0,3445996 ilai MSE yag terkecil diasilka ole kerel ormal. 3. pada kelipata x sebesar 0,4, ilai MSE yag terkecil diasilka ole kerel ifiite order yaitu sius dega badwidt 0,3 da. Sedagka pada badwidt 0,3445996 da 0,5 ilai MSE yag terkecil diasilka ole kerel ormal. 4. pada kelipata x sebesar 0,5, ilai MSE yag terkecil diasilka ole kerel ifiite order yaitu sius dega badwidt 0,3. Sedagka pada badwidt 0,3445996, 0,5 da ilai MSE yag terkecil diasilka ole kerel ormal. 5. pada kelipata x sebesar 0,6 da 0,7 di setiap ilai badwidt yag dipili terliat bawa ilai MSE yag terkecil diasilka ole estimator dega megguaka kerel ormal. Ketika kelipata x dipili yag kecil, dalam kasus ii kelipata x kurag dari 0,4, maka estimator dega megguaka kerel ifiite order yaitu sius aka megasilka ilai MSE yag kecil yag berarti bawa kerel sius aka memiliki performace lebi baik, berapapu badwidt yag dipili, dibadigka kerel yag laiya. Sedagka ilai MSE terkecil aka diasilka ole estimator dega megguaka kerel ormal ketika kelipata x yag dipili cukup besar dalam kasus ii utuk kelipata x lebi dari 0,4. Dari tabel di atas, ilai MSE yag terkecil diasilka ole estimator yag megguaka kerel sius dega ketetua sebagai berikut MSE kecil diasilka ole estimator dega megguaka kerel ormal, 5 diasilka ole estimator dega kerel sius da diasilka ole estimator dega kerel cosius. Seigga dari asil tabel di atas terliat bawa MSE terkecil palig bayak diasilka ole estimator yag megguaka kerel sius. Berikut aka ditampilka grafik dari MSE dari masig-masig kelipata titik x.

5 0,3445996 0,00336 0,48784 0,35659 0,5 0,07396 0,08997 0,78995 0,360039 0,353963 0,35550 0,5 0,3,3587 0,4963074,0337 0,3445996 0,75454 0,48784 0,55095 0,5 0,8369 0,08997 0,86 0,3500706 0,353963 0,35369 0,6 0,3,356637 0,4963074,965438 0,3445996 0,579634 0,48784 0,34736 0,5 0,58485 0,08997 0,0535 0,3380866 0,353963 0,350653 0,7 0,3,356785 0,4963074 5,0454 0,3445996 0,536994 0,48784 0,998664 0,5 0,34085 0,08997 0,970795 0,3483 0,353963 0,34778 Tabel 4.: Nilai-ilai MSE Nilai-ilai MSE yag diasilka seperti yag terliat pada tabel di atas berbeda atara yag satu dega yag lai, yaitu:. pada kelipata x sebesar 0, da 0, setiap ilai badwidt yag dipili terliat bawa ilai MSE yag terkecil diasilka ole estimator dega megguaka kerel berorder ifiite kususya kerel sius.

50 besar aka megasilka grafik yag semaki mulus. Dari keempat gambar di atas terliat bawa pada masig-masig kelipata titik x grafik yag diasilka salig berimpit, seigga belum dapat diambil kesimpula kerel maaka yag memberika performace terbaik. Maka kebaika estimasi aka diliat melalui ilai MSE ketiga kerel dari masig-masig kelipata ilai x da badwidt. Berikut ilai-ilai MSE yag diasilka setela melakuka pegolaa data dega megguaka program R: Kelipata Titik Estimasi Badwidt Nilai MSE Normal Sius Cosius 0, 0,3 0,498647 0,4963074 0,495780 0,3445996 0,6945 0,48784 0,53087 0,5 0,5539 0,08997 0,7479 0,376840 0,353963 0,358503 0, 0,3 0,637044 0,4963074 0,500564 0,3445996 0,533656 0,48784 0,4956 0,5 0,469 0,08997 0,55545 0,3734509 0,353963 0,3578464 0,3 0,3,030359 0,4963074 0,536074 0,3445996 0,935 0,48784 0,436954 0,5 0,795 0,08997 0,3609 0,367883 0,353963 0,35673 0,4 0,3,30300 0,4963074 0,668886

49 a. Grafik dega badwidt 0.3 b. Grafik dega badwidt 0,3445996 d. Grafik dega badwidt 0.5 d. Grafik dega badwidt Gambar 4.4 Grafik estimasi dega kelipata ilai x sebesar 0,7 Grafik dari setiap kelipata titik x dega badwidt yag berbeda-beda meujukka bawa semaki kecil badwidt yag dipili maka grafik yag diasilka aka semaki kasar. Sedagka sebalikya pemilia badwidt yag

48 a. Grafik dega badwidt 0.3 b. Grafik dega badwidt 0,3445996 c. Grafik dega badwidt 0.5 d. Grafik dega badwidt Gambar 4.3: Grafik estimasi dega kelipata ilai x sebesar 0,5

47 a. Grafik dega badwidt 0.3 b. Grafik dega badwidt 0,3445996 c. Grafik dega badwidt 0.5 d. Grafik dega badwidt Gambar 4.: Grafik estimasi dega kelipata ilai x sebesar 0,3

46 Berikut grafik asil proses estimasi megguaka data alira sugai dega ilai kelipata titik-titik x 0,; 0,3; 0,5 da 0,7, grafik asil estimasi dapat diliat lebi lgkap pada lampira 3: a. Grafik dega badwidt 0.3 b. Grafik dega badwidt 0,3445996 c. Grafik dega badwidt 0.5 d. Grafik dega badwidt Gambar 4.: Grafik estimasi dega kelipata ilai x sebesar 0,

45 4. Pegolaa Data dega Program R Proses yag dilakuka dalam melakuka pegolaa data dega R utuk melakuka estimasi adala sebagai berikut:. Masukka data berpasaga (x i,y i ). Masukka kerel yag diguaka sebagai pembadig. Kerel yag diguaka adala sebagai berikut: K x exp, x x Kerel yag ormal: Kerel yag sius: Kerel yag cosius: K x K x si x x x x cos cos x 3. Masukka ilai kelipata utuk titik x yag aka diestimasi 4. Masukka ilai badwidt. 5. Plot pasaga data (x i,y i ) 6. Plot asil estimasi dega kerel order berigga (ormal) 7. Plot estimasi dega kerel order tak igga (sius da cosius) 8. Medapatka ilai MSE dari ketiga kerel 9. Membadigka atara ketiga ilai MSE dari ketiga kerel Dalam proses estimasi melalui studi kasus, ilai badwidt yag diguaka adala 0,3, 0,3445996, 0,5,. Badwidt dipili dari yag kecil sampai yag besar yag dapat diguaka sebagai pembadig ilai-ilai MSE dari ketiga kerel yag diguaka da juga yag dapat memperliatka pegaru peraa badwidt teradap asil estimasi. Badwidt 0,3445996 merupaka badwidt optimum dari proses smootig megguaka ksmoot. Pada studi kasus ii, kelipata titik estimasi yag dipili adala 0,, 0,, 0,3, 0,4, 0,5, 0,6 da 0,7. Kelipata titik-titik tersebut dipili agar dapat diguaka sebagai pembadig dalam meliat ilai MSE yag diasilka. Seigga dari perbadiga tersebut dapat ditetuka kerel maaka yag mempuyai performace yag lebi baik.

