Jural Barekeg Vol. 7 No. 2 Hal. 19 26 (2013) SIFAT-SIFAT DASAR MATRIKS SKEW HERMITIAN Basic Properties of Skew Hermitia Matrices LIDIA SALAKA 1, HENRY W. M. PATTY 2, MOZART WINSTON TALAKUA 3 1 Mahasiswa JurusaMatematika FMIPA UNPATTI 2,3 StafJurusa Matematika FMIPA UNPATTI Jl. Ir. M. Putuhea, KampusUpatti, Poka-Ambo, Maluku E-mail: herywmpatty81@gmail.com ABSTRAK Matriks didefiisika sebagai susua persegi pajag dari eleme-eleme yag diatur dalam baris da kolom. Matriks dega eleme-eleme peyusuya merupaka bilaga kompleks dikeal dega matriks bilaga kompleks. Salah satu betuk khusus dari matriks bilaga kompleks adalah matriks Skew Hermitia beserta sifat-sifatya yag mejadika matriks tersebut berbeda dega matriks real. Peelitia ii membahas bagaimaa megetahui betuk dari matriks Skew Hermitia, serta sifat-sifat aljabar matriks yag berlaku pada matriks Skew Hermitia, dega tahapa peelitia sebagai berikut: megubah matriks Hermitia mejadi matriks Skew Hermitia dega cara megeaka operasi pergadaa skalar i (bilaga imajier) pada matriks Hermitia, meyusu sifatsifat dasar matriks Skew Hermitia berdasarka sifat da defiisi dari eleme-eleme peyusuya. Hasil peelitia meujuka bahwa sebuah matriks bujursagkar merupaka matriks Skew Hermitia jika setiap eleme-eleme peyusuya merupaka bilaga kompleks beserta traspose kojugatya da matriks tersebut idetik dega egatif matriks traspose kojugatya. Keterkaitaya dega betuk matriks laiya juga merupaka suatu sifat yag berlaku pada matriks Skew Hermitia. Kata kuci : bilaga kompleks, kojugat traspose, matriks, matriks Hermitia PENDAHULUAN Dalam perkembaga aljabar telah ditemuka beberapa betuk matriks khusus dega sifat-sifatya yag dapat diguaka utuk meeliti perkembaga aljabar matriks. Salah satu diataraya adalah betuk khusus dari matriks bilaga kompleks beserta sifatsifatya yag mejadika matriks tersebut berbeda dega matriks real. Salah satu betuk dari matriks bilaga kompleks adalah matriks Hermitia yag ditemuka pada tahu 1855 oleh Charles Hermite, yag meyataka bahwa suatu matriks Hermitia adalah suatu matriks kompleks berukura yag memiliki ilai yag sama dega matriks traspose kojugatya, dega diagoal utamaya adalah bilaga real. Seperti diketahui bahwa operasi matriks tidak terlepas dari operasi-operasi pejumlaha, operasi pergadaa, da operasi pergadaa skalar. Pada matriks Hermitia pu berlaku operasi-operasi tersebut, salah satu diataraya adalah operasi pergadaa skalar. Jika pada matriks Hermitia dikeaka operasi pergadaa skalar i (bilaga imajier), meghasilka suatu matriks yag baru, dimaa egatif matriks tersebut sama dega matriks traspose kojugatya, da eleme pada diagoal utamaya adalah bilaga imajier muri. Betuk matriks baru ii yag dikeal dega matriks Skew Hermitia. Selajutya dega memperhatika eleme diagoal utama beserta eleme traspose kojugatya, megakibatka adaya perbedaa betuk da sifat-sifat dari matriks Skew Hermitia jika dibadigka dega matriks Hermitia da matriks laiya. Hal iilah yag melatarbelakagi peeliti utuk melakuka peelitia dega judul Sifat-sifat Dasar Matriks Skew Hermitia. TINJAUAN PUSTAKA Matriks adalah suatu kosep dasar dalam duia Aljabar yag pertama diguaka pada tahu 1850 oleh Sylvester, yag medefiisika matriks sebagai susua
