BAB 4 METODE ESTIMASI PARAMETER DARI DISTRIBUSI WAKTU KERUSAKAN Estimasi reliabilitas membutuhka pegetahua distribusi waktu kerusaka yag medasari dari kompoe atau sistem yag dimodelka Utuk memprediksi reliabilitas atau megestimasi MTTF kompoe atau sistem yag dikeai uji hidup dipercepat, diperluka estimasi parameter dari distribusi probabilitas yag meggambarka waktu kerusaka populasi yag dilakuka uji Keakurata estimasi parameter tergatug pada ukura sampel da metode yag diguaka utuk estimasi parameter Statistik yag dihitug dari sampel yag diguaka utuk estimasi parameter populasi disebut estimator Suatu estimator yag baik mempuyai sifat-sifat: tak bias, kosiste, efisie da sufiisie Statistik yag diguaka utuk estimasi parameter populasi, θ, disebut suatu estimator titik utuk θ, diotasika θ Ada 3 metode yag bayak diguaka utuk estimasi parameter dari populasi yaitu metode mome, metode maximum likelihood da metode kuadrat terkecil Metode Mome Ide utama dari metode mome adalah meyamaka karakteristik sampel tertetu seperti mea da varias utuk ilai-ilai yag diharapka populasi yag bersesuaia da kemudia meyelesaika persamaa yag dihasilka utuk medapatka ilai perkiraa parameter tidak diketahui Jika x 1, x,, x mewakili himpua data, maka mome ke k sampel adalah M k = 1 k Jika θ 1, θ,, θ m adalah parameter yag tidak diketahui dari populasi, maka estimator mome θ 1, θ,, θ m diperoleh dega meyamaka mome sampel m yag pertama dega mome populasi m yag pertama yag bersesuaia da meyelesaika utuk θ 1, θ,, θ m
Cotoh 41: Misal bahwa x 1, x,, x mewakili suatu sampel radom dari suatu distribusi Ekspoesial dega parameter λ Bagaimaa estimasi λ? Pdf dari distribusi Ekspoesial adalah f x = λe λx da E X = 1 λ Megguaka mome pertama sampel M 1 = Jadi estimasi dari λ adalah λ = = E X = 1 λ Cotoh 4: Sebuah produse sistem data wireless megguaka siar iframerah yag ditrasmisika atara peragkat yag dipasag pada bagia luar gedug utuk meyediaka lik data kecepata tiggi Ukura siar iframerah memiliki efek lagsug pada reliabilitas sistem da kemampuaya utuk meguragi efek dari kodisi cuaca seperti salju da kabut yag meghalagi jalur siar tsb Data ditrasmisika secara kotiyu megguaka siar iframerah da waktu sampai terjadi kerusaka dalam jam (tidak meerima data yag ditrasmisika) dicatat sebagai berikut: 47, 81, 17, 183, 188, 1, 53, 311, 33, 360, 489, 496, 511, 75, 77, 880, 1,509, 1,675, 1,806,,008,,06,,040,,869, 3,104, 3,05 Dega asumsi bahwa waktu kerusaka megikuti distribusi ekspoesial, tetuka parameter distribusi megguaka metode mome Perkiraka reliabilitas sistem saat = 1000 jam (Perhatika bahwa data di atas dihasilka dari sebuah distribusi ekspoesial dega parameter 1/ λ = 1000) Parameter dari distribusi Ekspoesial adalah atau 1 λ = 1048,36 λ = = 5 609 = 0,00095387
