MODUL MATEMATIKA WAJIB TRANSFORMASI KELAS XI SEMESTER 2

MODUL MATEMATIKA WAJIB TRANSFORMASI KELAS XI SEMESTER 2 SMA Santa Angela Tahun Pelajaran 26 27 Transformasi Geometri Matematika Wajib XI

BAB I.PENDAHULUAN A. Deskripsi Dalam modul ini, anda akan mempelajari t r a n s f o r m a s i a n g t e r d i r i a t a s r e f l e k s i, t r a n s l a s i, r o t a s i, d a n d i l a t a s i a n g d i i d e n t i f i k a s i berdasarkan ciri-cirina. Refleksi merupakan pencerminan. Dalam geometri bidang pencerminan terdiri dari pencerminan terhadap sumbu, sumbu, =, = -, = m, = n, tehadap titik pusat O. Translasi merupakan perpindahan. Rotasi merupakan perputaran. Rotasi ditentukan oleh pusat dan besar sudut. Titik pusat di O(,) dan di P(a,b), sedangkan untuk besar sudut positif berlawanan arah dengan arah jarum jam dan sebalikna besar sudut negatif searah dengan arah jarum jam. Dilatasi merupakan transformasi ang merubah ukuran tetapi tidak merubah bentuk bangun. Dilatasi ditentukan oleh pusat dan faktor skala. B.Tujuan. Menjelaskan arti geometri dari suatu transformasi bidang dengan benar dan teliti. 2. Melakukan operasi berbagai jenis transformasi: translasi refleksi, dilatasi, dan rotasi dengan tekun.. Menentukan persamaan matriks dari transformasi pada bidang. 4. Menentukan aturan transformasi dari komposisi beberapa transformasi. 5. Menentukan persamaan matriks dari komposisi transformasi pada bidang. Transformasi Geometri Matematika Wajib XI 2

BAB II. PEMBELAJARAN Kompetensi : Menggunakan transformasi geometri ang dapat dinatakan dengan matriks dalam pemecahan masalah. Sub Kompetensi :. Mendefinisikan arti geometri dari suatu transformasi di bidang melalui pengamatan dan kajian pustaka. 2. Menentukan hasil transformasi geometri dari sebuah titik dan bangun.. Menentukan operasi aljabar dari transformasi geometri dan mengubahna ke dalam bentuk persamaan matriks. B.KEGIATAN BELAJAR. Kegiatan Belajar Definisi Transformasi merupakan proses perpindahan suatu titik atau garis atau bidang menjadi baangan titik atau garis atau bidang tersebut. Jenis-jenis transformasi :. Refleksi (pencerminan) 2. Translasi (Perpindahan). Rotasi (perputaran) 4. Dilatasi (perbesaran) Transformasi Geometri Matematika Wajib XI

. REFLEKSI Refleksi atau pencerminan suatu transformasi ang memindahkan setiap titik pada sebuah bentuk ke titik ang simetris dengan titik semula terhadap sumbu pencerminan tersebut. Dalam geometri bidang, sebagai cermin digunakan a. Sumbu b. Sumbu c. = m d. = n e. = f. = - g. Titik pusat O(,) a. Refleksi terhadap sumbu P(,) P (,-) Transformasi Geometri Matematika Wajib XI 4

Berdasarkan gambar tersebut, jika baangan titik P(,) adalah P (, ) maka P (, ) = P (, -) sehingga dalam bentuk matriks dapat ditulis sebagai berikut : = = - Jadi adalah matriks pencerminan terhadap sumbu. E.. Diketahui segitiga ABC dengan koordinat titik A(2,), B(,-5) dan C(-,). Tentukan koordinat baangan segitiga ABC tersebut bila dicerminkan terhadap sumbu jawab : Pencerminan terhadap sumbu P(,) P (, -) A(2,) A (2,) B(,-5) B (,5) C(-,) C (-,-) 2. Baangan garis 2 + 5 = oleh refleksi terhadap sumbu adalah Jawab : oleh pencerminan terhadap sumbu X maka: = = = - = - = dan = - disubstitusi ke kurva 2 + 5 = diperoleh: 2(- ) + 5 = + 2 + 5 = Jadi baanganna adalah + 2 + 5 = Transformasi Geometri Matematika Wajib XI 5

