PENDUGA KEPEKATAN KERNEL BAGI FUNGSI KEPEKATAN PELUANG GAMMA. Oleh: MERYALDI G

PENDUGA KEPEKATAN KERNEL BAGI FUNGSI KEPEKATAN PELUANG GAMMA Oleh: MERYALDI G5400 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 006

PENDUGA KEPEKATAN KERNEL BAGI FUNGSI KEPEKATAN PELUANG GAMMA Skripsi Sebagai salah satu syarat utuk memperoleh Sarjaa Sais pada Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Istitut Pertaia Bogor Oleh: MERYALDI G5400 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR 006

RINGKASAN MERYALDI. Peduga Kepekata Kerel bagi Fugsi Kepekata Peluag. Dibimbig oleh SISWADI da I WAYAN MANGKU. Fugsi kepekata peluag yag sebearya dari suatu peubah acak sulit atau bahka tidak mugki utuk diketahui. Oleh karea itu dibuat suatu peduga bagi fugsi kepekata peluag sebagai pedekata sebara yag sebearya. Pedekata parametrik sebagai salah satu peduga kepekata peluag dirasa tidak cukup memadai megigat bayak cotoh yata di maa sebara parametrik tidak cocok. Oleh karea itu berkembag sejumlah tekik oparametrik utuk mejawab permasalaha tersebut. Peduga kepekata kerel sebagai salah satu peduga kepekata oparametrik merupaka geeralisasi yag dilakuka Parze (96) dari peduga shifted histogram yag dikembagka Roseblatt (956). Peduga kepekata kerel bergatug pada lebar pita da fugsi kerel yag diguaka, da merupaka peduga kosiste. Studi ii membahas pedugaa kepekata kerel bagi suatu data yag dibagkitka dari fugsi kepekata peluag (3,00) yag merupaka model sistem stadby di maa kompoe-kompoeya memiliki waktu ekspoesial utuk kepekata kegagala. Pedugaa dilakuka utuk ukura cotoh 5, 50, 75, da 00 yag masig-masig diulag dua puluh lima kali. Fugsi kerel yag diguaka ialah kerel seragam, segitiga, Epaechikov, da Gauss. Kualitas dari pedugaa dilihat dari mea squared error (MSE) yag dihasilka. Keempat ilai rata-rata MSE dari keempat fugsi kerel yag diguaka utuk setiap ukura cotoh tidak berbeda pada taraf yata 5%. Semaki besar ukura cotoh yag diguaka, semaki kecil ilai rata-rata MSE yag dihasilka dari keempat fugsi kerel tersebut. Grafik hasil dugaa memperlihatka bahwa kerel segitiga, Epaechikov, da Gauss meghasilka grafik yag halus. Sedagka grafik dugaa dega kerel seragam tidak halus. Dari keempat fugsi kerel yag diguaka, direkomedasika utuk megguaka fugsi kerel Epaechikov atau segitiga dalam meduga data yag dibagkitka dari sebara (3,00). Sebagai pembadig peduga kepekata kerel diguaka peduga kemugkia maksimum yag merupaka peduga parametrik. Hasil dugaa bagi fugsi kepekata peluag (3,00) dega megguaka kemugkia maksimum cederug lebih baik dibadigka hasil dugaa dega kepekata kerel. 3

Judul Nama NRP : Peduga Kepekata Kerel bagi Fugsi Kepekata Peluag : Meryaldi : G5400 Meyetujui : Pembimbig I, Pembimbig II, Dr. Ir. Siswadi, M.Sc. NIP. 30 938 65 Dr. Ir. I Waya Magku, M.Sc. NIP. 3 633 00 Megetahui : Deka Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam Istitut Pertaia Bogor Dr. Ir. Yoy Koesmaryoo, MS NIP. 3 473 999 Taggal Lulus :.. 4

RIWAYAT HIDUP Peulis dilahirka di Jakarta pada taggal 9 Mei 98 dari ayah Azhar Mahmud da ibu Megawati. Peulis adalah aak pertama dari empat bersaudara. Peulis memulai pedidika formal di SD Negeri Kebayora Lama Utara Jakarta Selata da lulus pada tahu 995. Pedidika Sekolah Meegah Pertama ditempuh di SLTP Negeri 3 Jakarta da lulus pada tahu 998. Kemudia melajutka pedidika di SMU Negeri 47 Jakarta da lulus pada tahu 00. Pada tahu yag sama peulis lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Udaga Seleksi Masuk IPB. Peulis memilih Program Studi Matematika, Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam. Selama megikuti perkuliaha, peulis perah aktif di Gugus Mahasiswa Matematika (Gumatika) pada periode 00-00, da juga di Dewa Perwakila Mahasiswa Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam (DPM FMIPA) pada periode 00-003. 5

PRAKATA Bismillahirrahmairrahim Puji da syukur peulis pajatka kehadirat Allah SWT yag telah memberika kekuata bagi peulis utuk meyelesaika skripsi ii sebagai syarat medapat gelar Sarjaa Sais di Departeme Matematika, Fakultas Matematika da Ilmu Pegetahua Alam, Istitut Pertaia Bogor. Sholawat serta salam tidak lupa peulis pajatka kepada Nabi Muhammad SAW, sahabat, keluarga serta para pegikutya sampai akhir zama. Peulis sagat meyadari bahwa skripsi ii, yag diberi judul Peduga Kepekata Kerel bagi Fugsi Kepekata Peluag, merupaka sebagia kecil dari teori megeai peduga kepekata kerel yag bahka masih terus dikembagka higga saat ii. Oleh karea itu, skripsi ii aka mejadi lagkah awal bagi peulis khususya utuk mempelajari lebih jauh lagi tetag peduga kepekata kerel. Dalam peyusua skripsi ii, peulis bayak medapatka batua, dukuga, da semagat dari berbagai pihak. Utuk itu dega hati yag tulus, peulis igi megucapka terima kasih kepada:. Bapak Dr. Ir. Siswadi, M.Sc. da Bapak Dr. Ir. I Waya Magku, M.Sc. selaku dose pembimbig.. Ibu Ir. Reto Budiarti, MS yag telah bersedia mejadi dose peguji. 3. Kedua oragtuaku tercita Mama da Bapak, serta adik-adikku Harmega, Rahmad, da Firma. 4. Seluruh dose da staf pegawai Departeme Matematika IPB. 5. Kawa-kawa di Matematika Agkata 38. 6. Seior di Matematika Agkata 35, 36, da 37 beserta Adik-adik di Matematika Agkata 39, 40, da 4. 7. Kawa-kawa di Wisma Galih da Lux Style 8. Kawa-kawa alumi SMUN 47 Jakarta. 9. Semua pihak yag telah membatu yag tidak dapat disebutka satu per satu. Sebagai mausia, peulis tetu tidak luput dari kesalaha da kekuraga. Oleh karea itu, sara da kritik yag membagu sagat peulis harapka. Akhirya, peulis berharap semoga skripsi ii dapat bermafaat. Ami. Bogor, Agustus 006 Meryaldi 6

DAFTAR ISI Halama DAFTAR GAMBAR... vii DAFTAR TABEL... viii DAFTAR LAMPIRAN... viii PENDAHULUAN Latar Belakag... Tujua... LANDASAN TEORI Sebara... Peduga Tak Bias da Peduga Kosiste... Small oh... 3 Peduga Kepekata Kerel... 3 Peduga Kemugkia Maksimum (MLE)... 5 BAHAN DAN METODE Alur Peelitia... 6 Sumber Data... 6 Metode Pedugaa... 7 Tahapa Pedugaa Kepekata Kerel dega Mathematica... 8 HASIL DAN PEMBAHASAN Pedugaa Fugsi Kepekata Peluag dega Fugsi Kepekata Kerel... 9 Pedugaa Fugsi Kepekata Peluag dega Peduga Kemugkia Maksimum da Perbadigaya dega Fugsi Kepekata Kerel... 3 KESIMPULAN... 5 DAFTAR PUSTAKA... 5 LAMPIRAN... 6 7