BAB IV STUDI KASUS Pada bab ii aka dibaas studi kasus dari asil pegamata rata-rata volume air sugai di Idoesia yag pegaliraya lebi dari 000 km. Melalui regresi oparametrik dega megguaka estimator Nadaraya Watso data tersebut aka dibadigka ilai MSE atara kerel yag berorder tak igga da berigga. Fugsi kerel yag diguaka utuk yag berorder tak igga adala si x da Kx K x x x x cos cos x, sedagka utuk fugsi kerel berorder igga yag diguaka adala kerel Normal. Data yag dapat diliat pada lampira tersebut aka diola dega megguaka program R 4. Iformasi Data Data yag diguaka pada studi kasus ii diambil dari Statistik Idoesia, Statistical Yearbook of Idoesia 03 yag dapat diliat pada situs resmi Bada Pusat Statistik (BPS). Data yag diguaka dalam peelitia ii berjumla 74 sugai di Idoesia yag daera pegaliraya lebi dari 000 km tau 00. Dalam proses estimasi dega pedekata oparametrik sala satu syarat yag arus dipeui adala data arus kotiu. Dalam studi kasus ii, peulis megguaka data sugai di Idoesia yag daera pegaliraya lebi dari 000 km tau 00 dimaa variabel idepede yaitu tiggi alira air (juta m) da volume air (juta dam 3 ) sebagai variabel depede Data alira sugai dalam peelitia ii diguaka utuk membadigka performace atara estimator dega fugsi kerel yag berorder berigga da tak igga. 44

43 aˆ fˆ x x o q P 0. (3.4) 3. Membuktika estimator ˆr x berdistribusi ormal secara asimtotik Berdasarka persamaa 3. rˆ x aˆ x aˆ x fˆ x fˆ x r x. ˆ ˆ q a x q a x rˆ x r x o o ˆ f x fˆ x Maka berdasarka lemma 3..3 da persamaa 3.3 da 3.4: q d rˆ x r x o N 0, K s ds x f x f x K sds x d N 0,. f x Terbukti bawa estimator ˆr x berdistribusi ormal secara asimtotik..

4 q f x o. b. Nilai variasi dari â x var i aˆ x var K r X i r x i x X x u x u E K r u r x E K r u r x xu q E K r u r x f xo x u q K r u r x f udu f xo K s r x s r x f x s ds f x o. q P ˆ 0. q Aka dibuktika bawa a x f xo Berdasarka teorema.., didapatka: q P aˆ x f xo K sr x s r x f x sds q f xo. Ketika maka aˆ x f x o 0 ˆ var a x 0. Berdasarka defiisi..6 maka q P q seigga a x f xo Tela dibuktika bawa ˆ P f x f x P ˆ 0., seigga

4 K s x s f x sds. Ketika diperole E bi x 0. i d Seigga b x N 0, K sds x f x i i q. Membuktika a x f xo a. Nilai ekspektasi dari â d aˆ x N 0, K s ds x f x. (3.3) P ˆ 0. x adala x X E a ˆ x E K r X i r x i i xu E K r u r x xu K r u r xf udu K s r x s r x f x s ds. Megguaka defiisi..7, didapatka: E a x K s r x s o q q r s q ˆ ' q! p p f s p f x f ' x s o ds p! k q o f x o

40 Adaika b i x X K i i x, maka aˆ x b x. i i Didapatka: i 0 E b x var b i x x X K var i i x Xi i K E x s f x s K s ds. Berdasar defiisi..7 da asumsi 3.. didapatka var bi x K sds x f x. Aka dibuktika bawa i b x memeui defiisi..9. x Xi E b x E K i i i i x Xi EK i i x u E K

39 Maka berdasarka Lemma..: rˆ x x x gˆ x p g x r x. fˆ f Seigga terbukti pada kurva regresi rx ketika ˆr x merupaka estimator yag kosiste secara asimtotik 0 da. Teorema 3.. Jika x berada dalam iterval terbuka dimaa f x mempuyai turua kotiu terbatas p da rx mempuyai turua kotiu terbatas q maka berdasarka asumsi 3.. 3..6, Bukti: Y r X i i i q x x f. d rˆ x r x o N 0, K z dz Y r X r x r x i i i K x X Y K x X r x K x X r X r x i i i i i i i i Seigga, i K x X. i i rˆ x aˆ x aˆ x fˆ x fˆ x r x. (3.) dega aˆ x K x X i r X i r x da aˆ x K x X i Lagka berikutya aka diaalisis distribusi asimtotis dari kompoe kekovergea dari kompoe x aˆ fˆ x.. Membuktika bawa kompoe â i i. i â x da x berdistribusi ormal secara asimtotis

38 Berdasarka lemma 3.. da lemma 3.., tela didapatka: ˆ p E f x f x o da ˆ var f x K s f x ds o O. Seigga, p P fˆ x f x o ketika berakibat ˆ p f x f x. K s f x ds o O, var fˆ x 0. Berdasarka defiisi..6 maka b. Berdasarka asumsi 3.. 3..4 serta lemma 3.. da 3.. aka dibuktika bawa ĝx koverge dalam probabilitas ke Pembuktia kekosistea dari gx. ĝx ampir serupa dega dega ˆf x yaitu dega megguaka defiisi dari kekovergea dalam peluag da juga ketaksamaa Cebycev. Aka dibuktika ˆ utuk semua 0. lim P g x g x 0, Berdasarka teorema.., lemma da lemma maka: var gˆ x P gˆ x E gˆ x = r x x f x K zdz o O k P gˆ x g x o(, ketika berakibat ˆ gˆ x p g x. var g x 0. Berdasarka..6 maka

37 b. Berdasarka defiisi..4 da lemma 3.. da lemma 3.. maka: r x x f x k MSE gˆ x K s ds o O o. Ketika maka ilai ˆ MSE gˆ x MSE g x secara asimtotik adala O. Sifat-sifat dari ˆf x da ĝx tela dipaami secara terpisa, aalisis berikutya aka megkaji kekosistea dari estimator ˆr x. Sebelum mecari kekosistea dari etimator tersebut, aka dibuktika terlebi daulu kekosistea dari estimator ˆf x da ĝx. Lemma 3..3 Berdasarka asumsi 3.. 3..4 serta lemma 3.. da 3.. maka: a. ˆ p f x f x p b. gˆ x g x. Bukti: a. Aka dibuktika bawa ˆf x koverge dalam probabilitas ke f x dega megguaka asumsi 3.. 3..4 serta lemma 3.. da 3... Berdasarka defiisi dari koverge dalam probabilitas, aka dibuktika: lim P fˆ x f x 0, utuk semua 0. Dega megguaka teorema.., maka: x var fˆ P fˆ x E fˆ x.

