CATATAN KULIAH Pertemuan V: Analisis Komparati Statik dan Konsep Derivati A. Pengertian Komparati Statik dan Konsep Derivati Analisis Statis (ekuilibrium)yang dipelajari dalam bab yang lalu, mempunyai dua keterbatasan dalam: Kasus pergeseran keadaan ekuilibrium Kasus ekuilibrium tidak stabil (unstable equilibrium) Kasus pergeseran keadaan ekuilibrium sebagai tanggapan terhadap perubahan variabel eksogen berkaitan dengan Analisis Komparati Statik. Dan pembahasan mengenai pencapaian dan kestabilan ekuilibrium terdapat dalam Analisis Dinamik. Di bab ini akan dibahas Komparati Statik: studi dari keadaan ekuilibrium yang berbeda-beda dengan himpunan nilai parameter dan variabel eksogen yang berbeda-beda. Dimulai dengan mengasumsikan keadaan ekuilibrium awal Contoh: Model Pasar Tertutup (P,Q ) (terguncang) (P 1,Q 1 ) Model Pendapatan Nasional (Y, C ) (terguncang) (Y 1, C 1 ) Contoh Diagram: Pergeseran pada Permintaan (demand) P Q s P 1 P Q Q 1 Q d Q d1 Q
Perbedaan antara Analisis Ekuilibrium Statik dan Analisis Ekuilibrium Komparati Statik: 1. Analisis Ekuilibrium Statik: y* (. Analisis Ekuilibrium Komparati Statik: y 1 * - y * (x 1 ) - (x ) Di mana subskrip menyatakan keadaan awal dan 1 menyatakan keadaan selanjutnya. Misal y y 1 -y dan x 1 -x atau x 1 x Selanjutnya diketahui y( maka: y (x 1 ) - (x ) dan subtitusikan persaman x 1 didapat: y (x ) - ( Bagi persamaan terakhir, kedua sisinya dengan, maka akan didapat Hasil-Bagi Beda (dierence quotient) y xo x Dan ambil it ->, maka akan didapat derivati (derivative) dari ungsi y(: Contoh: Jika ungsi yx -4, maka cari Hasil-bagi Beda dan Derivatinya: a. y ( X X ) ( X ) o Y X X ( x ) x 4 ( x ) ( x ) 4 ( x ) 4 ( x ) y 4 ( ) ( ) ( x ) ( x ) x 6x 4 x 4 b. 6x dy Y ( X ) dx x X ( X X ) ( X ) X y 6x maka y 6x
B. Derivati dan Kemiringan (Slope) Kurva Intrepetasi geometric dari Hasil Bagi Beda (Dierence Quotient) (x ) y( ( Kemiringan (x )-(x ) (x 1 -x ) (x ) x x 1 x Apa yang terjadi bila kita mengubah besarnya x 1 -x? Bila diberikan kenaikan x yang kecil, maka y rata-rata akan diukur oleh kemiringan garishasil Bagi Beda. Selanjutnya bila kenaikan x dikurangi terus-menerus akan diperoleh garis yang mendatar, sampai akhirnya dalam it akan diperoleh garis singgung ungsi y di x (garis warna merah) C. Konsep Limit dalam Kaitannya dengan Derivati Konsep Limit ungsi ((, ) unction menggambarkan batas nilai dari ( jika x mendekati a dari sebelah kanan dan sebelah kiri. Nilai it tersebut dapat berhingga (N), tak berhingga (ininite), tidak dapat dideinisikan (undeined) Notasi it : L Persamaan diatas dibaca : it dari ungsi ( untuk x mendekati a (dari arah kanan dan arah kiri) adalah L Intrepetasi geometrik dari Konsep Limit: ( L a x
Horizontal Asymptote: Garis y a disebut asimptot horisontal dari graik jika dan hanya jika : a atau a x Di sini nilai x menuju Ketakhinggaan positi atau negative Vertical Asymptote: Garis x a disebut asimptot vertikal dari graik jika dan hanya jika : x Lim ( Lim ( Lim ( Lim ( Interpretasi geometrik dari asimptot horisontal dan vertikal: ( a x - x Untuk menentukan it dari suatu ungsi, kita dapat mensubstitusikan nilai x a ke dalam ungsi. Namun cara ini tidak berlaku untuk semua jenis ungsi. Cara lain yang digunakan untuk menentukan it dari ungsi adalah dengan mengobservasi nilai dari a yang didekati dari arah yaitu : L L Menunjukkan bahwa it ( ketika x mendekati a dari kiri Menunjukkan bahwa it ( ketika x mendekati a dari kanan Sehingga untuk menguji eksistensi dari it ada, jika : L maka L
Contoh-contoh: 1. Lim x Lim x Maka: 8 dan Lim x 8 Lim x 8. x x ; x 4 ; x > 4 8 dan 11 karena maka tidak ada v 5. q( v) v v v 1 v v 1 q( v) v x 9 (x-) (x) 4. x 6 x x (x-) 5. x ; x 6x 4 ; x < Tentukan nilai (.? x ( 6() 4 x - ( () x Jadi Lim ( 8, karena it kiri it kanan x
SIFAT-SIFAT LIMIT 1. Jika ( c maka Lim( c) c. Jika ( x n maka n Lim x a n. Lim c. c. 4. Lim[ ± g( ] Lim[ ] Lim[ g( ] 5. Lim[. g( ] Lim[ ]. Lim[ g( ] 6. Lim g( dimana Lim g( Lim g( x a D. Fungsi kontinu dan Dierensiabel KONTINUITAS PADA SUATU TITIK Suatu ungsi disebut kontinu pada x a jika : 1. Fungsi tersebut terdeinisi pada x a. Limit ( untuk x menuju a adalah (a) Maka ungsi kontinu di titik x a, jika: KONTINUITAS SEPANJANG INTERVAL Fungsi kontinu sepanjang interval [a,b] jika kontinu pada setiap titik dalam interval [a,b]. Contoh-contoh: 1. Periksalah Apakah ( x kontinu di x? Jawab : 1. () 8. x 8 x - x 8 x. ( ()8 x Jadi ( kontinu di x ( a)
. Periksa apakah ungsi q(v) di bawah ini kontinu di v dan v-? v v 4v 4 q( v) v 4 Fungsi rasional ini tidak dapat dideinisikan di v dan -, meskipun terdapat it ketika v atau -. maka ungsi ini diskontinu di v dan -. Dierensiabel pada suatu titik Suatu ungsi disebut dierensiabel pada x a jika : 1. Hasil-Bagi Beda dari Fungsi (tersebut terdeinisi pada x a. Limit Hasil-Bagi Beda untuk x menuju a adalah (a) Maka ungsi dierensiabel di titik x a, jika: y x x Jika suatu ungsi diskontinu, maka ungsi tersebut tidak dierensiabel. Tetapi Jika suatu ungsi tidak dierensiabel, maka ungsi tersebut belum pasti diskontinu. Contoh: Periksa apakah ungsi y( x- 1 kontinu dan dierensiabel di x? a. Karena maka y( kontinu b. Dierensiasi dari ungsi ( ( x ) ( x ) ' ( () x x 1 (1) x 11 x x x Uji keberadaan it: x x x x x x 1 1 ( x ) x ( 1) 1
Karena x x x x dierensiabel di x maka ungsi ( tidak Latihan: x - 9 1. (, periksalah apakah ( kontinu di x? x x ; x.,periksalah apa ( dierensiabel di x? 6x 4 ; x <