Dasar-dasar Statistika Pemodelan Sistem

Transkripsi

1 Dasar-dasar Statistika Pemodelan Sistem Kuliah Pemodelan Sistem Semester Genap MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Januari 2016 MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

2 Acknowledgements Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut: 1 Simulation Modeling and Analysis, Edisi 3, 2000, oleh A. M. Law, W. D. Kelton (acuan utama). 2 Elements of Stochastic Process, oleh B. S. Gottfried. 3 Discrete-Event Simulation, Edisi 4, oleh J. Banks, J. S. Carson II, B. L. Nelson, D. M. Nicol. 4 Introduction to Queueing Theory, Edisi 2, oleh R. B. Cooper. 5 Queueing Systems, oleh I. Adan, J. Resing. 6 Slide kuliah Probabilitas Terapan (2009) dan Statistika & Probabilitas (2013) di Fasilkom UI. 7 Slide kuliah Pemodelan Sistem di Telkom University oleh Tim Dosen Pemodelan dan Simulasi. 8 Wikipedia. Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukan untuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Anda memiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirim ke <pleasedontspam>@telkomuniversity.ac.id. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

3 Bahasan 1 Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang 2 Variabel Acak (Random Variable) 3 Fungsi Distribusi Peluang (Probability Distribution Function) 4 Ukuran Pemusatan Data 5 Variansi dan Standar Deviasi 6 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit 7 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu 8 Statistika pada Pemodelan Sistem MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

4 Bahasan Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang 1 Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang 2 Variabel Acak (Random Variable) 3 Fungsi Distribusi Peluang (Probability Distribution Function) 4 Ukuran Pemusatan Data 5 Variansi dan Standar Deviasi 6 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit 7 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu 8 Statistika pada Pemodelan Sistem MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

5 Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Teori peluang (probabilitas) diperlukan untuk menganalisis kejadian yang bersifat non-deterministik. Definisi Percobaan atau eksperimen merupakan suatu proses yang menghasilkan data. Data yang dihasilkan juga disebut sebagai kejadian (event). Ruang sampel (sample space) S merupakan himpunan yang berisi semua kemungkinan elementer/ kejadian elementer (elementary event) yang dapat terjadi pada suatu percobaan. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

6 Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Contoh Ruang Sampel dan Kejadian Contoh Diberikan dua buah uang koin, setiap koin memiliki dua sisi, yaitu sisi angka (a) dan sisi gambar (g). Dari percobaan pelemparan dua uang koin secara bersamaan, kita memiliki ruang sampel MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

7 Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Contoh Ruang Sampel dan Kejadian Contoh Diberikan dua buah uang koin, setiap koin memiliki dua sisi, yaitu sisi angka (a) dan sisi gambar (g). Dari percobaan pelemparan dua uang koin secara bersamaan, kita memiliki ruang sampel S = {aa, ag, ga, gg}. Suatu kejadian merupakan himpunan bagian (subset) dari S. Misalkan E merupakan kejadian pada percobaan pelemparan dua uang koin di mana salah satu uang koin tersebut menampilkan sisi angka (a), maka E = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

8 Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Contoh Ruang Sampel dan Kejadian Contoh Diberikan dua buah uang koin, setiap koin memiliki dua sisi, yaitu sisi angka (a) dan sisi gambar (g). Dari percobaan pelemparan dua uang koin secara bersamaan, kita memiliki ruang sampel S = {aa, ag, ga, gg}. Suatu kejadian merupakan himpunan bagian (subset) dari S. Misalkan E merupakan kejadian pada percobaan pelemparan dua uang koin di mana salah satu uang koin tersebut menampilkan sisi angka (a), maka E = {aa, ag, ga}. Contoh MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

9 Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Contoh Ruang Sampel dan Kejadian Contoh Diberikan dua buah uang koin, setiap koin memiliki dua sisi, yaitu sisi angka (a) dan sisi gambar (g). Dari percobaan pelemparan dua uang koin secara bersamaan, kita memiliki ruang sampel S = {aa, ag, ga, gg}. Suatu kejadian merupakan himpunan bagian (subset) dari S. Misalkan E merupakan kejadian pada percobaan pelemparan dua uang koin di mana salah satu uang koin tersebut menampilkan sisi angka (a), maka E = {aa, ag, ga}. Contoh Diberikan sebuah dadu, yang setiap sisinya diberi angka 1 6. Dari percobaan pelemparan dadu tersebut kita memiliki ruang sampel S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

10 Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Kejadian Saling Lepas Definisi Dua kejadian A S dan B S dikatakan saling lepas (mutually exclusive) bila A B =. Contoh MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

11 Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Kejadian Saling Lepas Definisi Dua kejadian A S dan B S dikatakan saling lepas (mutually exclusive) bila A B =. Contoh Pada pelemparan sebuah dadu, misalkan E i menyatakan kejadian di mana angka i muncul pada bagian atas dadu, maka kita memiliki E 1 E 2 =. Secara umum E i E j = untuk i j. Definisi MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

12 Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Kejadian Saling Lepas Definisi Dua kejadian A S dan B S dikatakan saling lepas (mutually exclusive) bila A B =. Contoh Pada pelemparan sebuah dadu, misalkan E i menyatakan kejadian di mana angka i muncul pada bagian atas dadu, maka kita memiliki E 1 E 2 =. Secara umum E i E j = untuk i j. Definisi Diberikan suatu kejadian E dari suatu percobaan S, titik sampel pada E adalah anggota pada E. Contoh MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

13 Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Kejadian Saling Lepas Definisi Dua kejadian A S dan B S dikatakan saling lepas (mutually exclusive) bila A B =. Contoh Pada pelemparan sebuah dadu, misalkan E i menyatakan kejadian di mana angka i muncul pada bagian atas dadu, maka kita memiliki E 1 E 2 =. Secara umum E i E j = untuk i j. Definisi Diberikan suatu kejadian E dari suatu percobaan S, titik sampel pada E adalah anggota pada E. Contoh Misalkan pada pelemparan sebuah dadu E odd menyatakan kejadian di mana angka ganjil muncul pada bagian atas dadu, maka kita memiliki E odd = {1, 3, 5}. Dalam hal ini 1, 3, maupun 5 adalah titik sampel dari kejadian E odd. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

14 Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Dasar-dasar Fungsi Peluang dan Sifat-sifatnya Definisi Suatu fungsi distribusi peluang (probability distribution function) pada ruang sampel S adalah fungsi P ( ) atau Pr ( ) yang memetakan setiap kejadian pada S ke bilangan real (R) dengan sifat-sifat: MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

15 Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Dasar-dasar Fungsi Peluang dan Sifat-sifatnya Definisi Suatu fungsi distribusi peluang (probability distribution function) pada ruang sampel S adalah fungsi P ( ) atau Pr ( ) yang memetakan setiap kejadian pada S ke bilangan real (R) dengan sifat-sifat: 1 0 P (A) 1 untuk setiap kejadian A pada S MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

16 Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Dasar-dasar Fungsi Peluang dan Sifat-sifatnya Definisi Suatu fungsi distribusi peluang (probability distribution function) pada ruang sampel S adalah fungsi P ( ) atau Pr ( ) yang memetakan setiap kejadian pada S ke bilangan real (R) dengan sifat-sifat: 1 0 P (A) 1 untuk setiap kejadian A pada S 2 P (S) = 1 MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

17 Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Dasar-dasar Fungsi Peluang dan Sifat-sifatnya Definisi Suatu fungsi distribusi peluang (probability distribution function) pada ruang sampel S adalah fungsi P ( ) atau Pr ( ) yang memetakan setiap kejadian pada S ke bilangan real (R) dengan sifat-sifat: 1 0 P (A) 1 untuk setiap kejadian A pada S 2 P (S) = 1 3 P (A B) = P (A) + P (B) apabila A dan B adalah kejadian yang saling lepas. Selanjutnya P (A) atau Pr (A) dikatakan sebagai peluang dari kejadian A. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

18 Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Teorema Untuk setiap kejadian A dan B pada ruang sampel S berlaku P (A B) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

19 Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Teorema Untuk setiap kejadian A dan B pada ruang sampel S berlaku P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A) + P (B). Teorema Ketika S dapat dicacah (countable), maka P (A) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

20 Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Teorema Untuk setiap kejadian A dan B pada ruang sampel S berlaku P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A) + P (B). Teorema Ketika S dapat dicacah (countable), maka P (A) = P (s) = Pr (s). s A s A MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

21 Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Latihan Latihan Diberikan dua buah dadu yang setiap sisinya dinomori angka 1 6. Jika peluang munculnya angka i pada masing-masing dadu uniform (seragam), tentukan peluang dari kejadian: jumlah angka yang dihasilkan adalah 4 atau kedua dadu menampilkan angka yang sama. Solusi: Misalkan S = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

22 Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Latihan Latihan Diberikan dua buah dadu yang setiap sisinya dinomori angka 1 6. Jika peluang munculnya angka i pada masing-masing dadu uniform (seragam), tentukan peluang dari kejadian: jumlah angka yang dihasilkan adalah 4 atau kedua dadu menampilkan angka yang sama. Solusi: Misalkan S = {(x, y) x angka dadu pertama dan y angka dadu ke dua}. Kita memiliki S = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

23 Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Latihan Latihan Diberikan dua buah dadu yang setiap sisinya dinomori angka 1 6. Jika peluang munculnya angka i pada masing-masing dadu uniform (seragam), tentukan peluang dari kejadian: jumlah angka yang dihasilkan adalah 4 atau kedua dadu menampilkan angka yang sama. Solusi: Misalkan S = {(x, y) x angka dadu pertama dan y angka dadu ke dua}. Kita memiliki S = 36. Misalkan A : kejadian di mana jumlah angka yang dihasilkan adalah 4, maka A = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

24 Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Latihan Latihan Diberikan dua buah dadu yang setiap sisinya dinomori angka 1 6. Jika peluang munculnya angka i pada masing-masing dadu uniform (seragam), tentukan peluang dari kejadian: jumlah angka yang dihasilkan adalah 4 atau kedua dadu menampilkan angka yang sama. Solusi: Misalkan S = {(x, y) x angka dadu pertama dan y angka dadu ke dua}. Kita memiliki S = 36. Misalkan A : kejadian di mana jumlah angka yang dihasilkan adalah 4, maka A = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}. Misalkan B : kejadian di mana kedua dadu menampilkan angka yang sama, maka B = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

25 Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Latihan Latihan Diberikan dua buah dadu yang setiap sisinya dinomori angka 1 6. Jika peluang munculnya angka i pada masing-masing dadu uniform (seragam), tentukan peluang dari kejadian: jumlah angka yang dihasilkan adalah 4 atau kedua dadu menampilkan angka yang sama. Solusi: Misalkan S = {(x, y) x angka dadu pertama dan y angka dadu ke dua}. Kita memiliki S = 36. Misalkan A : kejadian di mana jumlah angka yang dihasilkan adalah 4, maka A = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}. Misalkan B : kejadian di mana kedua dadu menampilkan angka yang sama, maka B = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

26 Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Misalkan A B : MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

27 Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Misalkan A B : kejadian di mana jumlah angka yang dihasilkan adalah 4 dan dadu menampilkan angka yang sama, maka A B = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

28 Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Misalkan A B : kejadian di mana jumlah angka yang dihasilkan adalah 4 dan dadu menampilkan angka yang sama, maka A B = {(2, 2)} Karena peluang pada masing-masing dadu uniform, maka P (A) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

29 Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Misalkan A B : kejadian di mana jumlah angka yang dihasilkan adalah 4 dan dadu menampilkan angka yang sama, maka A B = {(2, 2)} Karena peluang pada masing-masing dadu uniform, maka P (A) = A S = 3 36, P (B) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

30 Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Misalkan A B : kejadian di mana jumlah angka yang dihasilkan adalah 4 dan dadu menampilkan angka yang sama, maka A B = {(2, 2)} Karena peluang pada masing-masing dadu uniform, maka P (A) = A S = 3 36, P (B) = B S = 6 36, dan P (A B) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

31 Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Misalkan A B : kejadian di mana jumlah angka yang dihasilkan adalah 4 dan dadu menampilkan angka yang sama, maka A B = {(2, 2)} Karena peluang pada masing-masing dadu uniform, maka P (A) = A S = 3 36, P (B) = B S = 6 A B 36, dan P (A B) = S = Misalkan A B : MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

32 Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Misalkan A B : kejadian di mana jumlah angka yang dihasilkan adalah 4 dan dadu menampilkan angka yang sama, maka A B = {(2, 2)} Karena peluang pada masing-masing dadu uniform, maka P (A) = A S = 3 36, P (B) = B S = 6 36, dan P (A B) = A B S = Misalkan A B : kejadian di mana jumlah angka yang dihasilkan adalah 4 atau dadu menampilkan angka yang sama. Kita memiliki P (A B) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

33 Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang Misalkan A B : kejadian di mana jumlah angka yang dihasilkan adalah 4 dan dadu menampilkan angka yang sama, maka A B = {(2, 2)} Karena peluang pada masing-masing dadu uniform, maka P (A) = A S = 3 36, P (B) = B S = 6 36, dan P (A B) = A B S = Misalkan A B : kejadian di mana jumlah angka yang dihasilkan adalah 4 atau dadu menampilkan angka yang sama. Kita memiliki P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) = = 8 36 = 2 9. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

34 Bahasan Variabel Acak (Random Variable) 1 Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang 2 Variabel Acak (Random Variable) 3 Fungsi Distribusi Peluang (Probability Distribution Function) 4 Ukuran Pemusatan Data 5 Variansi dan Standar Deviasi 6 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit 7 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu 8 Statistika pada Pemodelan Sistem MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

35 Variabel Acak (Random Variable) Variabel Acak (Random Variable) Kita telah melihat bahwa ruang sampel merupakan himpunan yang beranggotakan semua kejadian elementer (elementary event) yang mungkin terjadi pada suatu percobaan. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

36 Variabel Acak (Random Variable) Variabel Acak (Random Variable) Kita telah melihat bahwa ruang sampel merupakan himpunan yang beranggotakan semua kejadian elementer (elementary event) yang mungkin terjadi pada suatu percobaan. Tidak selamanya ruang sampel berisi elemen-elemen numerik, pada percobaan pelemparan dua uang koin secara bersamaan, kita memiliki ruang sampel MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

37 Variabel Acak (Random Variable) Variabel Acak (Random Variable) Kita telah melihat bahwa ruang sampel merupakan himpunan yang beranggotakan semua kejadian elementer (elementary event) yang mungkin terjadi pada suatu percobaan. Tidak selamanya ruang sampel berisi elemen-elemen numerik, pada percobaan pelemparan dua uang koin secara bersamaan, kita memiliki ruang sampel S = {aa, ag, ga, gg}. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

38 Variabel Acak (Random Variable) Variabel Acak (Random Variable) Kita telah melihat bahwa ruang sampel merupakan himpunan yang beranggotakan semua kejadian elementer (elementary event) yang mungkin terjadi pada suatu percobaan. Tidak selamanya ruang sampel berisi elemen-elemen numerik, pada percobaan pelemparan dua uang koin secara bersamaan, kita memiliki ruang sampel S = {aa, ag, ga, gg}. Untuk mempermudah analisis matematika dalam perhitungan statistika, kita perlu memetakan setiap titik sampel pada suatu nilai numerik. Nilai numerik yang mewakili titik sampel ini dinamakan sebagai variabel acak (random variable). MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

39 Variabel Acak (Random Variable) Definisi Misalkan S adalah suatu ruang sampel, variabel acak pada S merupakan pemetaan X : S R yang memetakan setiap titik sampel s S ke suatu nilai numerik X (s). MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

40 Variabel Acak (Random Variable) Definisi Misalkan S adalah suatu ruang sampel, variabel acak pada S merupakan pemetaan X : S R yang memetakan setiap titik sampel s S ke suatu nilai numerik X (s). Variabel acak merepresentasikan suatu ketidakpastian. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

41 Variabel Acak (Random Variable) Definisi Misalkan S adalah suatu ruang sampel, variabel acak pada S merupakan pemetaan X : S R yang memetakan setiap titik sampel s S ke suatu nilai numerik X (s). Variabel acak merepresentasikan suatu ketidakpastian. Biasanya variabel acak ditulis dengan huruf besar X, Y, Z, atau dengan indeks bila perlu: X 1, X 2, X 3,.... Nilai dari variabel acak biasanya ditulis dalam huruf kecil x, y, z atau dengan indeks bila perlu: x 1, x 2, x 3,.... Variabel acak dapat berupa variabel acak diskrit atau kontinu. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

