Statistika. Analisis Data Time Series. 13-Sep-16. h2p://is5arto.staff.ugm.ac.id

Transkripsi

1 Universitas Gadjah Mada Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan Prodi Pascasarjana Teknik Sipil Statistika Analisis Data Time Series 1

2 Analisis Data Time Series Acuan Haan, C.T., 1982, Sta+s+cal Methods in Hydrology, 1 st Ed., 3 rd Prin5ng, The Iowa State Univ. Press, Ames, Iowa, USA. Chapter 14, pp

3 Data Time Series Time series data Data yang diperoleh dari operasi (observasi, pengukuran, eksperimen) urut menurut waktu Data 5me series berupa hasil observasi atau pengukuran pada waktu-waktu tertentu (diskrit) hasil perata-rataan pada suatu selang waktu hasil observasi atau pengukuran secara menerus (kon5nu) Sekumpulan 5me series adalah himpunan dari sejumlah 5me series hasil pengukuran variabel yang sama Time series tunggal disebut realisasi Kelompok 5me series beranggota sejumlah realisasi 3

4 Data Time Series Data 5me series dapat berasal atau bersusun dari peris5wa atau kejadian yang bersifat determinis5k peris5wa atau kejadian yang bersifat stokas5k campuran peris5wa atau kejadian determinis5k+stokas5k Data 5me series hidrologi umumnya berupa data komponen stokas5k yang disuperposisikan pada data komponen determinis5k contoh temperatur udara harian menunjukkan pola musiman (komponen determinis5k) dan perubahan atau fluktuasi dari pola musiman, yang bersifat random (acak) 4

5 Data Time Series data 5me series hidrologi komponen stokas5k komponen determinis5k komponen periodik komponen pola kecenderungan komponen loncatan komponen gabungan periodik+pola+loncatan 5

6 Contoh data 5me series yang terdiri dari komponen stokas5k dan determinis5k 6

7 Data Time Series Deterministik Pola, kecenderungan (trend) Perubahan DAS yang berlangsung selama beberapa tahun à memunculkan perubahan pola debit aliran permukaan Perubahan lingkungan secara alamiah dan perlahan atau perubahan lingkungan akibat ulah manusia dapat menimbulkan perubahan pola data 5me series Loncatan (jump) Bencana alam (gempa, kebakaran hutan) Pembendungan aliran sungai oleh dam Periodik Faktor astronomis Periodik yang bersifat tahunan, bulanan, mingguan 7

8 Skala Waktu Diskrit Data yang diperoleh dari pengamatan atau pengukuran pada waktu-waktu tertentu yang dipisahkan menurut waktu Δt Data yang diperoleh dari pengamatan nilai atau variabel yang merupakan fungsi waktu, yang terjadi pada waktu Δt hujan rerata bulanan (Δt = 1 bulan) debit puncak tahunan (Δt = 1 tahun) hujan harian (Δt = 1 hari) Kon5nu Data yang diperoleh dari pengamatan atau pengukuran secara menerus (kon5nu) muka air dari AWLR curah hujan dari ARR Walaupun data kon5nu, tetapi dalam analisis, data dibaca pada waktu-waktu tertentu curah hujan dibaca per selang waktu tertentu, misal se5ap 5 menit curah hujan dibaca pada data puncak, selang waktu antar data 5dak beraturan 8

9 AWLR dan ARR Automa5c Water Level Recorder, AWLR Automa5c Rainfall Recorder, ARR 9

10 h2p://is5arto.staff.ugm.ac.id Data Muka Air Sungai Automa5c Water Level Recorder, AWLR Untuk analisis, data dibaca se5ap jam (Δt = 1 jam) atau se5ap muka air ekstrem (pasang ter5nggi dan surut terendah) 10

11 Data Curah Hujan, ARR Automa5c Rainfall Recorder, ARR 11

12 Skala Waktu Yang dibahas pada bab ini Selang waktu konstan, Δt konstan Data 5me series 5dak selalu merupakan fungsi waktu, namun dapat pula data hasil pengamatan atau pengukuran dalam fungsi yang lain, misal fungsi jarak/ruang (spa+al) data lebar sungai di se5ap tampang lintang lebar sungai adalah variabel random jarak tampang lintang adalah variabel ruang Variabel random dalam data 5me series Variabel random kon5nu kedalaman (volume) hujan per hari Variabel random diskrit hari hujan (1) dan hari 5dak hujan (0) per hari 12

