Universitas Gadjah Mada Fakultas Teknik Departemen Teknik Sipil dan Lingkungan PROBABILITAS. Statistika dan Probabilitas

Transkripsi

1 Universitas Gadjah Mada Fakultas Teknik Departemen Teknik Sipil dan Lingkungan PROBABILITAS Statistika dan Probabilitas

2 2 Peluang (Probabilitas) Peluang/Probabilitas/Risiko Peluang Risiko Probabilitas

3 Probabilitas 3 Probabilitas Peluang Kemungkinan Mengapa probabilitas? Orang tidak dapat memastikan nilai suatu proses (misal erupsi gunung berapi) berdasarkan data erupsi selama waktu yang lalu sampai saat ini. Sifat stokastik ataupun ketidak-pastian merupakan sifat yang melekat pada proses (yang melibatkan) alam.

4 4 Keterlambatan kedatangan bus Keterlambatan (menit) Frekuensi Frekuensi relatif Persentase % % % % % % % % % % Jumlah = % Dapatkah Sdr memperkirakan berapa menit keterlambatan kedatangan bus pada jadwal berikutnya?

5 5 Probabilitas Definisi 1 Andaikata suatu peristiwa random dapat terjadi dalam n cara yang masing-masing memiliki kemungkinan yang sama, dan apabila sejumlah n a cara memberikan hasil A, maka probabilitas terjadinya peristiwa dengan hasil A adalah n a /n prob ( A) n = n a Dalam definisi di atas, n adalah himpunan semua yang mungkin terjadi. Definisi di atas berasumsi bahwa n diketahui, padahal himpunan semua cara yang mungkin pada kenyataannya tidak selalu diketahui atau tidak terjadi atau tidak diamati atau tidak dihitung.

6 6 Probabilitas Definisi 2 Andaikata suatu peristiwa random terjadi berkali-kali dalam jumlah yang sangat besar, n kali, dan sejumlah n a kali memiliki hasil A, maka probabilitas peristiwa dengan hasil A adalah prob ( A) = lim n na n Definisi di atas berbeda dengan definisi #1 dalam hal-hal berikut: n n n Probabilitas suatu kejadian diperkirakan (can be estimated) berdasarkan observasi sejumlah n kali. n di sini tidak/bukan merupakan himpunan semua kejadian yang mungkin; dalam hal ini, tidak diperlukan untuk mengetahui atau melakukan observasi terhadap semua kemungkinan Setiap cara yang mungkin terjadi (dalam n tersebut) tidak harus memiliki kemungkinan yang sama untuk terjadi.

7 Probabilitas 7 Definisi 2: butuh berapa n? Contoh n Pada 2 set pengamatan (sampel) yang tidak saling terkait/tergantung, perkiraan probabilitas kejadian A dapat ditetapkan berdasarkan masing-masing sampel tersebut. n Kedua nilai probabilitas tidak selalu sama satu dengan yang lain. n Kedua nilai probabilitas tidak selalu sama dengan perkiraan probabilitas A yang ditetapkan dengan pengamatan sejumlah tak-berhingga kali. Problem: berapa jumlah pengamatan, n, yang diperlukan untuk mendapatkan estimasi probabilitas A yang dapat diterima?

8 Probabilitas 8 Kisaran (range) probabilitas Dari kedua definisi, kisaran probabilitas adalah 0 s.d. 1. prob(a) = 0 hampir tidak mungkin terjadi (nearly impossible) prob(a) = 1 hampir pasti terjadi (almost certain)

9 Probabilitas 9 Misal suatu experimen (proses) menghasilkan sejumlah output yang berupa variabel random Himpunan semua hasil yang mungkin didapat disebut sample space. Setiap elemen di dalam sample space disebut sample points (elemen) Setiap elemen di dalam sample space memiliki faktor/bobot/weight (positif) sedemikian hingga jumlah weight seluruh elemen bernilai 1. Nilai bobot berbanding lurus dengan kemungkinan experimen akan memberikan hasil elemen tersebut. Bobot tidak lain adalah probabilitas.