b. Refleksi terhadap sumbu P(-,) P (,) Berdasarkan gambar tersebut, jika baangan titik P(,) adalah P (, ) maka P (, ) = P (-,), sehingga dalam bentuk matriks dapat ditulis sebagai berikut : = - = jadi adalah matriks pencerminan terhadap sumbu. E. 2 Tentukan baangan kurva = 2 oleh pencerminan terhadap sumbu Y. Jawab: oleh pencerminan terhadap sumbu Y maka: = - = - = = = - dan = disubstitusi ke = 2 diperoleh: = (- ) 2 (- ) = ( ) 2 + Jadi baanganna adalah = 2 + Transformasi Geometri Matematika Wajib XI 6

c. Refleksi terhadap garis = m P(,) P (2m-,) = m Berdasarkan gambar tersebut, jika baangan titik P(,) adalah P (, ) maka P (, ) = P (2m-,). E. Tentukan baangan kurva 2 = 5 oleh pencerminan terhadap garis =. Jawab: oleh pencerminan terhadap garis = maka: = 2m - = 2. - = 6 = = = 6 dan = disubstitusi ke 2 = - 5 diperoleh: ( ) 2 = (6 ) 5 ( ) 2 = Jadi baanganna adalah 2 = Transformasi Geometri Matematika Wajib XI 7

d. Refleksi terhadap garis = n P(,) = m = n P (,2n-) Berdasarkan gambar diatas, jika baangan titik P(,) adalah P (, ) maka P (, ) = P (,2n-). E. 4 Tentukan baangan kurva 2 + 2 = 4 oleh pencerminan terhadap garis = -. Jawab: oleh pencerminan terhadap garis = - maka: = = 2n - pencerminan terhadap garis = - maka: = = = 2n = 2(-) = - 6 = - 6 disubstitusi ke 2 + 2 = 4 ( ) 2 + (- 6) 2 = 4 ( ) 2 +((- ) 2 + 2 + 6) 4 = Jadi baanganna: X 2 + 2 + 2 + 2 = Transformasi Geometri Matematika Wajib XI 8

e. Refleksi terhadap garis = P (,) = P(,) Berdasarkan gambar diatas, jika baangan P(,) adalah P (, ) maka P (, ) = P (,), sehingga dalam bentuk matriks dapat ditulis sebagai berikut : = = jadi adalah matriks pencerminan terhadap garis =. E. 5 Baangan garis 2 + 5 = ang dicerminkan tehadap garis = adalah. Jawab : Matriks transformasi refleksi terhadap = adalah Sehingga = dan = disubstitusi ke 2 + 5 = Transformasi Geometri Matematika Wajib XI 9

diperoleh: 2 + 5 = - + 2 + 5 = - + 2 + 5 = dikali (-) 2 5 = Jadi baanganna adalah 2 + 5 = f. Refleksi terhadap garis = - = - P(,) P(-,-) Berdasarkan gambar diatas, jika baangan P(,) adalah P (, ) maka P (, ) = P (-,-), sehingga dalam bentuk matriks dapat ditulis sebagai berikut : = - = - Jadi adalah matriks pencerminan terhadap garis = -. Transformasi Geometri Matematika Wajib XI

E. 6 Baangan persamaan lingkaran 2 + 2-8 + 7 = ang dicerminkan terhadap garis = - adalah. Jawab : = - dan = - atau = - dan = - Kemudian disubstitusikan ke 2 + 2 8 + 7 = (- ) 2 + (-) 2 8(-) + 7 = ( ) 2 + ( ) 2 + 8 + 7 = ( ) 2 + ( ) 2 + 8 + 7 = Jadi baanganna adalah X 2 + 2 + 8 + 7 = Transformasi Geometri Matematika Wajib XI