42 Variabel Acak (Random Variable) Definisi Misalkan S adalah suatu ruang sampel, variabel acak pada S merupakan pemetaan X : S R yang memetakan setiap titik sampel s S ke suatu nilai numerik X (s). Variabel acak merepresentasikan suatu ketidakpastian. Biasanya variabel acak ditulis dengan huruf besar X, Y, Z, atau dengan indeks bila perlu: X 1, X 2, X 3,.... Nilai dari variabel acak biasanya ditulis dalam huruf kecil x, y, z atau dengan indeks bila perlu: x 1, x 2, x 3,.... Variabel acak dapat berupa variabel acak diskrit atau kontinu. Suatu variabel acak X yang memetakan titik-titik sampel s S dikatakan variabel acak diskrit bila nilai dari X (s) dapat dicacah (contohnya..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...) MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

43 Variabel Acak (Random Variable) Definisi Misalkan S adalah suatu ruang sampel, variabel acak pada S merupakan pemetaan X : S R yang memetakan setiap titik sampel s S ke suatu nilai numerik X (s). Variabel acak merepresentasikan suatu ketidakpastian. Biasanya variabel acak ditulis dengan huruf besar X, Y, Z, atau dengan indeks bila perlu: X 1, X 2, X 3,.... Nilai dari variabel acak biasanya ditulis dalam huruf kecil x, y, z atau dengan indeks bila perlu: x 1, x 2, x 3,.... Variabel acak dapat berupa variabel acak diskrit atau kontinu. Suatu variabel acak X yang memetakan titik-titik sampel s S dikatakan variabel acak diskrit bila nilai dari X (s) dapat dicacah (contohnya..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...) Suatu variabel acak X yang memetakan titik-titik sampel s S dikatakan variabel acak kontinu bila nilai dari X (s) tidak dapat dicacah (contohnya seluruh bilangan real a yang memenuhi 0 a 1). MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

44 Variabel Acak (Random Variable) Variabel Acak Diskrit (Discrete Random Variable) Variabel acak diskrit merupakan variabel acak yang nilainya dapat dicacah, dapat terhingga atau tak terhingga. Contoh variabel acak diskrit: MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

45 Variabel Acak (Random Variable) Variabel Acak Diskrit (Discrete Random Variable) Variabel acak diskrit merupakan variabel acak yang nilainya dapat dicacah, dapat terhingga atau tak terhingga. Contoh variabel acak diskrit: Banyaknya orang yang mengantri di ATM pada selang waktu tertentu. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

46 Variabel Acak (Random Variable) Variabel Acak Diskrit (Discrete Random Variable) Variabel acak diskrit merupakan variabel acak yang nilainya dapat dicacah, dapat terhingga atau tak terhingga. Contoh variabel acak diskrit: Banyaknya orang yang mengantri di ATM pada selang waktu tertentu. Banyaknya produk yang rusak dalam selang waktu tertentu. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

47 Variabel Acak (Random Variable) Variabel Acak Diskrit (Discrete Random Variable) Variabel acak diskrit merupakan variabel acak yang nilainya dapat dicacah, dapat terhingga atau tak terhingga. Contoh variabel acak diskrit: Banyaknya orang yang mengantri di ATM pada selang waktu tertentu. Banyaknya produk yang rusak dalam selang waktu tertentu. Hasil yang mungkin dari pelemparan n buah uang koin. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

48 Variabel Acak (Random Variable) Variabel Acak Diskrit (Discrete Random Variable) Variabel acak diskrit merupakan variabel acak yang nilainya dapat dicacah, dapat terhingga atau tak terhingga. Contoh variabel acak diskrit: Banyaknya orang yang mengantri di ATM pada selang waktu tertentu. Banyaknya produk yang rusak dalam selang waktu tertentu. Hasil yang mungkin dari pelemparan n buah uang koin. Hari di mana turun hujan dalam satu pekan (Minggu, Senin, Selasa,..., Sabtu). MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

49 Variabel Acak (Random Variable) Ruang Sampel Diskrit Ruang sampel diskrit merupakan ruang sampel yang elemen-elemennya dapat dicacah. Biasanya ruang sampel diskrit yang ditinjau dalam simulasi berhingga. Contoh Misalkan terdapat eksperimen pelemparan 3 uang koin yang masing-masing memiliki dua sisi, yaitu sisi angka (a) dan sisi gambar (g). Hasil dari eksperimen adalah sisi uang koin yang nampak di atas. Ruang sampel dari kejadian ini adalah MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

50 Variabel Acak (Random Variable) Ruang Sampel Diskrit Ruang sampel diskrit merupakan ruang sampel yang elemen-elemennya dapat dicacah. Biasanya ruang sampel diskrit yang ditinjau dalam simulasi berhingga. Contoh Misalkan terdapat eksperimen pelemparan 3 uang koin yang masing-masing memiliki dua sisi, yaitu sisi angka (a) dan sisi gambar (g). Hasil dari eksperimen adalah sisi uang koin yang nampak di atas. Ruang sampel dari kejadian ini adalah S = {aaa, aag, aga, gaa, agg, gag, gga, ggg}. Beberapa contoh kejadian (event atau outcome) dari eksperimen ini adalah: tepat dua uang koin memberikan tampak atas angka, misalkan kejadian ini dinotasikan dengan A, maka A = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

51 Variabel Acak (Random Variable) Ruang Sampel Diskrit Ruang sampel diskrit merupakan ruang sampel yang elemen-elemennya dapat dicacah. Biasanya ruang sampel diskrit yang ditinjau dalam simulasi berhingga. Contoh Misalkan terdapat eksperimen pelemparan 3 uang koin yang masing-masing memiliki dua sisi, yaitu sisi angka (a) dan sisi gambar (g). Hasil dari eksperimen adalah sisi uang koin yang nampak di atas. Ruang sampel dari kejadian ini adalah S = {aaa, aag, aga, gaa, agg, gag, gga, ggg}. Beberapa contoh kejadian (event atau outcome) dari eksperimen ini adalah: tepat dua uang koin memberikan tampak atas angka, misalkan kejadian ini dinotasikan dengan A, maka A = {aag, aga, gaa}; setidaknya dua uang koin memberikan tampak atas angka, misalkan kejadian ini dinotasikan dengan B, maka B = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

52 Variabel Acak (Random Variable) Ruang Sampel Diskrit Ruang sampel diskrit merupakan ruang sampel yang elemen-elemennya dapat dicacah. Biasanya ruang sampel diskrit yang ditinjau dalam simulasi berhingga. Contoh Misalkan terdapat eksperimen pelemparan 3 uang koin yang masing-masing memiliki dua sisi, yaitu sisi angka (a) dan sisi gambar (g). Hasil dari eksperimen adalah sisi uang koin yang nampak di atas. Ruang sampel dari kejadian ini adalah S = {aaa, aag, aga, gaa, agg, gag, gga, ggg}. Beberapa contoh kejadian (event atau outcome) dari eksperimen ini adalah: tepat dua uang koin memberikan tampak atas angka, misalkan kejadian ini dinotasikan dengan A, maka A = {aag, aga, gaa}; setidaknya dua uang koin memberikan tampak atas angka, misalkan kejadian ini dinotasikan dengan B, maka B = {aaa, aag, aga, gaa}; kita memiliki A B. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

53 Variabel Acak (Random Variable) Variabel Acak Kontinu (Continuous Random Variable) Variabel acak kontinu merupakan variabel acak yang nilainya tidak dapat dicacah, dapat terbatas (contohnya seluruh bilangan real a yang memenuhi 0 a 1) atau tidak terbatas. Contoh variabel acak kontinu: MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

54 Variabel Acak (Random Variable) Variabel Acak Kontinu (Continuous Random Variable) Variabel acak kontinu merupakan variabel acak yang nilainya tidak dapat dicacah, dapat terbatas (contohnya seluruh bilangan real a yang memenuhi 0 a 1) atau tidak terbatas. Contoh variabel acak kontinu: Selisih waktu kedatangan antar pelanggan pada ATM. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

55 Variabel Acak (Random Variable) Variabel Acak Kontinu (Continuous Random Variable) Variabel acak kontinu merupakan variabel acak yang nilainya tidak dapat dicacah, dapat terbatas (contohnya seluruh bilangan real a yang memenuhi 0 a 1) atau tidak terbatas. Contoh variabel acak kontinu: Selisih waktu kedatangan antar pelanggan pada ATM. Lama waktu hidup (lifetime) suatu barang elektronik. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

56 Variabel Acak (Random Variable) Variabel Acak Kontinu (Continuous Random Variable) Variabel acak kontinu merupakan variabel acak yang nilainya tidak dapat dicacah, dapat terbatas (contohnya seluruh bilangan real a yang memenuhi 0 a 1) atau tidak terbatas. Contoh variabel acak kontinu: Selisih waktu kedatangan antar pelanggan pada ATM. Lama waktu hidup (lifetime) suatu barang elektronik. Hasil yang mungkin dari pengukuran temperatur. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

57 Variabel Acak (Random Variable) Variabel Acak Kontinu (Continuous Random Variable) Variabel acak kontinu merupakan variabel acak yang nilainya tidak dapat dicacah, dapat terbatas (contohnya seluruh bilangan real a yang memenuhi 0 a 1) atau tidak terbatas. Contoh variabel acak kontinu: Selisih waktu kedatangan antar pelanggan pada ATM. Lama waktu hidup (lifetime) suatu barang elektronik. Hasil yang mungkin dari pengukuran temperatur. Waktu terjadinya suatu fenomena alam (secara rinci). MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

58 Variabel Acak (Random Variable) Ruang Sampel Kontinu Ruang sampel kontinu merupakan ruang sampel yang elemen-elemennya dapat direpresentasikan sebagai bilangan real dalam suatu interval, tidak dapat dicacah, dan tidak berhingga. Contoh Misalkan terdapat eksperimen menghitung tinggi badan siswa SD. Hasil eksperimen adalah tinggi badan siswa SD yang dapat direpresentasikan dalam selang bilangan real [0, 150], dengan nilai x [0, 150] diperoleh dari pengukuran tinggi badan siswa (dalam cm). Ruang sampel kejadian ini adalah MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

59 Variabel Acak (Random Variable) Ruang Sampel Kontinu Ruang sampel kontinu merupakan ruang sampel yang elemen-elemennya dapat direpresentasikan sebagai bilangan real dalam suatu interval, tidak dapat dicacah, dan tidak berhingga. Contoh Misalkan terdapat eksperimen menghitung tinggi badan siswa SD. Hasil eksperimen adalah tinggi badan siswa SD yang dapat direpresentasikan dalam selang bilangan real [0, 150], dengan nilai x [0, 150] diperoleh dari pengukuran tinggi badan siswa (dalam cm). Ruang sampel kejadian ini adalah S = [0, 150] = {a 0 a 150}. Beberapa contoh kejadian (event atau outcome) dari eksperimen ini adalah: beberapa siswa SD memiliki tinggi di antara 90 cm 120 cm, misalkan kejadian ini dinotasikan dengan A, maka A = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

60 Variabel Acak (Random Variable) Ruang Sampel Kontinu Ruang sampel kontinu merupakan ruang sampel yang elemen-elemennya dapat direpresentasikan sebagai bilangan real dalam suatu interval, tidak dapat dicacah, dan tidak berhingga. Contoh Misalkan terdapat eksperimen menghitung tinggi badan siswa SD. Hasil eksperimen adalah tinggi badan siswa SD yang dapat direpresentasikan dalam selang bilangan real [0, 150], dengan nilai x [0, 150] diperoleh dari pengukuran tinggi badan siswa (dalam cm). Ruang sampel kejadian ini adalah S = [0, 150] = {a 0 a 150}. Beberapa contoh kejadian (event atau outcome) dari eksperimen ini adalah: beberapa siswa SD memiliki tinggi di antara 90 cm 120 cm, misalkan kejadian ini dinotasikan dengan A, maka A = {t 90 t 120}; beberapa siswa SD memiliki tinggi di antara 90 cm 140 cm, misalkan kejadian ini dinotasikan dengan B, maka B = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

61 Variabel Acak (Random Variable) Ruang Sampel Kontinu Ruang sampel kontinu merupakan ruang sampel yang elemen-elemennya dapat direpresentasikan sebagai bilangan real dalam suatu interval, tidak dapat dicacah, dan tidak berhingga. Contoh Misalkan terdapat eksperimen menghitung tinggi badan siswa SD. Hasil eksperimen adalah tinggi badan siswa SD yang dapat direpresentasikan dalam selang bilangan real [0, 150], dengan nilai x [0, 150] diperoleh dari pengukuran tinggi badan siswa (dalam cm). Ruang sampel kejadian ini adalah S = [0, 150] = {a 0 a 150}. Beberapa contoh kejadian (event atau outcome) dari eksperimen ini adalah: beberapa siswa SD memiliki tinggi di antara 90 cm 120 cm, misalkan kejadian ini dinotasikan dengan A, maka A = {t 90 t 120}; beberapa siswa SD memiliki tinggi di antara 90 cm 140 cm, misalkan kejadian ini dinotasikan dengan B, maka B = {t 90 t 140}; kita memiliki A B. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

62 Bahasan Fungsi Distribusi Peluang (Probability Distribution Function) 1 Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang 2 Variabel Acak (Random Variable) 3 Fungsi Distribusi Peluang (Probability Distribution Function) 4 Ukuran Pemusatan Data 5 Variansi dan Standar Deviasi 6 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit 7 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu 8 Statistika pada Pemodelan Sistem MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

63 Fungsi Distribusi Peluang (Probability Distribution Function) Fungsi Distribusi Peluang (Probability Distribution Function) Fungsi distribusi peluang (probability distribution function) merupakan fungsi yang digunakan untuk mendeskripsikan suatu distribusi peluang (probability distribution). Fungsi distribusi peluang dapat berupa: 1 fungsi massa peluang (probability mass function, pmf ) untuk variabel acak diskrit; 2 fungsi densitas peluang (probability density function, pdf ) untuk variabel acak kontinu; 3 fungsi distribusi kumulatif (cumulative distribution function, cdf ) untuk variabel acak diskrit maupun kontinu. Biasanya istilah fungsi distribusi peluang merujuk pada cdf. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

64 Fungsi Distribusi Peluang (Probability Distribution Function) pmf dan cdf dari Variabel Acak Diskrit pmf Variabel Acak Diskrit Misalkan S adalah suatu ruang sampel dan X : S R adalah suatu variabel acak diskrit. Fungsi massa peluang untuk X adalah fungsi f X : R [0, 1] yang didefinisikan sebagai f X (x) = P (X = x) = Pr (X = x) = P ({s S X (s) = x}) = Pr ({s S X (s) = x}) dan memenuhi sifat f X (x) = 1. x Definisi (cdf Variabel Acak Diskrit) Misalkan S adalah suatu ruang sampel dan X : S R adalah suatu variabel acak diskrit. Fungsi distribusi kumulatif untuk X adalah F X (x) = P (X x) = Pr (X x) = y x P (X = y) = y x Pr (X = y). MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

65 Fungsi Distribusi Peluang (Probability Distribution Function) Variabel Acak Diskrit dan pmf-nya Contoh Ruang sampel dari pelemparan sebuah uang koin adalah S = {a, g} dengan a merepresentasikan sisi angka dan g merepresentasikan sisi gambar. Kita dapat mendefinisikan variabel acak X : S R sebagai X (x) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

66 Fungsi Distribusi Peluang (Probability Distribution Function) Variabel Acak Diskrit dan pmf-nya Contoh Ruang sampel dari pelemparan sebuah uang koin adalah S = {a, g} dengan a merepresentasikan sisi angka dan g merepresentasikan sisi gambar. Kita dapat mendefinisikan variabel acak X : S R sebagai X (x) = { 1, jika x = a 0, jika x = g. Kemudian pmf untuk X adalah f X (x) = P (X = x) = P ({s S X (s) = x}), dengan asumsi bahwa peluang munculnya a maupun g seragam (uniform), kita memiliki f X (1) = P (X = 1) = P ({s S X (s) = 1}) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