Barekeg Vol. 7 No. 2 Hal. 19 26 (2013) eleme-eleme dalam betuk bujursagkar. Kemudia pada tahu 1855 Charles Hermite memperkealka matriks Hermitia sebagai betuk dari matriks bilaga kompleks. Dega merujuk pada buku Schaum s Outlies Aljabar Liier Edisi Ketiga, matriks dapat dibedaka mejadi matriks-matriks khusus diataraya matriks traspose, matriks simetri, matriks simetri mirig, da lai-lai. Selai betuk-betuk matriks di atas, dalam jural Lecture Notes For Math 623 Matrix Aalysis,yag disusu oleh Michael E. O Sulliva (April 18,2013) ditulis tetag matriks Skew Hermitia dega keistimewaa da keuikaya. Berdasarka sumber tersebut da dukuga beberapa literatur laiya peeliti mecoba meyusu sebuah peelitia dega harapa semoga dapat mudah dipahami. Defiisi 1 (Matriks) Matriks didefiisika sebagai susua persegi pajag dari bilaga-bilaga yag diatur dalam baris da kolom. Matriks A ditulis sebagai berikut: a 11 a 12 a 1 a a 22 a 2 A = a ij a m1 a m2 a m Susua di atas disebut sebuah matriks m kali (ditulis A m ) karea memiliki m baris da kolom. Sebagai atura, kurug siku [, kurug biasa ( ) atau betuk diguaka utuk meguragi susua persegi pajag dari bilaga-bilaga tersebut. Teorema 1 Jika ukura matriks A da B adalah sedemikia sehigga operasi matriks dapat dikerjaka, maka (a) (A T ) T = A (b) (A + B) T = A T + B T da (A B) T = A T B T (c) (ka) T = ka T, k skalar (d) (AB) T = B T A T Defiisi 2 (Matriks Simetris Mirig) Diberika matriks bujur sagkar A maka matriks simetris mirig adalah matriks yag memeuhi: A = A T Cotoh 1 0 3 4 A 3 0 5 A = ( 1)A 4 5 0 0 3 4 = ( 1) [ 3 0 5 0 4 3 5 4 0 3 0 5 0 3 4 4 5 0 A T 3 0 5 4 5 0 Jadi A = A T Defiisi 3 ( Matriks Hermitia ) Diberika matriks kompleks bujur sagkar A maka matriks Hermitia adalah matriks yag memeuhi : A = A T Cotoh 2 3 1 2i 4 + 7i A 1 + 2i 4 2i da 4 7i 2i 5 Jadi A = A T 3 1 + 2i 4 7i A T 1 2i 4 2i 4 + 7i 2i 5 3 1 2i 4 + 7i A T 1 + 2i 4 2i 4 7i 2i 5 3 1 2i 4 + 7i A T 1 + 2i 4 2i = A 4 7i 2i 5 20 Defiisi 4 (Vektor) Vektor merupaka besara yag mempuyai arah da mempuyai pajag (magitude) da diberi otasi dega huruf tebal, misalya: v, u, w da p. Sebuah vektor a berdimesi adalah suatu atura tuple dari bilaga-bilaga ditulis sebagai baris (a 1, a 2,, a ) atau sebagai sebuah kolom [ a 1 a 2 a a i merupaka kompoe-kompoe vektor dimaa a i R da i = 1,2,,. Defiisi 5 (Ruag Vektor) Misalka V sebarag himpua da V. Himpua V disebut ruag vektor atas lapaga L terhadap operasi + " da. " yag didefiisika padaya jika ( u, v, w V)( k, l, L) dipeuhi aksioma-aksioma berikut : 1. u + v V 2. (u + v) + w = u + (v + w) 3. u + 0 = 0 + u 4. u + ( u) = 0 5. u + v = v + u 6. ku V 7. k(lu) = (kl)u 8. k(u + v) = ku + kv 9. (k + l)u = ku + lu 10. 1 u = u Defiisi 6 (Bilaga Kompleks) Sebuah bilaga kompleks z C terdiri atas bagia yata x = Re(z) da bagia imajier y = Im(z) dega betuk z = x + iy. Utuk i sebuah bilaga imajier i = 1. Utuk selajutya bilaga kompleks z = x + iy dega = 1,2,3, Defiisi 7 (Kesekawaa/Cojugatio) Diberika z C, z = x + iy maka sekawa z dituliska sebagai z da didefiisika sebagai z = x iy, z C.
