UKURAN PEMUSATAN DATA

Transkripsi

1 Pertemuan ketiga UKURAN PEMUSATAN DATA Karakteristik suatu kumpulan data adalah : (1). Memusat pada nilai tertentu dari suatu distribusi, yang disebut nilai pusat (middle of data set), dan (2). Menyebar/berpencar (spread of data set). Termasuk dalam ukuran tendensi sentral (measures of central tendency) : rata-rata hitung, rata-rata geometric, rata-rata harmonic, median dan modus. Jenis ukuran penyebaran (measures of dispersion) yaitu penyebaran mutlak dan penyebaran relative. Termasuk dalam penyebaran adalah : range, deviasi kuartil, simpangan rata-rata, varians, simpangan baku. A. Rata-rata Hitung (Mean) Rata-rata hitung merupakan jumlah dari seluruh nilai data dibagi dengan banyaknya data. Rumus rata-rata hitung untuk data kuantitatif tanpa pengelompokkan, dimana datanya x 1, x 2, x 3, x 4,, x n dengan data n buah, adalah : Cari mean dari 5 orang mahasiswa hasil ujian mata kuliah statistik, jika x 1 = 70, x 2 = 65, x 3 = 30, x 4 = 45, dan x 5 = 60! Rumus rata-rata hitung untuk data kuantitatif yang sudah dikelompokkan, dihitung dengan rumus : x i adalah titik tengah masing-masing kelas f i adalah frekuensi masing-masing kelas Cari mean dari data distribusi frekuensi berikut : No. Kelas Interval Frekuensi (fi) xi fi.xi , , Σfi = 80 Σfi.xi = Maka meannya adalah : IBM LENOVO FE-UWP-STATISTIKA 1

2 Mencari mean dengan cara coding, rumusnya : Ci adalah pengkodean (mulai dari 0) Xo adalah nilai tengah kelas yang memakai kode 0 P = panjang kelas/interval No. Kelas Interval Frekuensi (fi) c i f i.c i x , , Σf i = 80 Σf i.c i = Maka nilai rata-ratanya : B. M o d u s Modus adalah nilai yang mempunyai frekuensi terbesar dalam suatu kumpulan data. Modus berguna untuk mengetahui tingkat seringnya terjadi suatu peristiwa. Jika nilai yang tampil dengan frekuensi tertinggi ada dua disebut bimodal, kalau ada tiga disebut trimodal, kalau ada banyak disebut multimodal. Modus dapat digunakan untuk semua skala pengukuran data mulai dari nominal hingga ratio. Dari data 10 orang mahasiswa yang mengikuti tes statistika sebgai berikut : 50, 40, 37, 50, 50, 60, 80, 80, 70, 90. Maka modusnya (Mo) adalah : 50. Untuk menentukan modus dari data kuantitatif dengan data distribusi frekuensi, rumus yang dipakai : b = Tepi batas bawah kelas modus P = Panjang kelas/interval b 1 = Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas sebelumnya b 2 = Frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas berikutnya IBM LENOVO FE-UWP-STATISTIKA 2

3 Diketahui distribusi frekuensi dibawah ini : Σf = Berdasarkan tabel di atas, didapat : b 1 = = 5 b 2 = 25 5 = 20 b = ( ) : 2 = 80,5 P = 10 Sehingga modusnya adalah : Kelas modus C. M e d i a n Median merupakan nilai tengah dari nilai-nilai pengamatan yang disusun secara teratur menurut besarnya data. Median membagi nilai pengamatan yang ada pada gugus data sehingga 50% terletak dibawah median dan 50% di atas median. Median dapat dipergunakan bila skala pengukuran datanya minimal ordinal, sehingga terhadap nilai-nilai pengamatan dapat dilakukan pemeringkatan untuk menemukan nilai pengamatan yang berlokasi di tengah. Median dari data berikut : 2, 3, 5, 7, 8, 9, 10 adalah 7 (untuk data ganjil). Dan median dari data 2, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 11 adalah (7 + 8) /2 = 7,5 (untuk data genap) Untuk menentukan median dari data yang dikelompokkan dalam data distribusi frekuensi menggunakan rumus : b = tepi batas bawah kelas median P = panjang kelas/interval F = Jumlah frekuensi sebelum kelas median f = Frekuensi kelas median n = jumlah seluruh frekuensi Diketahui tabel distribusi frekuensi di bawah ini : Kelas median Σf = IBM LENOVO FE-UWP-STATISTIKA 3