67 Fungsi Distribusi Peluang (Probability Distribution Function) Variabel Acak Diskrit dan pmf-nya Contoh Ruang sampel dari pelemparan sebuah uang koin adalah S = {a, g} dengan a merepresentasikan sisi angka dan g merepresentasikan sisi gambar. Kita dapat mendefinisikan variabel acak X : S R sebagai X (x) = { 1, jika x = a 0, jika x = g. Kemudian pmf untuk X adalah f X (x) = P (X = x) = P ({s S X (s) = x}), dengan asumsi bahwa peluang munculnya a maupun g seragam (uniform), kita memiliki f X (1) = P (X = 1) = P ({s S X (s) = 1}) = P ({a}) = 1 2, f X (0) = P (X = 0) = P ({s S X (s) = 0}) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

68 Fungsi Distribusi Peluang (Probability Distribution Function) Variabel Acak Diskrit dan pmf-nya Contoh Ruang sampel dari pelemparan sebuah uang koin adalah S = {a, g} dengan a merepresentasikan sisi angka dan g merepresentasikan sisi gambar. Kita dapat mendefinisikan variabel acak X : S R sebagai X (x) = { 1, jika x = a 0, jika x = g. Kemudian pmf untuk X adalah f X (x) = P (X = x) = P ({s S X (s) = x}), dengan asumsi bahwa peluang munculnya a maupun g seragam (uniform), kita memiliki f X (1) = P (X = 1) = P ({s S X (s) = 1}) = P ({a}) = 1 2, f X (0) = P (X = 0) = P ({s S X (s) = 0}) = P ({g}) = 1 2. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

69 Fungsi Distribusi Peluang (Probability Distribution Function) pdf dan cdf dari Variabel Acak Kontinu pdf Variabel Acak Kontinu Misalkan S adalah suatu ruang sampel dan X : S R adalah suatu variabel acak kontinu. Fungsi densitas peluang untuk X adalah fungsi f X : R [0, 1] yang mendeskripsikan peluang dari nilai variabel acak pada selang tertentu. Kita memiliki dan memenuhi sifat P (a X b) = Pr (a X b) = Definisi (cdf Variabel Acak Kontinu) f X (x) dx = 1. b a f X (x) dx Misalkan S adalah suatu ruang sampel dan X : S R adalah suatu variabel acak kontinu. Fungsi distribusi kumulatif untuk X adalah F X (x) = P (X x) = x f X (x) dx. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

70 Fungsi Distribusi Peluang (Probability Distribution Function) Variabel Acak Kontinu dan pdf-nya Contoh Ruang sampel dari tinggi badan siswa SD adalah S = {t 50 t 150} dengan t merepresentasikan tinggi badan dalam cm. Kita dapat mendefinisikan variabel acak X : S R sebagai X (t) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

71 Fungsi Distribusi Peluang (Probability Distribution Function) Variabel Acak Kontinu dan pdf-nya Contoh Ruang sampel dari tinggi badan siswa SD adalah S = {t 50 t 150} dengan t merepresentasikan tinggi badan dalam cm. Kita dapat mendefinisikan variabel acak X : S R sebagai X (t) = t. Kemudian pdf untuk X adalah suatu fungsi tertentu, contohnya jika X berdistribusi uniform (seragam) kontinu, maka f X (t) = { 1 100, jika 50 t 150 0, lainnya, dengan asumsi bahwa tinggi badan siswa SD berdistribusi uniform, kita dapat menghitung: peluang siswa SD memiliki tinggi di antara 100 cm 120 cm adalah MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

72 Fungsi Distribusi Peluang (Probability Distribution Function) Variabel Acak Kontinu dan pdf-nya Contoh Ruang sampel dari tinggi badan siswa SD adalah S = {t 50 t 150} dengan t merepresentasikan tinggi badan dalam cm. Kita dapat mendefinisikan variabel acak X : S R sebagai X (t) = t. Kemudian pdf untuk X adalah suatu fungsi tertentu, contohnya jika X berdistribusi uniform (seragam) kontinu, maka f X (t) = { 1 100, jika 50 t 150 0, lainnya, dengan asumsi bahwa tinggi badan siswa SD berdistribusi uniform, kita dapat menghitung: peluang siswa SD memiliki tinggi di antara 100 cm 120 cm adalah P (100 T 120) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

73 Fungsi Distribusi Peluang (Probability Distribution Function) Variabel Acak Kontinu dan pdf-nya Contoh Ruang sampel dari tinggi badan siswa SD adalah S = {t 50 t 150} dengan t merepresentasikan tinggi badan dalam cm. Kita dapat mendefinisikan variabel acak X : S R sebagai X (t) = t. Kemudian pdf untuk X adalah suatu fungsi tertentu, contohnya jika X berdistribusi uniform (seragam) kontinu, maka f X (t) = { 1 100, jika 50 t 150 0, lainnya, dengan asumsi bahwa tinggi badan siswa SD berdistribusi uniform, kita dapat menghitung: peluang siswa SD memiliki tinggi di antara 100 cm 120 cm adalah P (100 T 120) = dt = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

74 Fungsi Distribusi Peluang (Probability Distribution Function) Variabel Acak Kontinu dan pdf-nya Contoh Ruang sampel dari tinggi badan siswa SD adalah S = {t 50 t 150} dengan t merepresentasikan tinggi badan dalam cm. Kita dapat mendefinisikan variabel acak X : S R sebagai X (t) = t. Kemudian pdf untuk X adalah suatu fungsi tertentu, contohnya jika X berdistribusi uniform (seragam) kontinu, maka f X (t) = { 1 100, jika 50 t 150 0, lainnya, dengan asumsi bahwa tinggi badan siswa SD berdistribusi uniform, kita dapat menghitung: peluang siswa SD memiliki tinggi di antara 100 cm 120 cm adalah P (100 T 120) = dt = 1 5 = 0.2; peluang siswa SD memiliki tinggi di antara 90 cm 140 cm adalah MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

75 Fungsi Distribusi Peluang (Probability Distribution Function) Variabel Acak Kontinu dan pdf-nya Contoh Ruang sampel dari tinggi badan siswa SD adalah S = {t 50 t 150} dengan t merepresentasikan tinggi badan dalam cm. Kita dapat mendefinisikan variabel acak X : S R sebagai X (t) = t. Kemudian pdf untuk X adalah suatu fungsi tertentu, contohnya jika X berdistribusi uniform (seragam) kontinu, maka f X (t) = { 1 100, jika 50 t 150 0, lainnya, dengan asumsi bahwa tinggi badan siswa SD berdistribusi uniform, kita dapat menghitung: peluang siswa SD memiliki tinggi di antara 100 cm 120 cm adalah P (100 T 120) = dt = 1 5 = 0.2; peluang siswa SD memiliki tinggi di antara 90 cm 140 cm adalah P (90 T 140) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

76 Fungsi Distribusi Peluang (Probability Distribution Function) Variabel Acak Kontinu dan pdf-nya Contoh Ruang sampel dari tinggi badan siswa SD adalah S = {t 50 t 150} dengan t merepresentasikan tinggi badan dalam cm. Kita dapat mendefinisikan variabel acak X : S R sebagai X (t) = t. Kemudian pdf untuk X adalah suatu fungsi tertentu, contohnya jika X berdistribusi uniform (seragam) kontinu, maka f X (t) = { 1 100, jika 50 t 150 0, lainnya, dengan asumsi bahwa tinggi badan siswa SD berdistribusi uniform, kita dapat menghitung: peluang siswa SD memiliki tinggi di antara 100 cm 120 cm adalah P (100 T 120) = dt = 1 5 = 0.2; peluang siswa SD memiliki tinggi di antara 90 cm 140 cm adalah P (90 T 140) = dt = 90 MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

77 Fungsi Distribusi Peluang (Probability Distribution Function) Variabel Acak Kontinu dan pdf-nya Contoh Ruang sampel dari tinggi badan siswa SD adalah S = {t 50 t 150} dengan t merepresentasikan tinggi badan dalam cm. Kita dapat mendefinisikan variabel acak X : S R sebagai X (t) = t. Kemudian pdf untuk X adalah suatu fungsi tertentu, contohnya jika X berdistribusi uniform (seragam) kontinu, maka f X (t) = { 1 100, jika 50 t 150 0, lainnya, dengan asumsi bahwa tinggi badan siswa SD berdistribusi uniform, kita dapat menghitung: peluang siswa SD memiliki tinggi di antara 100 cm 120 cm adalah P (100 T 120) = dt = 1 5 = 0.2; peluang siswa SD memiliki tinggi di antara 90 cm 140 cm adalah P (90 T 140) = dt = 1 2 = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

78 Bahasan Ukuran Pemusatan Data 1 Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang 2 Variabel Acak (Random Variable) 3 Fungsi Distribusi Peluang (Probability Distribution Function) 4 Ukuran Pemusatan Data 5 Variansi dan Standar Deviasi 6 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit 7 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu 8 Statistika pada Pemodelan Sistem MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

79 Ukuran Pemusatan Data Ukuran Pemusatan Data (Measure of Central Tendency) Ukuran pemusatan data (measure of central tendency) dari suatu variabel acak X dapat dibagi menjadi: 1 Mean (ekspektasi), dinotasikan dengan E [X]. 2 Median (nilai tengah). 3 Modus (nilai yang (mungkin) paling sering muncul). MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

80 Mean (Ekspektasi) Ukuran Pemusatan Data Mean (Ekspektasi/ Rata-rata) Ekspektasi (mean atau rata-rata) dari suatu variabel acak X, dinotasikan dengan E [X], didefinisikan sebagai E [X] = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

81 Mean (Ekspektasi) Ukuran Pemusatan Data Mean (Ekspektasi/ Rata-rata) Ekspektasi (mean atau rata-rata) dari suatu variabel acak X, dinotasikan dengan E [X], didefinisikan sebagai E [X] = x xp (X = x) = x x Pr (x) = x xf X (x) (untuk variabel acak diskrit) E [X] = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

82 Mean (Ekspektasi) Ukuran Pemusatan Data Mean (Ekspektasi/ Rata-rata) Ekspektasi (mean atau rata-rata) dari suatu variabel acak X, dinotasikan dengan E [X], didefinisikan sebagai E [X] = x xp (X = x) = x x Pr (x) = x xf X (x) E [X] = (untuk variabel acak diskrit) xf X (x) dx (untuk variabel acak kontinu), dengan syarat: deret x xf X (x) konvergen absolut (yaitu x x f X (x) < ) untuk variabel acak diskrit; integral tak wajar xf X (x) konvergen (untuk variabel acak kontinu). MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

83 Ukuran Pemusatan Data Median dan Modus Median Median dari suatu variabel acak X adalah suatu nilai m dengan sifat P (X m) 1 2 dan P (X m) 1 2 Perhatikan bahwa untuk variabel acak kontinu P (X m) = 1 P (X m). Modus MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

84 Ukuran Pemusatan Data Median dan Modus Median Median dari suatu variabel acak X adalah suatu nilai m dengan sifat P (X m) 1 2 dan P (X m) 1 2 Perhatikan bahwa untuk variabel acak kontinu P (X m) = 1 P (X m). Modus Modus dari suatu variabel acak X adalah suatu nilai m dengan sifat f X (m) f X (x) untuk setiap x R. Bila X adalah variabel acak diskrit, maka modus adalah nilai m dengan sifat P (X = m) P (X = x) untuk setiap x R Pr (X = m) Pr (X = x) untuk setiap x R. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

85 Ukuran Pemusatan Data Latihan Latihan Diberikan sebuah dadu yang setiap sisinya diberi nomor 1 6. Seseorang melakukan percobaan dengan melempar dadu tersebut dan mengamati sisi yang menghadap ke atas. Jika peluang setiap sisi untuk menghadap ke atas adalah sama dan seragam, tentukan mean, median, dan modus dari eksperimen tersebut. Solusi: Misalkan ruang sampel percobaan adalah S = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

86 Ukuran Pemusatan Data Latihan Latihan Diberikan sebuah dadu yang setiap sisinya diberi nomor 1 6. Seseorang melakukan percobaan dengan melempar dadu tersebut dan mengamati sisi yang menghadap ke atas. Jika peluang setiap sisi untuk menghadap ke atas adalah sama dan seragam, tentukan mean, median, dan modus dari eksperimen tersebut. Solusi: Misalkan ruang sampel percobaan adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Selanjutnya definisikan variabel acak X (s) = s untuk setiap s S. Dengan asumsi bahwa peluang setiap sisi untuk menghadap ke atas adalah sama dan seragam (uniform), maka P (X = x) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

87 Ukuran Pemusatan Data Latihan Latihan Diberikan sebuah dadu yang setiap sisinya diberi nomor 1 6. Seseorang melakukan percobaan dengan melempar dadu tersebut dan mengamati sisi yang menghadap ke atas. Jika peluang setiap sisi untuk menghadap ke atas adalah sama dan seragam, tentukan mean, median, dan modus dari eksperimen tersebut. Solusi: Misalkan ruang sampel percobaan adalah S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Selanjutnya definisikan variabel acak X (s) = s untuk setiap s S. Dengan asumsi bahwa peluang setiap sisi untuk menghadap ke atas adalah sama dan seragam (uniform), maka P (X = x) = 1 untuk setiap x = 1, 2,..., 6. 6 MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

88 Ukuran Pemusatan Data Kita memiliki E [X] = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

89 Ukuran Pemusatan Data Kita memiliki E [X] = 6 xp (X = x) = x=1 MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

90 Ukuran Pemusatan Data Kita memiliki E [X] = 6 xp (X = x) = x=1 6 x=1 x 1 6 = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

91 Ukuran Pemusatan Data Kita memiliki E [X] = = 6 xp (X = x) = x=1 6 x=1 x 1 6 = x x=1 MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

92 Ukuran Pemusatan Data Kita memiliki E [X] = 6 xp (X = x) = x=1 6 x=1 x 1 6 = x x=1 = 1 6 ( ) = 7 2 = 3.5 Ini berarti mean (nilai ekspektasi) dari percobaan pelemparan dadu adalah 3.5. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

93 Ukuran Pemusatan Data Kita memiliki E [X] = 6 xp (X = x) = x=1 6 x=1 x 1 6 = x x=1 = 1 6 ( ) = 7 2 = 3.5 Ini berarti mean (nilai ekspektasi) dari percobaan pelemparan dadu adalah 3.5. Karena dadu tidak memiliki sisi dengan nomor 3.5, maka nilai yang diharapkan muncul (expected value) dari eksperimen ini adalah keluarnya angka 3 atau angka 4. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

94 Ukuran Pemusatan Data Untuk mencari median, perhatikan bahwa P (X 1) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

95 Ukuran Pemusatan Data Untuk mencari median, perhatikan bahwa P (X 1) = 1 dan P (X 1) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

96 Ukuran Pemusatan Data Untuk mencari median, perhatikan bahwa P (X 1) = 1 dan P (X 1) = 1 6 P (X 2) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

97 Ukuran Pemusatan Data Untuk mencari median, perhatikan bahwa P (X 1) = 1 dan P (X 1) = 1 6 P (X 2) = 5 6 dan P (X 2) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

98 Ukuran Pemusatan Data Untuk mencari median, perhatikan bahwa P (X 1) = 1 dan P (X 1) = 1 6 P (X 2) = 5 6 dan P (X 2) = 2 6 P (X 3) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

99 Ukuran Pemusatan Data Untuk mencari median, perhatikan bahwa P (X 1) = 1 dan P (X 1) = 1 6 P (X 2) = 5 6 dan P (X 2) = 2 6 P (X 3) = 4 6 dan P (X 3) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

100 Ukuran Pemusatan Data Untuk mencari median, perhatikan bahwa P (X 1) = 1 dan P (X 1) = 1 6 P (X 2) = 5 6 dan P (X 2) = 2 6 P (X 3) = 4 6 dan P (X 3) = 3 6 MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

101 Ukuran Pemusatan Data Untuk mencari median, perhatikan bahwa P (X 1) = 1 dan P (X 1) = 1 6 P (X 2) = 5 6 dan P (X 2) = 2 6 P (X 3) = 4 6 dan P (X 3) = 3 6 P (X 4) = 3 6 dan P (X 4) = 4 6 MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