36 pada semua bilaga real R, dega megguaka ekspasi deret Taylor pada perkalia rf u disekitar x, berdasarka asumsi 3.. da defiisi..5 maka: E K x u y f xr x K sds o. Seigga covariasi dari ˆ da ˆ ˆ ˆ f x g x adala: cov f x, g x E K x u y E K x u E K x u y xr x f K sds o O. Akibat 3.. Berdasarka asumsi 3.. serta lemma 3.. da lemma 3.. maka ilai MSE dari masig-masig a. ˆ MSE f x O b. MSE gˆ x Bukti: O. ˆf x da ĝx : a. Berdasarka defiisi..4 da lemma 3.. da lemma 3.. maka: ˆ p MSE f x K s f x ds o O o. Ketika maka ilai ˆ MSE f x secara asimtotik adala ˆ MSE f x O.

35 ˆ ˆ cov f x, g x cov K x X i, K x X j Yj i j cov K x Xi, K x X j Yj Peratika utuk i j cov Kx u, Kx u y E K x u. K x u y E K x u E K x u y E K x u y E K x u E K x u y E K x u y E K x u E K x u y. E K x u y :, E K x u y K x u y f u y du dy Adaika rf, da K x u y f y u f udu dy K x u f u y f y u dy du K x uf ue y X udu K x uf ur udu K sf x sr x sds. mempuyai turua kotiu terbatas k pada selag tertutup rf mempuyai turua k+ pada iterval terbuka, memuat ilai x dega k = mi{p,q} da adaika rf yag merupaka fugsi mulus

34 E K x u y E K x u y. Peratika utuk E K x u y :, E K x u y K x u y f u y du dy K x u y f y u f u du dy K x u f u y f y u dy du K x u f u E y X u du K x u f u E r u X u du i Seigga: K x uf ur u udu. var ˆ g x K x u f u r u u du g x o k k K s f x s r x s x s ds g x o. Berdasarka asumsi 3.., defiisi..5 da defiisi..7 maka: var r x x f x gˆ x K s ds o O. c. cov ˆ, ˆ x r x f f x g x K s ds o O.

33 s E K x u K s f xds K s s f ' x f '' x p p p p s p s p f x f x ds. p! p! Seigga: fˆ x E K x u E K x u var s K s f xds K s s f ' x f '' x p p p p s p s p p f x f x ds f x o p! p! s K s f xds K s s f ' x f '' x s s f x f x ds f x o p! p! p p p p p p p. Berdasarka asumsi 3.., defiisi..5 maka variasi dari peyebut estimator Nadaraya Watso adala sebagai berikut: K s f x ds o O. ˆ var f x b. var ˆ g x K x X i Yi i var var i K x X i Yi var K x X Y

3 b. var ˆ r x x f x g x K zdz o O c. cov ˆ, ˆ Bukti: x r x f f x g x K zdz o O. a. Meurut persamaa (.7): var ˆ f x var Kx X i i i var K x X var K x X Peratika utuk E K x u i E K x u E K x u : E K x u K x u f u du xu K f u du K s f x s ds. Berdasarka defiisi..7, maka: p p s s p E K x u K s f x s f ' x f '' x f x p! p p s p f x ds p!.

3 k v k k! g x rf x K v dv. Seigga bias dari pembilag estimator Nadaraya Watso adala sebagai berikut: ˆ k v k k! E g x g x g x rf x K v dv g x k v k k! rf x K v dv. Ketika suku sisa k v k! k rf x deret Taylor di atas merupaka order kecil dari k maka dega megguaka asumsi pembatasa dari sifat badwidt, maka 0, suku sisa deret Taylor di atas koverge ke ol, yaitu: k v k! rf x K v dv k v lim lim rf x K v dv 0. 0 k 0 k k k! Seigga bias dari pembilag estimator Nadaraya Watso adala k ˆ E g x g x o. Asumsi 3..4 Titik x merupaka titik kotiu dari, x f x C utuk C > 0 da fugsi r serta fugsi f masig-masig terdiferesial di sekitar x. Lemma 3.. Jika x berada dalam iterval terbuka dimaa turua kotiu terbatas p da berdasarka asumsi 3.. 3..4 maka: a. var ˆ x f f x K zdz o O f x mempuyai rx mempuyai turua kotiu terbatas q,

30 dega megguaka ekspasi deret Taylor pada perkalia rf maka ekspektasi dari ĝx adala sebagai berikut: u disekitar x ˆ E g x r u f u K x u du r x v f x v K v dv k v k k! rf x vrf ' x rf x K v dv ' rf x K v dv v rf x K v dv v k k k k v k k rf x K v dv rf x K v dv,!! dega terletak diatara x da x v. Ketika K teritegralka ke satu, semua momeya adala ol da ketika g x r x f x maka: ˆ ' E g x rf x K v dv v rf x K v dv v k k k k v k k rf x K v dv rf x K v dv!! ' rf x K v dv rf x vk v dv k k k k rf x v K v dv rf x K v dv!! k v k k k v k k! rf x 0 0 0 rf x K v dv

9 Seigga: E g ˆ x E K x X i Yi i E K x X i Yi i E K x X Y E K x u y, K x u y f u y du dy K x u y f y u f u du dy K x u f u y f y u dy du K x u f u E y X u du K x u f u r u du r u f u K x u du. Bias utuk pembilag estimator Nadaraya-Watso adala: Adaika rf, da ˆ E g x g x r u f u K x u du g x. mempuyai turua kotiu terbatas k pada selag tertutup rf mempuyai turua k+ pada iterval terbuka, yag memuat ilai x dega k = mi{p,q} dimaa p merupaka turua kotiu terbatas dari fugsi f rx, da adaika x da q merupaka turua kotiu terbatas dari fugsi rf merupaka fugsi mulus pada semua bilaga real R,

8 Berdasarka persamaa (.4), bias dari peyebut estimator Nadaraya-Watso dega kerel order tak igga adala: ˆ bias fˆ x E f x f x p! p f x s p f x K s ds f x Ketika suku sisa p! p f x s p K s ds. p! p f x s p deret Taylor di atas merupaka order kecil dari p maka berdasarka asumsi pembatasa dari sifat badwidt, maka 0, suku sisa deret Taylor di atas koverge ke ol, yaitu:! p f x s p K s ds lim lim 0. p p p f x s 0 p K s ds 0 p! Seigga bias ˆ p f x o. b. Bias pembilag estimator Nadaraya-Watso dega kerel order tak igga Meurut persamaa (.9) estimator fugsi r adala: rˆ x x gˆ x fˆ i k K x X i Yi. K x X k

7 Bukti: a. Bias peyebut estimator Nadaraya-Watso dega kerel order tak igga. Meurut persamaa (.8) : Meurut defiisi..7, kita dapatka: ˆ E f x K s f x s ds. p p p! p! 3 f ' x s f '' x s f ''' x s f x s f x!! 3! p f x s f x s dega terletak diatara x da x s. Persamaa (.8) mejadi: ˆ E f x K s f x s ds p, 3 f ' x s f '' x s f ''' x s K s f x!! 3! p p p! p! p p f x s f x s ds ' p! x f '' f x K s ds f x K s s ds K s s ds 3 p p f ''' x 3 f x p f x s p p K s s ds K s s ds 6 p! K s ds. Fugsi K adala fugsi yag berorder tak igga yaitu K teritegralka ke satu, semua momeya adala ol seigga: p! p f x s E fˆ x f x 0 0 0 K s ds p! p f x s p f x K s ds. p