Transformasi Geometri Matematika Wajib XI 2 Refleksi Rumus Matriks Refleksi terhadap sumbu- A A sb,,. Refleksi terhadap sumbu- A A sb,,. Refleksi terhadap garis = A A,, Refleksi terhadap garis =- A A,, Refleksi terhadap garis =k k A A k, 2, Refleksi terhadap garis =k k A A k,2, Refleksi terhadap titik,,, A A q p Sama dengan rotasi pusat q p q p cos8 sin 8 sin 8 cos8

(p,q) (p,q) sejauh 8 Refleksi terhadap titik, A, A, pusat (,) Refleksi terhadap garis =m,m=tan α A, dengan m A, cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 Refleksi terhadap garis =+k A, dengan k A k k, k k Refleksi terhadap garis =-+k A, dengan k A k k, k k Tugas. Diketahui titik A(2, -), B(5, ), dan C(-2, 4). Tentukan baangan titik A, B, dan C, jika dicerminkan terhadap: a. sumbu b. sumbu c. garis = 2 d. garis = - e. garis = f. garis = - 2. Diketahui persamaan garis 2 + = 6. Tentukan baangan garis tersebut jika dicerminkan terhadap sumbu. Transformasi Geometri Matematika Wajib XI

. Diketahui persamaan lingkaran 2 + 2 2 + 4 = 6. Tentukan baangan lingkaran jika dicerminkan terhadap garis =.. TRANSLASI Dengan kata lain pergeseran adalah suatu transformasi ang memindahkan setiap titik pada bidang dengan jarak dan arah tertentu. a Jika translasi T = memetakan titik P(,) ke P (, ) b maka = + a dan = + b ditulis dalam bentuk matrik: a b E. 7. Diketahui segitiga OAB dengan koordinat titik O(,), A(,) dan B(,5). Tentukan koordinat baangan segitiga OAB tersebut bila ditranslasi oleh T = Jawab : titik O (,) titik A (,) titik B (,5) T T T O (+, +) = O (,) A (+, +) = A (4,) B (+, 5+) = B (4,8) 2. Baangan persamaan lingkaran 2 + 2 = 25 oleh translasi T= adalah. Jawab : Karena translasi T = = = +..() = + =..(2) maka : Transformasi Geometri Matematika Wajib XI 4

() dan (2) di substitusi ke 2 + 2 = 25 diperoleh ( + ) 2 + ( ) 2 = 25; Jadi baanganna adalah: ( + ) 2 + ( ) 2 = 25 Tugas 2. Diketahui titik A(-,2), B(2,-5), dan C(5,4). Tentukan baangan titik A, B, C 2 jika ditranslasi oleh T = 4 2. Diketahui persamaan garis 2 + 4 =. Tentukan baangan garis tersebut jika ditranslasi oleh T = 2.. ROTASI adalah perputaran. Rotasi ditentukan oleh pusat rotasi dan besar sudut rotasi. Rotasi Pusat O(,) Titik P(,) dirotasi sebesar berlawanan arah jarum jam dengan pusat O(,) dan diperoleh baangan P (, ) maka: = cos sin = sin + cos Jika sudut putar = ½π (rotasina dilambangkan dengan R½π) maka = - dan = dalam bentuk matriks: Jadi R½π = Transformasi Geometri Matematika Wajib XI 5

Rotasi Rumus Matriks Rotasi dengan pusat A, R, dengan cos sin A, sin cos cos sin sin cos (,) dan sudut putar α Rotasi dengan pusat A, R P, dengan a b A, a cos a sin b sin b cos cos sin sin cos a b a b P(a,b) dan sudut putar α E. 8. Persamaan baangan garis + = 6 setelah dirotasikan pada pangkal koordinat dengan sudut putaran 9, adalah. Jawab : R+9 berarti: = - = - = = disubstitusi ke: + = 6 + (- ) = 6 = 6 = -6 Jadi baanganna: = -6 Transformasi Geometri Matematika Wajib XI 6