DAFTAR GAMBAR Halama Gambar. Sebuah sistem stadby... 6 Gambar. Grafik fkp (3,00) da dugaa kepekata kerel dega kerel Seragam yag mempuyai MSE terkecil da terbesar dari ukura cotoh 5... 0 Gambar 3. Grafik fkp (3,00) da dugaa kepekata kerel dega kerel Segitiga yag mempuyai MSE terkecil da terbesar dari ukura cotoh 5... 0 Gambar 4. Grafik fkp (3,00) da dugaa kepekata kerel dega kerel Epaechikov yag mempuyai MSE terkecil da terbesar dari ukura cotoh 5... 0 Gambar 5. Grafik fkp (3,00) da dugaa kepekata kerel dega kerel Gauss yag mempuyai MSE terkecil da terbesar dari ukura cotoh 5... 0 Gambar 6. Grafik fkp (3,00) da dugaa kepekata kerel dega kerel Seragam yag mempuyai MSE terkecil da terbesar dari ukura cotoh 50... 0 Gambar 7. Grafik fkp (3,00) da dugaa kepekata kerel dega kerel Segitiga yag mempuyai MSE terkecil da terbesar dari ukura cotoh 50... 0 Gambar 8. Grafik fkp (3,00) da dugaa kepekata kerel dega kerel Epaechikov yag mempuyai MSE terkecil da terbesar dari ukura cotoh 50... Gambar 9. Grafik fkp (3,00) da dugaa kepekata kerel dega kerel Gauss yag mempuyai MSE terkecil da terbesar dari ukura cotoh 50... Gambar 0. Grafik fkp (3,00) da dugaa kepekata kerel dega kerel Seragam yag mempuyai MSE terkecil da terbesar dari ukura cotoh 75... Gambar. Grafik fkp (3,00) da dugaa kepekata kerel dega kerel Segitiga yag mempuyai MSE terkecil da terbesar dari ukura cotoh 75... Gambar. Grafik fkp (3,00) da dugaa kepekata kerel dega kerel Epaechikov yag mempuyai MSE terkecil da terbesar dari ukura cotoh 75... Gambar 3. Grafik fkp (3,00) da dugaa kepekata kerel dega kerel Gauss yag mempuyai MSE terkecil da terbesar dari ukura cotoh 75... Gambar 4. Grafik fkp (3,00) da dugaa kepekata kerel dega kerel Seragam yag mempuyai MSE terkecil da terbesar dari ukura cotoh 00... Gambar 5. Grafik fkp (3,00) da dugaa kepekata kerel dega kerel Segitiga yag mempuyai MSE terkecil da terbesar dari ukura cotoh 00... Gambar 6. Grafik fkp (3,00) da dugaa kepekata kerel dega kerel Epaechikov yag mempuyai MSE terkecil da terbesar dari ukura cotoh 00... Gambar 7. Grafik fkp (3,00) da dugaa kepekata kerel dega kerel Gauss yag mempuyai MSE terkecil da terbesar dari ukura cotoh 00... Gambar 8. Grafik fkp (3,00) da dugaaya dega MLE yag mempuyai MSE terkecil da terbesar dari ukura cotoh 5... 3 Gambar 9. Grafik fkp (3,00) da dugaaya dega MLE yag mempuyai MSE terkecil da terbesar dari ukura cotoh 50... 3 Gambar 0. Grafik fkp (3,00) da dugaaya dega MLE yag mempuyai MSE terkecil da terbesar dari ukura cotoh 75... 3 Gambar. Grafik fkp (3,00) da dugaaya dega MLE yag mempuyai MSE terkecil da terbesar dari ukura cotoh 00... 3 Gambar. Boxplot data MSE dari ukura cotoh 5... 4 Gambar 3. Boxplot data MSE dari ukura cotoh 50... 4 Gambar 4. Boxplot data MSE dari ukura cotoh 75... 4 Gambar 5. Boxplot data MSE dari ukura cotoh 00... 4 8

DAFTAR TABEL Halama Tabel. Beberapa fugsi kerel... 5 Tabel. Nilai rata-rata MSE, simpaga baku MSE dari dugaa kepekata kerel beserta rata-rata dugaa MLE parameter ˆα da ˆβ bagi fkp (3,00)... 9 Tabel 3. Nilai MSE miimum beserta lebar pita-ya utuk ukura cotoh 5... 39 Tabel 4. Nilai MSE miimum beserta lebar pita-ya utuk ukura cotoh 50... 40 Tabel 5. Nilai MSE miimum beserta lebar pita-ya utuk ukura cotoh 75... 4 Tabel 6. Nilai MSE miimum beserta lebar pita-ya utuk ukura cotoh 00... 4 Tabel 7. Nilai dugaa MLE parameter ˆα, ˆβ, da MSE dari ukura cotoh 5... 43 Tabel 8. Nilai dugaa MLE parameter ˆα, ˆβ, da MSE dari ukura cotoh 50... 43 Tabel 9. Nilai dugaa MLE parameter ˆα, ˆβ, da MSE dari ukura cotoh 75... 44 Tabel 0. Nilai dugaa MLE parameter ˆα, ˆβ, da MSE dari ukura cotoh 00... 44 DAFTAR LAMPIRAN Halama Lampira. Bukti Teorema... 7 Lampira. Bukti Teorema... 8 Lampira 3. Grafik Fugsi Kerel... 9 Lampira 4. Pembagkita Data... 5 Lampira 5. Peghituga MSE, Rata-rata MSE, da Simpaga Baku MSE Hasil Dugaa Kepekata Kerel... 6 Lampira 6. Pedugaa dega Kemugkia Maksimum... 35 Lampira 7. Nilai MSE Miimum dari setiap Cotoh beserta Lebar Pita-ya... 39 Lampira 8. Hasil Dugaa bagi Fkp (3,00) dega Megguaka Kemugkia Maksimum... 43 9

PENDAHULUAN Latar Belakag Dalam realitas kehidupa sehari-hari bayak permasalaha atau feomea yag dimodelka secara matematik, yag disebut model matematik, gua medapatka solusi dari permasalaha tersebut. Berdasarka kepastia/ketakpastia dari eleme modelya, model matematik dibedaka mejadi dua, yaitu model determiistik da model probabilistik atau model stokastik. Perbedaa petig atara model determiistik da model stokastik adalah pada model stokastik tidak ada ilai tuggal. Model stokastik dapat direpresetasika atara lai dega sebara (distribusi), atau cukup dega ukura pemusata (rataa, media) da ukura peyebara (ragam, simpaga baku) dari suatu sebara (Puraba & Magku 003). Pada keyataaya fugsi kepekata peluag yag sebearya dari suatu peubah acak sulit atau bahka tidak mugki utuk diketahui. Oleh karea itu dibuat suatu peduga bagi fugsi kepekata peluag sebagai pedekata sebara yag sebearya. Ada dua pedekata yag dapat diguaka dalam merumuska peduga kepekata peluag, yaitu melalui pedekata parametrik da oparametrik. Peduga parametrik mempuyai struktur fugsi yag tetap, sehigga yag diduga adalah parameterparameter dari fugsiya. Sedagka peduga oparametrik tidak mempuyai struktur yag tetap, sehigga yag diduga adalah fugsiya. Pedekata parametrik di ataraya adalah fugsi sebara ormal, gamma, ekspoesial, da lai sebagaiya. Aka tetapi bayak cotoh yata di maa sebara ormal da juga sebara-sebara parametrik laiya tidak cocok. Akibat masalah ketidakcocoka model parametrik utuk cotoh-cotoh real, maka diperluka suatu pedekata oparametrik. Oleh karea itu berkembaglah sejumlah tekik oparametrik utuk mejawab permasalaha tersebut. Beberapa metode pedugaa oparametrik dijelaska secara sigkat oleh Silverma (986), yaitu histogram, peduga aif, peduga kerel, metode tetagga terdekat, metode variabel kerel, peduga deret ortogoal, da peduga kemugkia pealti maksimum. Dalam studi ii diguaka metode kepekata kerel utuk meduga fugsi kepekata peluag yag disebut peduga kepekata kerel. Metode ii diguaka karea merupaka metode yag palig berkembag secara teori da mempuyai literatur yag luas. Berkembagya peduga kepekata kerel dimotivasi oleh kelemaha histogram. Histogram merupaka salah satu peduga kepekata peluag oparametrik yag tertua. Ide dari histogram adalah utuk mewakili kerapata data dega meghitug jumlah observasi pada setiap sub-sub iterval beruruta dega titik awal iterval 0 x. Subsub iterval tersebut didapat dega membagi iterval yag meliputi seluruh ilai data dega lebar yag sama. Lebar dari sub-sub iterval disebut lebar pita. Dalam megkostruksi suatu histogram perlu mempertimbagka ukura lebar pita da titik awal iterval. Misalka dari data yag sama aka dikostruksi dua histogram dega ukura lebar pita yag sama tetapi titik awal yag berbeda, maka aka dihasilka dua betuk histogram yag berbeda. Begitu pula bila titik awalya sama tetapi lebar pitaya berbeda, betuk histogramya pu berbeda. Utuk lebar pita yag terlalu besar aka meghasilka blok-blok yag sagat besar da histogram sagat tak terstruktur, sedagka lebar pita yag terlalu kecil meghasilka perkiraa yag sagat berubahubah dega bayak pucak yag tidak berpegaruh (Härdle & Simar 003). Sehigga kelemaha dari histogram adalah tidak halus, tergatug pada ukura lebar pita, da tergatug pada titik awal iterval. Utuk megatasi kelemaha histogram, Roseblatt (956) megembagka peduga shifted histogram atau disebut juga peduga aif. Kemudia lebih rici dijelaska oleh Parze (96) dega me-geeralisasi peduga shifted histogram yag disebut peduga kepekata kerel. Pada peduga kepekata kerel terdapat fugsi kerel yag dapat memberika bobot yag berbeda pada data sesuai dega fugsi kerel yag dipilih. Betuk peduga shifted histogram merupaka peduga kepekata kerel dega fugsi kerel seragam. Selai fugsi kerel seragam, ada beberapa fugsi kerel laiya yaitu segitiga, Epaechikov, kuartik, Gauss, da lai sebagaiya. Dega megguaka peduga kepekata kerel, dua kelemaha dari histogram dapat teratasi. Pertama, dega megguaka fugsi kerel yag halus utuk 0