Barekeg Vol. 7 No. 2 Hal. 19 26 (2013) Defiisi 8 (Pembagia Bilaga Kompleks) Diberika z 1, z 2 C, hasil pembagia dua bilaga kompleks berlaku sesuai dega: z 1 = z 1 z 2 z 2 z 2 z 2 Teorema 2 Operasi-operasi yag didefiisika pada bilaga kompleks memeuhi hukum-hukum berikut: (a) Hukum komutatif (i).z 1 + z 2 = z 2 + z 1 ; ii). z 1 z 2 = z 2 z 1 (b) Hukum asosiatif (i).z 1 + (z 2 + z 3 ) = (z 1 + z 2 ) + z 3 ; (ii). z 1 (z 2 z 3 ) = (z 1 z 2 )z 3 (c) Hukum distributif z 1 (z 2 + z 3 ) = (z 1 z 2 + z 1 z 3 ) (d) Distributivitas kesekawaa (e) (f) (i). z 1 + 2 = z 1 + z 2 ; (ii). z 1 2 = z 1 z ; 2 (iii). z 1 2 = z 1 z ; 2 (iv). z 1 /z 2 = z 1 /z 2 (z ) = z zz = + iy) iy) = x 2 + y 2 = (Re(z)) 2 + HASIL DAN PEMBAHASAN Matriks Skew Hermitia Defiisi 9 Sebuah matriks A C dega traspose kojugatya A disebut Matriks Skew Hermitia jika, A = A dega eleme-eleme peyusuya merupaka bilaga kompleks, da semua eleme pada diagoal utama merupaka bilaga imajier. Eleme pada baris ke-k kolom ke-l sama dega egatif kojugat kompleks dari eleme pada baris ke-l kolom ke-k, atau dega kata lai utuk setiap a kl, a lk C da k, l = 1,2,,, berlaku a kl = a lk Matriks Skew Hermitia A diotasika dega: a 11 a 12 a 1 a a 22 a 2 A = {[ a kl = a lk C, a kk im(z)} a 1 a 2 a Himpua matriks-matriks Skew Hermitia dega orde diotasika dega SH. Cotoh 3 i 2 + i Matriks A 2 + i 0, i 2 + i 2 + i B 2 + i 0 3 2i adalah matriks Skew 2 + i Hermitia. 3 2i 0 Peyelesaia : Utuk matriks A, dega metraspose-kojugatka matriks A maka diperoleh: A T i 2 + i 2 + i 0 A T i 2 + i 2 + i 0 i 2 + i 2 + i 0 A i 2 i = A 2 i 0 Karea A = A, maka A adalah matriks Skew Hermitia. Utuk matriks B, dega metraspose-kojugatka matriks B maka diperoleh: i 2 + i 2 + i B T 2 + i 0 3 2i 2 + i 3 2i 0 i 2 + i 2 + i B T 2 + i 0 3 2i 2 + i 3 2i 0 i 2 + i 2 + i 2 + i 0 3 2i 2 + i 3 2i 0 i 2 i 2 i B 2 i 0 3 + 2i = B 2 i 3 + 2i 0 Karea B = B, maka B adalah Skew Hermitia. Sifat-Sifat Matriks Skew Hermitia Sifat 1 Utuk sebarag matriks A C dega traspose kojugatya A C, maka berlaku: (a) A + A H (b) A A SH Ambil sebarag A C dega traspose kojugatya A C a 11 a 12 a 1 a 11 a a 1 a a 22 a 2 a 12 a 22 a 2 A,A a 1 a 2 a a 1 a 2 a dimaa utuk setiap a kl, a kl C da a kl = x kl + iy