Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan Universitas Gadjah Mada Statistika Random Variables Discrete Random Variables Continuous Random Variables 1
Pengertian Random variable (variabel acak) Jenis suatu fungsi yang didefinisikan pada sample space Discrete random variables Continuous random variables Contoh jumlah hari hujan selama 1 tahun diskrit jumlah (volume) hujan selama 1 tahun kontinu
Random Variables Notasi variabel random nilai variabel random Fungsi Suatu fungsi variabel random adalah variabel random pula Jika adalah variabel random, maka Z = g() adalah juga variabel random 3
Univariate Probability Distributions = discrete random variables = 1,, 3,, n f ( 1 ) f ( ) probability f ( 3 ) f ( n ) f ( i ) = 1 4
f ( i ) a discrete probability distribution 1 3 n 1 n 1 F ( i ) a discrete cumulative probability distribution 0 1 3 n 1 n probability i 5
Cumulative probability distribution suatu variabel random untuk = F f i i Probability distribution suatu variabel random untuk = f F F i i i1 6
Univariate random variables Jika dapat bernilai 1,,, n yang masing-masing memiliki probability f ( 1 ), f ( ),, f ( n ) dan f ( i ) = 1, maka adalah variabel random diskrit. 7
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 8 i j j i i i i f F F F f 1 1 Frequency Probability i i i i i f F F F f 1 frekuensi relatif frekuensi relatif kumulatif 1-Sep-14
Continuous Random Variables Probability prob A n n i f n i = jumlah data di klas ke-i n = jumlah seluruh data i Dengan demikian, f i dapat dipandang sebagai nilai estimasi probability. f i estimasi prob(a) histogram frekuensi pendekatan distribusi probability frekuensi kumulatif pendekatan distribusi probability kumulatif continuous random variable treated as thought it were discrete 9
p () luas = prob( b) luas = prob(a b) pdf = probability density function luas = 1 a b 1 P () cdf = cumulative probability distribution function P (b) P (a) 0 a b prob(a b) P () = prob( ) 10
p () = probability density function of a continuous random variable P () = cumulative probability distribution function P prob d P P p p t d dt 11
Beberapa sifat probability 1) ) 3) 4) p P P p 0, d 0 1 1 5) 6) prob prob a b p t dt b a P c p t c c P b dt P a c P c 0 prob prob a b proba b a b proba b 1
Kala Ulang prob a prob a Jadi dalam definisi kala ulang a. suatu kejadian yang menyamai atau melampaui suatu nilai tertentu b. suatu kejadian yang melampaui suatu nilai tertentu Kedua definisi, a dan b, adalah sama mengingat probability suatu kejadian (event) menyamai suatu nilai tertentu adalah nol 13
Contoh ST Contoh univariate probability distribution 14
Bivariate Distributions (1) Apabila diinginkan untuk mengetahui perilaku dua atau lebih random variables joint probabilities Joint probability density function p, Y,, Y, y y P y P,Y (, y)= prob( < and Y < y) + + ò ò - - = p (,Y s,t )dt ds 15
Bivariate Distributions () Beberapa persamaan p, Y, is a cumulative univariate probability function of only P, Y, y is a cumulative univariate probability function of Y only p P P, Y, Y, Y, y 0, 1, y P, 0, Y 16
Marginal Distributions (1) Two random variables, and Y Ingin diketahui perilaku tanpa mempertimbangkan nilai variabel Y Marginal density: p p, Y, y p p, t, Y dt 17
Marginal Distributions () Two random variables, and Y Cumulative marginal distribution: P P, Y, y P P, prob dan Y prob p p, Y s d s s, t dt d s 18
Marginal Distributions (3) Untuk variabel Y Marginal density p p, Y Y, y p y y p s, y, Y Y d s Cumulative marginal distribution: P Y y P Y y, y prob dan Y y proby y p Y t dt 19