6 3. Sifat Asimtotik Estimator Nadaraya Watso dega Kerel Berorder Tak Higga Kita aka meguji perilaku dari estimator Nadaraya-Watso kelas kerel baru yaitu kerel dega order tak igga utuk pegamata pasaga data yag berdistribusi idetik da idepede dega desitas f. Utuk memaami estimator tersebut secara meyeluru, kita aka memulai dega suatu lemma yag megukur perilaku asimtotik dari pembilag da peyebut estimator tersebut yaitu estimator desitas kerel dari ˆf x da ĝx dimaa ˆf x merupaka f x da ĝx merupaka estimator dari gx. Dalam prosesya kita memerluka beberapa asumsi. Kita aka memberika batasa utuk perilaku badwidt ketika da pada distribusi bersyarat dari error. Asumsi 3.. Ketika, badwidt 0 da. Asumsi 3.. ε i adala radom error dega asumsi idepede, i i 0 da E i Xi x E X x. Asumsi 3..3 dega desitas f. berdistribusi idetik da idepede Lemma 3.. Jika x berada dalam iterval terbuka dimaa turua kotiu terbatas p da maka berdasarka asumsi 3.. da 3. : a. ˆ p E f x f x o k b. E gˆ xg x o dega k = mi{p,q}. f x mempuyai rx mempuyai turua kotiu terbatas q,

5 Permasalaa di atas dapat diselesaika dega membuat trasisi dari 0 ke pada daera asal Fourier yag kurag kasar. Devroy da Gyorfi, Hall da Marro, pada kasus estimasi desitas spektral, Politis da Romao, mempelajari kerel dari Traformasi Fourier yag diberika ole: jika s s s jika s 0 jika s. Kerel yag bersesuaia adala: K x x x cos cos. x Gambar dari kerel di atas adala sebagai berikut:

4 ix e e x i si x. x ix Berikut gambar dari fugsi flat-top kerel di atas: Pada gambar di atas terliat bawa bagia belakag atau ekor dari kerel tersebut sagat bergelombag. Ada dua permasalaa akibat dari al ii. Pertama, ekor dari kerel tersebut yag turu secara pela-pela da geraka-geraka egatif yag sagat besar meigkatka K x dx, yag juga aka meigkatka variasi dari estimasiya. Kedua, gelombag besar yag jau dari 0 megasilka bias sampel yag berigga karea gelombag tersebut memberika pegamata yag cukup jau dari x yag sagat berpegaru dalam melakuka estimasi di titik x. Permasalaa-permasalaa tersebut membuat estimator fugsi kepadata yag megguaka kerel tersebut mejadi tidak stabil dalam bersaig kecuali utuk sampel yag berukua sagat besar.

3 s jika s c, g s jika s c dega fugsi g dipili seigga membuat diitegralka. Flat-top Kerel diberika sebagai berikut: s, s da s s dapat isx K x se ds. (3.) Kerel yag memeui defiisi di atas mejami bawa x i K x dx 0, utuk semua bilaga bulat i. Meurut Politis da Romao (995) keutuga megguaka kerel ii adala kita tidak perlu memili fugsi kerel yag baru ketika ada data yag baru, kerel yag sama dega badwidt yag berbeda aka meyesuaika kemulusa dari fugsi kepadata yag tidak diketaui. Berikut diberika coto yag memeui defiisi di atas. Diberika fugsi s sebagai berikut: Meurut defiisi.5.: isx K x se ds s jika s. 0 jika s isx isx isx 0. e ds. e ds 0. e ds isx. e ds e ix isx ix e e ix ix

BAB III ESTIMASI NADARAYA-WATSON DENGAN KERNEL ORDER TAK HINGGA 3. Kerel dega Order Tak Higga Meurut Berg (008) fugsi Kerel dikataka mempuyai order v jika memeui: v. x R K x dx. i. x K xdx 0, i,,..., v Seperti yag tela dijelaska pada bab sebelumya yaitu jika bayak turua dari fugsi tersebut tidak diketaui maka utuk megestimasi jumla turua dari fugsi tersebut sagat sulit, seigga kita kesulita utuk memili kerel dega order berapaka yag diguaka. Utuk meguragi permasalaa tersebut, kita fokus pada fugsi kerel yag secara efektif mempuyai order kerel tak igga. Kelas kerel tersebut secara otomatis meguragi bias ke o( p ) tidak peduli berapa kali fugsi tersebut dapat dituruka. Defiisi 3.. (Berg, 008). K(x) dikataka berorder tak igga jika memeui: i x K x dx 0, i,,... Defiisi 3.. (McMurry da Politis, 003). Sebua flat-top Kerel K dega order tak igga secara umum dibetuk melalui Trasformasi Fourier λ, yaitu utuk ilai tetap c > 0

leged("bottomrigt",c("fugsi r","estimasi kecil","estimasi optimal","estimasi besar"),lty=c(,,,),lwd=c(,,,),col=c(,5,4,3)). Hasil output Gambar.: Grafik estimasi dega KSmoot

0 Meurut Hardle (99) ilai-ilai statistik pembilag dari estimator Nadaraya-Watso dega fugsi kerelya mempuyai order dua adala sebagai berikut: Bias gˆ x g '' x K o, 0 ˆ var g x f x s x K o, utuk 4 4 MSE gˆ x f x s K g '' x K o o, 4 0, dega. s x E Y X x Berdasarka ilai statistik dari pembilag estimator Nadaraya-Watso di atas da ilai statistik dari estimasi desitas kerel maka dapat diperole ilai MSE dari estimator Nadaraya-Watso yaitu: ' 4 x r ' x f x MSE rˆ x K r '' x K o f x 4 f x 4 o, 0,. Berikut diberika coto proses smootig dega estimator Nadaraya- Watso dari data yag dibagkitka megguaka program R:. Proses smootig dalam R a=ruif(000) e=rorm(000) x=sort(a) r=cos(*pi*x) y=r+e plot(x,y) lies(x,r,col=,lwd=) lies(ksmoot(x,y,badwidt=0.03),col=5,lwd=) lies(ksmoot(x,y,badwidt=0.30),col=4,lwd=) lies(ksmoot(x,y,badwidt=),col=3,lwd=)

9.5 Estimator Nadaraya Watso Estimasi kerel utuk fugsi regresi r(x) dikostruksi sebagai berikut: r x E Y X x y f y x dy, x y f x y dy f. Estimator fugsi regresi utuk fugsi desitas f yag tidak diketaui adala: Estimator fugsi regresi rˆ x x y fˆ, x, y fˆ i k x dy K x X Y i i K x X k gˆ x. (.9) fˆ ˆr x di atas merupaka rata-rata lokal yag diusulka ole Nadaraya-Watso seigga disebut juga sebagai estimator Nadaraya-Watso. Berdasarka persamaa (.) maka Estimator Nadaraya- Watso mempuyai fugsi bobot sebagai berikut: dega fˆ W i x k K x X i K x X i fˆ K x X x x merupaka estimator desitas kerel. Meurut Takezawa (003) fugsi bobot dalam estimator Nadaraya-Watso mempuyai karakteristik sebagai berikut: k Wi x. i,