102 Ukuran Pemusatan Data Untuk mencari median, perhatikan bahwa P (X 1) = 1 dan P (X 1) = 1 6 P (X 2) = 5 6 dan P (X 2) = 2 6 P (X 3) = 4 6 dan P (X 3) = 3 6 P (X 4) = 3 6 dan P (X 4) = 4 6 P (X 5) = 2 6 dan P (X 5) = 5 6 MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

103 Ukuran Pemusatan Data Untuk mencari median, perhatikan bahwa P (X 1) = 1 dan P (X 1) = 1 6 P (X 2) = 5 6 dan P (X 2) = 2 6 P (X 3) = 4 6 dan P (X 3) = 3 6 P (X 4) = 3 6 dan P (X 4) = 4 6 P (X 5) = 2 6 dan P (X 5) = 5 6 P (X 6) = 1 6 dan P (X 6) = 1 Akibatnya median dari percobaan adalah keluarnya angka 3 atau angka 4. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

104 Ukuran Pemusatan Data Untuk mencari median, perhatikan bahwa P (X 1) = 1 dan P (X 1) = 1 6 P (X 2) = 5 6 dan P (X 2) = 2 6 P (X 3) = 4 6 dan P (X 3) = 3 6 P (X 4) = 3 6 dan P (X 4) = 4 6 P (X 5) = 2 6 dan P (X 5) = 5 6 P (X 6) = 1 6 dan P (X 6) = 1 Akibatnya median dari percobaan adalah keluarnya angka 3 atau angka 4. Terakhir, modus dari percobaan pelemparan dadu diperoleh dari nilai m yang memenuhi P (X = m) P (X = x) untuk setiap x R. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

105 Ukuran Pemusatan Data Untuk mencari median, perhatikan bahwa P (X 1) = 1 dan P (X 1) = 1 6 P (X 2) = 5 6 dan P (X 2) = 2 6 P (X 3) = 4 6 dan P (X 3) = 3 6 P (X 4) = 3 6 dan P (X 4) = 4 6 P (X 5) = 2 6 dan P (X 5) = 5 6 P (X 6) = 1 6 dan P (X 6) = 1 Akibatnya median dari percobaan adalah keluarnya angka 3 atau angka 4. Terakhir, modus dari percobaan pelemparan dadu diperoleh dari nilai m yang memenuhi P (X = m) P (X = x) untuk setiap x R. Karena P (X = x) = 1 6 untuk setiap 1 x 6, maka modus dari percobaan ini adalah keluarnya angka 1, angka 2, angka 3, angka 4, angka 5, atau angka 6. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

106 Ukuran Pemusatan Data Latihan Latihan Diberikan dua uang koin yang masing-masing memiliki sisi angka dan sisi gambar. Seseorang melakukan percobaan dengan melempar uang koin tersebut dan mengamati sisi yang menghadap ke atas. Jika pada setiap uang koin peluang setiap sisi untuk menghadap ke atas adalah sama dan seragam, tentukan mean, modus, dan median dari eksperimen tersebut. Solusi: Misalkan ruang sampel percobaan adalah S = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

107 Ukuran Pemusatan Data Latihan Latihan Diberikan dua uang koin yang masing-masing memiliki sisi angka dan sisi gambar. Seseorang melakukan percobaan dengan melempar uang koin tersebut dan mengamati sisi yang menghadap ke atas. Jika pada setiap uang koin peluang setiap sisi untuk menghadap ke atas adalah sama dan seragam, tentukan mean, modus, dan median dari eksperimen tersebut. Solusi: Misalkan ruang sampel percobaan adalah S = {aa, ag, ga, gg} dengan a merepresentasikan sisi angka dan g merepresentasikan sisi gambar. Selanjutnya definisikan variabel acak X : S R sebagai berikut MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

108 Ukuran Pemusatan Data Latihan Latihan Diberikan dua uang koin yang masing-masing memiliki sisi angka dan sisi gambar. Seseorang melakukan percobaan dengan melempar uang koin tersebut dan mengamati sisi yang menghadap ke atas. Jika pada setiap uang koin peluang setiap sisi untuk menghadap ke atas adalah sama dan seragam, tentukan mean, modus, dan median dari eksperimen tersebut. Solusi: Misalkan ruang sampel percobaan adalah S = {aa, ag, ga, gg} dengan a merepresentasikan sisi angka dan g merepresentasikan sisi gambar. Selanjutnya definisikan variabel acak X : S R sebagai berikut X (aa) = 0, X (ag) = 1, X (ga) = 2, dan X (gg) = 3. Dengan asumsi bahwa peluang setiap sisi uang koin untuk menghadap ke atas adalah sama dan seragam (uniform), maka P (X = x) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

109 Ukuran Pemusatan Data Latihan Latihan Diberikan dua uang koin yang masing-masing memiliki sisi angka dan sisi gambar. Seseorang melakukan percobaan dengan melempar uang koin tersebut dan mengamati sisi yang menghadap ke atas. Jika pada setiap uang koin peluang setiap sisi untuk menghadap ke atas adalah sama dan seragam, tentukan mean, modus, dan median dari eksperimen tersebut. Solusi: Misalkan ruang sampel percobaan adalah S = {aa, ag, ga, gg} dengan a merepresentasikan sisi angka dan g merepresentasikan sisi gambar. Selanjutnya definisikan variabel acak X : S R sebagai berikut X (aa) = 0, X (ag) = 1, X (ga) = 2, dan X (gg) = 3. Dengan asumsi bahwa peluang setiap sisi uang koin untuk menghadap ke atas adalah sama dan seragam (uniform), maka P (X = x) = 1 4 untuk setiap x = 0, 1, 2, 3. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

110 Ukuran Pemusatan Data Kita memiliki E [X] = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

111 Ukuran Pemusatan Data Kita memiliki E [X] = 3 xp (X = x) = x=0 MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

112 Ukuran Pemusatan Data Kita memiliki E [X] = 3 xp (X = x) = x=0 3 x=0 x 1 4 = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

113 Ukuran Pemusatan Data Kita memiliki E [X] = = 3 xp (X = x) = x=0 3 x=0 x 1 4 = x x=0 MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

114 Ukuran Pemusatan Data Kita memiliki E [X] = 3 xp (X = x) = x=0 3 x=0 x 1 4 = 1 4 = 1 4 ( ) = 3 2 = x Ini berarti nilai variabel acak untuk mean (nilai ekspektasi) dari percobaan pelemparan uang koin adalah 1.5. Karena nilai variabel acak tidak ada yang 1.5, maka nilai yang diharapkan muncul (expected value) dari eksperimen ini adalah kejadian yang memiliki nilai variabel acak 1 atau 2, x=0 MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

115 Ukuran Pemusatan Data Kita memiliki E [X] = 3 xp (X = x) = x=0 3 x=0 x 1 4 = 1 4 = 1 4 ( ) = 3 2 = x Ini berarti nilai variabel acak untuk mean (nilai ekspektasi) dari percobaan pelemparan uang koin adalah 1.5. Karena nilai variabel acak tidak ada yang 1.5, maka nilai yang diharapkan muncul (expected value) dari eksperimen ini adalah kejadian yang memiliki nilai variabel acak 1 atau 2, yaitu ag atau ga, atau x=0 MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

116 Ukuran Pemusatan Data Kita memiliki E [X] = 3 xp (X = x) = x=0 3 x=0 x 1 4 = 1 4 = 1 4 ( ) = 3 2 = x Ini berarti nilai variabel acak untuk mean (nilai ekspektasi) dari percobaan pelemparan uang koin adalah 1.5. Karena nilai variabel acak tidak ada yang 1.5, maka nilai yang diharapkan muncul (expected value) dari eksperimen ini adalah kejadian yang memiliki nilai variabel acak 1 atau 2, yaitu ag atau ga, atau kejadian yang diharapkan muncul adalah kedua koin memberikan sisi yang berbeda (salah satu sisi angka dan yang lain sisi gambar). x=0 MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

117 Ukuran Pemusatan Data Untuk mencari median, perhatikan bahwa MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

118 Ukuran Pemusatan Data Untuk mencari median, perhatikan bahwa P (X 0) = 1 dan P (X 0) = 1 4 MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

119 Ukuran Pemusatan Data Untuk mencari median, perhatikan bahwa P (X 0) = 1 dan P (X 0) = 1 4 P (X 1) = 3 4 dan P (X 1) = 2 4 MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

120 Ukuran Pemusatan Data Untuk mencari median, perhatikan bahwa P (X 0) = 1 dan P (X 0) = 1 4 P (X 1) = 3 4 dan P (X 1) = 2 4 P (X 2) = 2 4 dan P (X 2) = 3 4 MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

121 Ukuran Pemusatan Data Untuk mencari median, perhatikan bahwa P (X 0) = 1 dan P (X 0) = 1 4 P (X 1) = 3 4 dan P (X 1) = 2 4 P (X 2) = 2 4 dan P (X 2) = 3 4 P (X 3) = 1 4 dan P (X 3) = 1 Akibatnya median dari percobaan adalah kejadian yang bersesuaian dengan nilai variabel acak 1 ataupun 2, yaitu MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

122 Ukuran Pemusatan Data Untuk mencari median, perhatikan bahwa P (X 0) = 1 dan P (X 0) = 1 4 P (X 1) = 3 4 dan P (X 1) = 2 4 P (X 2) = 2 4 dan P (X 2) = 3 4 P (X 3) = 1 4 dan P (X 3) = 1 Akibatnya median dari percobaan adalah kejadian yang bersesuaian dengan nilai variabel acak 1 ataupun 2, yaitu yaitu ag atau ga, atau MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

123 Ukuran Pemusatan Data Untuk mencari median, perhatikan bahwa P (X 0) = 1 dan P (X 0) = 1 4 P (X 1) = 3 4 dan P (X 1) = 2 4 P (X 2) = 2 4 dan P (X 2) = 3 4 P (X 3) = 1 4 dan P (X 3) = 1 Akibatnya median dari percobaan adalah kejadian yang bersesuaian dengan nilai variabel acak 1 ataupun 2, yaitu yaitu ag atau ga, atau kejadian yang diharapkan muncul adalah kedua koin memberikan sisi yang berbeda (salah satu sisi angka dan yang lain sisi gambar). MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

124 Ukuran Pemusatan Data Untuk mencari median, perhatikan bahwa P (X 0) = 1 dan P (X 0) = 1 4 P (X 1) = 3 4 dan P (X 1) = 2 4 P (X 2) = 2 4 dan P (X 2) = 3 4 P (X 3) = 1 4 dan P (X 3) = 1 Akibatnya median dari percobaan adalah kejadian yang bersesuaian dengan nilai variabel acak 1 ataupun 2, yaitu yaitu ag atau ga, atau kejadian yang diharapkan muncul adalah kedua koin memberikan sisi yang berbeda (salah satu sisi angka dan yang lain sisi gambar). Terakhir, modus dari percobaan pelemparan dua uang koin diperoleh dari nilai m yang memenuhi P (X = m) P (X = x) untuk setiap x R. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

125 Ukuran Pemusatan Data Untuk mencari median, perhatikan bahwa P (X 0) = 1 dan P (X 0) = 1 4 P (X 1) = 3 4 dan P (X 1) = 2 4 P (X 2) = 2 4 dan P (X 2) = 3 4 P (X 3) = 1 4 dan P (X 3) = 1 Akibatnya median dari percobaan adalah kejadian yang bersesuaian dengan nilai variabel acak 1 ataupun 2, yaitu yaitu ag atau ga, atau kejadian yang diharapkan muncul adalah kedua koin memberikan sisi yang berbeda (salah satu sisi angka dan yang lain sisi gambar). Terakhir, modus dari percobaan pelemparan dua uang koin diperoleh dari nilai m yang memenuhi P (X = m) P (X = x) untuk setiap x R. Karena P (X = x) = 1 4 untuk setiap 0 x 3, maka modus dari percobaan ini adalah masing-masing kejadian elementer yang mungkin terjadi. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

126 Ukuran Pemusatan Data Sifat-sifat Ekspektasi Teorema Diberikan dua variabel acak X dan Y serta suatu konstanta a R, maka E [X + Y ] = E [X] + E [Y ], E [ax] = ae [X]. Apabila X dan Y saling bebas (independen), maka E [XY ] = E [X] E [Y ]. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

127 Bahasan Variansi dan Standar Deviasi 1 Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang 2 Variabel Acak (Random Variable) 3 Fungsi Distribusi Peluang (Probability Distribution Function) 4 Ukuran Pemusatan Data 5 Variansi dan Standar Deviasi 6 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit 7 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu 8 Statistika pada Pemodelan Sistem MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

128 Variansi dan Standar Deviasi Definisi Diberikan sebuah variabel acak diskrit X, variansi dari X, dinotasikan dengan Var [X], didefinisikan sebagai Var [X] = σ 2 X = x (x E [X]) 2 P (X = x) = x (x E [X]) 2 Pr (X = x), kemudian standar deviasi dari X merupakan nilai σ X, yaitu σ X = Var [X]. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

129 Variansi dan Standar Deviasi Definisi Diberikan sebuah variabel acak diskrit X, variansi dari X, dinotasikan dengan Var [X], didefinisikan sebagai Var [X] = σ 2 X = x (x E [X]) 2 P (X = x) = x (x E [X]) 2 Pr (X = x), kemudian standar deviasi dari X merupakan nilai σ X, yaitu σ X = Var [X]. Variansi dan standar deviasi mengukur lebar dan persebaran data, nilai keduanya tak pernah negatif. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

130 Variansi dan Standar Deviasi Definisi Diberikan sebuah variabel acak diskrit X, variansi dari X, dinotasikan dengan Var [X], didefinisikan sebagai Var [X] = σ 2 X = x (x E [X]) 2 P (X = x) = x (x E [X]) 2 Pr (X = x), kemudian standar deviasi dari X merupakan nilai σ X, yaitu σ X = Var [X]. Variansi dan standar deviasi mengukur lebar dan persebaran data, nilai keduanya tak pernah negatif. Jika X memiliki distribusi yang terkonsentrasi (concentrated), yaitu nilai X mendekati E [X] dengan peluang yang cukup besar, maka variansi akan bernilai kecil. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

131 Variansi dan Standar Deviasi Definisi Diberikan sebuah variabel acak diskrit X, variansi dari X, dinotasikan dengan Var [X], didefinisikan sebagai Var [X] = σ 2 X = x (x E [X]) 2 P (X = x) = x (x E [X]) 2 Pr (X = x), kemudian standar deviasi dari X merupakan nilai σ X, yaitu σ X = Var [X]. Variansi dan standar deviasi mengukur lebar dan persebaran data, nilai keduanya tak pernah negatif. Jika X memiliki distribusi yang terkonsentrasi (concentrated), yaitu nilai X mendekati E [X] dengan peluang yang cukup besar, maka variansi akan bernilai kecil. Jika X memiliki distribusi yang tersebar (diffuse), yaitu nilai X menyebar/ menjauh dari E [X] dengan peluang yang cukup besar, maka variansi akan bernilai besar. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

132 Variansi dan Standar Deviasi Catatan Chebyshev membuktikan bahwa, untuk sembarang variabel acak X, peluang dari nilai X berada pada interval E [X] 2σ X X (x) E [X] + 2σ X setidaknya sebesar 75%, kemudian peluang dari nilai X berada pada interval E [X] 3σ X X (x) E [X] + 3σ X setidaknya sebesar 88.89%. Variansi terkadang dapat dihitung dengan lebih mudah melalui formulasi berikut. Teorema Var [X] = σ 2 X = E [ X 2] (E [X]) 2, σ X = σ 2 X = E [X 2 ] (E [X]) 2. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

133 Latihan Variansi dan Standar Deviasi Latihan Seorang peneliti di sebuah PLTA mencatat peluang terjadinya gangguan listrik dalam hari Senin Minggu dalam tabel berikut: Hari Peluang Senin 0.18 Selasa 0.28 Rabu 0.25 Kamis 0.18 Jumat 0.06 Sabtu 0.04 Minggu 0.01 Tentukan ekspektasi hari di mana gangguan listrik terjadi. Berikan variansi dan standar deviasi terhadap prediksi gangguan listrik yang terjadi. Tentukan juga median dan modus dari gangguan listrik yang mungkin terjadi. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

134 Variansi dan Standar Deviasi Solusi: Misalkan S = {x x adalah gangguan listrik pada suatu hari dalam sepekan}. Selanjutnya definisikan variabel acak X : S R sebagai berikut MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