Ii sagat dekat dega ilai parameter yag sama yag diguaka dalam meghasilka data Jelas, selama meigkatya jumlah observasi, parameter yag diestimasi (λ) dega cepat medekati parameter dari distribusi waktu kerusaka yag sebearya Cotoh 43 Misal x 1, x,, x adalah suatu sampel radom dari suatu distribusi gamma yag mempuyai pdf : f x = 1 Γ(α)β α xα 1 e x β x > 0, α 0, β > 0 Guaka metode mome utuk medapatka estimasi parameter α da β Sebagaimaa yag telah ditujukka dalam Bab 1, mea da varias dari distribusi gamma, berturut-turut adalah: E X = αβ da V X = αβ = E X E[X] E[X] digati dega estimator M 1 da E X digati dega estimator M, diperoleh M 1 = αβ da M M 1 = αβ Peyelesaia dua persamaa di atas secara simulta meghasilka Cotoh 44: β = (M M 1 ) M 1 da α = M 1 (M M 1 ) Sebuah produse komputer pribadi melakuka suatu uji bur-i pada 0 moitor komputer da medapatka (dalam jam) sebagai berikut: 130, 150, 180, 40, 90, 15, 44, 18, 55, 10, 16, 77, 95, 43, 170, 130, 11, 106, 93, 71 Asumsika bahwa populasi dari waktu kerusaka yag utama megikuti distribusi gamma dega parameter α da β Tetuka estimasi parameter- parameter ii! Mula-mula, tetuka M 1 da M sebagai berikut: M 1 = = 067 0 = 103,35 da M = 1 0 Selajutya, tetuka estimasi parameter-parameterya: x i = 1 4483 = 141,15 0 141,15 103,35 (103,35) β = = 15,09 da α = 103,35 141,15 (103,35) = 6,847 Jadi rata-rata suatu moitor hidup yag diharapka adalah αβ = 103,3 jam
Cotoh 45: Guaka metode mome utuk megestimasi parameter μ da σ dari distribusi ormal Pdf dari distribusi ormal: f x = 1 σ π e 1 x μ σ Mome pertama M 1 da mome kedua M dari distribusi di atas berturut-turut adalah M 1 = x x x σ π e 1 x μ σ Dega megguaka trasformasi dx da M = z = x μ σ x x x σ π e 1 x μ dx σ, kemudia megitegralkaya (lihat kembali catata mata kuliah Statistika Matematika II) maka diperoleh ilai-ilai M 1 da M sebagai berikut: M 1 = μ = 1 da Jadi estimasi utuk parameter μ da σ adalah μ = 1 da σ = 1 M = μ + σ = 1 1 = 1 x Metode mome merupaka metode sederhaa utuk memperkiraka parameter distribusi waktu kerusaka yag tersedia yaitu distribusi yag medasari diketahui Kesalaha dalam memperkiraka parameter adalah miimum ketika distri- busi yag medasari simetris dega tidak ada skewess da ketika waktu kerusaka tidak tersesor atau terpotog Selag Kepercayaa Setelah peetua estimasi titik parameter distribusi, selajutya meetuka selag kepercayaa yag maa parameter yag diperkiraka dekat dega ilai-ilai sebearya dari populasi Selag kepercayaa utuk parameter θ adalah P[LCL θ UCL] = 1 α di maa LCL adalah batas bawah kepercayaa da UCL adalah batas atas kepercayaa
Misalka sampel radom x 1, x,, x diambil dari suatu populasi dega mea μ da varias σ Misal x adalah estimator titik utuk μ Jika besar ( 30), maka x kira-kira memiliki suatu distribusi ormal dega mea μ da varias σ /, atau Z = x μ σ memiliki suatu distribusi ormal stadar Utuk sembarag ilai α dapat ditemuka suatu ilai Z α sedemikia sehigga P Z α Z +Z α = 1 α Atau dapat ditulis x μ 1 α = P Z α σ +Z σ α = P Z α x μ +Z σ α = P x Z α σ μ x + Z σ α Sehigga diperoleh selag x Z α σ, x + Z σ α membetuk selag kepercayaa dari parameter yag diestimasi x utuk μ dega koefisie kepercayaa 1 α Cotoh 46: Padag waktu kerusaka dari cotoh 44 Tetuka suatu selag kepercayaa utuk mea waktu kerusaka dega koefisie kepercayaa 0,95 Dari data diperoleh x = 103,35 da s = 40,5, s adalah estimasi dari stadar deviasi σ Karea ukura sampel kecil (< 30), lebih tepat megguaka distribusi t daripada distribusi ormal dalam meetuka selag kepercayaa Jadi selag kepercayaa adalah x ± t α σ, dega 1 α = 0,95 Dari tabel diperoleh t 0,05 =,093 da substitusi s utuk σ, didapat 103,35 ±,093 40,5 0 atau 103,35 ± 18,96 atau (84,39, 1,31) Dega kata lai, dega tigkat kepercayaa 95% bahwa mea waktu kerusaka yag sebearya terletak atara 84,39 da 1,31 jam