kl, a kl = x kl iy kl dega k, l = 1,2,,. (a). Dega mejumlahka matriks A C da A C diperoleh: a 11 a 12 a 1 a 11 a a 1 A + A a a 22 a 2 a + [ 12 a 22 a 2 a 1 a 2 a a 1 a 2 a x 11 + y 11 i x 1 + y 1 i x + y i x 2 + y 2 i x 1 + y 1 i x + y i x 11 y 11 i x 1 y 1 i x + [ 12 y 12 i x 2 y 2 i x 1 y 1 i x y i 11 + y 11 i) + 11 y 11 i) 1 + y 1 i) + 1 y 1 i) + y i) + 12 y 12 i) 2 + y 2 i) + 2 y 2 i) 1 + y 1 i) + 1 y 1 i) + y i) + y i) Dimisalka A + A = B maka, 2x 11 b 12 b 1 A + A b = B 2x 22 b 2 b 1 b 2 2x
Barekeg Vol. 7 No. 2 Hal. 19 26 (2013) Dega, b 12=12 +x )+(y 12 y )i b = +x 12 )+(y y 12 )i b 1=1 +x 1 )+(y 1 y 1 )i b 1=1 +x 1 )+(y 1 y 1 )i b 2=2 +x 2 )+(y 2 y 2 )i b 2=2 +x 2 )+(y 2 y 2 )i b Utuk membuktika bahwa A + A = B adalah Hermitia, cukup ditujuka bahwa B = B. Dega metraspose-kojugatka matriks B maka diperoleh : 2x 11 b 1 B T b 12 2x 22 b 2 b 1 b 2 2x 2x 11 1 + x 1 ) + (y 1 y 1 )i 12 + x ) + (y 12 y )i 2 + x 2 ) + (y 2 y 2 )i 1 + x 1 ) + (y 1 y 1 )i 2x 2x 11 1 + x 1 ) + (y 1 y 1 )i B T 12 + x ) + (y 12 y )i 2 + x 2 ) + (y 2 y 2 )i 1 + x 1 ) + (y 1 y 1 )i 2x 2x 11 1 + x 1 ) + (y 1 y 1 )i = 12 + x ) + (y 12 y )i 2 + x 2 ) + (y 2 y 2 )i [ 1 + x 1 ) + (y 1 y 1 )i 2x 2x 11 1 + x 1 ) (y 1 y 1 )i 12 + x ) (y 12 y )i 2 + x 2 ) (y 2 y 2 )i 1 + x 1 ) (y 1 y 1 )i 2x B T = B 2x 11 1 + x 1 ) + (y 1 y 1 )i + x 12 ) + (y y 12 )i 2 + x 2 ) + (y 2 y 2 )i 1 + x 1 ) + (y 1 y 1 )i 2x b 2x 11 b 12 1 B b 2x 22 b 2 = B b 1 b 2 2x Dega, b 12=12 +x )+(y 12 y )i b = +x 12 )+(y y 12 )i b 1=1 +x 1 )+(y 1 y 1 )i b 1=1 +x 1 )+(y 1 y 1 )i b 2=2 +x 2 )+(y 2 y 2 )i b 2=2 +x 2 )+(y 2 y 2 )i Kara B = B, maka A + A = B adalah Hermitia. (b). Dega meguragka matriks A C da A C diperoleh : a 11 a 12 a 1 a 11 a a 1 a A A a 22 a 2 a 12 a 22 a 2 [ a 1 a 2 a a 1 a 2 a x 11 + y 11 i x 1 + y 1 i x 11 y 11 i x 1 y 1 i x + y i x 2 + y 2 i x [ 12 y 12 i x 2 y 2 i x 1 + y 1 i x + y i x 1 y 1 i x y i 11 + y 11 i) 11 y 11 i) 1 + y 1 i) 1 y 1 i) + y i) 12 y 12 i) 2 + y 2 i) 2 y 2 i) 1 + y 1 i) 1 y 1 i) + y i) y i) Dimisalka A A = C maka, 2y 11 i c 12 c 1 A A = C c 2y 22 i c 2 c 1 c 2 2y i Dega, c 12=12 x )+(y 12 +y )i c 1=1 x 1 )+(y 1 +y 1 )i c = x 12 )+(y +y 12 )i c 2=2 x 2 )+(y 2 +y 2 )i c 1=1 x 1 )+(y 1 +y 1 )i c 