13 Proses Stokastik Proses stokas5k: pdf X(t): X(t) p(x;t) à perilaku probabilis5k X(t) pada waktu t Jika sifat-sifat suatu 5me series 5dak berubah terhadap waktu, maka 5me series tersebut disebut proses permanen (sta+onary) Time series permanen: p(x;t 1 ) = p(x;t 2 ), t 1 t 2 Time series tak-permanen: p(x;t 1 ) p(x;t 2 ) 13

14 Proses Stokastik Sifat-sifat 5me series dapat diperoleh dari atau didasarkan pada realisasi tunggal selama suatu selang waktu à dikenal sebagai +me average proper+es beberapa realisasi pada waktu tertentu à dikenal sebagai ensemble proper+es Apabila +me average proper+es = ensemble proper+es, maka 5me series tsb memiliki sifat ergodic 14

15 Proses Stokastik +me average proper+es realisasi ke-i selama selang waktu 0 s.d. T X i = 1 T X i = 1 n! T 0 n j=1 X i (t)dt X i (t j ) ensemble average pada waktu t m X(t)= 1! m X (t) X(t) = i X(t)p(x;t)dx i=1 15

16 Proses Stokastik! X(t)= X(t + τ), t dan τ proses stokas5k bersifat permanen untuk nilai rerata (sta+onary in the mean, first-order sta+onary) Cov(X(t),X(t + τ))= 1! m m i=1 ( X i (t) X(t) ) X (t + τ) X(t + τ) i ( ) kovarian X(t) dan X(t+τ) jika τ = 0 à varian 5me series Jika proses stokas5k memiliki sifat permanen (sta+onary) untuk nilai rerata dan kovarian, maka 5me series tsb memiliki sifat second-order sta+onary. 16

17 Proses Stokastik Untuk 5me series yang bersifat ergodic nilai rerata waktu (+me average mean) sama dengan nilai rerata bersama (ensemble average) hal di atas berlaku pula untuk nilai-nilai rerata waktu yang lain, 5dak hanya mean Oleh karena itu sifat-sifat proses random (stokas5k) permanen dapat diukur dari data historis tunggal (realisasi tunggal) kadang, data 5me series realisasi tunggal dipecah menjadi beberapa 5me series pendek 17

18 Proses Stokastik Untuk suatu proses random dengan realisasi tunggal, i = 1 X i = 1 T X i = 1 n! T 0 n j=1 X i (t)dt X i (t j ) Cov(X i (t),x i (t + τ))= 1 T τ Cov(X i (t),x i (t + τ))= 1 n 1! nilai rerata, realisasi tunggal, variabel random kon5nu nilai rerata, realisasi tunggal, variabel random diskrit T τ 0 n j=1 ( X i (t) X i )( X i (t + τ) X i )dt ( X i (t j ) X i ) X i (t j + τ) X i ( ) var random kon5nu var random diskrit 18

19 Autokorelasi Yang dibahas adalah 5me series ergodic, sehingga hanya diperlukan realisasi tunggal, i = 1 saja Autokorelasi (autocorrela+on), ρ(τ)! ( ) Var( X(t) ) Cov X(t),X(t + τ) ρ(τ)= Untuk τ = 0, maka ρ(τ) = 1 karena Cov(X(t),X(t+τ)) = Var(X(t)) Jika τ kecil, maka ρ(τ) posi5f Jika τ bertambah besar, maka ρ(τ) nega5f 19

20 Autokorelasi Plot fungsi autokorelasi vs selang waktu τ disebut korelogram stokas5k stokas5k+periodik 20

21 Autokorelasi Korelogram berguna untuk mengetahui jika data yang berurutan tersebut independent jika korelogram menunjukkan adanya korelasi yang kuat antara X(t) dan X(t+τ), maka data 5dak independent Autokorelasi dengan demikian menunjukkan memori proses stokas5k jika ρ(τ) = 0, proses dikatakan 5dak memiliki memori terhadap kejadian sebelum t τ pada prinsipnya untuk sebagian besar proses random, ρ(τ) haruslah sama dengan nol untuk τ besar jika ρ(τ) untuk τ besar menunjukkan suatu pola yang 5dak sama dengan nol, maka hal ini mengindikasikan suatu komponen determinis5k 21

22 Autokorelasi Untuk skala waktu diskrit, fungsi autokorelasi menjadi ρ(k), k adalah jumlah selang waktu yang memisahkan X(t) dan X(t+τ) Hubungan antara τ dan k! τ = k Δt Δt adalah panjang selang waktu, misal 1 hari, 1 bulan, 1 tahun, dsb. 22