Metode Maksimum Likelihood Metode kedua dalam estimasi parameter dari suatu distribusi probabilitas didasarka pada fugsi likelihood Misal dipuyai pegamata adalah x 1, x,, x yag masig-masig mempuyai suatu pdf f, θ Fugsi likelihood adalah suatu fugsi dari θ yaitu l θ = f x 1, θ f x, θ = f, θ Jika θ adalah aggota suatu selag terbuka da l θ terdiferesial da mempuyai suatu ilai maksimum pada selag tersebut, maka MLE adalah suatu peyelesaia dari persamaa maksimum likelihood d l θ = 0 dθ Beberapa ilai dari θ yag memaksimumka l θ juga aka memaksimumka log likelihood L θ, maka utuk perhituga yag cepat, sebagai betuk alteratif dari persamaa maksimum likelihood adalah Cotoh 47: d log l θ = 0 dθ Bayak cacat dalam suatu lii produksi ditemuka megikuti distribusi Poisso dega suatu rata-rata μ yag tidak diketahui Dua sampel radom diambil da bayakya uit-uit yag cacat adalah 10 da 1 Tetuka estimasi kemugkia maksimum (MLE) dari μ? Probabilitas yag mempuyai x uit dari suatu distribusi Poisso adalah P x = e μ μ x x = 0,1,, x! Probabilitas yag mempuyai 10 da 1 cacat berturut-turut adalah: P 10 = e μ μ 10 da P 1 = e μ μ 1 10! 1! Fugsi likelihood l x, μ adalah perkalia dari P 10 da P 1, yaitu: l x, μ = e μ μ 10 10! e μ μ 1 1! = e μ μ (x = 10,1) (10! 1!)
Evaluasi dari persamaa di atas utuk ilai-ilai yag berbeda dari μ dapat disederhaaka dega megambil logaritma dari l x, μ Misal da logaritma dari fugsi likelihood adalah Derivatif dari L μ terhadap μ adalah Jadi estimasi terbaik dari μ adalah /=11 L x, μ = log l(x, μ) L μ = log μ μ log (10! 1!) dl(μ) dμ = μ = 0 Cotoh 48: Aggap bahwa pabrik Itegrated Circuits megambil 3 sampel radom dari sekumpula yag sama dari ukura 10, 15 da 0 uit Pada pemeriksaa ditemuka bahwa sampelsampel ii berturut-turut mempuyai, 3 da 5 yag cacat Bagaimaa estimasi kemugkia maksimum (MLE) dari θ? Karea 3 sampel diambil dari sekumpula produksi yag sama, distribusi probabilitas yag medasari mempuyai parameter yag sama θ Probabilitas 3 hasil adalah: 10 θ 1 θ 8 ; 15 3 θ3 1 θ 1 ; 5 5 θ5 1 θ 0 Fugsi likelihood secara sederhaa merupaka hasil kali dari 3 probabilitas: l θ = 10 θ 1 θ 8 15 3 θ3 1 θ 1 5 5 θ5 1 θ 0 = Kθ 10 (1 θ) 40, di maa K adalah suatu kosta yag meliputi semua suku yag tidak melibatka θ Jadi estimasi terbaik dari θ adalah 1/5 MLE dari Distribusi Ekxpoesial L θ = log K + 10 log θ + 40 log(1 θ) dl(θ) dθ = 0 + 10 θ 40 1 θ = 0 Pdf dari distribusi ekspoesial dega parameter λ adalah f x, λ = λe λx Pdf dari pegamata x 1, x,, x adalah f x, λ = λe λ = 1,,, Fugsi likelihood:
l x 1, x,, x ; λ = f x 1, λ f x, λ f x, λ = Logaritma dari fugsi likelihood: f x 1, λ L x 1, x,, x ; λ = log λ λ Derivatif dari L x 1, x,, x ; λ terhadap λ adalah Jadi estimasi terbaik dari λ adalah / L x 1, x,, x ; λ λ = λ e λ = λ = 0 (Hasil MLE dari λ sama seperti estimasi yag diperoleh megguaka metode mome) Cotoh 49: = λ e λ Suatu uji reliabilitas dilakuka pada sampel yag terdiri dari 6 kompoe elektroik utuk megestimasi MTTF Berikut adalah waktu kerusaka dari kompoe-kompoe tersebut: 5, 75, 150, 30, 430 da 700 jam Bagaimaa betuk laju kerusaka da tetuka MLE dari parameter distribusi waktu kerusaka yag medasari? MTTF adalah 60 jam da stadar