4 Berdasarkan tabel di atas : Kelas median adalah : 72/2 = 36,5 (angka 36,5 terletak di kelas interval 5) sehingga didapat : b = 70,5; p = 10; F = 23; f = 20; n = 73. Dengan demikian nilai mediannya adalah : D. Hubungan Mean, Median dan Modus Hubungan antara mean, median dan modus dari suatu distribusi frekuensi adalah sebagai berikut : Bila nilai mean, nilai median dan nilai modus sama besar ( = Me = Mo), artinya nilai mean, median dan modus terletak pada satu titik dari kurva distribusi frekuensi, dan kurva/data tersebut berbentuk simetris (symmetrical curve) Bila nilai mean lebih besar dari nilai median dan nilai modus ( > Me > Mo ), artinya nilai mean terletak di sebelah kanan kurva distribusi frekuensi, kemudian median di tengah dan modus dikiri, maka kurva/data tersebut bentunya tidak simetris dan menceng kesebelah kanan (skewed right) Bila nilai mean lebih kecil dari nilai median dan nilai modus ( = Me = Mo), artinya nilai mean terletak disebelah kiri kurva distribusi frekuensi, kemudian median di tengah dan modus di kanan, maka kurva/data tersebut bentuknya tidak simetris dan menceng ke sebelah kiri (skewed left) E. K u a r t i l Kuartil merupakan nilai-nilai yang membagi data yang telah diurutkan menjadi empat bagian yang sama, sehingga dalam suatu gugus data didapati 3 kuartil (kuartil 1, kuartil 2 atau median, dan kuartil 3). Untuk lebih jelas perhatikan gambar berikut : Gugus data dalam kuartil Q 1 Q 2 Q 3 Lowes observation ¼ of items ¼ of items ¼ of items ¼ of items 1 st quartile 2 nd quartile (median) 1 rd quartile highest observation Untuk menentukan nilai kuartil perlu diperhatikan langkah-langkah berikut, yaitu : 1. Susun data tersebut menurut nilainya, 2. Tentukan letak kuartil, dan 3. Tentukan nilai kuartil Letak kuartil : Q k = Kuartil ke-k k = 1, 2, 3 N = Banyak data/observasi Tentukan letak Q 1, Q 2, dan Q 3 serta nilainya dari data berikut : 35, 40, 70, 80, 91, 50, 61, 25, , 35, 40, 50, 61, 70, 80, 91, 95 IBM LENOVO FE-UWP-STATISTIKA 4

5 Letak kuartil 1 (Q 1 ) adalah : Q 1 = 1(9 + 1) : 4 = 2,5. Jadi kuarti ke 1 terletak diantara data ke 2 dan ke 3. Maka nilai kuartil 1 adalah data ke 2 + ½ (data ke 3 data ke 2) = 35 + ½(40 35) = 35 + ½(5) = 37,5 Letak kuartil 2 (Q 2 adalah Q 2 = 2(9 + 1) : 4 = 5. Jadi kuartil ke 2 terletak pada data ke 5 yaitu 61 (nilai kuartil 2 adalah 61) Letak kuartil 3 (Q 3 ) adalah Q 3 = 3(9 + 1) : 4 = 7,5. Jadi kuartil ke 3 terletak di antara data ke 7 dan data ke 8, maka kuartil 3 adalah data ke 7 + ½(data ke 8 data ke 7) = 80 + ½(91 80) = 80 + ½(11) = 85,5. Rumus untuk mencari nilai kuartil untuk data yang telah dikelompokkan dalam distribusi frekuensi adalah : Q k = kuartil ke k k = 1, 2, 3 B 1 = batas bawah kelas yang mengandung Q k i = interval kelas Cfb = jumlah frekuensi sebelum kelas yang mengandung Q k f Q = frekuensi kelas yang mengandung Q k n = banyak observasi Cari letak dan nilai Q 1, Q 2, dan Q 3 dari data sebagai berikut : Letak Q 1 Letak Q 2 Letak Q Σf = 80 Berdasarkan tabel di atas didapat : Letak Qi = (k/4). N Letak Q1 = (1/4). 80 = 20 Letak Q2 = (2/4). 80 = 40 Letak Q3 = (3/4). 80 = 60 Untuk Q 1 = k = 1, cfb = 8, B 1 = 60,5; i = 10, f Q = 15, N = 80. Nilai kuartil 1 nya adalah : Untuk Q 2 = k = 2, cfb = 23, B 1 = 70,5; i = 10, f Q = 20, N = 80. Nilai kuartil 2 nya adalah : Untuk Q 3 = k = 3, cfb = 43, B 1 = 80,5; i = 10, f Q = 25, N = 80. Nilai kuartil 3 nya adalah : IBM LENOVO FE-UWP-STATISTIKA 5