2=2 x 2 )+(y 2 +y 2 )i 22 Utuk membuktika bahwa A A = C adalah Skew Hermitia, cukup ditujuka bahwa C = C. Dega metraspose-kojugatka matriks C maka diperoleh : 2y 11i c c 1 C T c 12 2y 22i c 2 c 1 c 2 2y i 2y 11i 1 x 1 ) + (y 1 + y 1 )i 12 x ) + (y 12 + y )i 2 x 2 ) + (y 2 + y 2 )i 1 x 1 ) + (y 1 + y 1 )i 2y i 2y 11i 1 x 1 ) + (y 1 + y 1 )i 12 x ) + (y 12 + y )i 2 x 2 ) + (y 2 + y 2 )i 1 x 1 ) + (y 1 + y 1 )i 2y i 2y 11i 1 x 1 ) + (y 1 + y 1 )i = 12 x ) + (y 12 + y )i 2 x 2 ) + (y 2 + y 2 )i [ 1 x 1 ) + (y 1 + y 1 )i 2y i 2y 11i 1 x 1 ) (y 1 + y 1 )i 12 x ) (y 12 + y )i 2 x 2 ) (y 2 + y 2 )i 1 x 1 ) (y 1 + y 1 )i 2y i C T = C 2y 11i ( x 1 + x 1 ) (y 1 + y 1 )i ( x + x 12 ) (y + y 12 )i ( x 2 + x 2 ) (y 2 + y 2 )i ( x 1 + x 1 ) (y 1 + y 1 )i 2y i 2y 11 i c 12 c 1 C c 2y 22 i c 2 = C c 1 c 2 2y i Dega, c 12=( x12 +x ) (y 12 +y )i c =( x + x 12 ) (y +y 12 )i c 1=( x1 +x 1 ) (y 1 +y 1 )i c 1=( x1 + x 1 ) (y 1 +y 1 )i c 2=( x2 + x 2 ) (y 2 +y 2 )i c 2=( x2 + x 2 ) (y 2 +y 2 )i Terlihat bahwa C = C. Kara C = C, maka A A = C adalah Skew Hermitia. Sifat 2 Suatu matriks A C,dapat dituliska sebagai jumlah dari matriks Hermitia da matriks Skew Hermitia A = 1 2 (A + A ) + 1 2 (A A ) Dari sifat 1 diketahui bahwa A + A H, da A A SH
Barekeg Vol. 7 No. 2 Hal. 19 26 (2013) Sehigga 1 2 (A + A ) + 1 2 (A A ) = 1 2 ((A + A ) + (A A )) = 1 2 ((A + A) + (A A )) = 1 2 (2A) = ( 1. 2) A 2 = A Sifat 3 A adalah Hermitia jika da haya jika ia adalah Skew Hermitia ( )Diketahui ia Skew Hermitia. Aka ditujuka A adalah Hermitia. Ambil sebarag A SH y 11 i a 12 a 1 a y 22 i a 2 A a 1 a 2 y i Sehigga y 11 i a 12 a 1 a y 22 i a 2 ia = i [ a 1 a 2 y i b a i y 11 i 2 a 12 i = 1 a i y 22 i 2 a 2 i [ a 1 i a 2 i y i 2 Dimisalka ia = B maka, y 11 b 12 b 1 b ia = B y 22 b 2 b 1 b 2 y Utuk membuktika bahwa ia = B adalah Hermitia cukup ditujuka bahwa B = B, b kl = b lk, b kk Re(z) Dega metraspose-kojugatka matriks B maka diperoleh : y 11 b 1 B T b 12 y 22 b 2 b 1 b 2 y y 11 b b 1 B T b 12 y 22 b 2 b 1 b 2 y 23 y 11 b b 1 b = 12 y 22 b 2 [ b 1 b 2 y Terlihat bahwa b kk Re(z), da karea b kl = b lk, maka matriks B dapat ditulis mejadi y 11 b 12 b 1 B b y 22 b 2 = B b 1 b 2 2y Karea B = B maka B adalah Hermitia. ( )Diketahui