Homomorfisma Pada Semimodul Atas Aljabar Max-Plus A 14 Oleh : Musthofa Jurusa Pedidika Matematika FMIPA UNY Abstrak Kosep homorfisma telah bayak dibahas pada beberapa struktur aljabar yaitu pada ruag vektor atas lapaga da modul atas rig komutatif. Jika T : V V merupaka suatu homomorfisma baik pada modul atau ruag vektor, maka kerel T didefiisika sebagai ker T = { x/ T(x) = 0 }. Namu, pada semimodule, defiisi ii tidak dapat diguaka. Hal ii disebabka pada semimodule operasi pejumlaha tidak memilki ivers. Pada makalah ii, aka dibahas homomorfisma pada semimodule atas aljabar -plus da bagaimaa medefiisika kerelya. Kata kuci: Semimodul, Aljabar -plus, Homomorfisma, Kerel. PENDAHULUAN Aljabar plus adalah himpua Ρ {- }, dega Ρ himpua semua bilaga real yag dilegkapi dega operasi maksimum, diotasika dega da operasi pejumlaha, yag diotasika dega. Selajutya ( Ρ {- },, ) diotasika dega Ρ da {- } diotasika dega ε. Eleme ε merupaka eleme etral terhadap operasi da 0 merupaka eleme idetitas terhadap operasi. Sebagai suatu struktur aljabar, aljabar -plus merupaka semirig idempote. Lebih lajut, karea terhadap operasi pejumlaha ( ) mempuyai ivers, maka aljabar -plus merupaka semifield, yaitu : 1. ( Ρ {- }, ) merupaka semigrup komutatif dega eleme etral {- } 2. (Ρ {- }, ) merupaka grup komutatif dega eleme idetitas 0 3. Operasi da bersifat distributif 4. Eleme etral bersifat meyerap terhadap operasi, yaitu a Ρ, ε a = a ε =ε Aalog pada ruag vektor atau modul, yaitu jika F suatu lapaga, maka selalu dapat dibetuk suatu ruag vektor atas lapaga F, sehigga jika S suatu semifield, maka selalu dapat dibetuk semimodul atas semifield S. Beberapa kajia pada berbagai struktur aljabar adalah pemetaa liear ( homomorfisma). Karea pada suatu semimodul ivers terhadap operasi pertama ( operasi imum pada aljabar plus ) tidak mempuyai ivers, maka terdapat perbedaa yag cukup medalam pada pedefiisia Makalah dipresetasika dalam dega tema Matematika da Pedidika Karakter dalam Pembelajara pada taggal 3 Desember 2011 di Jurusa Pedidika Matematika FMIPA UNY
kerel suatu homomorfisma pada semimodul. Oleh karea itu pada makalah ii aka dibahas homomorfisma pada semimodul termasuk bagaimaa medefiisika kerel sehigga tetap kosiste dega defiisi kerel pada modul atau ruag vektor. PEMBAHASAN Berikut ii terlebih dahulu aka dibahas dua struktur aljabar yaitu semirig da semifield. 1. Semirig da Semifield Defiisi 1.1 Suatu semirig ( S,, ) adalah himpua tak kosog S disertai dega dua operasi bier da yag memeuhi aksioma berikut : 1. (S, ) merupaka mooid komutatif dega eleme etral ε, yaitu x,y,z S memeuhi (x y) z = x (y z) x y = y x x ε = ε x = x 2. ( S, ) merupaka mooid dega eleme satua e, yaitu x,y,z S memeuhi (x y) z = x (y z) x e = e x = x 3. Eleme etral ε merupaka eleme peyerap terhadap operasi, yaitu x S, ε x = x ε = ε. 4. Operasi bersifat distributif terhadap operasi, yaitu x,y,z S berlaku (x y) z = ( x z) (y z) x ( y z ) = ( x y ) ( x z ) Cotoh 1.2. Diberika def ε = { } dega Ρ adalah himpua semua bilaga real. Didefiisika operasi da pada Ρ ε sebagai berikut: x,y Ρ ε, x y = (x, y) da x y = x + y Jadi, 7 11 = ( 7,11) = 11 da 7 11 = 7 + 11 = 18. ( Ρ ε,, ) merupaka semirig dega eleme etral ε = - da eleme satua e = 0, karea pada ( Ρ ε,, ) berlaku sifat-sifat berikut: 1. ( Ρ ε, ) merupaka mooid komutatif dega eleme etral ε = -. Yogyakarta, 3 Desember 2011 MA 131