10 10 Probabilitas Tabel Frekuensi Nomor Keterlambatan (menit) Frekuensi Frekuensi Relatif Jumlah =

11 Probabilitas - Histogram 11 Keterlambatan Kedatangan Bus di Suatu Perhentian Selama 30 Jadwal Kedatangan Frekuensi Keterlambatan (menit)

12 12 Probabilitas Sample Space Sample Elements

13 13 Sample Space & Sample Elements Contoh #1: Suatu DAS memiliki 3 stasiun: Sta-1, Sta-2, Sta-3. Experimen: meneliti setiap stasiun perlu/tidak untuk dilakukan penggantian alat Output: (y,n,y) Sta-1 perlu penggantian alat (y = yes) Sta-2 tak perlu penggantian alat (n = no) Sta-3 perlu penggantian alat (y = yes)

14 14 Sample Space & Sample Elements Sample space: Alternatif 1 n S 1 ={(y,y,y),(y,y,n),(y,n,y),(n,y,y), (y,n,n),(n,y,n),(n,n,y),(n,n,n)} n S 1 adalah discrete sample space: jumlah elemen di dalam S1 dapat dihitung. n Apabila experimen dilakukan satu kali saja, maka salah satu elemen S1 pasti terjadi. Sample space: Alternatif 2 n S 2 ={0,1,2,3} n S 2 adalah discrete sample space. n Hanya ingin diketahui jumlah stasiun yang perlu dikalibrasi. n Tidak diperlukan untuk mengetahui stasiun mana yang perlu dikalibrasi. n Informasi yang diperoleh lebih sedikit daripada S 1.

15 15 Sample Space & Sample Elements Contoh #2: Pengukuran angin: kecepatan (km/jam) dan arah ( ). Output: (x,y) x = kecepatan (km/jam) y = arah ( )

16 16 Sample Space & Sample Elements Sample space: Alternatif 1 Ω 1 {( x, y) : x 0, 0 360} = y y ( o ) continuous sample space Sample space: Alternatif 2 Ω 2 = { +, } dicrete sample space n + = kecepatan > 60 (km/jam) n = kecepatan < 60 (km/jam) x (km/jam)

17 17 Events Event adalah suatu himpunan bagian (subset) dari sample space Suatu event terjadi jika dan hanya jika hasil dari experimen adalah anggota event tersebut Contoh: Penggantian alat di Sta-1, Sta-2, Sta-3 Event A: paling sedikit 2 stasiun perlu penggantian alat A={(y,y,y),(y,y,n),(y,n,y),(n,y,y)} Event B: tak ada stasiun yang perlu penggantian alat B={(n,n,n)} Event C: 2 stasiun perlu penggantian alat C={(y,y,n),(y,n,y),(n,y,y)}

18 18 Diagram Venn Notasi: S = sample space E i = elemen di dalam S A,B = events di dalam S prob(e i ) = probabilitas elemen E i! A B 0 prob S = prob i E ( E ) i i 1 ( S) = prob( E ) = 1 i S E 1 E 2 E 3 S E 1 E 2 E 3 A A B B A B E 4 E i E n E 4 E i E n

19 19 Probabilitas suatu Event Event A A = n i = m 0 prob E Event A dan B prob A B i n ( A) = prob( E ) 1 i= m i ( ) = prob( A) + prob( B) prob( A B) Apabila A dan B tak bergantung satu dengan yang lainnya (independent), maka ( ) = prob( A) + prob( B) prob A B

20 20 Probabilitas suatu Event Event A c (= komplemen event A) prob prob prob c ( A A ) = 0 c c ( A A ) = A) + prob( A ) c ( A) = 1 prob( A ) = 1 S E 1 E 2 E 3 A E 4 E i E n

21 21 Probabilitas Bersyarat (Conditional Probability) Probabilitas suatu event (event B) bergantung pada terjadinya event lain (event A). S E 1 E 2 E 3 A A B B E 4 E i E n prob(b A) = prob(b) dengan syarat event A terjadi» sample space berubah dari S menjadi A,» event diwakili oleh A B prob( B A) = ( ) prob( A) prob A B prob( A B) = prob A, prob( A) 0 ( ) ( ) prob B A

22 22 Probabilitas Bersyarat (Conditional Probability) Apabila event B tak bergantung pada event A (keduanya merupakan independent events), maka prob(b A) = prob(b), dan prob(a B) = prob(a) prob(b)

23 23 Probabilitas Bersyarat (Conditional Probability) Contoh Data pengamatan hari hujan di suatu wilayah menunjukkan probabilitas hari hujan sbb. hari hujan setelah hari hujan = hari tak hujan setelah hari hujan = hari tak hujan setelah hari tak hujan = hari hujan setelah hari tak hujan = Apabila dijumpai bahwa suatu hari terjadi hujan, berapakah probabilitas bahwa 2 hari berikutnya juga hujan?