2. Persamaan baangan garis 2 - + 6 = setelah dirotasikan pada pangkal koordinat dengan sudut putaran -9, adalah.. Jawab : R-9 berarti: = cos(-9) sin(-9) = sin(-9) + cos(-9) = (-) = = (-) + = - atau dengan matriks: R-9 berarti: = = = - = - disubstitusi ke: 2 - + 6 = 2(- ) - + 6 = -2 + 6 = + 2 6 = Jadi baanganna: + 2 6 = Jika sudut putar = π (rotasina dilambangkan dengan H) maka = - dan = - dalam bentuk matriks: Jadi H = Transformasi Geometri Matematika Wajib XI 7

E. 9. Persamaan baangan parabola = 2 6 + setelah dirotasikan pada pangkal koordinat dengan sudut putaran 8 o, adalah... Jawab : H berarti: = - = - = - = - disubstitusi ke: = 2 6 + - = (- ) 2 6(- ) + - = ( ) 2 + 6 + (dikali -) Jadi baanganna: = - 2 6 - Tugas. Tentukan baangan persamaan garis 2 + = 6 oleh rotasi pada pusat O sebesar +9 2. Tentukan baangan persamaan lingkaran (-2) 2 + (-) 2 = 4 oleh rotasi pada O sebesar +8 Transformasi Geometri Matematika Wajib XI 8

4. DILATASI Adalah suatu transformasi ang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu bangun tetapi tidak mengubah bentuk bangunna. Dilatasi Pusat O(,) dan faktor skala k Jika titik P(,) didilatasi terhadap pusat O(,) dan faktor skala k didapat baangan P (, ) maka = k dan = k dan dilambangkan dengan [O,k]. E. Garis 2 = 6 memotong sumbu X di A dan memotong sumbu di B. Karena dilatasi [O,-2], titik A menjadi A dan titik B menjadi B. Hitunglah luas segitiga OA B Jawab : garis 2 = 6 memotong sumbu X di A(,) memotong sumbu Y di B(,2) karena dilatasi [O,-2] maka A (k,k) A (-6,) dan B (k,k) B (,-4) Titik A (-6,), B (,-4) dan titik O(,) membentuk segitiga seperti pada gambar: B 4 A -6 Sehingga luasna = ½ OA OB = ½ 6 4 = 2 Transformasi Geometri Matematika Wajib XI 9

Dilatasi Pusat P(a,b) dan faktor skala k baanganna adalah = k( a) + a dan = k( b) + b dilambangkan dengan [P(a,b),k] Dilatasi Rumus Matriks Dilatasi dengan pusat (,) dan A,, k A k, k k k faktor dilatasi k Dilatasi dengan pusat P(a,b) dan faktor dilatasi k A, dengan P, k a b k k A, a b k k a b a b E. Titik A(-5,) didilatasikan oleh [P,⅔] menghasilkan A. Jika koordinat titik P(,-2), maka koordinat titik A adalah. Jawab : [ P(a,b),k] A(,) = k( a) + a = k( b) + b A (, ) [ P(,-2), 2 ] A(-5,) = ⅔(-5 ) + = - = ⅔( (-2)) + (-2) = 8 Jadi koordinat titik A (-,8) A ( ) Transformasi Geometri Matematika Wajib XI 2

Tugas 4. Diketahui titik A(2, ), B(-4, 5), dan C(-,-5). Tentukan baangan titik A, B dan C jika didilatasi [O, -2] 2. Tentukan baangan titik A(-,4) oleh dilatasi dengan pusat (2,) dan fakator skala -/2 2. Kegiatan Belajar 2 Komposisi Transformasi Bila T adalah suatu transformasi dari titik A(,) ke titik A (, ) dilanjutkan dengan transformasi T2 adalah transformasi dari titik A (, ) ke titik A (, ) maka dua transformasi berturut-turut tsb disebut Komposisi Transformasi dan ditulis T2 o T. Komposisi Transformasi dengan matriks Bila T dinatakan dengan matriks a c b d dan T2 dengan matriks p r q s maka dua transformasi berturut-turut mula-mula T dilanjutkan dengan T2 ditulis T2 o T = p r q s a c b d E. 2. Matriks ang bersesuaian dengan dilatasi dengan pusat (,) dan faktor skala dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis = adalah Jawab : M= Matrik dilatasi skala adalah M2 = Matrik refleksi terhadap = adalah Transformasi Geometri Matematika Wajib XI 2