deviasi adalah 3 jam Karea mea da deviasi stadar hampir sama, maka distribusi ekspoesial dapat diguaka utuk mewakili distribusi waktu kerusaka Jadi estimasi terbaik dari λ adalah λ = = 6 1610 = 3,76 x 10 3 kerusaka per jam MLE dari Distribusi Rayleigh Distribusi Rayleigh diguaka utuk merepresetasika distribusi waktu kerusaka dari kompoe yag meujukka laju kerusaka meigkat secara liier Pdf dari distribusi Rayleigh adalah f x = λxe λx di maa λ adalah parameter dari distribusi Rayleigh Fugsi likelihood utuk pegamata x 1, x,, x adalah
di maa l x 1, x,, x ; λ = f x 1, λ f x, λ f x, λ = λ e λx = X Logaritma dari fugsi likelihood: L x 1, x,, x ; λ = log λ + log X λ Derivatif dari L x 1, x,, x ; λ terhadap λ adalah L x 1, x,, x ; λ λ = λ 1 = 0 = λ Xe λ λ = Cotoh 410: Waktu kerusaka berikut diamati ketika dilakuka suatu uji reliabilitas: 15, 1, 30, 39, 5 da 68 jam Aggap bahwa distribusi Rayleigh dipadag sebagai distribusi yag tepat utuk merepresetasika waktu kerusaka ii Tetuka parameter dari distribusi ii Berapa mea da deviasi stadar dari waktu kerusaka? Parameter dari distribusi Rayleigh adalah λ = Mea da deviasi stadar dari waktu kerusaka adalah = 6 = 0,00115 kerusaka per jam 10415 μ = π λ = 36,9 jam da σ = λ 1 π 4 = 19,3 jam MLE dari Distribusi Normal Pdf dari pegamata x dari suatu distribusi ormal dega mea μ da variasi σ yag tidak diketahui f x = 1 σ π e 1 x μ σ Fugsi likelihood utuk pegamata x 1, x,, x adalah
l x 1, x,, x ; μ, σ = 1 σ π Logaritma dari fugsi likelihood: e 1 1 L x 1, x,, x ; μ, σ = log σ π 1 Derivatif dari L x 1, x,, x ; μ, σ terhadap μ adalah x 1 μ σ x μ σ L x 1, x,, x ; μ, σ μ μ = 1 = 1 σ μ Derivatif dari L x 1, x,, x ; μ, σ terhadap σ adalah L x 1, x,, x ; μ, σ σ = σ μ σ = 1 = σ log 1 σ π log σ 1 = 0 σ 3 = 1 σ + ( μ) σ μ atau σ = 1 Hasil yag sama sebagaimaa diperoleh dega metode mome μ x μ σ = 0 Cotoh 411: Aggap bahwa diterapka peekaa pada kompoe-kompoe da waktu kerusaka yag sesuai membetuk pasaga pegamata x 1, y 1,, x, y yag megikuti model E Y = α + βx da Var Y = σ di maa Y adalah variabel radom berdistribusi ormal da idepede Guaka pedekata maksimum likelihood utuk megestimasi parameter α da β Karea Y berdistribusi ormal da idepede, maka log likelihood adalah L x 1, y 1,, x, y == 1 log π log σ σ y i α βx i
Dua suku pertama dari sisi kaa dari persamaa tersebut di atas adalah idepede terhadap α da β Karea itu utuk memiimumka log likelihood, cukup utuk memiimumka suku K = y i α βx i Ambil derivatif parsial dari K terhadap α da β da samaka derivatif dega ol meghasilka persamaa liier dalam α da β Peyelesaia persamaa tersebut adalah: di maa β = y i( x ) da α = y βx ( x ) x = 1 da y = 1 y i Kadag-kadag dalam meemuka estimator maksimum likelihood (MLE), tidak diperoleh ekspresi betuk tertutup utuk estimasi parameter, karea itu perlu megguaka metode lai, atara lai seperti: metode gradie likelihood da metode iteratif Newto estimator maksimum likelihood adalah kosiste, efisie da tak bias Bias dari estimator meuru seirig meigkatya bayakya pegamata Metode tersebut memerluka perhituga yag sederhaa utuk distribusi yag mempuyai parameter tuggal tetapi mugki memerluka perhituga yag pajag utuk distribusi yag mempuyai parameter dua atau lebih Lebih lajut, metode tersebut dapat