blok bagua maka aka didapat fugsi peduga kepekata yag halus. Kedua, utuk meghilagka ketergatuga titik awal iterval, peduga kepekata kerel memusatka fugsi kerel pada setiap titik data. Oleh karea itu kualitas dari peduga kepekata kerel dipegaruhi oleh ukura lebar pita da fugsi kerel yag dipilih. Peduga kepekata kerel merupaka peduga kosiste sehigga merupaka peduga yag baik diguaka utuk ukura cotoh yag sagat besar. Tetapi utuk memperoleh ukura cotoh yag sagat besar diperluka biaya yag besar pula. Sehigga yag mejadi permasalaha adalah bagaimaa jika ukura cotoh yag diguaka jumlahya tak terlalu besar. Dalam reliabilitas, data yag didapatka megarah pada suatu sebara tertetu. Sebara gamma adalah salah satu yag relatif bayak diguaka. Jika kompoe-kompoe dari suatu model sistem stadby memiliki waktu ekspoesial utuk kepekata kegagala-ya, maka kepekata kegagala model sistem stadby tersebut memiliki sebara. Tujua Tujua dari studi ii ialah utuk mempelajari pedugaa kepekata kerel bagi fugsi kepekata peluag gamma dega berbagai ukura cotoh da membadigkaya dega pedugaa parametrik. LANDASAN TEORI Sebara Defiisi (Sebara ) Suatu peubah acak X dikataka mempuyai sebara gamma dega parameter α da β, yag diotasika dega (α, β ), jika mempuyai fugsi kepekata peluag sebagai berikut: ( ) α x / β f x = x e I ( x> 0) α Γ( α) β di maa α > 0 da β > 0. (Hogg et al. 005) Peduga Tak Bias da Peduga Kosiste Defiisi (Statistik) Misalka peubah acak X, X,, X merupaka suatu cotoh acak dari sebara peubah acak X. Suatu fugsi T = T ( X, X,, X ) dari cotoh acak disebut statistik. (Hogg et al. 005) Defiisi 3 (Peduga) Misalka T = T ( X, X,, X ) adalah suatu statistik. T disebut peduga titik bagi θ jika T diguaka utuk meduga θ. (Hogg et al. 005) Defiisi 4 (Peduga Tak Bias) Misalka X adalah suatu peubah acak f x; θ, θ Ω. Da misalka dega fkp ( ) X, X,, X adalah cotoh acak dari sebara X da T adalah suatu statistik. T dikataka peduga tak-bias bagi θ jika ET [ ] = θ, utuk semuaθ Ω. (Hogg et al. 005) Jika lim ET [ ] = θ, maka peduga T disebut sebagai peduga tak bias asimtotik. Defiisi 5 (Koverge dalam Peluag) Misalka { X } adalah suatu barisa peubah acak da misalka X adalah suatu peubah acak yag terdefiisi pada ruag cotoh. X disebut koverge dalam peluag ke X jika utuk setiap ε > 0 lim Pr X X ε = 0, atau ( ) ( X X ε ) lim Pr < =, yag diotasika dega. X P X, utuk (Hogg et al. 005) Defiisi 6 (Peduga Kosiste) Misalka X adalah suatu peubah acak dega fugsi sebara kumulatif F( xθ ; ), θ Ω. Da misalka X, X,, X adalah cotoh acak dari sebara X da T adalah

suatu statistik. T disebut peduga kosiste bagi θ jika T P θ, utuk. (Hogg et al. 005) Defiisi 7 (Mea Squared Error) Mea Squared Error (MSE) dari suatu peduga ˆ θ didefiisika sebagai berikut: ( ˆ θ θ) MSE( ˆ θ) = E. Misalka θ = E ˆ θ, maka ( ˆ ( ) ( )) ( ˆ MSE θ) = E θ θ θ θ ( ˆ θ θ ) ( θ θ ) = E + = Var( ˆ θ) + ( Bias( ˆ θ) ). Bias ( ˆ θ ) didefiisika sebagai E ˆ θ θ = θ θ. Small oh { o (.) } (Rose & Smith 00) Defiisi 8 ( o (.) utuk fugsi real) Suatu fugsi f disebut oh ( ), h 0, jika f ( h) lim = 0. h 0 h Hal ii berarti f ( h) 0 lebih cepat dari h 0. (Ross 000) Defiisi 9 ( o (.) barisa bilaga real) Misalka a da b adalah barisa bilaga real. Dikataka a adalah small oh b, ditulis a = o( b ),, jika lim a / b = 0. (Wad & Joes 995) Catata bahwa a = o() meyataka a 0 utuk. Peduga Kepekata Kerel Peduga kepekata kerel merupaka suatu peduga bagi fugsi kepekata peluag suatu peubah acak kotiu. Peduga kepekata kerel termasuk ke dalam kelas peduga kepekata oparametrik. Misalka { } i adalah cotoh acak x i = yag bebas stokastik idetik dari suatu sebara dega kepekata peluag f. Dega megacu pada Parze (96) da Scott et al. (977), peduga kepekata kerel mempuyai betuk umum: ˆ x y f ( x ) = K df h h x xj = K h j= h di maa K( y) dy< Sup K ( y) < < y< lim yk ( y) = 0 y da K( y) 0 () () K ( ydy ) = (3) K (.) merupaka fugsi kerel, da h adalah lebar pita. Kedala () da (3) didasari oleh peduga kepekata kerel pada persamaa () utuk memeuhi sebagai peduga tak bias asimtotik. Utuk mejadi peduga tak bias asimtotik di maa h = h( ) dipilih sebagai fugsi dari sehigga lim h = 0, (4) maka haruslah lim E fˆ ( x) = f ( x), (5) sedagka ˆ ( ) x X E f x E K = h h (6) x y = K f( y) dy. h h Agar persamaa (5) terpeuhi, maka ekspresi pada bagia terakhir persamaa (6) harus meuju f ( x ). Kodisi di maa ii terjadi diberika oleh teorema berikut: Teorema : Misalka K ( y ) adalah suatu fugsi Borel yag memeuhi kodisi (). Da misalka pula g( y ) memeuhi g( y) dy <.

Jika ( ) y g x = K g ( x y ) dy h h dega { h } adalah barisa dari kostata positif yag memeuhi persamaa (4), maka utuk setiap titik x pada kekotiua g (.), lim g ( x) = g( x) K( y) dy. Bukti: Lihat Lampira. Akibat: Peduga yag didefiisika pada persamaa () merupaka peduga tak bias asimtotik pada semua titik x, di maa fugsi kepekata peluagya kotiu, jika kostata h memeuhi persamaa (4) da jika fugsi K( y ) memeuhi () da persamaa (3). Agar peduga kepekata kerel pada persamaa () mejadi peduga kosiste, diperluka kodisi tambaha yag diberika pada teorema berikut: Teorema : Peduga f ˆ pada persamaa () dega kedala () da (3) merupaka peduga kosiste jika ditambahka kedala lim h =. Bukti: Lihat Lampira. Utuk memperoleh lebar pita optimal secara asimtotik, seperti dalam Wad da Joes (995), diguaka kosep mea squared error (MSE). Pertama aka dituruka bias dari f ˆ ( x ). Misalka X adalah suatu peubah acak yag mempuyai fugsi kepekata peluag f, maka ˆ ( ) x X E f x E K = h h (7) x y = K f( y) dy. h h Dega melakuka trasformasi, di maa x y z =, sehigga y = x h h z da dy J = = h dz, maka persamaa (7) mejadi E fˆ ( x ) = K( z) f ( x hz ) dz. (8) Dega megekspresika f ( x h z) dalam betuk daret Taylor dalam selag sekitar x, didapatka f ( x hz) = f( x) hzf '( x) + h ''( ) ( ). z f x + o h Sehigga persamaa (8) mejadi E f ˆ ( ) x = K( z){ f ( x) h zf '( x) + h ''( ) ( )} z f x + o h dz = f ( x) K( z) dz h f '( x) zk( z) dz h f ''( x) z K( z) dz o( h) + + = f ( x) + h f ''( x) z K( z) dz+ o( h ), (9) di maa K( z) dz =, zk( z) dz = 0, da z K( z) dz <. Dari persamaa (9) didapatka ekspresi bias dari f ˆ ( x ) sebagai berikut: E ˆ f ( x ) f ( x ) = h f ''( x) z K( z) dz+ o( h ). (0) Sedagka utuk ragam dari fˆ ( x ) dituruka sebagai berikut: { ˆ ( ) } x X Var f x = Var K h h x X E K E K x X = h h h h { } x y = K f( y) dy E fˆ ( x) h h { Kz ( )} Kzfxhzdz ( ) ( ) { ( ) } E f x = ˆ h { K( z) } { f( x) o() } dz f( x) o() { } = h + + ( ) { ( )} ( ) = f ( x) K z dz o h h + () Dari persamaa (0) da () didapatka pedekata asimtotik bagi MSE dari f ˆ ( x ) sebagai berikut: 3