8 (i) Fugsi f bersifat kotiu da teritegralka secara kuadrat (ii) Badwidt memeui asumsi lim 0 da lim (iii) Fugsi kerel K merupaka fugsi kepadata probabilitas yag terbatas da simetri di sekitar daera asliya. Bukti: ˆ ˆ Bias f x E f x f x ' K s f x s ds f x t f x s K s f x ds K s ds! 3 f '' x s f ''' x s K s ds K s ds! 3! t f x s K s ds K s o ds f x t! t Karea K merupaka kerel berorder tiggi maka meurut defiisi: ˆ 0 0 t f x s Bias f x f x K s ds o ds f x t! t t t. t t f x s t t t t K s ds o ds f x o t! t!, 0. Terbukti bawa ketika K merupaka kerel berorder tiggi bias dari estimasi t t t desitas kerel tersebut adala t f x o, 0. t! Namu mucul permasalaa yaitu ketika derajat kemulusa atau jumla turua dari fugsi tersebut tidak diketaui maka utuk megestimasi jumla turua dari fugsi f sagat sulit, seigga kita kesulita utuk memili kerel dega order berapaka yag diguaka. Utuk meguragi permasalaa tersebut, kita fokus pada fugsi kerel yag secara efektif mempuyai order kerel tak igga. Kelas kerel tersebut secara otomatis meguragi bias ke o( p ) tidak peduli berapa kali fugsi f tersebut dapat dituruka. Kerel dega order tak igga tersebut aka dibaas lebi dalam lagi pada bab III.

7 Bukti: var MSE fˆ x fˆ x bias fˆ x ˆ K f x o f '' x K o 4 4 f x K f '' x K o o, 4. 0,. MSE f x koverge ke 0 bila 0,, maka estimator desitas kerel kosiste yaitu ˆ p f x f x..4 Estimasi Desitas Kerel utuk Kerel Berorder Tiggi Dalam megaalisis arga arapa dari estimasi desitas kerel, kerel yag diguaka pada sub bab sebelumya adala kerel yag memeui syarat momet pertamaya berilai ol da mome keduaya berilai positif. Pada sub bab ii difokuska pembaasa megeai kerel dega order tiggi dega bias kurag dari O( ). Suatu kerel dikataka berorder v jika memeui syarat sebagai berikut:. Kx 0, utuk semua ilai x. K xdx 0, j,, v x K x dx j. 0, j v j 3. Teorema.4. (Hardle, 99) Adaika kerel K berorder tiggi, merupaka estimator dari fugsi desitas f yag mempuyai turua kotiu terbatas p da v adala order kerel, maka bias dari fugsi f tersebut adala t t t t f x o, 0 dimaa t = mi{p,v} dega asumsi sebagai t! berikut: fˆ x

6 ˆ ˆ Bias f x E f x f x K s f x s ds f x s K s f x s f x f x o ds f x ' '' f x K o '', 0. (ii) Variasi dari fˆ x adala var fˆ x var Kx X E K x X E K x X xu K f u du f x o K s f x s ds f x o K f x o f x o, K f x o utuk. Teorema.3.4 (Wad da Joes, 995). Bila maka 4 fˆ x estimator desitas kerel ˆ '' 4, MSE f x f x K f x K o o 4 0,..

5 Ketika 0 maka: ˆ x Xi E f x E K i x Xi EK i E K x X K x y f y dy K s f x s ds. (.8) E fˆ x K s f x sds f x K sds = f x. Sebelum membaas megeai statistik dari estimator desitas kerel aka diberika asumsi-asumsi sebagai berikut: (i) Turua kedua dari fugsi f bersifat kotiu, teritegralka secara kuadrat da juga mooto (ii) Badwidt memeui asumsi lim 0 da lim (iii) Fugsi kerel K merupaka fugsi kepadata probabilitas yag terbatas da simetri di sekitar daera asliya. Berdasarka asumsi di atas maka statistik dari estimator desitas kerel adala sebagai berikut: Teorema.3.3 (Wad da Joes, 995). Bila maka (i) (ii) Bias fˆ x f '' x K o, 0 ˆ fˆ var f x f x K o, utuk Dega Bukti: (i) Bias dari K x K x dx da fˆ x adala K adala K x estimator desitas kerel x dx.

4 Gambar.: Grafik jeis-jeis kerel Defiisi.3. (Hardle, 99). Estimator desitas kerel utuk fugsi desitas f x adala ˆ f x K x X i i Adaika f fˆ x Xi K i. (.7) x adala estimator desitas kerel dari suatu fugsi kepadata x pada titik x ϵ R da adaika X i berdistribusi idetik dega fugsi kepadata f x, maka:

3 3. x K xdx 0 4. x K xdx 0 x dx. 5. K Berikut diberika beberapa coto fugsi kerel, atara lai:. Kerel Uiform: K x I x. Kerel Triagle: K x x I x 3 4 3. Kerel Epaecikov: K x x I x 5 6 4. Kerel Quartic: K x x I x 35 3 3 5. Kerel Triweigt: K x x I x 4 6. Kerel Cosius: K x cos x I x 7. Kerel Gausia: K x exp, x x Grafik dari masig-masig fugsi kerel di atas:

Defiisi..9. Adaika X, X,, X variabel radom yag idepede sedemiki igga E X da X var. Didefiisika Y X T Yi i var i i S T Syarat Liapuov didefiisika 0 sedemikia seigga S i E Y i 0 utuk.3 Estimasi Desitas Kerel utuk Kerel Berorder Dua desitas Padag observasi X, X,, X berdistribusi idetik da idepede dega f x. Estimasi desitas kerel bergatug pada dua parameter yaitu sebagai badwidt atau lebar pita da K sebagai fugsi kerel., Suatu kerel dikataka berorder jika Kx 0, K xdx x K xdx 0 da x K x dx, utuk semua ilai x Defiisi.3. (Hardle, 99). Secara umum fugsi Kerel dega badwidt didefiisika sebagai berikut: x K x K, - < x < da > 0, (.6) yag memeui sifat-sifat:. Kx 0, utuk semua ilai x. K xdx

Teorema..3(Subaar,03). Misalka X, Y, =,,3,... barisa pasaga variabel radom da c kostata, maka d P d a. X X, Y c X Y X c b. d, 0 d P X Y Xc bila c X X, Y c P X Y 0, bila c 0 d P X d c. X X, Y c X, bilac 0 Y c. Defiisi..7 (Purcell da Varberg, 987). Adaika suatu fugsi turuaya, yaitu, ', '',, xo f x da f x f x f x f x kotiu dalam selag [a,b] da a, bmaka utuk ilai x disekitar dalam deret Taylor sebagai, x f x dapat diekspasi (diperluas) ke o, x x ' '' o x xo f x f x o f xo f xo....!! Apabila atau persamaa di atas dapat diyataka sebagai o o o o o f x f x f ' x f '' x... f x....!!! Defiisi..8 (Paul da David, 986). Adaika periodik yag berada pada L, didefiisika sebagai berikut f x fugsi yag tidak, seigga trasformasi Fourier i x F f xe dx, dega L, adala impua fugsi kotiu, N i x fn x F e d N da. lim f x fn x dx 0 N