Matriks ang bersesuaian dengan M dilanjutkan M2 ditulis M2 o M = = Jadi matrikna adalah 2. Baangan segitiga ABC, dengan A (2,), B (6,), C (5,) karena refleksi terhadap sumbu Y dilanjutkan rotasi (o, ) adalah Jawab : Refleksi sb Y: (,) sb Y (-, ) Rotasi : (,) o, (-,-) A(2,) sb Y A (-2,) o, A (2,-) B(6,) sb Y B (-6,) o, B (6,-) C(5,) sb Y C (-5,) o, C (5,-) Transformasi Geometri Matematika Wajib XI 22

Tugas 5. Tentukan Luas baangan persegi panjang PQRS dengan P(-,2), Q(,2), R(,-), S(-,- ) karena dilatasi *O,+ dilanjutkan rotasi pusat bersudut ½π adalah 2. T adalah transformasi ang bersesuaian dengan matrik adalah transformasi ang bersesuaian dengan matrik A(m,n) oleh transformasi T dilanjutkan T2 adalah A (-9,7). Tentukan nilai m - 2n 2 2 2 dan T2 Baangan titik Transformasi Geometri Matematika Wajib XI 2

Latihan Soal. Tentukan baangan garis + 2 = ditranslasikan oleh T = 2. Tentukan baangan lingkaran 2 + 2 4 6 = ditranslasikan oleh T 2 = dilanjutkan oleh T =. Diketahui titik A(,2), B(,4), dan C(5,6). Tentukan baangan segitiga ABC jika dicerminkan terhadp sumbu 4. Tentukan baangan lingkaran 2 + 2-2 + 4 = jika dicerminkan terhadap garis = 5. Tentukan baangan titik P(, -4) dirotasi 9 berlawanan dengan arah jarum jam dengan pusat putar O(,) 6. Tentukan baangan garis + = jika dirotasi +6 dengan pusat putar O(,) 7. Tentukan baangan titik R(-2,4) didilatasikan oleh [O, ] 4 8. Tentukan baangan garis 5 + 5 = ang didilatasikan oleh [O,5]. 9. Tentukan persamaan baangan dari garis + 2 = oleh refleksi trhadap garis = dilanjutkan dengan rotasi 9 terhadap pusat putar O.. Titik P(,) direfleksikan terhadap = menghasilkan baangan titik Q. Kemudian diputar 9 dengan titik pusat O, sehingga baangan akhirna adalah R(,-2). Tentukan koordinat titik P dan Q. 2 2 Transformasi Geometri Matematika Wajib XI 24

Berikut ini adalah soal soal transformasi geometri ang saa ambil dari soal Ujian Nasional tahun 2 s.d. 27. Baangan kurva = ² jika dicerminkan terhadap sumbu ang dilanjutkan dengan dilatasi pusat O dan factor skala 2 adalah. a. = ½ ² + 6 b. = ½ ² 6 c. = ½ ² d. = 6 ½ ² e. = ½ ² + 6 Soal Ujian Nasional tahun 27 2. Baangan garis 4 + 5 = oleh transformasi ang bersesuaian dengan matriks 2 dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu adalah. a. + 2 = b. 6 + 2 5 = c. 7 + + = d. + 2 = e. 2 = Soal Ujian Nasional tahun 26. Persamaan peta suatu kurva oleh rotasi pusat O bersudut ½ π, dilanjutkan dilatasi [,2 ] adalah = 2 + - ². Persamaan kurva semula adalah. a. = ½ ² + 4 Transformasi Geometri Matematika Wajib XI 25