{ ˆ ( ) } ( ) = { ( )} MSE f x f x K z dz h 4 { ''( )} ( ) ( ) 4 ( ) + h f x z K z dz 4 + o h + h...() Dega megitegralka MSE tersebut terhadap x didapatka mea itegrated squared error (MISE) sebagai berikut: { ˆ } { ˆ 4 MISE f(.) = AMISE f(.) } + o( ( h) + h)...(3) di maa AMISE { fˆ (.) } = { K ( z) } dz h 4 + h ( ) { ''( )} 4 z K z dz f x dx (4) (AMISE: Asymptotic MISE) Dega membuat turua pertama persamaa (4) terhadap h sama dega ol, didapatka lebar pita optimal secara asimtotik, diotasika h AMISE, sebagai berikut: Kz ( ) dz /5 hamise = zkzdz () [ f''() x] dx...(5) Fugsi kerel, K (.), pada peduga kepekata kerel mempuyai piliha yag bervariasi. Beberapa di ataraya, yag biasa diguaka, diberika pada Tabel. Grafik dari masig-masig fugsi kerel dalam Tabel dapat dilihat pada Lampira 3. /5 Peduga Kemugkia Maksimum (Maximum Likelihood Estimator/MLE) Perhatika suatu cotoh acak X, X,, X dari suatu sebara yag mempuyai fugsi kepekata peluag f ( x; θ ), θ Ω. Fugsi kepekata peluag bersama dari X, X,, X adalah f ( x; θ ) f ( x; θ) f ( x ; θ). Fugsi kepekata peluag bersama tersebut dapat diaggap sebagai suatu fugsi dalam θ da disebut fugsi likelihood (fugsi kemugkia) L, diotasika sebagai berikut: L( θ; x, x,, x ) = f ( x; θ) f ( x; θ) f ( x; θ), θ Ω....(6) Misalka dapat dicari suatu fugsi otrivial dalam x, x,, x, sebut saja u( x, x,, x ), sehigga ketika θ digatika oleh u( x, x,, x ), fugsi likelihood L dimaksimumka. Dega kata lai, L u x, x,, x ; x, x,, x palig kecil ( ( ) ) sama besarya dega L ( θ x x x ) ;,,, utuk setiap θ Ω. Maka statistik u( X, X,, X ) disebut peduga kemugkia maksimum (maximum likelihood estimator) utuk θ, da diotasika dega ˆ θ = u( X, X,, X ). (Hogg et al. 005) Tabel. Beberapa fugsi kerel Kerel K ( u ) Seragam ( ) I u Segitiga ( u ) I ( u ) Epaechikov 3 ( u ) I ( u ) 4 Kuartik (Biweight) 5 ( u ) I( u ) 6 Triweight 35 ( 3 u ) I ( u ) Gauss Cosius 3 exp ( u ) π π cos π 4 u I u ( ) ( ) 4

BAHAN DAN METODE Alur Peelitia Bagkitka sejumlah cotoh data dega ukura yag bervariasi. Duga fugsi kepekata peluag dega megguaka peduga kepekata kerel dega lebar pita yag ditetuka da fugsi kerel bervariasi utuk masigmasig cotoh. Badigka masig-masig hasil dugaa tersebut. Badigka hasil dugaa dega megguaka kepekata kerel da dugaa dega peduga parametrik. KP Sumber Data Data yag diguaka dalam studi ii adalah data yag dibagkitka dari sebara (3,00). Nilai parameter tersebut merupaka suatu cotoh dari sebuah sistem stadby dalam Hies da Motgomery (990). Uit Uit Uit 3 Gambar. Sebuah sistem stadby Pada sistem tersebut, ditujukka dalam Gambar, pada awalya uit o lie, semetara uit da uit 3 stadby. Jika uit rusak, maka keputusa peyambuga (KP) pada uit, da kalau uit juga rusak, kemudia baru disambugka pada uit 3. Keputusa peyambuga diasumsika sempura, sehigga sistem hidup X bisa ditujukka sebagai pejumlaha subsistem, X = X + X + X3. Jika subsistem berjala bebas satu sama lai, da jika subsistem mempuyai daya hidup X j, j =,, 3, da mempuyai kepekata x /00 g( x ) (/00) j j = e, x j 0, maka X aka mempuyai fugsi kepekata peluag (3,00). Dari sebara tersebut dibagkitka empat macam ukura cotoh, yaitu dega ukura 5, 50, 75, da 00. Pedugaa dilakuka utuk masig-masig ukura cotoh tersebut. Karea data yag dibagkitka utuk masigmasig ukura cotoh merupaka suatu cotoh dari populasi, maka diambil lebih bayak cotoh, sehigga memberika gambara yag lebih baik dari populasi tersebut. Utuk itu data dibagkitka dua puluh lima kali utuk masig-masig ukura cotoh. Data dibagkitka dega megguaka Mathematica 5.0 (lihat Lampira 4). 5

Metode Pedugaa Utuk meduga fugsi kepekata peluag diguaka peduga kepekata kerel sebagai peduga oparametrik, kemudia dibadigka dega peduga parametrik. Peduga kepekata kerel dipegaruhi oleh lebar pita da fugsi kerel. Utuk itu dilakuka simulasi dega memaika peraa lebar pita da fugsi kerel. Utuk meetuka ilai lebar pita, h, diguaka persamaaa berikut: MSE 00 = { ˆ ( ) ( ) 00 f x i f x i }, (7) i= fˆ x adalah fugsi dugaa da di maa ( i ) f ( x i ) adalah fugsi yag sebearya. Dalam hal ii, fˆ ( x ) merupaka fugsi dugaa i kepekata kerel da f ( x i ) merupaka fugsi kepekata peluag (3,00). Sehigga persamaa (7) mejadi x y xe MSE = 00 x /00 i j i i 00 K 6 i= h j= h 0...(8) di maa xi = + 0( i ), i =,,,00, merupaka titik-titik di maa ilai fugsi yag sebearya dega ilai fugsi yag diduga y adalah dihitug selisihya, da { j} = himpua cotoh acak bebas stokastik idetik dari sebara dega kepekata peluag (3,00). Persamaa tersebut megekspresika rata-rata galat kuadrat dari 00 titik x i. Jumlah 00 titik dipilih karea dilihat dari grafik fugsi sebara (3,00), pada titik berilai 000 grafik fugsiya sudah medekati ol, sehigga jika dibuat titik-titik dega lebar iterval 0 pada rage 0 sampai 000 aka ada 00 titik. Utuk suatu fugsi kerel yag telah ditetuka, substitusi y j dega data yag telah dibagkitka meghasilka fugsi dalam h. Karea igi didapatka peduga dega galat sekecil mugki, maka h haruslah suatu ilai yag memiimumka fugsi dalam h tersebut. Utuk meetuka h tersebut diguaka fugsi Miimize dalam Mathematica (lihat Lampira 5). Dari persamaa (8), dega dua puluh lima kali pegulaga diperoleh dua puluh lima ilai lebar pita da ilai MSE utuk j setiap ukura cotoh. Kemudia dari setiap ukura cotoh dihitug ilai rata-rata MSE (Average MSE/AMSE) dega persamaa berikut: 5 00 { ˆ AMSE = ( i; c) ( i) 5 f x y f x } c= 00 i=...(9) fˆ x ; y merupaka fugsi Dalam hal ii, ( ) i dugaa kepekata kerel dega megguaka himpua cotoh acak ke- c da f ( x i ) merupaka fugsi kepekata peluag (3,00). Sehigga persamaa (9) mejadi 5 00 /00 x x i y cj xe i i AMSE = K 5 6 c= 00 i= h c j= h c 0 c...(0) dimaa h c adalah ilai lebar pita yag memiimumka MSE utuk himpua cotoh y adalah himpua acak ke- c, da { cj} = cotoh acak ke- c yag bebas stokastik idetik dari sebara dega kepekata peluag (3,00) dega c =,,, 5. Fugsi kerel yag diguaka ialah kerel seragam, segitiga, Epaechikov, da Gauss. Dilihat dari grafikya, keempat fugsi kerel tersebut mempuyai betuk yag sagat berbeda satu sama lai. Kerel seragam, segitiga da Gauss masig-masig mempuyai betuk persegi pajag, segitiga, da loceg. Kerel Epaechikov mempuyai betuk hampir seperti segitiga tetapi lebih halus. Sedagka kerel laiya, seperti kerel kuartik, triweight, da cosius mempuyai betuk yag hampir sama dega Epaechikov haya saja masig-masig pucakya mempuyai ketiggia yag berbeda. Kerel kuartik mempuyai ketiggia pucak yag hampir sama dega segitiga, sehigga kuartik hampir sama seperti segitiga. Kerel cosius mempuyai betuk yag hampir sama dega Epaechikov dega pucak yag sedikit lebih tiggi. Kerel triweight mempuyai pucak sedikit lebih tiggi dibadigka segitiga (lihat Lampira 3). Utuk keempat fugsi kerel yag diguaka, dilakuka cara yag sama seperti di atas dalam mecari ilai lebar pita. Dega megguaka empat fugsi kerel aka didapatka empat ilai rata-rata MSE dari setiap ukura cotoh. Utuk membadigka keempat ilai rata-rata MSE tersebut diguaka uji beda yata terkecil (BNT) dega taraf yata 5%. j 6