diaplikasika utuk data tersesor maupu data tidak tersesor Matriks Iformasi da Matriks Varias Kovarias Salah satu mafaat utama dari pegguaa estimator maksimum likelihood utuk medapatka parameter distribusi adalah bahwa logaritma dari fugsi likelihood dapat dimafaatka dalam meyusus matriks iformasi Fisher (atau matriks Hessia) Kebalika (ivers) dari hasil matriks dikeal sebagai matriks Varias Kovarias Berikut adalah defiisi matriks varias kovarias (atau secara sederhaa disebut matriks kovarias) Jika X 1, X,, X k adalah variabel radom berdistribusi idetik da
idepede satu dega yag lai dega suatu pdf f x, θ 0, dimaa θ 0 mempuyai k kompoe da ilai θ yag sebearya, maka matriks kovarias didefiisika sebagai Var(θ 1 ) Cov(θ 1, θ ) Cov(θ 1, θ 3 ) Cov(θ 1, θ k ) Cov(θ 1, θ ) Var(θ ) Cov(θ, θ 3 ) Cov(θ, θ k ) Cov(θ 1, θ k ) Cov(θ, θ k ) Var(θ k ) di maa Cov(θ i, θ j ) adalah kovarias dari θ i da θ j da Var(θ i ) adalah variasi dari θ i Matriks kovarias ii dapat diperoleh dari matriks iformasi Ketika ukura sampel data meigkat, bias MLE meuru, estimator mejadi tak bias secara asimptotis Dega kata lai lim x E θ i = θ i i = 1,,, k Utuk medapatka varias da kovarias asimptotis dari estimator, pertama susu matriks iformasi I, berkeaa likelihood sebagai suatu fugsi variabel radom yag diamati dalam suatu sampel yag diberika Eleme ke ij dari matriks iformasi I adalah I ij = E L(θ; X) θ i θ j Matriks ivers, I 1, dega eleme ke ij ditujukka oleh I ij adalah matriks varias kovarias dari θ, sehigga Var θ i = I ii da Cov θ i, θ j = I ij Cotoh 41: Suatu sampel radom x 1, x,, x megikuti suatu distribusi ormal dega parameter μ da σ Guaka matriks iformasi utuk medapatka estimasi variasi dari μ da σ Logaritma dari fugsi likelihood dari distribusi ormal adalah 1 L x 1, x,, x ; μ, σ = log σ π log σ 1 Derivatif parsial dari L terhadap μ da σ adalah L μ = 1 σ μ da x μ σ L σ = 1 σ + ( μ) σ
L μ = σ ; L μ σ = σ 3 μ da L σ = σ 3 σ 4 μ Dalam ragka meyusu matriks iformasi, dari persamaa derivatif kedua dari L ditetuka ilai harapaya, yaitu E L μ = σ = l11 ; E L μ σ = 0 = l1 = l 1 Sehigga matriks iformasi I disusu sebagai Matriks varias da kovarias, I 1 adalah I = σ 0 0 σ da I 1 = σ 0 0 σ da E L σ = σ = l Var(μ ) Cov(μ, σ) Cov(μ, σ) Var(σ) = σ 0 0 σ Cotoh 413: Sebuah timbaga pemeriksa adalah sebuah peralata yag memiliki tiga kompoe utama: skala, pegotrol, da alat pegalih Khususya dalam sistem produksi kecepata tiggi seperti yag ditemuka dalam idustri makaa kaleg atau idustri maufaktur farmasi, satu atau lebih timbaga pemeriksa biasaya dipasag dalam sistem utuk memastika bahwa bobot dari produk berada dalam batas spesifikasi yag dapat diterima Jika produk tidak memeuhi spesifikasi, itu dialihka jauh dari produk diterima Alat pegalih, mejadi sistem mekais, merupaka kompoe yag palig reta terhadap kegagala Berikut waktu kegagala (dalam miggu) dari alat pegalih yag diamati: 14, 18, 18, 0, 1,,, 0, 17, 17, 15, 13 Aggap bahwa pegamata megikuti suatu distribusi ormal dega mea μ da variasi σ Tetuka μ, σ da matriks varias kovarias! μ, da σ diperoleh sebagai berikut: μ = 1 = 1 1 17 = 18,08 da σ = 1 Matriks varias da kovarias adalah μ = 8,409 atau σ =,9
I 1 = σ 0 0 σ = 0,700 0 0 0,350 Jadi variasi μ adalah 0,700 da variasi dari σ adalah 0,350