b. = ½ ² + 4 c. = ½ ² + + 4 d. = 2² + + e. = 2² Soal Ujian Nasional tahun 25 kurikulum 24 4. Persamaan baangan garis 2 + + = karena refleksi terhadap sumbu dilanjutkan rotasi pusat O sebesar ½ π adalah. a. 2 = b. 2 + = c. + 2 + = d. 2 = e. + 2 = Soal Ujian Nasional tahun 25 5. Baangan garis = 2 + 2 ang dicerminkan terhadap garis = adalah. a. = + b. = c. = ½ d. = ½ + e. = ½ ( + ) Soal Ujian Nasional tahun 24 Transformasi Geometri Matematika Wajib XI 26

6. Jika titik ( a,b ) dicerminkan terhadap sumbu, kemudian dilanjutkan dengan transformasi sesuai matriks 2 2 menghasilkan titik (, 8 ), maka nilai a + b =. a. b. 2 c. d. e. 2 Soal Ujian Nasional tahun 2 7. Matriks ang bersesuaian dengan dilatasi pusat (, ) dan factor skala dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis = adalah. a. b. c. d. e. Transformasi Geometri Matematika Wajib XI 27

Soal Ujian Nasional tahun 22 8. Baangan Δ ABC, dengan A ( 2, ). B ( 6, ), C ( 5, ) karena refleksi terhadap sumbu dilanjutkan rotasi (,9 ) adalah. a. A (, 2 ), B (,6 ), C (, 5 ) b. A (, 2 ), B (, 6 ), C (, 5 ) c. A (, 2 ), B (,6 ), C (,5 ) d. A (, 2 ), B (, 6 ), C (, 5 ) e. A (,2 ), B (, 6 ), C (, 5 ) Soal Ujian Nasional tahun 2 9. Persamaan peta garis 2 + 4 = ang dirotasikan dengan pusat (, ) sejauh +9 dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis = adalah. a. + 2 + 4 = b. + 2 4 = c. 2 + + 4 = d. 2 4 = e. 2 + 4 = Soal Ujian Nasional tahun 2. Titik A (,4) dan B (,6) merupakan baangan titik A(2,) dan B( 4,) oleh a b transformasi T ang diteruskan T 2. Bila koordinat peta titik C oleh transformasi T 2 ot adalah C ( 5, 6), maka koordinat titik C adalah. a. (4,5) b. (4, 5) Transformasi Geometri Matematika Wajib XI 28

c. ( 4, 5) d. ( 5,4) e. (5,4). Persamaan baangan parabola = ² + 4 karena rotasi dengan pusat O (,) sejauh 8 adalah. a. = ² + 4 b. = ² + 4 c. = ² 4 d. = ² 4 e. = ² + 4 2. Persamaan baangan garis 4 + 2 = oleh transformasi ang bersesuaian dengan matriks dilanjutkan matriks adalah. a. 8 + 7 4 = b. 8 + 7 2 = c. 2 2 = d. + 2 2 = e. 5 + 2 2 =. Persmaan baangan garis = 2 ang direfleksikan terhadap garis = dan dilanjutkan garis = adalah. a. 2 + + = b. + 2 = c. 2 = d. 2 + = Transformasi Geometri Matematika Wajib XI 29

e. 2 = 4. Baangan garis 2 6 = jika dicerminkan terhadap sumbu dilanjutkan rotasi pusat O sejauh 9 adalah. a. 2 + 6 = b. + 2 6 = c. 2 6 = d. + 2 + 6 = e. 2 + 6 = Transformasi Geometri Matematika Wajib XI

DAFTAR PUSTAKA MGMP Matematika Kota Semarang, 26. Matematika SMA/MA Kelas XII Program Ilmu Pengetahuan Alam, Semarang : PT Mascom Graph, Semarang. Sartono Wirodikromo, 994. Matematika Untuk SMU Kelas, Program IPA, Catur Wulan 2, Penerbit Erlangga. Transformasi Geometri Matematika Wajib XI

Transformasi Geometri Matematika Wajib XI 2