135 Variansi dan Standar Deviasi Solusi: Misalkan S = {x x adalah gangguan listrik pada suatu hari dalam sepekan}. Selanjutnya definisikan variabel acak X : S R sebagai berikut Kita juga memiliki X (gangguan listrik pada hari Senin) = 0, X (gangguan listrik pada hari Selasa) = 1, X (gangguan listrik pada hari Rabu) = 2, X (gangguan listrik pada hari Kamis) = 3, X (gangguan listrik pada hari Jumat) = 4, X (gangguan listrik pada hari Sabtu) = 5, X (gangguan listrik pada hari Minggu) = 6. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

136 Variansi dan Standar Deviasi Solusi: Misalkan S = {x x adalah gangguan listrik pada suatu hari dalam sepekan}. Selanjutnya definisikan variabel acak X : S R sebagai berikut X (gangguan listrik pada hari Senin) = 0, X (gangguan listrik pada hari Selasa) = 1, X (gangguan listrik pada hari Rabu) = 2, X (gangguan listrik pada hari Kamis) = 3, X (gangguan listrik pada hari Jumat) = 4, X (gangguan listrik pada hari Sabtu) = 5, X (gangguan listrik pada hari Minggu) = 6. Kita juga memiliki P (X = 0) = 0.18, P (X = 1) = 0.28, P (X = 2) = 0.25, P (X = 3) = 0.18, P (X = 4) = 0.06, P (X = 5) = 0.04, dan P (X = 6) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

137 Variansi dan Standar Deviasi Kita memiliki E [X] = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

138 Variansi dan Standar Deviasi Kita memiliki E [X] = = 6 xp (X = x) x=0 MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

139 Variansi dan Standar Deviasi Kita memiliki E [X] = 6 xp (X = x) x=0 = = Ini berarti nilai variabel acak untuk mean (nilai ekspektasi) dari terjadinya gangguan listrik adalah MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

140 Variansi dan Standar Deviasi Kita memiliki E [X] = 6 xp (X = x) x=0 = = Ini berarti nilai variabel acak untuk mean (nilai ekspektasi) dari terjadinya gangguan listrik adalah Karena nilai variabel acak tidak ada yang 1.82, maka nilai yang diharapkan muncul (expected value) dari eksperimen ini adalah kejadian yang memiliki nilai variabel 2 (dibulatkan ke atas). MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

141 Variansi dan Standar Deviasi Kita memiliki E [X] = 6 xp (X = x) x=0 = = Ini berarti nilai variabel acak untuk mean (nilai ekspektasi) dari terjadinya gangguan listrik adalah Karena nilai variabel acak tidak ada yang 1.82, maka nilai yang diharapkan muncul (expected value) dari eksperimen ini adalah kejadian yang memiliki nilai variabel 2 (dibulatkan ke atas). Artinya gangguan listrik cenderung terjadi pada hari Rabu (ekspektasi gangguan listrik terjadi pada hari Selasa atau Rabu, dengan kecenderungan lebih besar pada hari Rabu). Variansi dari percobaan adalah Var [X] = E [ X 2] (E [X]) 2 = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = Sehingga standar deviasinya adalah σ X = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

142 Variansi dan Standar Deviasi Untuk mencari median, perhatikan bahwa MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

143 Variansi dan Standar Deviasi Untuk mencari median, perhatikan bahwa P (X 0) = 1 dan P (X 0) = 0.18 MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

144 Variansi dan Standar Deviasi Untuk mencari median, perhatikan bahwa P (X 0) = 1 dan P (X 0) = 0.18 P (X 1) = 0.82 dan P (X 1) = 0.46 MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

145 Variansi dan Standar Deviasi Untuk mencari median, perhatikan bahwa P (X 0) = 1 dan P (X 0) = 0.18 P (X 1) = 0.82 dan P (X 1) = 0.46 P (X 2) = 0.54 dan P (X 2) = 0.71 MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

146 Variansi dan Standar Deviasi Untuk mencari median, perhatikan bahwa P (X 0) = 1 dan P (X 0) = 0.18 P (X 1) = 0.82 dan P (X 1) = 0.46 P (X 2) = 0.54 dan P (X 2) = 0.71 P (X 3) = 0.29 dan P (X 3) = 0.89 MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

147 Variansi dan Standar Deviasi Untuk mencari median, perhatikan bahwa P (X 0) = 1 dan P (X 0) = 0.18 P (X 1) = 0.82 dan P (X 1) = 0.46 P (X 2) = 0.54 dan P (X 2) = 0.71 P (X 3) = 0.29 dan P (X 3) = 0.89 P (X 4) = 0.11 dan P (X 4) = 0.95 MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

148 Variansi dan Standar Deviasi Untuk mencari median, perhatikan bahwa P (X 0) = 1 dan P (X 0) = 0.18 P (X 1) = 0.82 dan P (X 1) = 0.46 P (X 2) = 0.54 dan P (X 2) = 0.71 P (X 3) = 0.29 dan P (X 3) = 0.89 P (X 4) = 0.11 dan P (X 4) = 0.95 P (X 5) = 0.05 dan P (X 5) = 0.99 MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

149 Variansi dan Standar Deviasi Untuk mencari median, perhatikan bahwa P (X 0) = 1 dan P (X 0) = 0.18 P (X 1) = 0.82 dan P (X 1) = 0.46 P (X 2) = 0.54 dan P (X 2) = 0.71 P (X 3) = 0.29 dan P (X 3) = 0.89 P (X 4) = 0.11 dan P (X 4) = 0.95 P (X 5) = 0.05 dan P (X 5) = 0.99 P (X 6) = 0.01 dan P (X 6) = 1 Akibatnya median dari percobaan adalah kejadian yang bersesuaian dengan nilai variabel acak 2, yaitu MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

150 Variansi dan Standar Deviasi Untuk mencari median, perhatikan bahwa P (X 0) = 1 dan P (X 0) = 0.18 P (X 1) = 0.82 dan P (X 1) = 0.46 P (X 2) = 0.54 dan P (X 2) = 0.71 P (X 3) = 0.29 dan P (X 3) = 0.89 P (X 4) = 0.11 dan P (X 4) = 0.95 P (X 5) = 0.05 dan P (X 5) = 0.99 P (X 6) = 0.01 dan P (X 6) = 1 Akibatnya median dari percobaan adalah kejadian yang bersesuaian dengan nilai variabel acak 2, yaitu gangguan listrik terjadi pada hari Rabu. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

151 Variansi dan Standar Deviasi Untuk mencari median, perhatikan bahwa P (X 0) = 1 dan P (X 0) = 0.18 P (X 1) = 0.82 dan P (X 1) = 0.46 P (X 2) = 0.54 dan P (X 2) = 0.71 P (X 3) = 0.29 dan P (X 3) = 0.89 P (X 4) = 0.11 dan P (X 4) = 0.95 P (X 5) = 0.05 dan P (X 5) = 0.99 P (X 6) = 0.01 dan P (X 6) = 1 Akibatnya median dari percobaan adalah kejadian yang bersesuaian dengan nilai variabel acak 2, yaitu gangguan listrik terjadi pada hari Rabu. Terakhir, modus dari eksperimen diperoleh dari nilai m yang memenuhi P (X = m) P (X = x) untuk setiap x R. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

152 Variansi dan Standar Deviasi Untuk mencari median, perhatikan bahwa P (X 0) = 1 dan P (X 0) = 0.18 P (X 1) = 0.82 dan P (X 1) = 0.46 P (X 2) = 0.54 dan P (X 2) = 0.71 P (X 3) = 0.29 dan P (X 3) = 0.89 P (X 4) = 0.11 dan P (X 4) = 0.95 P (X 5) = 0.05 dan P (X 5) = 0.99 P (X 6) = 0.01 dan P (X 6) = 1 Akibatnya median dari percobaan adalah kejadian yang bersesuaian dengan nilai variabel acak 2, yaitu gangguan listrik terjadi pada hari Rabu. Terakhir, modus dari eksperimen diperoleh dari nilai m yang memenuhi P (X = m) P (X = x) untuk setiap x R. Karena P (X = 1) = 0.28 dan 0.28 P (X x) untuk x = 0, 1, 2,..., 6, maka modus dari eksperimen menyatakan bahwa gangguan listrik akan sering terjadi pada hari Selasa. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

153 Bahasan Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit 1 Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang 2 Variabel Acak (Random Variable) 3 Fungsi Distribusi Peluang (Probability Distribution Function) 4 Ukuran Pemusatan Data 5 Variansi dan Standar Deviasi 6 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit 7 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu 8 Statistika pada Pemodelan Sistem MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

154 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Distribusi Peluang Diskrit Pada distribusi peluang diskrit, nilai peluang yang mungkin dari suatu kejadian bersifat dapat dicacah (countable). Contoh: MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

155 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Distribusi Peluang Diskrit Pada distribusi peluang diskrit, nilai peluang yang mungkin dari suatu kejadian bersifat dapat dicacah (countable). Contoh: Banyaknya transistor yang rusak di antara sebuah kotak yang berisi 12 transistor. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

156 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Distribusi Peluang Diskrit Pada distribusi peluang diskrit, nilai peluang yang mungkin dari suatu kejadian bersifat dapat dicacah (countable). Contoh: Banyaknya transistor yang rusak di antara sebuah kotak yang berisi 12 transistor. Banyaknya pelanggan/ nasabah yang mengalami gangguan pelayanan di antara beberapa mesin ATM. Berikut adalah beberapa distribusi peluang diskrit yang sering dipakai: MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

157 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Distribusi Peluang Diskrit Pada distribusi peluang diskrit, nilai peluang yang mungkin dari suatu kejadian bersifat dapat dicacah (countable). Contoh: Banyaknya transistor yang rusak di antara sebuah kotak yang berisi 12 transistor. Banyaknya pelanggan/ nasabah yang mengalami gangguan pelayanan di antara beberapa mesin ATM. Berikut adalah beberapa distribusi peluang diskrit yang sering dipakai: Distribusi uniform diskrit. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

158 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Distribusi Peluang Diskrit Pada distribusi peluang diskrit, nilai peluang yang mungkin dari suatu kejadian bersifat dapat dicacah (countable). Contoh: Banyaknya transistor yang rusak di antara sebuah kotak yang berisi 12 transistor. Banyaknya pelanggan/ nasabah yang mengalami gangguan pelayanan di antara beberapa mesin ATM. Berikut adalah beberapa distribusi peluang diskrit yang sering dipakai: Distribusi uniform diskrit. Distribusi binomial dan binomial negatif. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

159 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Distribusi Peluang Diskrit Pada distribusi peluang diskrit, nilai peluang yang mungkin dari suatu kejadian bersifat dapat dicacah (countable). Contoh: Banyaknya transistor yang rusak di antara sebuah kotak yang berisi 12 transistor. Banyaknya pelanggan/ nasabah yang mengalami gangguan pelayanan di antara beberapa mesin ATM. Berikut adalah beberapa distribusi peluang diskrit yang sering dipakai: Distribusi uniform diskrit. Distribusi binomial dan binomial negatif. Distribusi geometrik. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

160 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Distribusi Peluang Diskrit Pada distribusi peluang diskrit, nilai peluang yang mungkin dari suatu kejadian bersifat dapat dicacah (countable). Contoh: Banyaknya transistor yang rusak di antara sebuah kotak yang berisi 12 transistor. Banyaknya pelanggan/ nasabah yang mengalami gangguan pelayanan di antara beberapa mesin ATM. Berikut adalah beberapa distribusi peluang diskrit yang sering dipakai: Distribusi uniform diskrit. Distribusi binomial dan binomial negatif. Distribusi geometrik. Distibusi Poisson. Untuk mempermudah, f X (x) dan F X (x) berturut-turut akan ditulis f (x) dan F (x) bila distribusinya sudah jelas. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

161 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Distribusi Uniform Diskrit Distribusi Uniform Diskrit Pada distrubusi uniform diskrit, peluang dari setiap titik sampel adalah sama. Misalkan terdapat n titik sampel {i, i + 1, i + 2,..., j}, dengan j = i + n 1. Maka pmf dari tiap titik sampelnya adalah: MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

162 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Distribusi Uniform Diskrit Distribusi Uniform Diskrit Pada distrubusi uniform diskrit, peluang dari setiap titik sampel adalah sama. Misalkan terdapat n titik sampel {i, i + 1, i + 2,..., j}, dengan j = i + n 1. Maka pmf dari tiap titik sampelnya adalah: P (X = k) = f (k) = 1 n = 1, untuk setiap k {i, i + 1,..., j}. j i + 1 Kemudian cdf-nya adalah MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

163 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Distribusi Uniform Diskrit Distribusi Uniform Diskrit Pada distrubusi uniform diskrit, peluang dari setiap titik sampel adalah sama. Misalkan terdapat n titik sampel {i, i + 1, i + 2,..., j}, dengan j = i + n 1. Maka pmf dari tiap titik sampelnya adalah: P (X = k) = f (k) = 1 n = 1, untuk setiap k {i, i + 1,..., j}. j i + 1 Kemudian cdf-nya adalah 0, bila k < i k i+1 F (k) = j i+1 = k i+1 n, bila i k j 1 bila k > j. Kita dapat menghitung E [X] = i+j 2 = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

164 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Distribusi Uniform Diskrit Distribusi Uniform Diskrit Pada distrubusi uniform diskrit, peluang dari setiap titik sampel adalah sama. Misalkan terdapat n titik sampel {i, i + 1, i + 2,..., j}, dengan j = i + n 1. Maka pmf dari tiap titik sampelnya adalah: P (X = k) = f (k) = 1 n = 1, untuk setiap k {i, i + 1,..., j}. j i + 1 Kemudian cdf-nya adalah 0, bila k < i k i+1 F (k) = j i+1 = k i+1 n, bila i k j 1 bila k > j. Kita dapat menghitung E [X] = i+j 2 = n 2 dan σ2 X = (j i+1) = n Pertanyaan: apakah median dan modus dari X yang berdistribusi uniform diskrit? MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

165 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit pmf untuk distribusi uniform diskrit dapat digambarkan sebagai berikut. Contoh kejadian dengan distribusi uniform diskrit: pelemparan sebuah dadu yang setiap sisinya memiliki peluang yang sama untuk menghadap ke atas. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

166 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Distribusi Bernoulli Distribusi Bernoulli Misalkan S adalah sebuah ruang sampel diskrit yang hanya memuat dua anggota, sehingga X (s) {0, 1}. Variabel acak X dikatakan memiliki distribusi Bernoulli dengan parameter p bila MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

167 Distribusi Bernoulli Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Distribusi Bernoulli Misalkan S adalah sebuah ruang sampel diskrit yang hanya memuat dua anggota, sehingga X (s) {0, 1}. Variabel acak X dikatakan memiliki distribusi Bernoulli dengan parameter p bila { p, jika k = 1 P (X = k) = 1 p, jika k = 0, kita juga dapat menulis P (X = k) = p k (1 p) 1 k, dengan x {0, 1}. Kemudian cdf dari distribusi ini adalah MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

168 Distribusi Bernoulli Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Distribusi Bernoulli Misalkan S adalah sebuah ruang sampel diskrit yang hanya memuat dua anggota, sehingga X (s) {0, 1}. Variabel acak X dikatakan memiliki distribusi Bernoulli dengan parameter p bila { p, jika k = 1 P (X = k) = 1 p, jika k = 0, kita juga dapat menulis P (X = k) = p k (1 p) 1 k, dengan x {0, 1}. Kemudian cdf dari distribusi ini adalah 0, bila k < 0 F (k) = 1 p, bila 0 k < 1. 1 bial k 1 Kita dapat menghitung E [X] = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

169 Distribusi Bernoulli Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Distribusi Bernoulli Misalkan S adalah sebuah ruang sampel diskrit yang hanya memuat dua anggota, sehingga X (s) {0, 1}. Variabel acak X dikatakan memiliki distribusi Bernoulli dengan parameter p bila { p, jika k = 1 P (X = k) = 1 p, jika k = 0, kita juga dapat menulis P (X = k) = p k (1 p) 1 k, dengan x {0, 1}. Kemudian cdf dari distribusi ini adalah 0, bila k < 0 F (k) = 1 p, bila 0 k < 1. 1 bial k 1 Kita dapat menghitung E [X] = p dan σ 2 X = p (1 p). MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