Sebagai pembadig peduga kepekata kerel, diguaka peduga parametrik. Karea dataya dibagkitka dari sebara gamma, maka dalam pedugaa parametrikya yag diduga adalah parameter α da β. Utuk meduga parameter tersebut diguaka metode peduga kemugkia maksimum (maximum likelihood estimator/mle). Utuk suatu cotoh acak berukura dari suatu peubah acak X yag meyebar gamma, fugsi log-likelihood-ya adalah: x / l (, ) l i β α L α β = e i x α = i Γ( α) β i= = l Γ( α) αl β xi+ ( α ) l xi β i= i=...() Kemudia dicari ilai α da β yag memaksimumka fugsi log-likelihood tersebut, yaitu dega cara membuat turua pertama terhadap α da β sama dega ol. Tetapi turua pertamaya haya dapat dituruka terhadap β, yaitu l L( α, β ) = α + x i β β β i= i= α + xi = 0 β β i= α = xi β β () α = xi. β i= Oleh karea itu diguaka metode umerik utuk mecari solusiya. Dega mesubstitusika ˆ( α β) = x β i ke fugsi log-likelihoodya, didapatka i = i x x i xi ˆ i= i= i= l L( α( β), β) = l Γ ( l β+ ) + l xi. β β β i=...(3) Utuk mecari β yag memaksimumka persamaa tersebut, diguaka fugsi Maximize dalam Mathematica. Setelah β didapatka, dicari ilai α dega mesubstitusika β ke fugsi ˆ( α β ) (lihat Lampira 6). Utuk membadigka dega dugaa hasil peduga kepekata kerel, dihitug ilai MSE da rata-rata MSE dega megguaka persamaa (7) da (9) dimaa f ˆ ( x i ) merupaka fugsi kepekata peluag gamma dega ilai dugaa α da β yag diperoleh dari metode kemugkia maksimum da f ( x i ) merupaka fugsi kepekata peluag (3,00) (lihat Lampira 6). Tahapa Pedugaa Kepekata Kerel dega Mathematica Data Defiisi Peduga Kepekata Kerel (Fugsi kerel da lebar pita telah ditetuka) Plot ) Data Data yag merupaka iput didefiisika pada otebook Mathematica dalam betuk list. ) Defiisi Peduga Kepekata Kerel Setelah data disiapka, tahapa selajutya adalah medefiisika fugsi peduga kepekata kerel pada otebook Mathematica dega fugsi kerel da lebar pita yag telah ditetuka. Kemudia substitusika data pada fugsi peduga kepekata kerel yag telah didefiisika, sehigga dihasilka dugaa fugsi kepekata peluag utuk data tersebut. 3) Plot Dugaa fugsi kepekata peluag yag telah didapat, diplot utuk melihat sebara peluag yag terbetuk. 7

HASIL DAN PEMBAHASAN Pedugaa Fugsi Kepekata Peluag dega Fugsi Kepekata Kerel Dari perhituga yag dilakuka, didapatka ilai MSE terkecil dari setiap cotoh acak beserta lebar pita-ya yag dilampirka pada Lampira 7. Sedagka ilai rata-rata MSE da simpaga baku MSE diragkum pada Tabel. Kerel Tabel. Nilai rata-rata MSE, simpaga baku MSE dari dugaa kepekata kerel beserta ratarata dugaa MLE parameter ˆα da ˆβ bagi fkp (3,00) Ukura cotoh 5 50 75 00 Rata-rata Simpaga Rata-rata Simpaga Rata-rata Simpaga Rata- rata Simpaga MSE Baku MSE MSE Baku MSE MSE Baku MSE MSE Baku MSE Seragam 9.43098 x 0-8 6.38888 x 0-8 6.8648 x 0-8 4.69654 x 0-8 5.558 x 0-8 4.73 x 0-8 4.7774 x 0-8.40563 x 0-8 Segitiga 8.83 x 0-8 6.605 x 0-8 5.9976 x 0-8 4.90539 x 0-8 5.443 x 0-8 4.34969 x 0-8 4.509 x 0-8.459 x 0-8 Epaechikov 8.7439 x 0-8 6.6758 x 0-8 5.95435 x 0-8 4.90 x 0-8 5.63 x 0-8 4.3366 x 0-8 4.50044 x 0-8.4556 x 0-8 Gauss 9.0795 x 0-8 6.70575 x 0-8 6.044 x 0-8 4.9363 x 0-8 5.30433 x 0-8 4.34988 x 0-8 4.5688 x 0-8.4740 x 0-8 MLE Rata-rata Simpaga Rata-rata Simpaga Rata-rata Simpaga Rata-rata Simpaga Baku Baku Baku Baku MSE 7.03 x 0-8 8.653 x 0-8 4.0066 x 0-8 3.68307 x 0-8.6553 x 0-8 3.063 x 0-8.463 x 0-8.455 x 0-8 ˆα 3.694.0450 3.7667 0.739087 3.579 0.437496 3.0859 0.3597 ˆβ 00.09 3.4909 97.8.8578 95.3.697 00.705.37 Pada Tabel terlihat bahwa utuk ukura cotoh 5, 50, 75, maupu 00, dugaa dega metode kepekata kerel bagi fugsi kepekata peluag (3,00) dega megguaka fugsi kerel epaechikov mempuyai ilai rata-rata MSE terkecil. Sedagka dugaa dega megguaka fugsi kerel seragam mempuyai ilai ratarata MSE terbesar. Tetapi dega megguaka uji beda yata terkecil, utuk setiap ukura cotoh, keempat ilai rata-rata MSE yag didapatka tidak berbeda yata pada taraf 5%. Utuk ukura cotoh 5, dari dua puluh lima ilai MSE hasil dugaa bagi fugsi kepekata peluag (3,00) megguaka kepekata kerel dega fugsi kerel seragam, didapatka MSE terkecil berilai.48346 x 0-8 da MSE terbesar berilai.8779 x 0-7. Nilai MSE hasil dugaa bagi fugsi kepekata peluag (3,00) megguaka kepekata kerel dega fugsi kerel segitiga, didapatka MSE terkecil berilai.409 x 0-8 da MSE terbesar berilai.80453 x 0-7. Nilai MSE hasil dugaa bagi fugsi kepekata peluag (3,00) megguaka kepekata kerel dega fugsi kerel Epaechikov, didapatka MSE terkecil berilai.40709 x 0-8 da MSE terbesar berilai.8958 x 0-7. Da Nilai MSE hasil dugaa megguaka kepekata kerel dega fugsi kerel Gauss bagi fugsi kepekata peluag (3,00), didapatka MSE terkecil berilai.40793 x 0-8 da MSE terbesar berilai.806 x 0-7. Utuk memberika gambara, berikut ii diperlihatka tumpag tidih grafik fugsi kepekata peluag (3,00) dega grafik dugaa megguaka kepekata kerel dega fugsi kerel seragam, segitiga, Epaechikov, da Gauss yag mempuyai 8