23 Autokorelasi Jika ρ(k) = 0 untuk semua k 0 proses disebut sebuah proses random murni hal ini menunjukkan data saling linearly independent Jika ρ(k) 0 untuk sejumlah k 0 data yang terpisah k Δt adalah dependent proses disebut sebuah proses random Jika sebuah 5me series bersifat tak permanen (nonsta+onary) ρ(k) 0 untuk semua k 0 karena adanya komponen determinis5k Jika komponen determinis5k 5dak dihilangkan terlebih dulu, maka kita 5dak dapat menentukan sampai seberapa jauh ρ(k) 0 akan dipengaruhi oleh komponen determinis5k 23

24 Analisis Spektral Autokorelasi Time series dalam domain waktu Analisis spektral Time series dalam domain frekuensi Time series Sampel dari suatu populasi yang dicirikan oleh keragaman dalam suatu spektrum frekuensi kon5nu Sampel random dari suatu proses menurut waktu, temporal (atau ruang, spa+al) yang tersusun dari oskilasi semua frekuensi yang mungkin terjadi 24

25 Analisis Spektral Analisis spektral Spektrum keragaman (a variance spectrum) à membagi keragaman (variance) menjadi sejumlah rentang frekuensi Variabel yang umumnya dipakai dalam analisis adalah kerapatan spektral (spectral density) Spectral density jumlah varian per rentang frekuensi Beberapa is5lah, variabel Frekuensi, f [T 1 ] Frekuensi sudut (angular frequency), ω [rad T 1 ] Periode, T atau p [T] Spectral density, S ω = 2π T = 2π p =2πf S( f )= S(ω)! 2π 25

26 Analisis Spektral Hubungan antara fungsi kerapatan spektral dan fungsi autokorelasi ( ) dτ ( ) dτ S( f )= ρ(τ)exp i 2πf τ =2 ρ(τ)cos 2πf τ! 0 Transformasi Fourier ρ(τ)=! S( f )cos( 2πf τ) d f Untuk τ = 0, ρ(0) = 1 dan cos(0) = 1 yang menunjukkan bahwa: S( f )d f =1 S(f) dapat dipandang sebagai probability density func+on (pdf)! yang memberikan kontribusi terhadap varian tak berdimensi (normalized variance) dalam rentang frekuensi dari f 1 s.d. f 2. 26

27 Analisis Spektral Kontribusi terhadap varian yang diberikan oleh S(f) f 2 S( f )d f f! 1 Jika autokorelasi dihitung sbg Cov(X(t), X(t+τ)), maka ρ(0) = Var(X(t)) Ingat: autokorelasi Cov X(t),X(t + τ) ρ(τ)=! ( ) Var( X(t) ) 27

28 Analisis Spektral Data 5me series hidrologi Umumnya berupa tabel variabel sebagai fungsi waktu Selang waktu adalah diskrit, bukan kon5nu Oleh karena itu Spektral harus disesuaikan untuk mengakomodasikan sejumlah diskrit frekuensi; kepada frekuensi inilah varian akan didistribusikan Untuk data yang diukur pada selang waktu Δt seragam Oskilasi data yang memiliki frekuensi ter5nggi yang dapat memberikan informasi mengenai data tsb adalah oskilasi data yang memiliki frekuensi sbb:! f N = 1 2Δt Frekuensi Nyquist 28

29 Analisis Spektral Kerapatan spektral sampel dihitung dengan memakai r(k) dan integrasi persamaan S(f) & S ˆ! ( f ) = Δt( r(0)+2! '( m 1 k=1 ) r(k)cos(2πkf Δt)+r(m)cos(2πmf Δt) + * + m adalah jumlah maksimum lag korelasi {jumlah maksimum selang waktu untuk menghitung r(k)} m sebaiknya 5dak melebihi 10% s.d. 25% jumlah data pada sampel persamaan di atas dipakai untuk menghitung kerapatan spektral sampel untuk frekuensi:! f = k f N m 29

30 Analisis Spektral Nilai kerapatan spektral sampel tersebut perlu dihaluskan Nilai es5masi kerapatan spektral adalah: ( )!Ŝ(0)= 0.5 S ˆ! (0)+ S ˆ! ( f N m)! Ŝ(kf N m)= 0.25S ˆ! ((k 1) f N m)+0.5s ˆ! (k f N m)+0.25s ˆ! ((k +1) f N m)!ŝ( f )= 0.5 # S ˆ! ((m 1) f N $ N m)+ S ˆ! ( f N )% & k =1,2,...,m 1 30

31 31

32 32

33 33

34 34

35 35

36 36

37 37