0 Defiisi..6 (Roussas, 973). Barisa variabel radom {X } dikataka koverge ke X (dalam probabilitas), diotasika 0, P X X 0 utuk. X P X, jika utuk setiap P P Lemma.. (Roussas, 973) Jika X X da Y Y maka X Y X P, dimaa PY PY Y Bukti: Utuk meujukka PY P Y X Y 0 0. P aka ditujukka bawa X Y 0 0 0utuk setiap. Aka ditujukka bawa jika fugsi Y P P Y maka f Y f Y f P, jika Y Y y kotiu di Y yag berilai riil da. Diketaui f fugsi kotiu berilai riil seigga f Y da f Y variabel radom da diketaui juga bawa kotiu di Y yag berarti bawa utuk setiap 0, terdapat 0 igga Y Y berakibat f Y f Y. Karea f Y da f y sedemikia f Y variabel radom berakibat: P f Y f Y P Y Y. Diketaui Y P Y, maka utuk setiap 0, lim P f Y f Y lim P Y Y, P seigga terbukti bawa f Y f Y. Karea PY PY utuk setiap maka Y fugsi kotiu dari Y, seigga P. Y Y Meurut Bai (99) maka X Y P. X Y 0 0

9 Teorema.. (Subaar, 03). Bila X variabel radom tak egatif da adaika a>0 maka PX a Bukti: Karea 0 E X. a E X x f x dx. X maka E X x f xdx 0 a 0 a 0 x f x dx x f x dx x f a a f a a x dx x dx a f xdx a P X a, seigga E X a P X a atau P X a E X. a Teorema.. (Subaar, 03). Bila X variabel radom dega E(X) = μ, var(x) = σ maka utuk setiap Bukti:. 0, P X Misalka w X, w 0, didapatka E w E X Meurut teorema.., E w Pw P X P X..

8. Defiisi da Teorema yag Terkait Berikut diberika defiisi-defiisi da teorema-teorema yag terkait dalam tesis, yaitu: Defiisi.. (Bai, 99). Mome ke- dari variabel radom x adala k E x x f x dx. (.) Defiisi.. (Bai, 99). Variasi dari suatu variabel radom kotiu x adala var x E x. (.3) Defiisi..3 (Wad da Joes, 995). Bias dari estimator fugsi kepadata f(x) adala ˆ bias fˆ x E f x f x. (.4) Defiisi..4 (Wad da Joes, 995). Adaika x suatu variabel radom kotiu ilai MSE dari estimator fugsi kepadata f(x) adala MSE ˆf x = Var ˆf x + Bias ˆf x. (.5) Defiisi..5 (Wad da Joes, 995). Adaika suatu fugsi, a. a Ob a jika lim M, M 0 b b. a ob jika lim 0 a b a c. a ~ b jika lim. b a da b adala barisa

BAB II LANDASAN TEORI. Ide Dasar Smootig Sala satu pedekata dalam regresi yag serig diguaka adala regresi oparametrik. Pedekata ii diguaka utuk data yag tidak diketaui betuk kurva atau fugsi regresiya. Adaika fugsi tersebut adala fugsi r. Dalam al ii diasumsika bawa fugsi r termuat dalam kelas fugsi kotiu mulus di dekat persekitara x. Terdapat berbagai macam tekik yag dapat diguaka utuk medapatka estimasi dari fugsi r(x) tersebut. Tekik yag palig sederaa utuk megestimasi kurva atau fugsi regresi r(x) adala melalui rata-rata dari variabel respose Y yag dekat dega titik x biasa disebut local average (rata-rata lokal). Rata-rata lokal aya didefiisika pada pegamata yag dekat dega x. Misalka kita igi megestimasi fugsi r(x) utuk beberapa x [0,]. Jika r adala fugsi yag kotiu, maka ilai-ilai fugsi pada X i yag dekat dega x searusya aka cukup dekat dega r(x). Hal ii memberika usula bawa merata-rata ilai Y i yag bersesuaia dega X i yag dekat dega x aka megasilka estimator tak bias utuk fugsi r(x). Rata-rata lokal merupaka ide dasar dari tekik smootig. Pada tekik smootig ii, rerata sederaa di atas digatika dega jumlaa berbobot. Biasaya bobot yag lebi besar diberika pada Y i yag ilai X i ya medekati titik estimasi x. Secara umum prosedur tersebut dapat didefiisika sebagai berikut: dega Wi xi variabel prediktor X i. i rˆ x W x Y, (.) i i i adala barisa dari bobot yag bergatug pada seluru 7

6.6 Sistematika Peulisa BAB I PENDAHULUAN : Pada bab ii membaas tetag latar belakag da permasalaa, tujua da mafaat peelitia, tijaua pustaka, metodologi peelitia, da sistematika peulisa. BAB II LANDASAN TEORI : Pada bab ii membaas tetag ide dasar smootig, defiisi da teorema statistika yag terkait, estimasi desitas kerel utuk kerel berorder dua, estimasi desitas kerel utuk kerel berorder tiggi, estimator Nadaraya-Watso. BAB III PEMBAHASAN : Pada bab ii aka dijelaska coto fugsi kerel berorder tak igga, da juga aka dipaparka megeai performace dari pembilag da peyebut estimator Nadaraya-Watso dega kelas kerel baru tersebut serta kekosistea da distribusiya secara asimtotis. BAB IV STUDI KASUS : Pada bab ii aka dilakuka studi kasus dari data rata-rata volume air sugai di Idoesia yag pegaliraya lebi dari 000 km dega program R kemudia dibadigka performace atara estimator Nadaraya-Watso kerel order tak igga dega kerel order berigga dari grafik maupu ilai MSEya. BAB V KESIMPULAN DAN SARAN : Bab ii berisi pembaasa megeai kesimpula yag diperole dari bab-bab sebelumya da sara utuk peelitia selajutya berdasarka apa yag tela dibaas pada bab-bab sebelumya.

5 Order Flat-Top Kerels juga meguji sifat-sifat asimtotik kerel, amu megguaka kelas kerel yag baru yaitu kerel dega order yag tak igga (ifiite) megguaka estimator Gasser-Muller. Peelitia yag ampir serupa juga pera diteliti ole Timoty L McMurry da Dimitris N Politis (008) dalam juralya yag berjudul Miimally Biased Noparametric Regressio ad Autoregressseio. Dalam juralya tersebut Timoty da Dimitris membaas megeai bias regresi da autoregresi oparametrik secara miimal dega megguaka kelas kerel yag baru yaitu kerel dega order tak igga, amum dalam tesis ii peulis aya aka membaas megeai regresi oparametrik dega megguaka kelas kerel yag baru yaitu kerel dega ifiite order, dimaa kerel tersebut dapat secara otomatis dapat mereduksi bias estimator r mejadi O( k ) tapa peduli berapa kali turua kotiuya..5 Metode Peelitia Metodologi yag diguaka dalam peelitia ii adala studi literatur. Lagka-lagka yag dilakuka peulis adala sebagai berikut:. Mecari da meetuka jural yag aka dijadika baa acua.. Megumpulka jural-jural lai yag releva dega materi dalam jural acua. 3. Mempelajari buku-buku pedukug yag berkaita dega topik permasalaa peelitia. 4. Mempelajari da membaas topik peelitia yag meliputi: teori regresi oparametrik, ide dasar smootig, estimator kerel, estimasi fugsi dalam regresi oparametrik, sifat-sifat fugsi kerel, estimasi desitas kerel, fugsi estimator Nadaraya Watso, kerel dega ifiite order. 5. Mempelajari performace (bias da variasi) dari pembilag da peyebut estimator Nadaraya-Watso dega ifiite order kerel serta melakuka simulasi dega software R. 6. Meyusu lapora peelitia sesuai dega buku petujuk peulisa tesis yag diberlakuka.