ilai MSE terkecil da MSE terbesar dari ukura cotoh 5: 0.005 0.00 0.005 0.00 00 400 600 800 000 Gambar. Grafik fkp (3,00) da dugaa megguaka kepekata kerel dega kerel seragam yag mempuyai MSE terkecil da terbesar dari ukura cotoh 5 0.005 0.00 0.005 0.00 00 400 600 800 000 Gambar 3. Grafik fkp (3,00) da dugaa megguaka kepekata kerel dega kerel segitiga yag mempuyai MSE terkecil da terbesar dari ukura cotoh 5 0.005 0.00 0.005 0.00 00 400 600 800 000 Gambar 4. Grafik fkp (3,00) da dugaa megguaka kepekata kerel dega kerel Epaechikov yag mempuyai MSE terkecil da terbesar dari ukura cotoh 5 0.005 0.00 0.005 0.00 Hasil dugaa bagi fugsi kepekata peluag (3,00) dari ukura cotoh 50 dega megguaka kepekata kerel dega fugsi kerel seragam, didapatka MSE terkecil berilai.543 x 0-8 da MSE terbesar berilai.777 x 0-7. Jika diguaka fugsi kerel segitiga, didapatka MSE terkecil berilai.048 x 0-8 da MSE terbesar berilai.89 x 0-7. Sedagka jika diguaka fugsi kerel Epaechikov, didapatka MSE terkecil berilai.693 x 0-8 da MSE terbesar berilai.987 x 0-7. Da jika diguaka fugsi kerel Gauss, didapatka MSE terkecil berilai.0437 x 0-8 da MSE terbesar berilai.446 x 0-7. Berikut ii diperlihatka tumpag tidih grafik fugsi kepekata peluag (3,00) dega grafik dugaa megguaka kepekata kerel dega fugsi kerel seragam, segitiga, Epaechikov, da Gauss yag mempuyai ilai MSE terkecil da MSE terbesar dari ukura cotoh 50: 0.005 0.00 0.005 0.00 00 400 600 800 000 Gambar 6. Grafik fkp (3,00) da dugaa megguaka kepekata kerel dega kerel seragam yag mempuyai MSE terkecil da terbesar dari ukura cotoh 50 0.005 0.00 0.005 0.00 00 400 600 800 000 Gambar 7. Grafik fkp (3,00) da dugaa megguaka kepekata kerel dega kerel segitiga yag mempuyai MSE terkecil da terbesar dari ukura cotoh 50 00 400 600 800 000 Gambar 5. Grafik fkp (3,00) da dugaa megguaka kepekata kerel dega kerel Gauss yag mempuyai MSE terkecil da terbesar dari ukura cotoh 5 9

0.005 0.005 0.00 0.005 0.00 0.00 0.005 0.00 00 400 600 800 000 Gambar 8. Grafik fkp (3,00) da dugaa megguaka kepekata kerel dega kerel Epaechikov yag mempuyai MSE terkecil da terbesar dari ukura cotoh 50 00 400 600 800 000 Gambar 0. Grafik fkp (3,00) da dugaa megguaka kepekata kerel dega kerel seragam yag mempuyai MSE terkecil da terbesar dari ukura cotoh 75 0.005 0.00 0.005 0.00 0.005 0.00 0.005 0.00 00 400 600 800 000 Gambar 9. Grafik fkp (3,00) da dugaa megguaka kepekata kerel dega kerel Gauss yag mempuyai MSE terkecil da terbesar dari ukura cotoh 50 Hasil dugaa bagi fugsi kepekata peluag (3,00) dari ukura cotoh 75 dega megguaka kepekata kerel dega fugsi kerel seragam, didapatka MSE terkecil berilai.0573 x 0-8 da MSE terbesar berilai.805 x 0-7. Jika diguaka fugsi kerel segitiga, didapatka MSE terkecil berilai 7.87 x 0-9 da MSE terbesar berilai.3878 x 0-7. Sedagka jika diguaka fugsi kerel Epaechikov, didapatka MSE terkecil berilai 6.8936 x 0-9 da MSE terbesar berilai.306 x 0-7. Da jika diguaka fugsi kerel Gauss, didapatka MSE terkecil berilai 9.43 x 0-9 da MSE terbesar berilai.488 x 0-7. Berikut ii diperlihatka tumpag tidih grafik fugsi kepekata peluag (3,00) dega grafik dugaa megguaka kepekata kerel dega fugsi kerel seragam, segitiga, Epaechikov, da Gauss yag mempuyai ilai MSE terkecil da MSE terbesar dari ukura cotoh 75: 00 400 600 800 000 Gambar. Grafik fkp (3,00) da dugaa megguaka kepekata kerel dega kerel segitiga yag mempuyai MSE terkecil da terbesar dari ukura cotoh 75 0.005 0.00 0.005 0.00 00 400 600 800 000 Gambar. Grafik fkp (3,00) da dugaa megguaka kepekata kerel dega kerel Epaechikov yag mempuyai MSE terkecil da terbesar dari ukura cotoh 75 0.005 0.00 0.005 0.00 00 400 600 800 000 Gambar 3. Grafik fkp (3,00) da dugaa megguaka kepekata kerel dega kerel Gauss yag mempuyai MSE terkecil da terbesar dari ukura cotoh 75 0

Hasil dugaa bagi fugsi kepekata peluag (3,00) dari ukura cotoh 00 dega megguaka kepekata kerel dega fugsi kerel seragam, didapatka MSE terkecil berilai.0786 x 0-8 da MSE terbesar berilai.86 x 0-7. Jika diguaka fugsi kerel segitiga, didapatka MSE terkecil berilai 6.590 x 0-9 da MSE terbesar berilai.7359 x 0-7. Sedagka jika diguaka fugsi kerel Epaechikov, didapatka MSE terkecil berilai 6.968 x 0-9 da MSE terbesar berilai.7534 x 0-7. Da jika diguaka fugsi kerel Gauss, didapatka MSE terkecil berilai 6.083 x 0-9 da MSE terbesar berilai.6966 x 0-7. Berikut ii diperlihatka tumpag tidih grafik fugsi kepekata peluag (3,00) dega grafik dugaa megguaka kepekata kerel dega fugsi kerel seragam, segitiga, Epaechikov, da Gauss yag mempuyai ilai MSE terkecil da MSE terbesar dari ukura cotoh 00: 0.005 0.00 0.005 0.00 00 400 600 800 000 Gambar 4. Grafik fkp (3,00) da dugaa megguaka kepekata kerel dega kerel seragam yag mempuyai MSE terkecil da terbesar dari ukura cotoh 00 0.005 0.00 0.005 0.00 00 400 600 800 000 Gambar 5. Grafik fkp (3,00) da dugaa megguaka kepekata kerel dega kerel segitiga yag mempuyai MSE terkecil da terbesar dari ukura cotoh 00 0.005 0.00 0.005 0.00 00 400 600 800 000 Gambar 6. Grafik fkp (3,00) da dugaa megguaka kepekata kerel dega kerel Epaechikov yag mempuyai MSE terkecil da terbesar dari ukura cotoh 00 0.005 0.00 0.005 0.00 00 400 600 800 000 Gambar 7. Grafik fkp (3,00) da dugaa megguaka kepekata kerel dega kerel Gauss yag mempuyai MSE terkecil da terbesar dari ukura cotoh 00 Hasil grafik dari keempat fugsi kerel yag diguaka utuk setiap ukura cotoh terlihat tidak jauh berbeda, khususya grafik yag dihasilka dari kerel segitiga, Epaechikov, da Gauss. Ii sesuai dega hasil uji beda yata terkecil di maa keempat ilai rata-rata MSE yag didapatka tidak berbeda pada taraf yata 5%. Dari gambar di atas terlihat bahwa grafik yag dihasilka oleh dugaa dega megguaka fugsi kerel segitiga, Epaechikov, da Gauss merupaka grafik yag halus. Sedagka kerel seragam, walaupu fugsiya sederhaa, tetapi grafik hasil dugaaya tidak halus. Kerel segitiga da Epaechikov mempuyai fugsi yag lebih sederhaa dibadigka kerel gauss (lihat Tabel ). Dilihat pada Tabel, semaki besar ukura cotoh, semaki kecil ilai rata-rata MSE yag dihasilka dari keempat fugsi kerel tersebut. Begitu pula ilai simpaga baku MSE yag dihasilka semaki kecil dega bertambahya ukura cotoh. Ii berarti semaki besar ukura cotoh yag diguaka, hasil dugaa kepekata kerel, apapu fugsi kerelya dari keempat fugsi kerel tersebut, aka medekati fugsi kepekata peluag yag sebearya.