Conditional Distributions Two random variables, and Y Ingin diketahui perilaku yang bergantung pada Y Distribusi jika Y = y 0 Distribusi Y jika 1 p p p, Y prob Y Y, t p t t S, Y d i y di dalam S p t S Y d di dalam R y di dalam S p Y y di dalam S y y y 0 p, Y p Y p, Y p, y Y y, y y 0 0 R yang lebih sering dituliskan d 0
Independence Two random variables, dan Y Kedua variabel independence jika p p Y Y y y p bukan fungsi y Joint probabilities: perkalian density marginal kedua variabel adalah p, Y, y p p y Y 1
Contoh ST Contoh bivariate probability distribution
Random Variables Properties of Random Variables 3
Populasi Samples Observasi statistik estimasi Samples (belum diukur) 4
Statistik Langkah 1. Pengambilan sampel. Observasi (analisis) terhadap sampel 3. Penyimpulan tentang perilaku sampel 4. Estimasi tentang perilaku populasi berdasarkan butir (3) 5. Estimasi tentang sampel lain (yang belum diambil) berdasarkan butir (3) 5
Statistik Contoh Data debit suatu sungai selama 50 yang telah lalu dipakai sebagai dasar untuk melakukan estimasi debit sungai tersebut selama periode tak terbatas (estimasi tentang perilaku populasi). Informasi tersebut dapat pula dipakai untuk estimasi debit sungai tersebut selama periode tertentu pada masa yang akan datang (sampel yang belum diambil). 6
Moment and Epectation: Univariate Distributions Y A Moment pertama terhadap O da d 1 1 d A A d A p O d d A p d pdf Untuk suatu random variable 7 1 A d p A d
Moment and Epectation: Univariate Distributions Secara umum berlaku bahwa momen ke-i terhadap O adalah continuous random variables i i p d discrete random variables i j i j f j 8
Moment and Epectation: Univariate Distributions Momen sentral ke-i: momen ke-i terhadap mean (nilai rata-rata) i i p d 9
Moment and Epectation: Univariate Distributions Nilai epektasi suatu random variable E E p f j j d j continuous discrete Dengan demikian: E E i i i 30
Statistical Measures Common statistical measures Measure of central tendency Mean Mode Median Measure of variability Range Variance Standard deviation Measure of an individual in a population z score Percentile rank 31
Measure of Central Tendency (1) Nilai rata-rata (average) rata-rata (mean) mode score yang paling sering muncul median score yang berada di tengah dari suatu rangkaian score urut (dari nilai kecil ke besar atau sebaliknya) 3
Measure of Central Tendency () Contoh Jumlah hari hujan selama 11 bulan terakhir adalah sbb. 1, 1, 1, 0, 18, 16, 1, 1, 6,, 1 rata-rata = 14 =AVERAGE(...) mode = 1 =MODE(...) median = 16 =MEDIAN(...) Dari ketiga ukuran statistik tersebut, manakah yang paling baik menceritakan tentang pola jumlah hari hujan dalam 11 bulan tersebut? MSEcel 33
Measure of Central Tendency (3) Contoh Carilah contoh sejenis, yang berhubungan dengan pengelolaan sumberdaya air; misal: perilaku penduduk dalam pemakaian air (waktu, volume, debit, dsb.) data klimatologi (temperatur udara, kelembaban udara, lama penyinaran matahari, dsb.) Diskusikan nilai rata-rata mode median 34
Measure of Central Tendency (4) Contoh Cari dan diskusikan contoh-contoh yang berhubungan dengan bencana alam debit dan tinggi muka air banjir sungai lama genangan banjir di suatu kawasan banjir lahar, debris flow tanah longsor 35
Measure of Central Tendency (5) Simbol dan rumus Nilai rata-rata (variabel random kontinu) E p 1 d 36
Measure of Central Tendency (6) Simbol dan rumus Rata-rata (variabel random diskrit) 1 n Nilai rata-rata sampel n = jumlah anggota sampel estimasi nilai ratarata populasi 1 n Nilai rata-rata populasi n = jumlah anggota populasi parameter: berdasarkan seluruh anggota populasi besaran statistik: hanya berdasarkan sebagian anggota populasi 37