4 3. Melakuka studi kasus dari data rata-rata volume air sugai di Idoesia yag pegaliraya lebi dari 000 km melalui tekik pemulus kerel megguaka estimator Nadaraya-Watso kerel berorder berigga da tak igga dega megguaka program R. 4. Membadigka performace atara estimator Nadaraya-Watso kerel berorder berigga dega tak igga diliat dari grafik da ilai MSE..3 Mafaat Peelitia Mafaat yag diarapka diperole dari peulisa tesis ii adala:. Bagi peulis diarapka dapat meamba pemaama megeai sifat-sifat asimtotis dari estimator Nadaraya-Watso dega kelas baru kerelya.. Dapat memberika sumbaga teradap perkembaga ilmu pegetaua da meamba wawasa pegetaua dalam bidag statistika terutama dalam mecari estimasi fugsi desitas dari regresi oprametrik dega tekik smootig, da dalam memaami sifat-sifat estimator Nadaraya-Watso dega kelas kerel baru secara asimtotis. 3. Bagi pembaca sebagai motivasi utuk megembagka peemua baru dalam megestimasi fugsi dalam regresi oparametrik dega tekik smootig..4 Tijaua Pustaka Dalam juralya Kerel Estimators of Regressio Fuctio, Bieres (985) meeliti megeai bagaimaa cara meetapka fugsi kerel da juga cara pemilia badwidt. Selai itu, dalam juralya tersebut Bieres juga membaas megeai sifat-sifat asimtotik dari estimator Nadaraya-Watso dega kerel yag mempuyai fiite order. Sedagka Jiaqig Fa (007) dalam juralya yag berjudul Desig Adaptive Noparametric Regressio membaas megeai performace diatara dua metode smootig yaitu lokal liear da juga kerel. Estimator kerel yag diguaka ole Jiaqig Fa adala estimator Gasser Muller da juga Nadaraya-Watso. Timoty L McMurry da Dimitris N Politis (003) dalam juralya yag berjudul Noparametric Regressio wit Ifiite

3 Sedagka kerel K berfugsi sebagai bobot yag ikut meetuka kemulusa fugsi r, ketepata pemulus kerel sebagai estimator, da juga dalam meetuka performace (bias, variasi da MSE) yag optimal secara asimtotik. Meurut Timoty da Dimitris (003) jika kerel K mempuyai order v da fugsi kepadata r mempuyai turua kotiu sebayak k kali maka Bias ( ˆr x ) = C K,r (x) + o( ) (.3) Dimaa =mi{v,k} da C K,r (x) adala fugsi terbatas yag bergatug pada K, r, da turua fugsi r. Ketika fugsi r cukup mulus atau dapat dideferesialka sebayak k kali dimaa v k, maka bias ˆr x dapat direduksi mejadi o( k ) dega secara tepat memili kerel dega order yag lebi besar dari bayakya diferesial. Namu utuk megestimasi jumla diferesial dari fugsi r tidakla muda, seigga kita kesulita utuk meetuka order kerel berapaka yag arus dipili agar bias estimator tersebut dapat direduksi mejadi o( k ). Ole karea itu ditetapka suatu kerel yag memiliki ifiite order. Kerel tersebut mampu mereduksi bias ˆr x dari o( ) mejadi o( k ) tidak peduli berapa besar k. Dalam tesis ii aka dicari performace (bias, variasi) dari peyebut da pembilag estimator Nadaraya Watso megguaka kerel berorder tak igga kemudia mecari sifat-sifat dari estimator tersebut secara asimtotik baik distribusiya maupu kekosisteaya. Kemudia dibadigka performace dari kerel berorder tak igga dega kerel berorder berigga megguaka program R dega membadigka ilai MSE dari masig-masig kerel.. Tujua Peelitia Berdasarka apa yag tela diuraika pada latar belakag di atas maka tujua dari peulisa tesis ii adala:. Mecari performace (bias da variasi) dari pembilag da peyebut estimator Nadaraya-Watso dega kelas baru kerel yaitu ifiite order Kerel secara asimtotik.. Meyelidiki kekosistea da distribusi dari estimator Nadaraya-Watso dega kelas baru kerel secara asimtotik.

masig-masig metode tersebut, fugsi r(x i ) aka diestimasi dega megguaka rata-rata bobot lokal yag medekati x. Kemulusa fugsi r(x i ) da sifat-sifat dari bobot yag diguaka dalam rata-rata tersebut meetuka performace dari estimator. Meurut Hardle (990) estimator Nadaraya-Watso didefiisika sebagai berikut: i rˆ x k x Xi K Yi x Xk K (.) dega K(x) adala fugsi kerel yag diguaka sebagai pembobot, sedagka (badwidt) adala parameter yag diguaka sebagai pemulus. Peyebut dari estimator di atas biasa kita sebut sebagai estimator desitas kerel atau biasa disimbolka dega ˆ f x. Meurut Hardle (994) ketepata suatu pemulus kerel sebagai estimator dari r ditetuka ole dua al yaitu badwidt da fugsi kerel yag diguaka sebagai bobot. Badwidt pada estimator di atas berfugsi utuk meyeimbagka atara bias da variasi dari fugsi tersebut. Badwidt yag terlalu kecil aka meyebabka fugsi yag diestimasi tersebut mejadi sagat kasar seigga ubuga variasiya tiggi da memiliki potesi bias yag reda. Sebalikya jika badwidt yag terlalu besar meyebabka fugsi yag diestimasi aka sagat mulus seigga ubuga variasiya reda da memiliki potesi bias yag besar. Ole karea itu diperluka pemilia badwidt yag optimum. Cross validatio, plug-i adala beberapa metode yag diguaka utuk medapatka badwidt yag optimum. Pemilia badwidt yag optimum dilakuka dega cara memperkecil tigkat kesalaa. Semaki kecil tigkat kesalaaya semaki baik estimasiya. Utuk megetaui ukura tigkat kesalaa suatu estimator dapat diliat dari MSE (Mea Squared Error) atau MISE (Mea Itegrated Squared Error).

BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakag Masala Aalisis regresi merupaka metode aalisis data yag meggambarka ubuga atara variabel respo dega satu atau beberapa variabel prediktor. Aalisis regresi tersebut diracag utuk keadaa dimaa variabel respo diperkiraka memiliki ubuga dega variabel-variabel prediktor laiya. Adaika terdapat pegamata pasaga,,,,,, X Y X Y X Y sampel dega X i adala variabel prediktor da Y i adala variabel respo, maka ubuga liear atara variabel respo dega variabel prediktor yag memeui model di bawa ii: Y i = r(x i ) + ε i, (.) dapat dicari. Dimaa ε i adala radom error dega asumsi idepede, E(ε i )=0 da Var(ε i )=σ, da r(x i ) adala fugsi regresi yag tidak diketaui da aka diestimasi. Dalam al ii fugsi r(x i ) diasumsika kotiu da mempuyai tigkat kemulusa tertetu. Ada dua jeis pedekata yag diguaka utuk megestimasi fugsi regresi r(x i ) yaitu secara parametrik maupu oparametrik. Pedekata parametrik dilakuka jika ada asumsi tetag betuk fugsi regresi r(x i ) megeai ubuga atara variabel respo da variabel prediktor, sedagka pedekata oparametrik dilakuka jika tidak ada asumsi tetag betuk fugsi regresi r(x i ) da aka diestimasi berdasarka data pegamata dega megguaka tekik smootig. Dalam al ii, kurva regresi diasumsika termuat dalam suatu fugsi mulus yag mempuyai turua yag kotiu. Ada berbagai macam tekik smootig yag diguaka dalam pedekata oparametrik atara lai istogram, estimator kerel, deret ortogoal, estimator splie, k-nn, deret fourier, da wavelet. Da sala satu tekik yag aka diguaka dalam tesis ii adala estimator kerel. Meurut Timoty da Dimitris (008) ada berbagai macam estimator kerel atara lai yag diusulka ole Nadaraya da Watso, Gaseer da Muller, da estimator lokal poliomial. Pada

ABSTRACT NADARAYA WATSON REGRESSION ESTIMATION WITH INFINITE ORDER KERNEL by Maria Suci Apriai /3856/PPA/0350 Te fuctio estimatio of r(x i ) i liier regretio wic is draw ear wit oparametric approac is doe if tere is o assumptio about regretio fuctio form of r(x i ). Oe of teciques used is smootig tecique wit kerel. Fuctio of ˆr x ca be reduced to be o( k ) wit coosig te kerel tat as te bigger order from te amout of differesial umber. Terefore, a kerel wic as ifiite order ca be determied. Keywords: o-parametric regressio, Fourier trasformatio, Taylor series. xiii

INTISARI ESTIMASI REGRESI NADARAYA-WATSON DENGAN KERNEL BERORDER TAK HINGGA Ole Maria Suci Apriai /3856/PPA/0350 Estimasi fugsi r(x i ) dalam regresi liear yag didekati dega pedekata oparametrik dilakuka jika tidak ada asumsi tetag betuk fugsi regresi r(x i ). Sala satu tekik yag diguaka adala tekik pegalusa dega kerel. Bias ˆr x dapat direduksi mejadi o( k ) dega memili kerel yag memiliki order lebi besar dari bayakya diferesial. Seigga ditetapka suatu kerel yag memiliki ifiite order. Kata kuci: Regresi oparametrik, trasformasi Fourier, deret Taylor xii

DAFTAR LAMPIRAN Halama Lampira. Data Rata-rata Air Sugai di Idoesia yag Pegaliraya Lebi dari 000 km... 58 Lampira. Hasil Estimasi... 6 Lampira 3. Grafik Hasil Estimasi... 76 Lampira 4. Grafik MSE...... 8 Lampira 5. Program Estimasi... 83 Lampira 6. Program MSE... 89 xi

DAFTAR TABEL Halama Tabel 4. Nilai-ilai MSE... 50 x

DAFTAR GAMBAR Halama Gambar. Grafik jeis-jeis Kerel... 4 Gambar. Grafik estimasi dega Ksmoot... Gambar 3. Grafik Kerel Sius... 4 Gambar 3. Grafik Kerel Cosius... 5 Gambar 4. Grafik estimasi dega kelipata ilai x sebesar 0.... 46 Gambar 4. Grafik estimasi dega kelipata ilai x sebesar 0.3... 47 Gambar 4.3 Grafik estimasi dega kelipata ilai x sebesar 0.5... 48 Gambar 4.4 Grafik estimasi dega kelipata ilai x sebesar 0.7... 49 Gambar 4.5 Grafik MSE... 53 ix

5. Sara... 56 DAFTAR PUSTAKA... 57 LAMPIRAN... 58 viii

DAFTAR ISI Halama HALAMAN JUDUL... i HALAMAN PENGESAHAN... ii HALAMAN PERNYATAAN... iii HALAMAN PERSEMBAHAN... iv PRAKATA... v DAFTAR ISI.... vii DAFTAR GAMBAR... ix DAFTAR TABEL... x DAFTAR LAMPIRAN... xi INTISARI... xii ABSTRACT... xiii BAB I PENDAHULUAN.... Latar Belakag.... Tujua Peelitia... 3.3 Mafaat Peelitia... 4.4 Tijaua Pustaka... 4.5 Metode Peelitia... 5.6 Sistematika Peulisa... 6 BAB II LANDASAN TEORI... 7. Ide Dasar Smootig... 7. Defiisi da Teorema yag Terkait... 8.3 Estimasi Desitas Kerel utuk Kerel Berorder Dua....4 Estimasi Desitas Kerel utuk Kerel Berorder Tiggi... 7.5 Estimator Nadaraya Watso... 9 BAB III BAB IV BAB V ESTIMASI NADARAYA-WATSON DENGAN KERNEL ORDER TAK HINGGA... 3. Kerel dega Order Tak Higga... 3. Sifat Asimtotik Estimator Nadaraya Watso dega Kerel Berorder Tak Higga... 6 STUDI KASUS 4. Iformasi Data... 44 4. Pegolaa Data dega Program R... 45 PENUTUP 5. Kesimpula... 55 vii

7. Agustius Hary Setyawa yag tidak jemu-jemuya memberika doa da semagat utuk peulis terutama ketika peulis merasa putus asa. 8. Saudara-saudaraku di keluarga Bitara, Mas Adve, Mas Hayom, Mb Nova, Mb Idu, Veti, Sella da Aggit yag selalu memberika dukuga doa bagi peulis. 9. Cita Murti Pramaeswari yag memberika dukuga da semagat selama proses pegerjaa tesis da sidag. 0. Tema-tema seperjuaga, Pak Aris, Kak Sri, Kak Bobby, Mba Edag, Kak Sadri, Sita, Arum, Kak Yai, Tika, Dia Ayu, Adre da Dia Pratama yag selalu memberika keceriaa selama berjuag di UGM.. Reka-reka maasiswa S matematika kususya miat statistik agkata 0 yag mejadi tempat diskusi da belajar bersama.. Semua piak yag tela membatu baik secara lagsug maupu tidak lagsug yag tidak dapat peulis sebutka satu persatu dalam tesis ii. Dega segala keterbatasa peulis yag sifatya mausia maka peulis sagat meyadari bawa tesis ii masi jau dari kesempuraa, karea kesempuraa ayala milik Sag Maa Sempura. Ole karea itu sara da kritik yag sifatya membagu sagat peulis arapka. Akir kata semoga tesis ii bisa membawa mafaat kususya kepada peulis sediri da kepada pembaca pada umumya. Yogyakarta, Maret 04 Peulis vi