24 Probabilitas Bersyarat (Conditional Probability) 24 Cara penyelesaian yang lain Probabilitas hujan pada suatu hari adalah p = Suatu hari (hari ke-0) terjadi hujan Probabilitas hujan saat itu adalah p = hari ke-i hari ke-(i+1) hari ke-(i+2) h h h p = p = p = th p = th

25 25 Probabilitas Total (Total Probability) Apabila B 1, B 2,, B n adalah serangkaian events yang tidak saling berkaitan (mutually exclusive events) dan masing-masing memiliki probabilitas tidak sama dengan nol, prob(b i ) 0, i, maka B 1 B 2 B n = S B i B j = 0, i,j (i j) prob(b i ) > 0, i

26 26 Probabilitas Total (Total Probability) Probabilitas suatu event A dapat dituliskan sbb. S B 2 B 3 B 1 A B 4 prob B 5 B i B n B n 1 ( A) = prob[ ( A B1 ) ( A B2 )... ( A Bn )] = prob( A B ) + prob( A B ) prob( A B ) 1 2 n

27 27 Probabilitas Total (Total Probability) Dari probabilitas bersyarat (conditional probability) prob prob ( A B1 ) = prob( A) prob( B1 A) ( B A) = prob( B ) prob( A B ) prob( A B ) = prob( B A) prob 1 ( A) prob( B A) = prob( B ) prob( AB ) S B 2 B 3 B 1 A B 5 B i B n B n 1 B 4 prob ( A) = prob( A B ) + prob( A B ) prob( A B ) = prob 1 n = prob i= 1 ( B ) prob( A B ) prob( B ) prob( A B ) ( B ) prob( A B ) i 1 1 i 2 n n n

28 Probabilitas Total (Total Probability) 28 Contoh Data genangan di suatu wilayah permukiman menunjukkan bahwa probabilitas terjadinya genangan adalah 0.80 saat hari hujan dan 0.25 saat tak hujan. Diketahui bahwa probabilitas hari hujan adalah Berapakah probabilitas terjadinya genangan di wilayah tersebut?

29 29 Probabilitas Total (Total Probability) Penyelesaian event G = terjadi genangan event H = hari hujan event H c = hari tak hujan prob c c ( G) = prob( H) prob( GH) + prob( H ) prob( GH ) = = ( ) 0.25

30 30 Teorema Bayes Dari conditional probability prob( A B) = prob( A) prob B A ( ) ( ) ( ) = prob( B) prob A B prob B A Karena prob(a B) = prob(b A), maka prob( A) prob B A ( ) = prob B ( ) ( ) prob A B... (1)... (2)... (3) Untuk event A dan event B j, persamaan di atas menjadi prob( A) prob B j A ( ) = prob B j ( ) prob( A B j )... (4)

31 31 Teorema Bayes Dari total probability prob A ( ) = prob( B i ) prob A B i i=1 Dengan (5) à (4) n ( ) = prob B j n prob B j A i=1 ( ) ( ) prob( A B j ) ( ) prob( A B i ) prob B i... (5)... (6)

32 32 Teorema Bayes Pemakaian Untuk mencari probabilitas event B j apabila diketahui event A telah terjadi. Untuk mencari (memperkirakan) probabilitas suatu event (B j ) dengan mengamati event kedua (A).

33 Teorema Bayes 33 Contoh Informasi ramalan cuaca biasa dikirimkan melalui 4 saluran: R i (i = 1,2,3,4) adalah event dimana informasi tsb dikirimkan melalui saluran i. Probabilitas masing-masing event R i adalah: 0.1, 0.2, 0.3, dan 0.4. Diketahui juga bahwa probabilitas terjadinya kesalahan pengiriman (event E) melalui masing-masing saluran adalah: 0.10, 0.15, 0.20, dan Suatu saat diketahui bahwa suatu kesalahan pengiriman telah terjadi. Berapakah probabilitas bahwa kesalahan tersebut terjadi melalui saluran ke-2?