(x y) z = ((x,y),z) = (x,y,z) = (x,(y,z))) = x (y z), x y = (x, y) = (y, x) = y x, x ε = (x, - ) = (-,x) = ε x = x. 2. ( Ρ ε, ) merupaka mooid dega eleme satua e = 0. ( x y ) z = ( x + y ) + z = x + ( y + z ) = x ( y z ), x e = x + 0 = 0 + x = e x = x. 3. Eleme etral ε = - merupaka eleme peyerap terhadap operasi. x ε = x + ( - ) = - = - + x = ε x. 4. Distributif terhadap. (x y) z = (x,y) + z = ( x + z, y + z) = (x z) (y z), X ( y z) = x + (y,z) = (x + y, x + z) = (x y) ( x z). Selajutya utuk memudahka peulisa, ( Ρ ε,, ) ditulis sebagai Ρ da diamaka dega aljabar -plus. Defiisi 1.3. Semirig ( S,, ) dikataka semirig komutatif jika operasi bersifat komutatif, yaitu x,y S, x y = y x. Defiisi 1.4 Semirig ( S,, ) dikataka semirig idempote atau dioid jika operasi bersifat idempote, yaitu x S, x x = x. Cotoh 1.5. Semirig Ρ merupaka semirig komutatif da semirig idempote(dioid), yaitu x,y Ρ, x y = x + y = y + x = y x, da x x = (x,x) = x. Defiisi 1.6. Semirig komutatif (S,, ) dikataka semifield jika setiap eleme tak etralya mempuyai ivers terhadap operasi, yaitu : x S\{ε}, y S, x y = y x = e. Cotoh 1.7. Semirig komutatif Ρ merupaka semifield, sebab utuk setiap x Ρ terdapat -x Ρ, sehigga x ( -x ) = x + ( -x ) = 0 = e. Teorema 1.8. Jika operasi pada semirig (S,, ) bersifat idempote, maka eleme ivers terhadap operasi tidak ada. Bukti : Yogyakarta, 3 Desember 2011 MA 132
Ambil sebarag x ε S da adaika ada y S sehigga x y = ε. Karea idempote, maka x = x ε = x ( x y) = ( x x ) y = x y = ε. Kotradiksi dega x ε. Jadi eleme ivers terhadap operasi tidak ada. 2. Semimodul atas Semirig Semimodul atas semirig didefiisika seperti modul atas rig. Defiisi 2.1 Semimodul kiri atas semirig ( S,, ) adalah himpua mooid komutatif (M, ) yag dilegkapi operasi eksteral yaitu pemetaa pergadaa skalar ( kiri ): α : S M M (s,x) # sx Da memeuhi aksioma-aksioma: ( x,y M) da ( r,s S ) (i) (ii) (iii) (iv) r ( x y ) = rx ry (r s) x = rx sx r (sx) = (rs)x x ε = ε, x e = x, dega ε adalah eleme etral terhadap operasi da e eleme etral terhadap operasi. Cotoh 2.2 Diberika = { x = [ x, x,..., x ] / x, i= 1,2,..., }. Selajutya T 1 2 i utuk setiap xy, da r didefiisika operasi da sebagai berikut : x y= [ x 1 y 1, x 2 y 2,, x y ] T. r x = [ r x 1, r x 2,, r x ] T. Jadi dapat dipadag sebagai 1. Aka ditujukka merupaka semimodul atas semirig. (i) r ( x y) = r [ x 1 y 1, x 2 y 2,, x y ] T = [ r (x 1 y 1 ), r (x 2 y 2 ),, r (x y )] T Yogyakarta, 3 Desember 2011 MA 133
= [ (r x 1 ) (r y 1 ),, (r x ) (r y )] T = [ r x 1, r x 2,, r x ] T [ r y 1, r y 2,, r y ] T = rx ry (ii) (r s) x = [(r s) x 1, (r s) x 2,, (r s) x ] T = [(r x 1 ) (s x 1 ),, [(r x ) (s x ) ] T = [r x 1, r x 2,, r x ] T [ s x 1, s x 2,, s x ] T = rx sy (iii) r ( s x ) = r ( s x ) = r [ s x 1, s x 2,, s x ] T = [ r s x 1, r s x 2,, r s x ] T = rs [ x 1, x 2,, x ] T = (rs) x (iv) x ε = [ x 1, x 2,, x ] T [ ε, ε,, ε ] T = [ x 1 ε, x 2 ε,, x ε] T = [ ε, ε,, ε ] T = ε. x e = [ x 1, x 2,, x ] T [ e, e,, e ] T Jadi = [ x 1 e, x 2 e,, x e ] T = [ x 1, x 2,, x ] T = x merupaka semimodul atas semirig. Dega cara yag sama dapat ditujukka bahwa m juga merupaka semimodul atas semirig. Yogyakarta, 3 Desember 2011 MA 134
