BAB II FUNGSI. Definisi Jika nilai dari suatu esaran, misal, ergantung pada nilai esaran lainna, misal, maka kita dapat mengatakan ahwa adalah fungsi dari. Cara lain untuk menatakan ketergantungan terhadap adalah dengan cara simolik aitu = f() (diaca adalah fungsi dari ). Lamang-lamang lain untuk menatakan fungsi diantarana adalah : h, F, G, dll. Selanjutna fungsi dapat D K D K ( a ) ( ) Gamar. D K Gamar. didefinisikan seagai aturan ang menetapkan ahwa setiap satu anggota himpunan D erpasangan dengan tepat satu anggota himpunan K (lihat Gamar.). Anggota-anggota himpunan D ang mempunai tepat satu pasangan pada himpunan K diseut daerah definisi atau daerah asal (domain). Sedangkan anggota-anggota pada himpunan K ang merupakan pasangan anggota-anggota himpunan D diseut daerah nilai (range). Sedangkan semua anggota himpunan K aik ang merupakan pasangan dari anggota himpunan D maupun ang ukan diseut kodomain. Jika terdapat suatu huungan ang tidak memenuhi
definisi diatas maka huungan terseut ukan suatu fungsi tetapi diseut relasi (lihat Gamar.). Jadi fungsi sama seperti seuah proses ang menghasilkan tepat satu keluaran untuk setiap masukan tertentu. Sedangkan relasi dapat dimisalkan seperti seuah proses ang menghasilkan dua keluaran untuk setiap masukan tertentu... Jenis-jenis fungsi Secara garis esar fungsi dapat dikelompokkan menjadi dua agian utama, aitu fungsi ril dan fungsi kompleks. Pemahasan mengenai fungsi pada materi kuliah ini hana mencakup fungsi ril saja... Menurut jumlah peuah eas... Fungsi peuah eas tunggal Fungsi peuah eas tunggal adalah fungsi ang hana mempunai satu peuah eas. Contoh. : a) = + 3 ) = c) = sin d) + =r... Fungsi peuah eas anak Fungsi peuah eas anak adalah fungsi ang mempunai leih dari satu peuah eas. Contoh. : a) w = ) u = sin (+) c) v = cos d) t = + z.. Menurut cara penajianna... Fungsi eksplisit Fungsi eksplisit adalah fungsi dimana peuah easna ditulis atau disajikan pada ruas tersendiri; terpisah dari peuah tak easna. Contoh.3 : a) = -5 ) = c) = sin d) = (-) Secara umum fungsi ekplisit ditulis dalam entuk = f()... Fungsi implisit Fungsi implisit adalah fungsi dimana peuah eas dan tak easna ditulis pada ruas ang sama. Contoh.4 : a) + = 0 ) + = r Secara umum fungsi implisit ditulis dalam entuk F(,) = 0...3 Fungsi parameter Bentuk umum dari fungsi parameter adalah: = f(t) ; = g(t) ; t adalah parameter. ïì t Contoh.5: í ïî t Jika kita tinjau dari operasi ang dilakukan terhadap peuah easna, maka fungsi ril dapat diagi seperti ang ditunjukkan pada Gamar.3 erikut.
Fungsi Aljaar Transenden Rasional Irasional Bulat Pecah Logaritma Trigonometri Invers Hiperolik Invers Eksponen Trigonometri Hiperolik Gamar.3..3 Fungsi aljaar Fungsi aljaar adalah fungsi ang mengandung sejumlah operasi aljaar aitu operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, pemagian dan operasi pangkat rasional. Fungsi aljaar dapat diagi menjadi fungsi rasional dan irrasional. Selanjutna fungsi rasional dapat diagi menjadi fungsi ulat dan fungsi pecah...3. Fungsi rasional Fungsi rasional adalah fungsi ang mempunai entuk P()/Q() dengan P() dan Q() adalah polinomial-polinomial dan Q() ¹ 0. Selanjutna jika Q() ¹ konstan maka fungsi rasional diseut juga fungsi pecah. Sedangkan jika Q() = konstan maka fungsi rasional diseut fungsi ulat. A. Fungsi ulat Fungsi ulat adalah suatu fungsi rasional dengan Q() = konstan. Sehingga fungsi ulat dapat diseut fungsi polinomial karena entukna sama seperti entuk polinomial. Suatu fungsi ang mempunai entuk : f () = a n n + a n- n- + a n- n- +...+ a + a 0 (. ) diseut fungsi polinomial derajad n. Koeffisien-koeffisien a n, a n-, a n-,..., a, a 0 adalah ilangan-ilangan ril, sedangkan masingmasing sukuna diseut monomial. Pangkat n pada fungsi polinomial adalah ilangan ulat tak negatif. Fungsi polinomial dapat dikelompokkan menurut jumlah suku dan menurut derajat na. Berikut dierikan eerapa contoh fungsi - fungsi polinomial. 3