170 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Contoh Distribusi Bernoulli Contoh percobaan yang berdistribusi Bernoulli adalah pelemparan sebuah uang koin, dengan ruang sampel {a, g}, dan peluang setiap sisinya menghadap ke atas sama. Misalkan X (a) = 1 dan X (g) = 0. Kita memiliki P (X = 1) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

171 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Contoh Distribusi Bernoulli Contoh percobaan yang berdistribusi Bernoulli adalah pelemparan sebuah uang koin, dengan ruang sampel {a, g}, dan peluang setiap sisinya menghadap ke atas sama. Misalkan X (a) = 1 dan X (g) = 0. Kita memiliki P (X = 1) = P (X = 0) = 1 2. Kita memiliki E [X] = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

172 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Contoh Distribusi Bernoulli Contoh percobaan yang berdistribusi Bernoulli adalah pelemparan sebuah uang koin, dengan ruang sampel {a, g}, dan peluang setiap sisinya menghadap ke atas sama. Misalkan X (a) = 1 dan X (g) = 0. Kita memiliki P (X = 1) = P (X = 0) = 1 2. Kita memiliki E [X] = 1 2. Bagaimana jika peluang sisi angka menghadap ke atas adalah 3 4? Kita memiliki P (X = 1) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

173 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Contoh Distribusi Bernoulli Contoh percobaan yang berdistribusi Bernoulli adalah pelemparan sebuah uang koin, dengan ruang sampel {a, g}, dan peluang setiap sisinya menghadap ke atas sama. Misalkan X (a) = 1 dan X (g) = 0. Kita memiliki P (X = 1) = P (X = 0) = 1 2. Kita memiliki E [X] = 1 2. Bagaimana jika peluang sisi angka menghadap ke atas adalah 3 4? Kita memiliki P (X = 1) = 3 4 dan P (X = 0) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

174 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Contoh Distribusi Bernoulli Contoh percobaan yang berdistribusi Bernoulli adalah pelemparan sebuah uang koin, dengan ruang sampel {a, g}, dan peluang setiap sisinya menghadap ke atas sama. Misalkan X (a) = 1 dan X (g) = 0. Kita memiliki P (X = 1) = P (X = 0) = 1 2. Kita memiliki E [X] = 1 2. Bagaimana jika peluang sisi angka menghadap ke atas adalah 3 4? Kita memiliki P (X = 1) = 3 4 dan P (X = 0) = 1 4. Kita memiliki E [X] = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

175 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Contoh Distribusi Bernoulli Contoh percobaan yang berdistribusi Bernoulli adalah pelemparan sebuah uang koin, dengan ruang sampel {a, g}, dan peluang setiap sisinya menghadap ke atas sama. Misalkan X (a) = 1 dan X (g) = 0. Kita memiliki P (X = 1) = P (X = 0) = 1 2. Kita memiliki E [X] = 1 2. Bagaimana jika peluang sisi angka menghadap ke atas adalah 3 4? Kita memiliki P (X = 1) = 3 4 dan P (X = 0) = 1 4. Kita memiliki E [X] = 3 4. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

176 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Distribusi Binomial Distribusi Binomial Distribusi binomial terkait dengan distribusi Bernoulli. Misalkan X menyatakan banyaknya k buah kejadian yang diharapkan (sukses) dari suatu eksperimen Bernoulli dengan parameter p, maka X berdistribusi Binomial, pmf-nya adalah MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

177 Distribusi Binomial Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Distribusi Binomial Distribusi binomial terkait dengan distribusi Bernoulli. Misalkan X menyatakan banyaknya k buah kejadian yang diharapkan (sukses) dari suatu eksperimen Bernoulli dengan parameter p, maka X berdistribusi Binomial, pmf-nya adalah { ( n ) P (X = k) = p k = k p k (1 p) x k, bila 0 k n 0, lainnya. Kemudian cdf-nya (dengan n percobaan) adalah MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

178 Distribusi Binomial Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Distribusi Binomial Distribusi binomial terkait dengan distribusi Bernoulli. Misalkan X menyatakan banyaknya k buah kejadian yang diharapkan (sukses) dari suatu eksperimen Bernoulli dengan parameter p, maka X berdistribusi Binomial, pmf-nya adalah { ( n ) P (X = k) = p k = k p k (1 p) x k, bila 0 k n 0, lainnya. Kemudian cdf-nya (dengan n percobaan) adalah 0, bila k < 0 F (k) = k ( n ) i=0 i p i (1 p) n i, bila 0 k n 1, bila k > n. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

179 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

180 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

181 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Contoh Eksperimen Berdistribusi Binomial Latihan Diberikan tiga buah uang koin logam, peluang sisi angka menghadap ke atas adalah p (untuk masing-masing koin). Tentukan peluang: 1 ketiga uang koin logam menampilkan sisi angka; 2 tepat dua uang koin logam menampilkan sisi angka; 3 tepat satu uang koin logam menampilkan sisi angka; 4 ketiga uang koin logam menampilkan sisi gambar. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

182 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Solusi: Misalkan S = {aaa, aag, aga, gaa, agg, gag, gga, ggg}, definisikan X (s) = banyakya a yang muncul pada s S. Kita memiliki 1 P (X = 3) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

183 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Solusi: Misalkan S = {aaa, aag, aga, gaa, agg, gag, gga, ggg}, definisikan X (s) = banyakya a yang muncul pada s S. Kita memiliki 1 P (X = 3) = P ({aaa}) = p 3. 2 P (X = 2) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

184 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Solusi: Misalkan S = {aaa, aag, aga, gaa, agg, gag, gga, ggg}, definisikan X (s) = banyakya a yang muncul pada s S. Kita memiliki 1 P (X = 3) = P ({aaa}) = p 3. 2 P (X = 2) = P ({aag}) + P ({aga}) + P ({gaa}). Tinjau bahwa P ({aag}) = P ({aga}) = P ({gaa}) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

185 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Solusi: Misalkan S = {aaa, aag, aga, gaa, agg, gag, gga, ggg}, definisikan X (s) = banyakya a yang muncul pada s S. Kita memiliki 1 P (X = 3) = P ({aaa}) = p 3. 2 P (X = 2) = P ({aag}) + P ({aga}) + P ({gaa}). Tinjau bahwa P ({aag}) = P ({aga}) = P ({gaa}) = p 2 (1 p). Jadi P (X = 2) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

186 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Solusi: Misalkan S = {aaa, aag, aga, gaa, agg, gag, gga, ggg}, definisikan X (s) = banyakya a yang muncul pada s S. Kita memiliki 1 P (X = 3) = P ({aaa}) = p 3. 2 P (X = 2) = P ({aag}) + P ({aga}) + P ({gaa}). Tinjau bahwa P ({aag}) = P ({aga}) = P ({gaa}) = p 2 (1 p). Jadi P (X = 2) = 3 p 2 (1 p) = ( 3 2) p 2 (1 p). 3 P (X = 1) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

187 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Solusi: Misalkan S = {aaa, aag, aga, gaa, agg, gag, gga, ggg}, definisikan X (s) = banyakya a yang muncul pada s S. Kita memiliki 1 P (X = 3) = P ({aaa}) = p 3. 2 P (X = 2) = P ({aag}) + P ({aga}) + P ({gaa}). Tinjau bahwa P ({aag}) = P ({aga}) = P ({gaa}) = p 2 (1 p). Jadi P (X = 2) = 3 p 2 (1 p) = ( 3 2) p 2 (1 p). 3 P (X = 1) = P ({agg}) + P ({gag}) + P ({gga}). Tinjau bahwa P ({agg}) = P ({gag}) = P ({gga}) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

188 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Solusi: Misalkan S = {aaa, aag, aga, gaa, agg, gag, gga, ggg}, definisikan X (s) = banyakya a yang muncul pada s S. Kita memiliki 1 P (X = 3) = P ({aaa}) = p 3. 2 P (X = 2) = P ({aag}) + P ({aga}) + P ({gaa}). Tinjau bahwa P ({aag}) = P ({aga}) = P ({gaa}) = p 2 (1 p). Jadi P (X = 2) = 3 p 2 (1 p) = ( 3 2) p 2 (1 p). 3 P (X = 1) = P ({agg}) + P ({gag}) + P ({gga}). Tinjau bahwa P ({agg}) = P ({gag}) = P ({gga}) = p (1 p) 2. Jadi P (X = 1) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

189 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Solusi: Misalkan S = {aaa, aag, aga, gaa, agg, gag, gga, ggg}, definisikan X (s) = banyakya a yang muncul pada s S. Kita memiliki 1 P (X = 3) = P ({aaa}) = p 3. 2 P (X = 2) = P ({aag}) + P ({aga}) + P ({gaa}). Tinjau bahwa P ({aag}) = P ({aga}) = P ({gaa}) = p 2 (1 p). Jadi P (X = 2) = 3 p 2 (1 p) = ( 3 2) p 2 (1 p). 3 P (X = 1) = P ({agg}) + P ({gag}) + P ({gga}). Tinjau bahwa P ({agg}) = P ({gag}) = P ({gga}) = p (1 p) 2. Jadi P (X = 1) = 3 p (1 p) 2 = ( 3 1) p (1 p) 2. 4 P (X = 0) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

190 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Solusi: Misalkan S = {aaa, aag, aga, gaa, agg, gag, gga, ggg}, definisikan X (s) = banyakya a yang muncul pada s S. Kita memiliki 1 P (X = 3) = P ({aaa}) = p 3. 2 P (X = 2) = P ({aag}) + P ({aga}) + P ({gaa}). Tinjau bahwa P ({aag}) = P ({aga}) = P ({gaa}) = p 2 (1 p). Jadi P (X = 2) = 3 p 2 (1 p) = ( 3 2) p 2 (1 p). 3 P (X = 1) = P ({agg}) + P ({gag}) + P ({gga}). Tinjau bahwa P ({agg}) = P ({gag}) = P ({gga}) = p (1 p) 2. Jadi P (X = 1) = 3 p (1 p) 2 = ( 3 1) p (1 p) 2. 4 P (X = 0) = P ({ggg}) = (1 p) 3. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

191 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Secara umum, kita memiliki pmf berikut P (X = k) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

192 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Secara umum, kita memiliki pmf berikut ( ) 3 P (X = k) = p k (1 p) k, k kemudian CDFnya F (k) = k ( 3 i=0 i 0, bila k < 0 ) p i (1 p) 3 i, bila 0 k 3 1, bila k > 3. Bagaimana dengan ekspektasi dan variansinya? Jika percobaan binomial dilakukan n kali, maka E [X] = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

193 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Secara umum, kita memiliki pmf berikut ( ) 3 P (X = k) = p k (1 p) k, k kemudian CDFnya F (k) = k ( 3 i=0 i 0, bila k < 0 ) p i (1 p) 3 i, bila 0 k 3 1, bila k > 3. Bagaimana dengan ekspektasi dan variansinya? Jika percobaan binomial dilakukan n kali, maka E [X] = np σ 2 X = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

194 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Secara umum, kita memiliki pmf berikut ( ) 3 P (X = k) = p k (1 p) k, k kemudian CDFnya F (k) = k ( 3 i=0 i 0, bila k < 0 ) p i (1 p) 3 i, bila 0 k 3 1, bila k > 3. Bagaimana dengan ekspektasi dan variansinya? Jika percobaan binomial dilakukan n kali, maka E [X] = np σ 2 X = n p (1 p) Perhatikan bahwa p dan p (1 p) berturut-turut merupakan ekspektasi dan variansi dari percobaan Bernoulli. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

195 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Distribusi Geometrik Distribusi Geometrik Misalkan X merupakan variabel acak yang menunjukkan banyaknya percobaan Bernoulli yang harus dilakukan agar dapat diperoleh suatu hasil tertentu, maka X mengikuti distribusi geometrik. Distribusi geometrik dengan parameter p (dengan 0 p 1) memiliki pmf MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

196 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Distribusi Geometrik Distribusi Geometrik Misalkan X merupakan variabel acak yang menunjukkan banyaknya percobaan Bernoulli yang harus dilakukan agar dapat diperoleh suatu hasil tertentu, maka X mengikuti distribusi geometrik. Distribusi geometrik dengan parameter p (dengan 0 p 1) memiliki pmf dan cdf P (X = k) = p (1 p) k 1, k = 1, 2,... MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

197 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Distribusi Geometrik Distribusi Geometrik Misalkan X merupakan variabel acak yang menunjukkan banyaknya percobaan Bernoulli yang harus dilakukan agar dapat diperoleh suatu hasil tertentu, maka X mengikuti distribusi geometrik. Distribusi geometrik dengan parameter p (dengan 0 p 1) memiliki pmf P (X = k) = p (1 p) k 1, k = 1, 2,... dan cdf k F (k) = p (1 p) i 1 = 1 (1 p) k, k = 1, 2,.... i=1 Kita memiliki E [X] = 1 p dan σ2 X = (1 p) p 2. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

198 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

199 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Contoh Distribusi Geometrik Distribusi geometrik dapat digunakan untuk menentukan peluang-peluang berikut: 1 Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, misalkan X = banyaknya lemparan dadu sehingga dadu menghasilkan angka 5. Akibatnya P (X = k) = peluang dadu menghasilkan angka 5 dengan k lemparan. 2 Di sebuah kota diketahui bahwa 3% penduduknya mengalami masalah jaringan telepon. Misalkan X = banyaknya inspeksi yang dilakukan untuk menemukan masalah jaringan telepon pertama. Akibatnya P (X = k) = peluang inspeksi ke-k menemukan masalah jaringan telepon. Latihan Pada sebuah dadu yang dinomor angka 1 6 (asumsikan peluang kemunculan setiap sisinya sama), tentukan 1 peluang dadu tersebut menghasilkan angka 5 pada lemparan ke-5; 2 peluang dadu tersebut menghasilkan angka 5 dengan 6 lemparan atau kurang; 3 ekspektasi (mean) dari variabel acak yang menyatakan dadu menghasilkan angka 5 dengan k lemparan. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

200 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Solusi: Kita memiliki P (X = k) = p (1 p) k 1 = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

201 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Solusi: Kita memiliki P (X = k) = p (1 p) k 1 = P (X = 5) = ( 5 ) k 1. 6 MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

202 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Solusi: Kita memiliki P (X = k) = p (1 p) k 1 = 1 6 ( 1 P (X = 5) = 1 5 ) = = P (X 6) = ( 5 ) k 1. 6 MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

203 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Solusi: Kita memiliki P (X = k) = p (1 p) k 1 = 1 6 ( 1 P (X = 5) = 1 5 ) = = ( 5 ) k P (X 6) = F (6) = 1 ( 1 1 6) 6 = = Nilai P (X 6) juga dapat dihitung dengan P (X 6) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

204 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Solusi: Kita memiliki P (X = k) = p (1 p) k 1 = 1 6 ( 1 P (X = 5) = 1 5 ) = = ( 5 ) k P (X 6) = F (6) = 1 ( 1 6) 1 6 = = Nilai P (X 6) juga dapat dihitung dengan P (X 6) = P (X = 6)+P (X = 5)+P (X = 4)+P (X = 3)+P (X = 2)+P (X = 1) = 1 6 ( ( 5 6) 5 + ( 5 6) 4 + ( 5 6) 3 + ( 5 6) 2 + ( 5 6) 1 + ( E [X] = ) ) 0 = = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

205 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Solusi: Kita memiliki P (X = k) = p (1 p) k 1 = 1 6 ( 1 P (X = 5) = 1 5 ) = = ( 5 ) k P (X 6) = F (6) = 1 ( 1 6) 1 6 = = Nilai P (X 6) juga dapat dihitung dengan P (X 6) = P (X = 6)+P (X = 5)+P (X = 4)+P (X = 3)+P (X = 2)+P (X = 1) = 1 6 ( ( 5 6) 5 + ( 5 6) 4 + ( 5 6) 3 + ( 5 6) 2 + ( 5 6) 1 + ( E [X] = = 6. ) ) 0 = = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

206 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Distribusi Poisson Distribusi Poisson Distribusi Poisson (baca: pwa-sang) merupakan distribusi probabilitas diskrit yang biasanya digunakan untuk menjelaskan banyaknya kejadian yang dapat berlangsung dalam interval waktu tertentu. Proses Poisson (Poisson process) biasanya digunakan ketika populasi yang ditinjau sangat besar. Distribusi Poisson digunakan dalam: Menentukan peluang banyaknya halaman yang cacat dari sebuah buku. Menentukan peluang banyaknya orang yang hidup > 100 tahun di sebuah kota. Menentukan peluang banyaknya pelanggan yang datang ke sebuah ATM. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