Pedugaa Fugsi Kepekata Peluag dega Peduga Kemugkia Maksimum da Perbadigaya dega Fugsi Kepekata Kerel Hasil pedugaa bagi fugsi kepekata peluag (3,00) dari ukura cotoh 5, 50, 75, da 00 dega peduga kemugkia maksimum dilampirka pada Lampira 8. Sedagka pada bagia bawah Tabel diperlihatka ilai rata-rata da simpaga baku dari dugaa parameter da MSE hasil pedugaa dega kemugkia maksimum. Pedugaa bagi fugsi kepekata peluag (3,00) dega ukura cotoh 5 dega megguaka kemugkia maksimum meghasilka dugaa dega MSE terkecil berilai.7 x 0-0 da MSE terbesar berilai 3.70397 x 0-7 dari dua puluh lima ilai MSE yag diperoleh. Utuk ukura cotoh 50, dari dua puluh lima ilai MSE yag didapatka, MSE terkecil berilai.6658 x 0-9 da MSE terbesar berilai.858 x 0-7. Utuk ukura cotoh 75, dari dua puluh lima ilai MSE yag didapatka, MSE terkecil berilai 7.34 x 0-0 da MSE terbesar berilai.4838 x 0-7. Da utuk ukura cotoh 00, dari dua puluh lima ilai MSE yag didapatka, MSE terkecil berilai 8.980 x 0-0 da MSE terbesar berilai 4.77985 x 0-8. Berikut ii adalah grafik hasil dugaa MLE yag mempuyai MSE terkecil da terbesar utuk ukura cotoh 5, 50, 75, da 00: 0.005 0.00 0.005 0.00 00 400 600 800 000 Gambar 8. Grafik fkp (3,00) da dugaaya dega MLE yag mempuyai MSE terkecil da terbesar dari ukura cotoh 5 0.005 0.00 0.005 0.00 0.005 0.00 0.005 0.00 00 400 600 800 000 Gambar 0. Grafik fkp (3,00) da dugaaya dega MLE yag mempuyai MSE terkecil da terbesar dari ukura cotoh 75 0.005 0.00 0.005 0.00 00 400 600 800 000 Gambar. Grafik fkp (3,00) da dugaaya dega MLE yag mempuyai MSE terkecil da terbesar dari ukura cotoh 00 Nilai rata-rata MSE dari dugaa kemugkia maksimum semaki kecil dega semaki besarya ukura cotoh. Begitu pula dega simpaga baku MSE yag dihasilka. Semaki besar ukura cotoh, semaki kecil simpaga baku MSE yag dihasilka. Ii berarti hasil dugaa kemugkia maksimum aka medekati fugsi kepekata peluag yag sebearya dega memperbesar ukura cotoh. Utuk keempat ukura cotoh, hasil dugaa dega peduga kemugkia maksimum bagi fugsi kepekata peluag (3,00) mempuyai ilai rata-rata MSE lebih kecil dibadigka dega ilai rata-rata MSE hasil dugaa kepekata kerel. Begitu pula simpaga baku MSE yag dihasilka. Kecuali simpaga baku MSE utuk ukura cotoh 5, simpaga baku MSE hasil dugaa kemugkia maksimum lebih kecil dibadigka simpaga baku MSE hasil dugaa kepekata kerel. Utuk memberika gambara, data MSE dari masig-masig hasil dugaa dega megguaka kepekata kerel maupu kemugkia maksimum disajika dalam betuk boxplot sebagai berikut: Gambar 9. 00 400 600 800 000 Grafik fkp (3,00) da dugaaya dega MLE yag mempuyai MSE terkecil da terbesar dari ukura cotoh 50

,0000004,0000004,000000 9 9 9 9,0000003 5 5 5 5,0000000,000000 4 5 3,00000008,00000006,000000,00000004 8 0,0000000,0000000 0,00000000 -,000000 N = 5 Seragam 5 Segitiga 5 Epaechikov 5 Gauss 5 MLE Gambar. Boxplot data MSE dari ukura cotoh 5 -,00000000 N = 5 Seragam 5 Segitiga 5 Epaechikov 5 Gauss 5 MLE Gambar 5. Boxplot data MSE dari ukura cotoh 00,0000003,000000,000000 0,0000000 -,000000 N = 5 3 Seragam 5 3 Segitiga 5 3 Epaechikov 5 3 Gauss 5 3 37 5 MLE Gambar 3. Boxplot data MSE dari ukura cotoh 50,0000003,000000,000000 0,0000000 -,000000 N = 5 9 Seragam 5 9 Segitiga 5 9 Epaechikov 5 9 Gauss 5 9 MLE Gambar 4. Boxplot data MSE dari ukura cotoh 75 Masig-masig gambar boxplot di atas terlihat bahwa data MSE hasil dugaa dega kepekata kerel utuk keempat fugsi kerel yag diguaka meghasilka boxplot yag hampir sama. Sedagka data MSE hasil dugaa dega kemugkia maksimum terlihat berbeda sediri. Dari boxplot utuk data MSE hasil dugaa dega kemugkia maksimum dega ukura cotoh 5, terlihat ada satu ilai ekstrim yag membuat ilai simpaga baku-ya lebih besar dibadigka keempat ilai simpaga baku MSE hasil dugaa dega kepekata kerel. Nilai ekstrim ii merupaka kotradiksi dari model yag sebearya. Karea cotoh acak yag diguaka dari peubah acak dega sebara yag telah diketahui yaitu (3,00), maka diharapka dugaa bagi fugsi kepekata peluag-ya meghasilka ilai MSE sekecil mugki. Tetapi ada satu himpua cotoh dega ukura cotoh 5 yag meghasilka dugaa dega ilai MSE yag ekstrim. Dalam keyataa yag sebearya, ii mugki saja terjadi karea kesalaha dalam pegukura, pecatata data, alat yag diperguaka ataupu kesalahakesalaha laiya, atau memag terjadi dega peluag kecil. Oleh karea itu, data ekstrim mugki saja tidak diguaka dalam aalisis lajuta. 3

KESIMPULAN Pedugaa fugsi kepekata peluag bagi suatu data yag dibagkitka dari sebara (3,00) dega megguaka peduga kepekata kerel dega kerel seragam, segitiga, epaechikov da gauss, dihasilka empat ilai rata-rata MSE yag tidak berbeda yata pada taraf 5% utuk setiap ukura cotoh 5, 50, 75, da 00. Utuk meduga fugsi kepekata peluag (3,00) dega megguaka peduga kepekata kerel, dari fugsi kerel seragam, segitiga, epaechikov, da gauss, direkomedasika megguaka fugsi kerel epaechikov atau segitiga yag meghasilka grafik yag halus da fugsi kerelya sederhaa. Hasil dugaa bagi fugsi kepekata peluag (3,00) dega peduga kemugkia maksimum lebih baik dibadigka hasil dugaa dega peduga kepekata kerel. Pada peduga kepekata kerel maupu peduga kemugkia maksimum, ukura cotoh mempegaruhi hasil dugaa. Semaki besar ukura cotoh, hasil dugaa semaki baik. DAFTAR PUSTAKA Härdle W, Simar L. 003. Applied Multivariate Statistical Aalysis. Berli: Spriger. Hies WW, Motgomery DC. 990. Probabilita da Statistik dalam Ilmu Rekayasa da Maajeme. Edisi ke-. Terjemaha Rudiasyah. Jakarta: UI-Press. Hogg RV, McKea JW, Craig AT. 005. Itroductio to Mathematical Statistics. Edisi ke-6. New Jersey: Pretice Hall. Scott DW, Tapia RA, Thompso JR. 977. Kerel desity estimatio revisited. Noliear Aalysis, Theory, Methods & Applicatios :339-37. Silverma BW. 986. Desity Estimatio for Statistics ad Data Aalysis. Lodo: Chapma ad Hall. Wad MP, Joes MC. 995. Kerel Smoothig. Lodo: Chapma ad Hall. Parze E. 96. O estimatio of a probability desity fuctio ad mode. A Math Statist 33:065-076. Puraba IGP, Magku IW. 003. Suatu pegatar ke pemodela stokastik. Di dalam: Buku II: Matematika dega Mathematica. Pelatiha Pemodela Matematika: Pegembaga da Implemetasiya dalam Komputer; Bogor, 4-6 Agu 003. Bogor: Jurusa Matematika FMIPA IPB & Bagpro PKSDM Ditje Dikti. Rose C, Smith MD. 00. Mathematical Statistics with Mathematica. New York: Spriger-Verlag Roseblatt M. 956. Remarks o some oparametric estimates of a desity fuctio. A Math Statist 7:83-837. Ross SM. 000. Itroductio to Probability Model. Edisi ke-7. Florida: Academic Press Ic. Orlado. 4

LAMPIRAN 4

Lampira. Bukti Teorema Teorema : Misalka K ( y ) adalah suatu fugsi Borel yag memeuhi kodisi (). Da misalka pula g( y ) memeuhi g( y) dy < Didefiisika ( ) y g x = K g ( x y ) dy h h dega { h ( )} adalah barisa dari kostata positif yag memeuhi persamaa (4). Maka utuk setiap titik x pada kekotiua g (.), lim g ( x) = g( x) K( y) dy. Bukti: (Parze 96) Perhatika bahwa { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y g x g x K y dy = g x y g x K dy h h Utuk suatu δ > 0, pecah daerah itegral mejadi dua daerah, yaitu y δ da y > δ. Maka ( ) ( ) ( ) { ( ) ( )} y g x g x K y dy = g x y g x K dy h h g( x y) y y sup g( x y) g( x) z δ K( z) dz+ y δ K dy y δ h y h h ( ) y + g x y δ K dy h h sup g( x y) g( x) ( ) K z dz+ sup zk( z) g( y) dy δ y δ z h + g( x) δ K( z) dz z h Utuk, karea h 0, bagia kedua da ketiga meuju ke ol karea g( y) dy < da lim yk ( y) = 0. Da utuk δ 0, bagia pertama meuju ke ol karea K( y) dy < da x y adalah suatu titik pada kekotiua g. δ 43