Polinomial Jumlah suku Berdasarkan Derajad 6 Trinomial (fungsi kuadrat) 3 + - + 5 Polinomial 3 (fungsi kuik) 5 Monomial 5-5 Monomial 0 (fungsi konstan) + Binomial (fungsi linier) 6-4 3-7 + 5 Polinomial 6 a. Penjumlahan dan pengurangan fungsi polinomial Untuk melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan dari fungsi polinomial langkah-langkah ang harus kita lakukan adalah mengelompokkan suku-suku ang mempunai faktor/faktor-faktor peuah ang sama. Seagai contoh sukusuku 3 dan - adalah dua faktor ang sama sehingga pada kedua suku terseut dapat dilakukan operasi penjumlahan dan / atau pengurangan. Contoh lain dapat dilihat pada tael erikut : Jenis suku a 3 dan 3 a dan a dan Keterangan Mempunai faktor peuah ang sama Mempunai faktor peuah ang tidak sama Seetulna mempunai faktor peuah ang sama, karena masing-masing suku dapat ditulis dalam entuk : a 0 + 0 Contoh.6 Tentukan jumlah dan selisih dari fungsi-fungsi : - +5+7 dan -3 3-4 +-3 +3- Penelesaian : Penjumlahan (- +5+7)+(-3 3-4 +-3 +3-) = - +5+7-3 3-4 +-3 +3- = -3 3-6 + 6-3 + 0 Pengurangan (- +5+7)-(-3 3-4 +-3 +3-) = - +5+7+3 3 +4 +3-3+ = 3 3 + +3 +4+4+. Perkalian monomial Untuk melakukan operasi perkalian fungsi monomial erikut dierikan eerapa hukum ang erlaku aitu : Hukum I : a m. a n =a m+n (. ) Contoh.7 Selesaikan perkalian : 5.5 3 ; a. ;. 3 4
Penelesaian : 5.5 3 = 5 +3 = 5 5 = 35 a. = a+. 3 =. 3.. = 4. 3 Hukum II : [a m ] n = a mn (.3 ) Contoh.8 Selesaikan : [4 ] 3 dan [ 3 ] 4 Penelesaian : [4 ] 3 = 4 6 =4096 [ 3 ] 4 = Hukum III : [a m n ] k = a mk. nk (.4 ) Contoh.9 Selesaikan : [{7}{5 }] 3 dan [ 3 ] Penelesaian : [{7}{5 }] 3 = 7 3 5 6 = 5359375 [ 3 ] = 6 4 c. Perkalian fungsi polinomial Proses perkalian dus fungsi polinomial dapat dilakukan dengan mengalikan masing-masing monomialna dengan antuan hukum distriutif. Contoh.0 Selesaikan perkalian : ( -5+6) Penelesaian : ( -5+6) = 3-0 + Contoh. Selesaikan perkalian : (3+)( -3+) Penelesaian : (3+)( -3+) = 3 3-9 +6+ -6+4=3 3-7 +4 d. Perkalian istimewa polinomial Dua uah polinomial diseut inomial-inomial konjugat jika salah satu dari inomial terseut merupakan penjumlahan, sedangkan ang lainna merupakan pengurangan dari dua uah monomial. Seagai contoh (a m + n ) dan (a m n ) adalah inomial-inomial konjugat. Hasil perkalianna adalah : (a m + n )(a m - n ) = (a m ) - () (.5) 5
Contoh. Selesaikan perkalian (5 +6) (5-6) Penelesaian : (5 +6) (5-6) = (5 ) -(6) = 5 4-36 e. Pemfaktoran polinomial Memaktorkan polinomial erarti menulis polinomial menjadi entuk perkalian antara dua polinomial atau leih. Langkahlangkah ang harus dilakukan adalah seagai erikut tentukan faktor ang sama dari masing-masing monomial dan selanjutna keluarkan dari kelompokna. Seagai contoh dapat dilihat pada tael erikut. Polinomial Langkah I (tentukan faktor ang sama) Langkah II (keluarkan faktor ang sama) a +a a a( + ) 3 3 ++ (3 ++) 3a +5a-4 (3a +5a-4) f. Pemagian polinomial Pemagian dua uah monomial dapat dilakukan dengan mengikuti hukum-hukum erikut ini. Hukum IV : m n m n m n (.6 ) Hukum V : m é ù ê ú ë û m m (.7 ) Hukum VI : ( Pangkat nol) a 0 = ; a / 0 (.8 ) Hukum VII (Pangkat negatif) : m a m a (.9 ) Contoh.3 Sederhanakan fungsi : Penelesaian : é ê êë 3 ù ú úû 4 = 8 8 é ê êë 3 ù ú úû 4 6