3. Homomorfisma pada Semimodul atas Aljabar Max-plus. Berikut ii disajika defiisi homomorfisma pada semimodul. Defiisi 3.1 Jika (M,, ) suatu semimodul atas semirig S, maka pemetaa α : M M diamaka homomorfisma jika : x,y M, α ( x y ) = α(x) α (y) da x M, s S, α (s x ) = s α (x). Cotoh 3.2. Pemetaa α:r R dega α (x ) = 2 x 1 merupaka homomorfisma, yaitu : α ( x y ) = 2 ( x y ) 1 = (2 x) (2 y ) 1 = (2 x 1) ( 2 y 1 ) = α (x) α (y) α ( s x) = 2 ( s x ) 1 = (s 2 x ) 1 = s ( 2 x 1 ) = s α (x). Selajutya, misalka defiisi kerel homomorfisma pada semimodul di atas adalah Ker α = { x M / α (x) = ε }, diperoleh : α (x) = ε 2 x 1 = ε ( 2 + x, 1 ) = ε Tidak ada x M yag memeuhi persamaa di atas. Demikia juga misalka β : R 2 R 2 dega β (x) = 1 0 x1 0 2 x = 2 (1 + x1, x2) ( x1, 2 x. + 2 (1 + x1, x2) ε Jika β (x) = ε, maka = ( x1, 2 + x 2 ε. Diperoleh x 1 = ε da x 2 = ε. Jadi ker β = {ε }, meskipu β tidak ijektif. Yogyakarta, 3 Desember 2011 MA 135
Oleh karea itu diperluka suatu defiisi tetag kerel suatu homomorfisma pada semimodul. Jika α : M M merupaka homomorfisma pada modul M da m 1, m 2 ker α, maka α (m 1 ) = 0 da α (m 2 ) = 0. Akibatya α (m 1 ) = α (m 2 ). Sebalikya jika α (m 1 ) = α (m 2 ), maka berakibat α (m 1 ) α (m 2 ) = 0, atau α (m 1 -m 2 ) = 0. Diperoleh m 1 - m 2 ker α. Berdasarka hasil di atas didefiisika kerel homomorfisma pada semimodul sebagai berikut : Defiisi 3.3 Jika M suatu semimodul atas semirig S da α : M M merupaka homomorfisma, maka ker α = { (x,y) M M / α (x) = α (y) } Berdasarka defiisi 3.3 di atas kerel homomorfisma α:r R pada cotoh 3.2 adalah sebagai berikut : α (x) = α (y) 2 x 1 = 2 y 1 ( 2 + x, 1) = ( 2+ y, 1) x = y atau ( x -1 & y -1 ) ker α = { (x,y) R R / x = y atau x -1 & y -1 } KESIMPULAN Berdasarka pembahasa di atas, kosep homomorfisma pada semimodul didefiisika seperti homomorfisma pada modul da ruag vektor. Aka tetapi defiisi kerel pada modul atau ruag vektor jika diterapka pada homomorfisma semimodul kurag bermaka sebab selalu aka diperoleh hasil trivial, yaitu kerelya ol, atau kosog. Oleh karea itu, utuk medefiisika kerel homomorfisma pada semimodul atas semirig S, diguaka pedekata yag lai yag tetap kosiste jika diterapka pada modul atau ruag vektor. Pada makalah ii kerel homomorfisma pada semimodul atas aljabar -plus didefiisika sebagai ker α = {(x 1, x 2 ) M M/ α (x 1 ) = α(x 2 )}. Jika diterapka pada modul atau ruag vektor, maka defiisi ii tetap kosiste, yaitu α (x 1 ) = α(x 2 ) α (x 1 -x 2 ) = 0 x 1 -x 2 ker α. Yogyakarta, 3 Desember 2011 MA 136
Beberapa hal yag belum dibahas dalam makalah ii atara lai bagaimaa dega kosep direct sum pada semimodul secara umum. Sebagaimaa telah diketahui, jika α : V V merupaka homomorfisma pada ruag vektor, maka V merupaka direct sum dari image α da kerel α. DAFTAR PUSTAKA Adkis, W.A. ad Weitrub, S.H.1992. Algebra. A Approach via Module Theory. Spriger, New York. Baccelli, F, Cohe, G, Olsder, G.J, Quadrat,J.P. 1992. Sychroizatio ad Liearity.Joh Wiley ad Sos, New York. Blyth, T.S. 1977. Module Theory. A Approach to Liear Algebra. Oxford Uiversity Press, Lodo. Cohe, G. 1996. Kerel, Images ad Projectios i Dioids. Wodes 96. Ediburgh, Scotlad Roma, S. 2005. Advaced Liear Algebra. Spriger, New York. Yogyakarta, 3 Desember 2011 MA 137