Lampira. Bukti Teorema Teorema : Peduga f ˆ pada persamaa () dega kedala () da (3) merupaka peduga kosiste jika ditambahka kedala lim h =. Bukti: (Scott et al. 977) Karea Var( X) = Var( X), maka ˆ ( ) x X Var f x Var K = h h Kemudia x y Var K x X E K x X K f ( y) dy h h h h = h h h 0 jika lim h = Sedagka ( ) ( ) MSE fˆ ( ) ˆ ( ) ( ) ˆ ( ) ˆ x E f x f x Var f x = = + Bias f( x) Telah dibuktika bahwa ragamya meuju ke ol jika lim h bahwa biasya meuju ke ol. Sehigga didapat MSE fˆ ( x ) 0 =. Da dari Akibat telah ditujukka, yag berarti f ˆ ( x ) adalah peduga kosiste bagi f ( x ). 44

Lampira 7. Nilai MSE Miimum beserta Lebar Pita-ya Table 3. Nilai MSE miimum beserta lebar pita-ya utuk ukura cotoh 5 Seragam Segitiga Epaechikov Gauss Lebar Pita MSE Lebar Pita MSE Lebar Pita MSE Lebar Pita MSE 36.574 3.6945 x 0-8 68.553.7045 x 0-8 59.78.8873 x 0-8 68.8.7976 x 0-8 85.83 4.684 x 0-8 7.098.634 x 0-8 07.937.60859 x 0-8 55.5397.659 x 0-8 3.487.48346 x 0-8 94.386.409 x 0-8 70.5.40709 x 0-8 84.8.40793 x 0-8 4 64.09.7403 x 0-7 64.073.84558 x 0-7 4.83.7793 x 0-7 0.7.965 x 0-7 5 97.0 8.3499 x 0-8 53.56 7.96556 x 0-8 34.763 7.6666 x 0-8 66.795 8.35433 x 0-8 6 60.437 4.9706 x 0-8.8 5.57587 x 0-8 98.687 5.05583 x 0-8 96.563 5.7754 x 0-8 7 30.664.66 x 0-7 75.005.874 x 0-7 56.3.5838 x 0-7 74.9493.53 x 0-7 8 0.537 3.597 x 0-8 39.3.8396 x 0-8 4.57.8085 x 0-8 59.8406.00539 x 0-8 9 3.99 6.87 x 0-8 7.89 7.683 x 0-8 55.443 6.7773 x 0-8 73.7799 7.67874 x 0-8 0 45.809.0494 x 0-7 49.0.9464 x 0-7 5.53.9773 x 0-7 0.776.0057 x 0-7 95.637 5.379 x 0-8 46.063 4.6536 x 0-8 7.7 4.0355 x 0-8 6.7075 4.86 x 0-8 50.37 7.065 x 0-8 86.3 6.68946 x 0-8 73.985 6.69636 x 0-8 77.9 6.9550 x 0-8 3 94.386 9.7943 x 0-8 37.5 8.34053 x 0-8 7.5 8.573 x 0-8 60.343 8.5793 x 0-8 4 5.563 5.657 x 0-8 8.34 4.5396 x 0-8 60.589 4.5338 x 0-8 77.406 4.6474 x 0-8 5 08.03 3.9649 x 0-8 59.0.7586 x 0-8 38.489.68358 x 0-8 70.66.8636 x 0-8 6 5.798 8.9004 x 0-8 68.74 8.39647 x 0-8 48.588 8.47774 x 0-8 7.0976 8.4 x 0-8 7 39.34.0878 x 0-7 3.66 9.07086 x 0-8 0.39 9.7064 x 0-8 96.77 8.8837 x 0-8 8 9.5 5.877 x 0-8 4.434 3.7698 x 0-8 0. 3.8539 x 0-8 60.5458 3.9855 x 0-8 9 95.573 6.56087 x 0-8 49.08 5.63459 x 0-8 3.739 5.547 x 0-8 64.9548 5.86976 x 0-8 0 50.447 8.05487 x 0-8 3.87 7.94 x 0-8 93.69 6.98983 x 0-8 9.4753 8.694 x 0-8 3.50.8399 x 0-7 93.905.78734 x 0-7 73.4.766 x 0-7 84.7935.8458 x 0-7.305.5060 x 0-7 53.47.53708 x 0-7 43.433.5006 x 0-7 67.56.556 x 0-7 3 67.36 6.649 x 0-8 5.664 6.4864 x 0-8 99.589 6.475 x 0-8 90.56 6.5939 x 0-8 4 7.46.4747 x 0-7 98.46.3996 x 0-7 68.959.359 x 0-7 84.5446.36068 x 0-7 5 0.883.8779 x 0-7 303.355.80453 x 0-7 74.59.8958 x 0-7 0.50.806 x 0-7 Rata-rata 9.43098 x 0-8 Rata-rata 8.83 x 0-8 Rata-rata 8.7439 x 0-8 Rata-rata 9.0795 x 0-8 MSE MSE MSE MSE Simpaga 6.38888 x 0-8 Simpaga 6.605 x 0-8 Simpaga 6.6758 x 0-8 Simpaga 6.70575 x 0-8 Baku Baku Baku Baku 45

Tabel 4. Nilai MSE miimum beserta lebar pita-ya utuk ukura cotoh 50 Seragam Segitiga Epaechikov Gauss Lebar Pita MSE Lebar Pita MSE Lebar Pita MSE Lebar Pita MSE 3.074 3.663 x 0-8 86.088.65469 x 0-8 69.5.704 x 0-8 79.663.63698 x 0-8 68.44 3.0407 x 0-8 00.4.084 x 0-8 88.78.807 x 0-8 43.407.673 x 0-8 3 35.068 9.634 x 0-8 90.339 9.8747 x 0-8 7.73 9.368 x 0-8 8.035 9.304 x 0-8 4.04 5.38669 x 0-8 73.463 6.36 x 0-8 53.463 5.7758 x 0-8 74.7004 6.3986 x 0-8 5.759 9.95895 x 0-8 66.9.05075 x 0-7 55.808.0409 x 0-7 68.6447.08009 x 0-7 6 98.977.88744 x 0-8 4.735.048 x 0-8 5.67.693 x 0-8 59.63.0437 x 0-8 7 33.759.56 x 0-7.963.06734 x 0-7 9.048.08055 x 0-7 9.387.07 x 0-7 8 09.086 4.999 x 0-8 56.794 3.30769 x 0-8 4.466 3.39357 x 0-8 68.0406 3.408 x 0-8 9 56.784 6.735 x 0-8.04 6.943 x 0-8 95.536 6.866 x 0-8 89.6934 7.06633 x 0-8 0 4.659 3.45334 x 0-8 90.097 3.5 x 0-8 73.9 3.458 x 0-8 79.573 3.4303 x 0-8 95.6.03 x 0-7 39.45.8 x 0-7 8.967.0854 x 0-7 58.355.686 x 0-7 87.6 3.784 x 0-8 3.84 3.58 x 0-8 6.54.9703 x 0-8 58.338 3.468 x 0-8 3 57.963.777 x 0-7 4.59.89 x 0-7.7.987 x 0-7 94.0438.446 x 0-7 4 90.73 5.0373 x 0-8.77 4.46865 x 0-8.53 4.44067 x 0-8 5.567 4.58999 x 0-8 5 4.88 3.709 x 0-8 95.0 3.06746 x 0-8 74.43 3.736 x 0-8 84.388.937 x 0-8 6 8.93 3.04887 x 0-8 4.9.8645 x 0-8 34.495.477 x 0-8 6.57.9949 x 0-8 7 03.858.8657 x 0-8 3.88.76343 x 0-8 3.356.6635 x 0-8 55.6907.907 x 0-8 8 9.90.6584 x 0-8 34.48.44859 x 0-8 6.496.8855 x 0-8 58.045.6759 x 0-8 9 09.58 7.69657 x 0-8 58.68 6.9399 x 0-8 40.8 6.97747 x 0-8 69.6595 6.7975 x 0-8 0 99.5.74 x 0-7 60.57.53 x 0-7 43.9.433 x 0-7 65.458.366 x 0-7 0.686 3.764 x 0-8 4.966 3.3694 x 0-8 8.846 3.3386 x 0-8 60.0337 3.488 x 0-8 06.83.543 x 0-8 59.048.778 x 0-8 40.034.404 x 0-8 68.89.4487 x 0-8 3 75.836.787 x 0-7 48.04.740 x 0-7 9.83.779 x 0-7 0.543.779 x 0-7 4 07.704 3.9835 x 0-8 44.43 3.93858 x 0-8 30.79 3.75957 x 0-8 60.9954 4.3 x 0-8 5 30.7 3.364 x 0-8 90.90 3.5687 x 0-8 70.635 3.0859 x 0-8 84.4 3.3558 x 0-8 Rata-rata 6.8648 x 0-8 Rata-rata 5.9976 x 0-8 Rata-rata 5.95435 x 0-8 Rata-rata 6.044 x 0-8 MSE MSE MSE MSE Simpaga 4.69654 x 0-8 Simpaga 4.90539 x 0-8 Simpaga 4.90 x 0-8 Simpaga 4.9363 x 0-8 Baku Baku Baku Baku 46