A Hermitia. Aka ditujuka bahwa iaadalah Skew Hermitia. Ambil sebarag A H x 11 a 12 a 1 a x 22 a 2 A a 1 a 2 x Sehigga x 11 a 12 a 1 a x 22 a 2 ia = i [ a 1 a 2 x x 11 i a 12 i a 1 i a i x 22 i a 2 i a 1 i a 2 i x i Dimisalka ia = C maka, y 11 i c 12 c 1 c y 22 i c 2 ia = C c 1 c 2 y i Utuk membuktika bahwa ia = C adalah Skew hermitia cukup ditujuka bahwa C = C, c kl = c lk, c kk Im(z) Utuk matriks C, dega metraspose-kojugatka matriks Cmaka diperoleh : y 11 i c c 1 C T c 12 y 22 i c 2 c 1 c 2 y i y 11 i c c 1 C c T 12 y 22 i c 2 c 1 c 2 y i y 11 i c 1 c 12 y 22 i c 2 y i c 1 c 2 y 11 b b = 12 y 22 [ b 1 b 2 b 1 b 2 y y 11 i c 12 y 22 i c 1 c 2 y 11 i c C c 12 y 22 i c 1 c 2 c 1 c 2 y i c 1 c 2 y i
Barekeg Vol. 7 No. 2 Hal. 19 26 (2013) Terlihat bahwa c kk Im(z), da karea c kl = c lk, maka matriks C dapat ditulis mejadi y 11 i c 12 c 1 C c y 22 i c 2 = C c 1 c 2 y i Karea C = C, maka C adalah Skew hermitia. Dari( )da ( ) maka sifat 3 terbukti. Sifat 4 Diberika A, B matriks Skew Hermitia a) A + B adalah Skew Hermitia b) Jika AB = BA (berlaku sifat komutatif) maka ABadalah Skew Hermitia c) Jika c R,maka ca adalah Skew Hermitia Diketahui A, B adalah matriks Skew Hermitia. Aka ditujuka: a) A + B adalah matriks Skew Hermitia Ambil sebarag matriks A, B SH Dega, α 11 i a 12 a 1 β 11 i b 12 b 1 a α 22 i a 2 b A, B β 22 i b 2 a 1 a 2 α i b 1 b 2 β i Maka α 11 i a 12 a 1 β 11 i b 12 b 1 a α 22 i a 2 b A + B + [ β 22 i b 2 a 1 a 2 α i b 1 b 2 β i α 11 i + β 11 i a 12 + b 12 a 1 + b 1 a + b α 22 i + β 22 i a 2 + b 2 a 1 + b 1 a 2 + b 2 α i + β i Dimisalka A + B = C maka, γ 11 i c 12 c 1 c γ 22 i c 2 C c 1 c 2 γ i Utuk membuktika bahwa A + B = C adalah Skew Hermitia, cukup ditujuka bahwa C = C Dega metraspose-kojugatka matriks C diperoleh: γ 11 i c c 1 C T c 12 γ 22 i c 2 c 1 c 2 γ i γ 11 i c c 1 C c T 12 γ 22 i c 2 c 1 c 2 γ i γ 11 i 12 γ 22 i c 1 c 2 1 2 γ i γ 11 i c 12 γ 22 i c 1 c 2 1 2 γ i 24 γ 11 i c c 1 C c 12 γ 22 i c 2 c 1 2 γ i Karea c kl = c lk, c kk Im(z) maka matriks C dapat ditulis mejadi γ 11 i c 12 c 1 C c γ 22 i c 2 = C c 1 c 2 γ i Kara C = C, maka A + B = C adalah Skew Hermitia b) Jika AB = BA (berlaku sifat komutatif) maka AB adalah Skew Hermitia. Ambil