207 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Distribusi Poisson Dalam distribusi Poisson untuk pelanggan ATM, kita dapat memiliki variabel acak X = k berarti terdapat k orang yang datang dalam interval t dengan rata-rata pengunjung per-interval adalah sebanyak λ, sehingga diperoleh pmf dan cdf P (X = k) = (λt)k e λt k! F (x) = P (X x) = (λt) k e λt. k! k x Kita memiliki E [X] = λt dan σ 2 X = λt. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

208 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Distribusi Poisson Terkadang nilai t ditetapkan menjadi 1, sehingga diperoleh pmf dan cdf P (X = k) = λk e λ k! F (x) = P (X x) = λ k e λ k! k x Kita memiliki E [X] = λ dan σ 2 X = λ. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

209 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Latihan Banyaknya pengunjung yang datang ke sebuah mal mengikuti distribusi Poisson, dengan λ = 5 pengunjung per jam. Tentukan: 1 peluang pengunjung yang datang sebanyak 3 orang dalam satu jam; 2 peluang pengunjung yang datang kurang dari 5 orang dalam satu jam; 3 peluang pengunjung yang datang antara 2 sampai 6 orang dalam satu jam. Solusi: MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

210 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Latihan Banyaknya pengunjung yang datang ke sebuah mal mengikuti distribusi Poisson, dengan λ = 5 pengunjung per jam. Tentukan: 1 peluang pengunjung yang datang sebanyak 3 orang dalam satu jam; 2 peluang pengunjung yang datang kurang dari 5 orang dalam satu jam; 3 peluang pengunjung yang datang antara 2 sampai 6 orang dalam satu jam. Solusi: kita memiliki λ = 5 dan t = 1 (dari 1 jam pada keterangan λ = 5 pengunjung per jam). Kita memiliki P (X = k) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

211 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Latihan Banyaknya pengunjung yang datang ke sebuah mal mengikuti distribusi Poisson, dengan λ = 5 pengunjung per jam. Tentukan: 1 peluang pengunjung yang datang sebanyak 3 orang dalam satu jam; 2 peluang pengunjung yang datang kurang dari 5 orang dalam satu jam; 3 peluang pengunjung yang datang antara 2 sampai 6 orang dalam satu jam. Solusi: kita memiliki λ = 5 dan t = 1 (dari 1 jam pada keterangan λ = 5 pengunjung per jam). Kita memiliki P (X = k) = 5k e 5 k! 1 P (X = 3) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

212 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Latihan Banyaknya pengunjung yang datang ke sebuah mal mengikuti distribusi Poisson, dengan λ = 5 pengunjung per jam. Tentukan: 1 peluang pengunjung yang datang sebanyak 3 orang dalam satu jam; 2 peluang pengunjung yang datang kurang dari 5 orang dalam satu jam; 3 peluang pengunjung yang datang antara 2 sampai 6 orang dalam satu jam. Solusi: kita memiliki λ = 5 dan t = 1 (dari 1 jam pada keterangan λ = 5 pengunjung per jam). Kita memiliki P (X = k) = 5k e 5 k! 1 P (X = 3) = 53 e 5 3! = P (X < 5) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

213 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Latihan Banyaknya pengunjung yang datang ke sebuah mal mengikuti distribusi Poisson, dengan λ = 5 pengunjung per jam. Tentukan: 1 peluang pengunjung yang datang sebanyak 3 orang dalam satu jam; 2 peluang pengunjung yang datang kurang dari 5 orang dalam satu jam; 3 peluang pengunjung yang datang antara 2 sampai 6 orang dalam satu jam. Solusi: kita memiliki λ = 5 dan t = 1 (dari 1 jam pada keterangan λ = 5 pengunjung per jam). Kita memiliki P (X = k) = 5k e 5 k! 1 P (X = 3) = 53 e 5 3! = P (X < 5) = P (X = 4)+P (X = 3)+P (X = 2)+P (X = 1)+P (X = 0) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

214 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Latihan Banyaknya pengunjung yang datang ke sebuah mal mengikuti distribusi Poisson, dengan λ = 5 pengunjung per jam. Tentukan: 1 peluang pengunjung yang datang sebanyak 3 orang dalam satu jam; 2 peluang pengunjung yang datang kurang dari 5 orang dalam satu jam; 3 peluang pengunjung yang datang antara 2 sampai 6 orang dalam satu jam. Solusi: kita memiliki λ = 5 dan t = 1 (dari 1 jam pada keterangan λ = 5 pengunjung per jam). Kita memiliki P (X = k) = 5k e 5 k! 1 P (X = 3) = 53 e 5 3! = P (X < 5) = P (X = 4)+P (X = 3)+P (X = 2)+P (X = 1)+P (X = 0) = 5 4 e 5 4! + 53 e 5 3! + 52 e 5 2! + 51 e 5 1! + 50 e 5 0! = P (2 X 6) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

215 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Latihan Banyaknya pengunjung yang datang ke sebuah mal mengikuti distribusi Poisson, dengan λ = 5 pengunjung per jam. Tentukan: 1 peluang pengunjung yang datang sebanyak 3 orang dalam satu jam; 2 peluang pengunjung yang datang kurang dari 5 orang dalam satu jam; 3 peluang pengunjung yang datang antara 2 sampai 6 orang dalam satu jam. Solusi: kita memiliki λ = 5 dan t = 1 (dari 1 jam pada keterangan λ = 5 pengunjung per jam). Kita memiliki P (X = k) = 5k e 5 k! 1 P (X = 3) = 53 e 5 3! = P (X < 5) = P (X = 4)+P (X = 3)+P (X = 2)+P (X = 1)+P (X = 0) = 5 4 e 5 4! + 53 e 5 3! + 52 e 5 2! + 51 e 5 1! + 50 e 5 0! = P (2 X 6) = P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) + P (X = 6) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

216 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit Latihan Banyaknya pengunjung yang datang ke sebuah mal mengikuti distribusi Poisson, dengan λ = 5 pengunjung per jam. Tentukan: 1 peluang pengunjung yang datang sebanyak 3 orang dalam satu jam; 2 peluang pengunjung yang datang kurang dari 5 orang dalam satu jam; 3 peluang pengunjung yang datang antara 2 sampai 6 orang dalam satu jam. Solusi: kita memiliki λ = 5 dan t = 1 (dari 1 jam pada keterangan λ = 5 pengunjung per jam). Kita memiliki P (X = k) = 5k e 5 k! 1 P (X = 3) = 53 e 5 3! = P (X < 5) = P (X = 4)+P (X = 3)+P (X = 2)+P (X = 1)+P (X = 0) = 5 4 e 5 4! + 53 e 5 3! + 52 e 5 2! + 51 e 5 1! + 50 e 5 0! = P (2 X 6) = P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5) + P (X = 6) = 52 e 5 2! + 53 e 5 3! + 54 e 5 4! + 55 e 5 5! + 56 e 5 6! = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

217 Bahasan Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu 1 Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang 2 Variabel Acak (Random Variable) 3 Fungsi Distribusi Peluang (Probability Distribution Function) 4 Ukuran Pemusatan Data 5 Variansi dan Standar Deviasi 6 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit 7 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu 8 Statistika pada Pemodelan Sistem MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

218 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu Distribusi Peluang Kontinu Pada distribusi peluang kontinu, nilai peluang yang mungkin dari suatu kejadian bersifat kontinum (continum) dan uncountable. Contoh: MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

219 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu Distribusi Peluang Kontinu Pada distribusi peluang kontinu, nilai peluang yang mungkin dari suatu kejadian bersifat kontinum (continum) dan uncountable. Contoh: Lama waktu jeda antar kedatangan untuk pelanggan/ nasabah pada sebuah layanan ATM. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

220 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu Distribusi Peluang Kontinu Pada distribusi peluang kontinu, nilai peluang yang mungkin dari suatu kejadian bersifat kontinum (continum) dan uncountable. Contoh: Lama waktu jeda antar kedatangan untuk pelanggan/ nasabah pada sebuah layanan ATM. Lama waktu pelayanan ATM yang diperlukan untuk seorang nasabah. Berikut adalah beberapa distribusi peluang kontinu yang sering dipakai: MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

221 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu Distribusi Peluang Kontinu Pada distribusi peluang kontinu, nilai peluang yang mungkin dari suatu kejadian bersifat kontinum (continum) dan uncountable. Contoh: Lama waktu jeda antar kedatangan untuk pelanggan/ nasabah pada sebuah layanan ATM. Lama waktu pelayanan ATM yang diperlukan untuk seorang nasabah. Berikut adalah beberapa distribusi peluang kontinu yang sering dipakai: Distribusi uniform kontinu. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

222 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu Distribusi Peluang Kontinu Pada distribusi peluang kontinu, nilai peluang yang mungkin dari suatu kejadian bersifat kontinum (continum) dan uncountable. Contoh: Lama waktu jeda antar kedatangan untuk pelanggan/ nasabah pada sebuah layanan ATM. Lama waktu pelayanan ATM yang diperlukan untuk seorang nasabah. Berikut adalah beberapa distribusi peluang kontinu yang sering dipakai: Distribusi uniform kontinu. Distribusi eksponensial. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

223 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu Distribusi Peluang Kontinu Pada distribusi peluang kontinu, nilai peluang yang mungkin dari suatu kejadian bersifat kontinum (continum) dan uncountable. Contoh: Lama waktu jeda antar kedatangan untuk pelanggan/ nasabah pada sebuah layanan ATM. Lama waktu pelayanan ATM yang diperlukan untuk seorang nasabah. Berikut adalah beberapa distribusi peluang kontinu yang sering dipakai: Distribusi uniform kontinu. Distribusi eksponensial. Distribusi gamma. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

224 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu Distribusi Peluang Kontinu Pada distribusi peluang kontinu, nilai peluang yang mungkin dari suatu kejadian bersifat kontinum (continum) dan uncountable. Contoh: Lama waktu jeda antar kedatangan untuk pelanggan/ nasabah pada sebuah layanan ATM. Lama waktu pelayanan ATM yang diperlukan untuk seorang nasabah. Berikut adalah beberapa distribusi peluang kontinu yang sering dipakai: Distribusi uniform kontinu. Distribusi eksponensial. Distribusi gamma. Distribusi Weibull. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

225 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu Distribusi Peluang Kontinu Pada distribusi peluang kontinu, nilai peluang yang mungkin dari suatu kejadian bersifat kontinum (continum) dan uncountable. Contoh: Lama waktu jeda antar kedatangan untuk pelanggan/ nasabah pada sebuah layanan ATM. Lama waktu pelayanan ATM yang diperlukan untuk seorang nasabah. Berikut adalah beberapa distribusi peluang kontinu yang sering dipakai: Distribusi uniform kontinu. Distribusi eksponensial. Distribusi gamma. Distribusi Weibull. Distribusi normal. Untuk mempermudah, f X (x) dan F X (x) berturut-turut akan ditulis f (x) dan F (x) bila distribusinya sudah jelas. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

226 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu Distribusi Uniform Kontinu Distribusi Uniform Kontinu Distribusi uniform kontinu memiliki pdf yang bernilai konstan. Diberikan dua bilangan real a dan b dengan a < b, distribusi uniform kontinu dengan parameter a dan b, biasanya ditulis U (a, b), memiliki pdf f (x) = { 1 b a, bila a x b 0, bila x lainnya dan cdf 0, bila x < a x a F (x) = b a, bila a x b 1, bila x > b. Kita dapat menghitung E [X] = a+b 2 dan σ 2 X = (b a)2 12. Pertanyaan: apakah median dan modus dari X yang berdistribusi uniform kontinu? MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

227 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu pdf untuk distribusi uniform kontinu dapat digambarkan sebagai berikut. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

228 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu Contoh Kejadian dengan Distribusi Uniform Kontinu Latihan Sebuah bus datang ke sebuah halte mulai pukul 07 : 00 sampai 21 : 00 setiap 15 menit sekali, dan dimulai pukul 07 : 00 (sehingga bus datang pada pukul 07 : 00, 07 : 15, 07 : 30, 07 : 45, dan seterusnya). Seorang penumpang datang di antara pukul 07 : : 30. Jika waktu kedatangan penumpang berdistribusi uniform, tentukan peluang: 1 penumpang menunggu kurang dari 5 menit untuk naik bus 2 penumpang menunggu setidaknya 12 menit untuk naik bus. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

229 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu Solusi: Kita dapat memisalkan a = 0, b = 30, serta f (x) = 1 b a = 1 30 bila 0 x 30 dan f (x) = 0 untuk x lainnya. 1 Jika penumpang menunggu < 5 menit untuk naik bus, maka ada dua kemungkinan 1 penumpang datang antara pukul MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

230 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu Solusi: Kita dapat memisalkan a = 0, b = 30, serta f (x) = 1 b a = 1 30 bila 0 x 30 dan f (x) = 0 untuk x lainnya. 1 Jika penumpang menunggu < 5 menit untuk naik bus, maka ada dua kemungkinan 1 penumpang datang antara pukul 7 : 10 sampai 7 : 15, peluangnya adalah: P (10 X 15) = 15 1 dx = 1 ; penumpang datang antara pukul MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

231 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu Solusi: Kita dapat memisalkan a = 0, b = 30, serta f (x) = 1 b a = 1 30 bila 0 x 30 dan f (x) = 0 untuk x lainnya. 1 Jika penumpang menunggu < 5 menit untuk naik bus, maka ada dua kemungkinan 1 penumpang datang antara pukul 7 : 10 sampai 7 : 15, peluangnya adalah: P (10 X 15) = 15 1 dx = 1 ; penumpang datang antara pukul 7 : 25sampai 7 : 30, peluangnya adalah: P (25 X 30) = 30 1 dx = 1 ; sehingga peluang penumpang menunggu < 5 menit untuk naik bus adalah MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

232 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu Solusi: Kita dapat memisalkan a = 0, b = 30, serta f (x) = 1 b a = 1 30 bila 0 x 30 dan f (x) = 0 untuk x lainnya. 1 Jika penumpang menunggu < 5 menit untuk naik bus, maka ada dua kemungkinan 1 penumpang datang antara pukul 7 : 10 sampai 7 : 15, peluangnya adalah: P (10 X 15) = 15 1 dx = 1 ; penumpang datang antara pukul 7 : 25sampai 7 : 30, peluangnya adalah: P (25 X 30) = 30 1 dx = 1 ; sehingga peluang penumpang menunggu < 5 menit untuk naik bus adalah = 1 3 = Jika penumpang menunggu 12 menit untuk naik bus, maka ada dua kemungkinan 1 penumpang datang antara pukul MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

233 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu Solusi: Kita dapat memisalkan a = 0, b = 30, serta f (x) = 1 b a = 1 30 bila 0 x 30 dan f (x) = 0 untuk x lainnya. 1 Jika penumpang menunggu < 5 menit untuk naik bus, maka ada dua kemungkinan 1 penumpang datang antara pukul 7 : 10 sampai 7 : 15, peluangnya adalah: P (10 X 15) = 15 1 dx = 1 ; penumpang datang antara pukul 7 : 25sampai 7 : 30, peluangnya adalah: P (25 X 30) = 30 1 dx = 1 ; sehingga peluang penumpang menunggu < 5 menit untuk naik bus adalah = 1 3 = Jika penumpang menunggu 12 menit untuk naik bus, maka ada dua kemungkinan 1 penumpang datang antara pukul 7 : 00 sampai 7 : 03, peluangnya adalah P (0 X 3) = 3 30 = 1 10 ; 2 penumpang datang antara pukul MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