Measure of Central Tendency (6) Beberapa sifat nilai rata-rata C 1 n C C 1 n C C = konstanta 38
Measure of Central Tendency (7) Nilai rata-rata Arithmetic mean Geometric mean Harmonic mean Weighted mean W 1 n n 1 1 n w w =AVERAGE(...) =GEOMEAN(...) =HARMEAN(...) 39
Measure of Central Tendency (8) Nilai rata-rata Root mean square n 1 RMS i n i1 40
Measure of Central Tendency (9) Median Variabel random kontinu md md p d 0. 5 Variabel random diskrit md p p i1 0. 5 f i dalam hal ini p ditentukan dari 41
Measure of Central Tendency (10) Mode, nilai yang paling sering muncul/terjadi Variabel random kontinu d mo p d modepopulasi,dihitung sedemikian hingga 0 dan d d Variabel random diskrit p 0 modeadalah suatu nilai n ma i1 f i sedemikian hingga 4
Measure of Variability (1) Keragaman Variability, scatter, spread menunjukkan apakah angka dalam distribusi saling berdekatan atau berjauhan Range beda antara nilai tertinggi dan terendah dalam distribusi mungkin biasa digunakan dalam permasalahan seharihari Standard deviation (simpangan baku) biasa dipakai dalam permasalahan teknis 43
Measure of Variability () Simbol dan rumus Variance (ragam) variabel random kontinu merupakan momen kedua terhadap nilai rata-rata var E E E 44
Measure of Variability (3) Simbol dan rumus Variance (ragam) variabel random diskrit n variance populasi s n 1 variance sampel =VAR(...) estimasi nilai variance populasi 45
Measure of Variability (4) Kenapa penyebut n 1 menghasilkan nilai yang lebih besar daripada dibagi dengan n; ini untuk mengompensasi kecenderungan variabilitas sampel yang lebih kecil daripada variabilitas populasi dari sisi praktis, hal ini juga menunjukkan variabilitas dari sampel beranggota 1 adalah tidak ada (tidak ada variabilitas dari 1 score) 46
Measure of Variability (5) s n 1 Cobalah Saudara uraikan s n n 1 47
http://istiarto.staff.ugm.ac.id 48 Measure of Variability (6) 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n n n s 1-Sep-14
Measure of Variability (7) Simbol dan rumus Standard deviation (deviasi standar, simpangan baku) s n n 1 deviasi standar populasi =STDEV.S(...) deviasi standar sampel estimasi nilai deviasi standar populasi 49
Measure of Variability (8) Coefficient of variation c v s catatan var var var c 0 c c var a b b var 50
Simetri mode = median = mean simetris mode median mean positive skew negative skew 51
Simetri skewnesspopulasi skewnesssampel skewnesscoefficient, c s s mo n mo M 3 n 1n 3 s dalam persamaan di atas: n = jumlah sampel M 3 = momen ke-3 (sampel) s = simpangan baku (sampel) 5
Peakedness leptokurtic, k > 3, e > 0 normal, mesokurtic, k = 3, e > 0 platykurtic, k < 3, e < 0 kurtosis: k k M s 4 4 4 e k 3 (populasi) (sampel) 53
Sample Moments Lihat catatan: ST Sample moments 54
Some Measures of An Individual in A Population (1) z scores z Percentile rank z s untuk menunjukkan posisi suatu score dalam populasi PR B 1 n E 100 B = jumlah score yang bernilai di bawah E = jumlah score yang bernilai sama dengan n = jumlah score seluruhnya untuk populasi besar 55
Some Measures of An Individual in A Population () Beberapa fungsi di dalam MS Ecel =RANK(...) posisi suatu nilai (angka) pada suatu urutan angka =PERCENTILE(...) nilai percentile dalam suatu kisaran angka =PERCENTRANK(...) posisi suatu nilai (angka) dalam suatu urutan angka, dalam persen B ( B A) 100 B = jumlah score yang bernilai lebih kecil daripada A = jumlah score yang bernilai lebih besar daripada perhatikan perbedaannya dengan PR 56
57