sebarag A, B SH α 11 i a 12 a 1 a α 22 i a 2 A, B a 1 a 2 α i β 11 i b 12 b 1 b β 22 i b 2 b 1 b 2 β i α 11 i a 12 a 1 β 11 i b 12 b 1 a α 22 i a 2 b AB [ β 22 i b 2 a 1 a 2 α i b 1 b 2 β i α 11 iβ 11 i + + a 1 b 1 α 11 ib 1 + + a 1 β i a β 11 i + + a 2 b 1 a b 1 + + a 2 β i a 1 β 11 i + + α ib 1 a 1 b 1 + + α iβ i Jika hasil kali AB matriks C, maka C ij = a ik b kj i = 1, 2,, j = 1,2,, Sehigga a ik b kj C (sifat tertutup terhadap pergadaa pada bilaga kompleks). Dega cara yag sama diperoleh: β 11 i b 12 b 1 y 11 i a 12 a 1 b BA β 22 i b 2 a y 22 i a 2 [ b 1 b 2 β i a 1 a 2 y i β 11 iα 11 i + + b 1 a 1 β 11 ia 1 + + b 1 α i b α 11 i + + b 2 a 1 b a 1 + + b 2 α i b 1 α 11 i + + β ia 1 b 1 a 1 + + β iα i Jika hasil kali BA matriks D, maka D ij = a ik b kj i = 1, 2,, j = 1,2,,
Barekeg Vol. 7 No. 2 Hal. 19 26 (2013) Sehigga b ik a kj C (sifat tertutup terhadap pergadaa pada bilaga kompleks). Dari kedua hasil kali matriks di atas, eleme-eleme peyusuya haruslah merupaka bilaga kompleks dega egatif traspose kojugatya. Utuk sebarag a ik b kj C berlaku: C ij = a ik b kj = a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a i b j = a i1 b 1j a i2 b 2j a i b j = a 1i b j1 a 2i b j2 a i b j = b j1 a 1i b j2 a 2i b j a i = ( 1)(b j1 a 1i + b j2 a 2i + + b j a i ) = ( 1) b jk Karea AB = BA, diperoleh: a ki C ij = a ik b kj = D ij = b ik a kj ( 1) b jk a ki = ( 1) a jk dari kedua persamaa diatas diperoleh: b ki a ik b kj = b ik a kj = ( 1) b jk = ( 1) a jk b ki a ki Karea eleme-eleme peyusuya merupaka bilaga kompleks dega egatif traspose kojugatya, maka AB = BA juga merupaka matriks Skew Hermitia. c) Ambil sebarag A SH. da c skalar y 11 i a 12 a 1 a y 22 i a 2 ca = c [ a 1 a 2 y i cy 11 i ca 12 ca 1 ca cy 22 i ca 2 ca 1 ca 2 cy i diperoleh ca ij C (sifat tertutup terhadap pergadaa pada bilaga kompleks). Ambil sebarag ca ij C karea a ij = a ji makaca ij = ca ji. Sesuai defiisi 1 maka ca SH. Sifat 5 Jika A SH maka Ax, y = x, A T y utuk setiapx, y C 1. Ambil sebarag A SH da x, y C 1 α 11 i a 12 a 1 a α 22 i a 2 A a 1 a 2 α i α 11 i a 12 a 1 x 1 y 1 a α 22 i a 2 x 2 y 2 Ax, y = [ [, [ a 1 a 2 α i x y α 11 ix 1 + a 12 x 2 + + a 1 x y 1 a =< [ x 1 + α 22 ix 2 + + a 2 x y 2, [ > a 1 x 