6 F. D e s i l Jika kelompok suatu data dapat dibagi menjadi 10 bagian yang sama didapat 9 pembagi dan tiap pembagi disebut desil. Rumus mencari letak desil untuk data yang tidak dikelompokkan dalam distribusi frekuensi adalah : Letak desil : D k = Desil ke-k k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 N = Banyak data/observasi Cari letak dan nilai D 2, D 4, D 6 dari data sebagai berikut : 30, 46, 47, 50, 35, 25, 40, 40, 55, 60, 70, 80, 90! Rumus mencari nilai desil untuk data yang telah dikelompokkan dalam distribusi frekuensi adalah : D k = Desil ke k k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 B 1 = batas bawah kelas yang mengandung D k i = interval kelas Cfb = jumlah frekuensi sebelum kelas yang mengandung D k f D = frekuensi kelas yang mengandung D K n = banyak observasi Cari letak nilai D 2, D 4, D 6,D 8 dari data sebagai berikut : Letak D 2 Letak D 4 Letak D 6 dan D Σf = 80 IBM LENOVO FE-UWP-STATISTIKA 6

7 Misal kita ambil D 8 Letak D 8 = (8 x 80)/10 = 64 Maka nilai Misal kita ambil D 2 Letak D 2 = (2 x 80)/10 = Maka nilai Misal kita ambil D 4 Letak D 4 = (4 x 80)/10 = Maka nilai Misal kita ambil D 6 Letak D 6 = (6 x 80)/10 = Maka nilai G. P e r s e n t i l (Percentile) Jika suatu data dibagi menjadi 100 bagian yang sama didapat 99 pembagi, dan setiap pembagi disebut persentil. Letak persentil : D k = Persentil ke-k k = 1, 2, 3, 4, 5, 6,, 99 N = Banyak data/observasi Tentukan letak P 20 serta nilainya dari data berikut ini : 35, 40, 70, 80, 91, 50, 61, 25, 95 25, 35, 40, 50, 61, 70, 80, 91, 95 Letak persentil 20 (P 20 ) adalah : P 20 = 20(9 + 1)/100 = 2. Jadi persentil ke 20 terletak pada data ke 2, yaitu 35. Rumus mencari nilai persentil untuk data yang telah dikelompokkan dalam distribusi frekuensi adalah : P k = Persentil ke k k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 B 1 = batas bawah kelas yang mengandung P k i = interval kelas Cfb = jumlah frekuensi sebelum kelas yang mengandung P k f D = frekuensi kelas yang mengandung P K n = banyak observasi IBM LENOVO FE-UWP-STATISTIKA 7

8 Cari letak nilai P 50 dan P 75 dari data sebagai berikut : Letak P Σf = 80 Letak P 50 = (50 x 80) / 100 = 40 Letak P 75 = L A T I H A N 1. Dari 100 orang mahasiswa Program Studi FE Universitas Wijaya Putra Surabaya yang mengikuti ujian akhir semester mata kuliah statistic, diambil sampel secara acak 10 orang mahasiswa untuk nilai ujiannya. Setelah diteliti, didapat data sebagai berikut : 60, 70, 75, 80, 55, 100, 90, 65, 70, 85. Hitunglah rata-rata hitung nilai mahasiswa tersebut! 2. Apa yang akan anda tuliskan tentang modus dalam suatu percobaan bila : a. dari 10 percobaan tidak ada nilai yang sama b. dari 6 percobaan semua nilai sama c. dari 6 percobaan, nilainya 1, 2, 3, 3, 4, dan 4 3. Hitunglah nilai rata-rata, median dan modus dari distribusi frekuensi berikut : Kelas Frekuensi Sampel acak 50 orang karyawan perusahaan, setelah diteliti mengenai besar pengeluaran per bulannya, diperoleh data sebgai berikut : Pengeluaran Per Bulan (dalam ribuan rupiah) Banyak Pegawai (orang) Diminta IBM LENOVO FE-UWP-STATISTIKA 8

9 a. Rata-rata hitung besarnya pengeluaran per bulan 50 karyawan tersebut b. Modus besarnya pengeluaran per bulan 50 karyawan tersebut c. Median besarnya pengeluaran per bulan 50 karyawan tersebut d. Tunjukkan hubungan rata-rata, modus, dan median di atas dalam bentuk kurva 5. Maju, Inc. adalah distributor barang-barang elektronika. Dalam bisnis ini, kepastian waktu yang dibutuhkan pelanggan untuk mambayar faktur mereka adalah sangat penting. Berikut adalah sampel dari Maju, Inc. yang menyatakan susunan faktur dari yang terkecil ke yang terbesar, berdasarkan waktu dan hari : 13, 113, 13, 20, 26, 27, 31, 34, 34, 34, 35, 35, 36, 37, 38, 41, 41, 41, 45, 47, 47, 47, 50, 51, 53, 54, 56, 62, 67, 82. Diminta a. Tentukan nilai kuartil 1 dan 3 b. Tentukan nilai desil 2 dan 8 c. Tentukan nilai persentil ke 67 IBM LENOVO FE-UWP-STATISTIKA 9