34 34 Teorema Bayes Penyelesaian Diketahui prob(r 1 ) = 0.1 prob(e R 1 ) = 0.10 prob(r 2 ) = 0.2 prob(e R 2 ) = 0.15 prob(r 3 ) = 0.3 prob(e R 3 ) = 0.20 prob(r 4 ) = 0.4 prob(e R 4 ) = 0.25 Probabilitas bahwa pengiriman dilakukan melalui saluran ke-2 dengan melihat kenyataan bahwa telah terjadi kesalahan ( ) = prob R 2 n prob R 2 E i=1 ( ) ( ) ( ) prob E R 2 prob R i ( ) prob E R i = = 0.15

35 35 Teorema Bayes i prob(r i ) prob(e R i ) prob(r i ) prob(e R i ) prob(r i E) prob(e)

36 Probabilitas Permutasi Kombinasi 36

37 37 Permutasi dan Kombinasi Cara mendapatkan sampel yang terdiri dari r elemen dari suatu sample space yang memiliki n elemen (n r) dipilih/diambil satu elemen pada setiap pemilihan/pengambilan urutan elemen diperhatikan dan setelah tiap pengambilan, elemen dikembalikan ke dalam sample space (ordered with replacement) urutan elemen diperhatikan dan tidak dilakukan pengembalian elemen setelah tiap pengambilan (ordered without replacement) urutan elemen tidak diperhatikan dan tidak dilakukan pengembalian elemen setelah tiap pengambilan (unordered without replacement) urutan elemen tidak diperhatikan dan dlakukan pengembalian elemen setelah tiap pengambilan (unordered with replacement)

38 Permutasi dan Kombinasi 38 Contoh ilustrasi Dilakukan pemilihan 2 stasiun AWLR dari 4 stasiun yang ada (A, B, C, D) untuk diberi dana. Berapa jumlah pasang stasiun yang mungkin mendapatkan dana?

39 Permutasi dan Kombinasi #1 39 Dipilih 2 stasiun dari 4 stasiun (r = 2, n = 4) dengan urutan diperhatikan memberikan dana kepada Stasiun A kemudian B berbeda dengan memberikan dana kepada Stasiun B kemudian A dengan pengembalian suatu stasiun dapat memperoleh dana 2 Pasangan 2 stasiun yang mendapatkan dana (A,A) (A,B) (A,C) (A,D) (B,A) (B,B) (B,C) (B,D) (C,A) (C,B) (C,C) (C,D) (D,A) (D,B) (D,C) (D,D) 16 r n = 4 2 = 16

40 Permutasi dan Kombinasi #2 40 Dipilih 2 stasiun dari 4 stasiun (r = 2, n = 4) dengan urutan diperhatikan memberikan dana kepada Stasiun A kemudian B berbeda dengan memberikan dana kepada Stasiun B kemudian A tanpa pengembalian suatu stasiun hanya dapat memperoleh dana 1 Kemungkinan stasiun yang mendapatkan dana --- (A,B) (A,C) (A,D) (B,A) --- (B,C) (B,D) (C,A) (C,B) --- (C,D) (D,A) (D,B) (D,C) --- ( n) r = n! ( n r)! = 4! ( 4 2)! = 12 permutasi

41 41 Permutasi dan Kombinasi #3 Dipilih 2 stasiun dari 4 stasiun (r = 2, n = 4) dengan urutan tidak diperhatikan memberikan dana kepada Stasiun A kemudian B sama dengan memberikan dana kepada Stasiun B kemudian A tanpa pengembalian suatu stasiun hanya dapat memperoleh dana 1 Kemungkinan stasiun yang mendapatkan dana (A,B) (A,C) (A,D) (B,C) (B,D) (C,D) n = r n! = ( n r)! r! ( 4 2) kombinasi koefisien binomial 4! = 6!2!

42 42 Permutasi dan Kombinasi #4 Dipilih 2 stasiun dari 4 stasiun (r = 2, n = 4) dengan urutan tidak diperhatikan memberikan dana kepada Stasiun A kemudian B sama dengan memberikan dana kepada Stasiun B kemudian A dengan pengembalian suatu stasiun dapat memperoleh dana 2 Kemungkinan stasiun yang mendapatkan dana (A,A) (A,B) (A,C) (A,D) (B,B) (B,C) (B,D) (C,C) (C,D) (D,D) n + r 1 = r ( n + r 1) ( n r)! r!! = ( ) ( 4 2)!2!! = 10

43 43 Resume Dengan pengembalian Tanpa pengembalian Urutan diperhatikan r n ( n) r = n! ( n r)! Urutan tidak diperhatikan n + r r 1 = ( n + r 1) ( n r)! r!! n = r n! ( n r)! r! Persamaan Sterling : n! 2π e n n n+ 11 2

44 44 Perintah (Fungsi) MSExcel FACT(n) menghitung faktorial, n! n bilangan positif (bilangan cacah) PERMUT(n,r) menghitung permutasi, n dan r integer, n r COMBIN(n,r) menghitung kombinasi, n dan r integer, n r ( ) n r n = r n! = ( n r)! n! ( n r)! r!

45 45