1 + a 2 x 2 + + α ix y 25 = (α 11 ix 1 + a 12 x 2 + + a 1 x )y 1 + (a x 1 + α 22 ix 2 + + a 2 x )y 2 + (a 1 x 1 + a 2 x 2 + + α ix )y = α 11 ix 1 y 1 + a 12 x 2 y 1 + + a 1 x y 1 + a x 1 y 2 + α 22 ix 2 y 2 + + a 2 x y 2 + a 1 x 1 y + a 2 x 2 y + + α ix y = α 11 ix 1 y 1 + a x 1 y 2 + + a 1 x 1 y + a 12 x 2 y 1 + α 22 ix 2 y 2 + + a 2 x 2 y + + a 1 x y 1 + a 2 x y 2 + + α ix y = x 1 (α 11 iy 1 + a y 2 + + a 1 y ) + x 2 (a 12 y 1 + α 22 iy 2 + + a 2 y ) + + x (a 1 y 1 + a 2 y 2 + + α iy ) x 1 α 11 i a a 1 y 1 x 2 a 12 α 22 i a 2 y 2 = [, [ [ x a 1 a 2 α i y = x, A T y KESIMPULAN Dari hasil pembahasa da uraia pada bab-bab sebelumya maka dapat diambil beberapa kesimpula atara lai : 1. Sebuah matriks bujur sagkar merupaka matriks Skew Hermitia jika setiap elemeeleme peyusuya merupaka bilaga kompleks beserta traspose kojugatya da matriks tersebut idetik dega egatif matriks traspose kojugatya. 2. Beberapa sifat-sifat aljabar matriks yag berlaku pada matriks Skew Hermitia adalah sebagai berikut: (i). Peguraga suatu matriks kompleks dega kojugatya adalah matriks Skew Hermitia. (ii). Suatu matriks kompleks merupaka jumlaha dari matriks Hermitia da matriks Skew Hermitia. (iii). Sebarag matriks Hermitia A jika da haya jika ia adalah Skew Hermitia. (iv). Berlaku sifat tertutup terhadap pejumlaha 2 matriks Skew Hermitia da terhadap pergadaa skalar.
Barekeg Vol. 7 No. 2 Hal. 19 26 (2013) 26 (v). Jika berlaku sifat komutatif pada pergadaa matriks (AB = BA) maka AB adalah matriks Skew Hermitia. (vi). Himpua matriks Skew Hermitia merupaka ruag vektor R. (vii). Utuk sebarag matriks Skew Hermitia berlaku Ax, y = x, A T y utuk semua x, y C 1. DAFTAR PUSTAKA Hadley, G, 1983, Aljabar Liear, Edisi Revisi, Peerbit Erlagga, Jakarta. Hogbe, Leslie, 2007, Hadbook of Liear Algebra. Dalam. Barret, Waye, (1973), Hermitia ad Positive Defiite Matrices, Taylor & Fracis, Group, USA: 130-131. Michael,E,O Sulliva,(2013), Lecture Notes for Math 623 Matrix Aalysis. Paliouras, Joh D, 1975, Peubah Kompleks utuk Ilmuwa da Isiyur, Peerbit Erlagga, Jakarta. Spiegel, Murray R, Teori da Soal-soal Peubah Kompleks, Seri Buku Schaum, Peerbit Erlagga, Jakarta. Wolfram, 1999, Hermitia Matrix - from Wolfram MathWorld