234 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu Solusi: Kita dapat memisalkan a = 0, b = 30, serta f (x) = 1 b a = 1 30 bila 0 x 30 dan f (x) = 0 untuk x lainnya. 1 Jika penumpang menunggu < 5 menit untuk naik bus, maka ada dua kemungkinan 1 penumpang datang antara pukul 7 : 10 sampai 7 : 15, peluangnya adalah: P (10 X 15) = 15 1 dx = 1 ; penumpang datang antara pukul 7 : 25sampai 7 : 30, peluangnya adalah: P (25 X 30) = 30 1 dx = 1 ; sehingga peluang penumpang menunggu < 5 menit untuk naik bus adalah = 1 3 = Jika penumpang menunggu 12 menit untuk naik bus, maka ada dua kemungkinan 1 penumpang datang antara pukul 7 : 00 sampai 7 : 03, peluangnya adalah P (0 X 3) = 3 30 = 1 10 ; 2 penumpang datang antara pukul 7 : 15 sampai 7 : 18, peluangnya adalah P (15 X 18) = 3 30 = 1 10 ; sehingga peluang penumpang menunggu 12 menit untuk naik bus adalah MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

235 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu Solusi: Kita dapat memisalkan a = 0, b = 30, serta f (x) = 1 b a = 1 30 bila 0 x 30 dan f (x) = 0 untuk x lainnya. 1 Jika penumpang menunggu < 5 menit untuk naik bus, maka ada dua kemungkinan 1 penumpang datang antara pukul 7 : 10 sampai 7 : 15, peluangnya adalah: P (10 X 15) = 15 1 dx = 1 ; penumpang datang antara pukul 7 : 25sampai 7 : 30, peluangnya adalah: P (25 X 30) = 30 1 dx = 1 ; sehingga peluang penumpang menunggu < 5 menit untuk naik bus adalah = 1 3 = Jika penumpang menunggu 12 menit untuk naik bus, maka ada dua kemungkinan 1 penumpang datang antara pukul 7 : 00 sampai 7 : 03, peluangnya adalah P (0 X 3) = 3 30 = 1 10 ; 2 penumpang datang antara pukul 7 : 15 sampai 7 : 18, peluangnya adalah P (15 X 18) = 3 30 = 1 10 ; sehingga peluang penumpang menunggu 12 menit untuk naik bus adalah = 2 10 = 0.2. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

236 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu Distribusi Eksponensial Distribusi Eksponensial Distribusi eksponensial merupakan salah satu distribusi yang penting dalam teori antrian, distribusi ini biasanya digunakan untuk menghitung waktu antar kedatangan pelanggan (interarrival time). Misalkan λ menyatakan banyaknya kedatangan pelanggan per-unit interval waktu tertentu. Distribusi eksponensial dengan parameter λ memiliki pdf { λe f (x) = λx, jika x > 0 0, x lainnya dan cdf F (x) = { x 0 λe λu du = 1 e λx, jika x > 0 0, x lainnya Kita memiliki E [X] = 1 λ dan σ2 X = 1 λ 2. Biasanya nilai λ diperoleh dari informasi banyaknya kedatangan pelanggan dalam distribusi Poisson.. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

237 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu pmf distribusi eksponensial dapat digambarkan sebagai berikut. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

238 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu pdf distribusi eksponensial dapat digambarkan sebagai berikut. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

239 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu Contoh Kejadian dengan Distribusi Eksponensial Latihan Banyaknya pengunjung yang datang ke sebuah mal mengikuti distribusi Poisson, dengan λ = 5 pengunjung per jam. Tentukan: 1 Peluang pengunjung berikutnya datang dalam waktu kurang dari 10 menit dari sekarang? 2 Peluang pengunjung berikutnya datang dalam waktu antara 10 sampai 15 menit dari sekarang? Solusi: Kita memiliki f (t) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

240 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu Contoh Kejadian dengan Distribusi Eksponensial Latihan Banyaknya pengunjung yang datang ke sebuah mal mengikuti distribusi Poisson, dengan λ = 5 pengunjung per jam. Tentukan: 1 Peluang pengunjung berikutnya datang dalam waktu kurang dari 10 menit dari sekarang? 2 Peluang pengunjung berikutnya datang dalam waktu antara 10 sampai 15 menit dari sekarang? Solusi: Kita memiliki f (t) = λe λt = 5e 5t dan F (t) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

241 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu Contoh Kejadian dengan Distribusi Eksponensial Latihan Banyaknya pengunjung yang datang ke sebuah mal mengikuti distribusi Poisson, dengan λ = 5 pengunjung per jam. Tentukan: 1 Peluang pengunjung berikutnya datang dalam waktu kurang dari 10 menit dari sekarang? 2 Peluang pengunjung berikutnya datang dalam waktu antara 10 sampai 15 menit dari sekarang? Solusi: Kita memiliki f (t) = λe λt = 5e 5t dan F (t) = 1 e 5t. 1 P (T < 10 menit) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

242 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu Contoh Kejadian dengan Distribusi Eksponensial Latihan Banyaknya pengunjung yang datang ke sebuah mal mengikuti distribusi Poisson, dengan λ = 5 pengunjung per jam. Tentukan: 1 Peluang pengunjung berikutnya datang dalam waktu kurang dari 10 menit dari sekarang? 2 Peluang pengunjung berikutnya datang dalam waktu antara 10 sampai 15 menit dari sekarang? Solusi: Kita memiliki f (t) = λe λt = 5e 5t dan F (t) = 1 e 5t. 1 P (T < 10 menit) = P ( T < 1 6 jam) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

243 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu Contoh Kejadian dengan Distribusi Eksponensial Latihan Banyaknya pengunjung yang datang ke sebuah mal mengikuti distribusi Poisson, dengan λ = 5 pengunjung per jam. Tentukan: 1 Peluang pengunjung berikutnya datang dalam waktu kurang dari 10 menit dari sekarang? 2 Peluang pengunjung berikutnya datang dalam waktu antara 10 sampai 15 menit dari sekarang? Solusi: Kita memiliki f (t) = λe λt = 5e 5t dan F (t) = 1 e 5t. 1 P (T < 10 menit) = P ( T < 1 6 jam) = F ( 1 6) = 1 e 5 6 = P (10 menit < T < 15 menit) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

244 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu Contoh Kejadian dengan Distribusi Eksponensial Latihan Banyaknya pengunjung yang datang ke sebuah mal mengikuti distribusi Poisson, dengan λ = 5 pengunjung per jam. Tentukan: 1 Peluang pengunjung berikutnya datang dalam waktu kurang dari 10 menit dari sekarang? 2 Peluang pengunjung berikutnya datang dalam waktu antara 10 sampai 15 menit dari sekarang? Solusi: Kita memiliki f (t) = λe λt = 5e 5t dan F (t) = 1 e 5t. 1 P (T < 10 menit) = P ( T < 1 6 jam) = F ( 1 6) = 1 e 5 6 = P (10 menit < T < 15 menit) = P ( T < 1 4 jam) P ( T < 1 6 jam) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

245 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu Contoh Kejadian dengan Distribusi Eksponensial Latihan Banyaknya pengunjung yang datang ke sebuah mal mengikuti distribusi Poisson, dengan λ = 5 pengunjung per jam. Tentukan: 1 Peluang pengunjung berikutnya datang dalam waktu kurang dari 10 menit dari sekarang? 2 Peluang pengunjung berikutnya datang dalam waktu antara 10 sampai 15 menit dari sekarang? Solusi: Kita memiliki f (t) = λe λt = 5e 5t dan F (t) = 1 e 5t. 1 P (T < 10 menit) = P ( T < 1 6 jam) = F ( 1 6) = 1 e 5 6 = P (10 menit < T < 15 menit) = P ( T < 1 4 jam) P ( T < 1 6 jam) = F ( ( 1 4) F 1 ) ( ) ( ) 6 = 1 e e 1 6 = e 1 6 e 1 4 = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

246 Distribusi Normal Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu Distribusi Normal Distribusi normal merupakan distribusi yang penting dalam statistika. Distribusi ini juga dikenal sebagai ditribusi Gaussian (karena dipopulerkan oleh Gauss). Distribusi normal dengan mean µ dan variansi σ 2 selanjutnya ditulis N ( µ, σ 2) dan memiliki pdf dan cdf F (x) = x ( f (x) = 1 σ 2π exp f (u) du = x ) (x µ)2 2σ 2 ( ) 1 σ 2π exp (u µ)2 2σ 2. Biasanya kita melakukan konversi sehingga variabel acak yang ditinjau memiliki µ = 0 dan σ = 1, yaitu dengan mendefinisikan variabel acak Z = x µ σ. Akibatnya diperoleh pmf f (z) = 1 ) exp ( x2. 2π 2 MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

247 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu pmf dari distribusi normal N ( µ, σ 2) untuk beberapa nilai µ dan σ 2 dapat digambarkan dalam grafik berikut. Pada variabel acak yang berdistribusi normal, nilai mean, median, dan modus semuanya sama. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

248 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu Contoh Kejadian dengan Distribusi Normal Latihan Nilai mahasiswa di sebuah kampus mengikuti distribusi normal, dengan rata-rata 60 dan variansi 20. Tentukan peluang: 1 seorang mahasiswa memiliki nilai di atas 70; 2 seorang mahasiswa memiliki nilai di antara MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

249 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu Solusi: Misalkan X adalah variabel acak yang menunjukkan nilai mahasiswa, kita dapat mengkonversi X ke variabel acak Z = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

250 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu Solusi: Misalkan X adalah variabel acak yang menunjukkan nilai mahasiswa, kita dapat mengkonversi X ke variabel acak Z = x sehingga Z memiliki µ = 0 dan σ 2 = 1. 1 P (X > 70) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

251 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu Solusi: Misalkan X adalah variabel acak yang menunjukkan nilai mahasiswa, kita dapat mengkonversi X ke variabel acak Z = x sehingga Z memiliki µ = 0 dan σ 2 = 1. 1 P (X > 70) = 1 P (X 70) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

252 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu Solusi: Misalkan X adalah variabel acak yang menunjukkan nilai mahasiswa, kita dapat mengkonversi X ke variabel acak Z = x sehingga Z memiliki µ = 0 dan σ 2 = 1. 1 P (X > 70) = 1 P (X 70) = 1 P ( Z 2) 1, karena jika x = 70, maka z = = 1 2. Dengan bantuan tabel distribusi normal atau perangkat lunak pengolah data, P ( Z 2) 1 = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

253 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu Solusi: Misalkan X adalah variabel acak yang menunjukkan nilai mahasiswa, kita dapat mengkonversi X ke variabel acak Z = x sehingga Z memiliki µ = 0 dan σ 2 = 1. 1 P (X > 70) = 1 P (X 70) = 1 P ( Z 2) 1, karena jika x = 70, maka z = = 1 2. Dengan bantuan tabel distribusi normal atau perangkat lunak pengolah data, P ( ) ( ) Z = 2 1 2π exp x2 2 dx = , sehingga P (X > 70) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

254 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu Solusi: Misalkan X adalah variabel acak yang menunjukkan nilai mahasiswa, kita dapat mengkonversi X ke variabel acak Z = x sehingga Z memiliki µ = 0 dan σ 2 = 1. 1 P (X > 70) = 1 P (X 70) = 1 P ( Z 2) 1, karena jika x = 70, maka z = = 1 2. Dengan bantuan tabel distribusi normal atau perangkat lunak pengolah data, P ( ) ( ) Z = 2 1 2π exp x2 2 dx = , sehingga P (X > 70) = = P (60 X 90) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

255 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu Solusi: Misalkan X adalah variabel acak yang menunjukkan nilai mahasiswa, kita dapat mengkonversi X ke variabel acak Z = x sehingga Z memiliki µ = 0 dan σ 2 = 1. 1 P (X > 70) = 1 P (X 70) = 1 P ( Z 2) 1, karena jika x = 70, maka z = = 1 2. Dengan bantuan tabel distribusi normal atau perangkat lunak pengolah data, P ( ) ( ) Z = 2 1 2π exp x2 2 dx = , sehingga P (X > 70) = = P (60 X 90) = P (X 90) P (X 60), dengan konversi ke N (0, 1), maka melalui bantuan tabel distribusi normal atau perangkat lunak pengolah data P (X 90) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

256 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu Solusi: Misalkan X adalah variabel acak yang menunjukkan nilai mahasiswa, kita dapat mengkonversi X ke variabel acak Z = x sehingga Z memiliki µ = 0 dan σ 2 = 1. 1 P (X > 70) = 1 P (X 70) = 1 P ( Z 2) 1, karena jika x = 70, maka z = = 1 2. Dengan bantuan tabel distribusi normal atau perangkat lunak pengolah data, P ( ) ( ) Z = 2 1 2π exp x2 2 dx = , sehingga P (X > 70) = = P (60 X 90) = P (X 90) P (X 60), dengan konversi ke N (0, 1), maka melalui bantuan tabel distribusi normal atau perangkat lunak pengolah data P (X 90) = P ( ) ( ) Z = 2 1 2π exp x2 2 dx = dan P (X 60) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

257 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu Solusi: Misalkan X adalah variabel acak yang menunjukkan nilai mahasiswa, kita dapat mengkonversi X ke variabel acak Z = x sehingga Z memiliki µ = 0 dan σ 2 = 1. 1 P (X > 70) = 1 P (X 70) = 1 P ( Z 2) 1, karena jika x = 70, maka z = = 1 2. Dengan bantuan tabel distribusi normal atau perangkat lunak pengolah data, P ( ) ( ) Z = 2 1 2π exp x2 2 dx = , sehingga P (X > 70) = = P (60 X 90) = P (X 90) P (X 60), dengan konversi ke N (0, 1), maka melalui bantuan tabel distribusi normal atau perangkat lunak pengolah data P (X 90) = P ( ) ( ) Z = 2 1 2π exp x2 2 dx = dan P (X 60) = P (Z 0) = ( ) 0 1 2π exp x2 2 dx = 0.5. Sehingga p (60 X 90) = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

258 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu Solusi: Misalkan X adalah variabel acak yang menunjukkan nilai mahasiswa, kita dapat mengkonversi X ke variabel acak Z = x sehingga Z memiliki µ = 0 dan σ 2 = 1. 1 P (X > 70) = 1 P (X 70) = 1 P ( Z 2) 1, karena jika x = 70, maka z = = 1 2. Dengan bantuan tabel distribusi normal atau perangkat lunak pengolah data, P ( ) ( ) Z = 2 1 2π exp x2 2 dx = , sehingga P (X > 70) = = P (60 X 90) = P (X 90) P (X 60), dengan konversi ke N (0, 1), maka melalui bantuan tabel distribusi normal atau perangkat lunak pengolah data P (X 90) = P ( ) ( ) Z = 2 1 2π exp x2 2 dx = dan P (X 60) = P (Z 0) = ( ) 0 1 2π exp x2 2 dx = 0.5. Sehingga p (60 X 90) = = MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

259 Bahasan Statistika pada Pemodelan Sistem 1 Definisi dan Istilah dalam Teori Peluang 2 Variabel Acak (Random Variable) 3 Fungsi Distribusi Peluang (Probability Distribution Function) 4 Ukuran Pemusatan Data 5 Variansi dan Standar Deviasi 6 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Diskrit 7 Beberapa Jenis Distribusi Peluang Kontinu 8 Statistika pada Pemodelan Sistem MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

260 Statistika pada Pemodelan Sistem Statistika pada Pemodelan Sistem Statistika pada pemodelan sistem dipakai dalam membuat: 1 model sistem antrian; 2 model sistem inventori dan supply chain (rantai pasok); 3 model keandalan (reliability) dan maintanability; 4 memodelkan sistem yang terkendala dengan keterbatasan data. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

261 Statistika pada Pemodelan Sistem Statistika pada Sistem Antrian Pada sistem antrian, waktu kedatangan pelanggan dan lama waktu layanan bersifat probabilistik. Biasanya waktu dimodelkan dengan: 1 distribusi eksponensial bila layanan diberikan secara acak (random) 2 distribusi normal bila layanan diberikan secara hampir seragam namun ada variasinya 3 distribusi gamma dan Weibull. Kemudian biasanya banyaknya pelanggan yang datang dalam interval waktu tertentu berdistribusi Poisson. MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80

262 Statistika pada Pemodelan Sistem Statistika pada Inventori dan Rantai Pasok (Supply Chain) Biasanya ada tiga variabel acak yang ditinjau pada sistem inventori maupun rantai pasok (supply chain): 1 banyak unit yang diminta per pemesanan, atau banyak unit yang diminta per waktu (dapat berdistribusi Poisson, binomial negatif, atau geometrik); 2 waktu antar pemesanan (dapat berdistribusi eksponensial atau gamma); 3 lead time (biasanya berdistribusi gamma). MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari / 80