Soal-soal. Selesaiakan : a) (+6) ( -7+) à c) ( 3 +6 ++8) + ( +3-7) ) ( ++ ) (3- +) d) (4 - ) + ( -3 ). Selesaikan : a) (3-9 )(- )(-5 - ) e) (4 4 5 z 6 ) ) ( 3 )( 3 )( ) f ) (-p 5 q 4 r 3 ) 3 4 3 é ù c) ê ú à g) 3 t (3 -t ) êë 3 úû d) (-3 3 ) (4 4 4 ) 3 h) a k+ a 3-4k a k+5 3. Selesaikan perkalian polinomial erikut ini! a) (-) à(6) e) ( -5)( -3+) ) -( -3 3 ) f) (s -t 3 +4s t)(s -st+t ) c) ac(a-5-c+7) g ) ( 4 + )( 4 - ) à 6 d) 5 z 3 ( z-3z 3 +4 ) h) (-m+5n)(m+5n) 4. Faktorkan fungsi-fungsi erikut! a) 5s 5t c) 9 + 6z 8z ) 6a ac + 8ad d) 8a 0a + 0 5 5. Selesaikan! a) s -4. s d) (4-3 ) -3 g) (-5a -3 ) (3a -3 - ) ) (r -4. s 3 )( r 5. s - ) e) c) ( - ) - ( - ) à f ) é ê êë 48 6 4 ù ú úû 6 8 h) (5 3 ) ( (3 3 5 g. Fungsi konstan Pada contoh terdahulu telah dijelaskan ahwa fungsi polinomial ang mempunai derajad nol diseut fungsi konstan dan dapat ditulis dalam entuk : = f() = a 0 atau = konstan (.0 ) Grafik fungsi konstan dapat dilihat pada Gamar.4 erikut. = a 0 ; a 0 > 0 ) ) 3 0 Gamar.4 Grafik fungsi konstan = a 0 ; a 0 < 0 7
h. Fungsi linier Fungsi linier adalah fungsi polinomial ang derajad satu. Fungsi linier diseut juga persamaan garis dan ditulis dalam entuk : = f() = a + a 0 atau = m + n (. ) Persamaan. adalah persamaan garis ang memotong sumu pada saat = 0 dan memotong sumu pada saat = 0. Perhatikan persamaan.. Jika = 0 maka = n dan jika = 0 maka = - n/m. Jadi dapat disimpulkan ahwa persamaan. menunjukkan seuah garis ang melalui titik-titik (0,n) dan (-n/m,0). Biasana persamaan. diseut persamaan Perpotongan-Kemiringan seuah Garis (Slope- Intercept Equation of a Line).Grafik persamaan. ditunjukkan pada Gamar.5 diawah ini. (-n/m,0) 0 (0,n) Gamar.5 Grafik fungsi linier Jika persamaan garis pada persamaan. melalui titik (, ) maka : = m + n n = - m (. ) Dengan mensustitusi harga n pada persamaan. ke persamaan. maka didapat : - = m( - ) atau = m( - ) + (.3 ) Biasana persamaan.3 diseut persamaan Kemiringan-Titik seuah Garis (Point-Slope Equation of a Line). Grafik persamaan.3 ditunjukkan pada Gamar.6. (,) 0 (, ) Gamar.6 Grafik persaman.3 8
Jika persamaan garis. melalui titik (, ), maka : = m( ) atau = m( ) + (.4 ) Jika persmaan.4 dikurang persamaan.3 maka didapat : = m( ) atau m = ¾¾¾ = ¾¾¾ (.5 ) Dengan memasukkan harga m pada persmaan.5 ke persamaan.3 didapat : = ¾¾¾ ( ) atau = ¾¾¾ ( ) + (.6) Persamaan.6 adalah persamaan garis ang melalui titik (, ) dan (, ) dan diseut persamaan Dua titik dari suatu garis (two point equation of a line) seperti ang ditunjukkan pada Gamar.7. (, ) 0 (, ) Gamar.7 Grafik persaman.6 Kesimpulan : Dari uraian diatas padat disimpulkan ahwa :. Jika kemiringan dan titik potong suatu garis dengan sumu atau sumu diketahui maka gunakan adalah persamaan... Jika kemiringan suatu garis diketahui dan garis terseut melalui titik tertentu, misal (, ), maka gunakan persamaan.3. 3. Jika suatu garis melalui titik-titik (, ) dan (, ) maka gunakan persaman.6. Cara menggamar garis Bentuk umum persamaan garis : = m + n Buat tael seagai erikut :. Jika n ¹ 0 0 n -n/m 0. Jika n = 0 0 0 a m.a dimana a adalah semarang ilangan ril 9
Contoh.4 Seuah garis mempunai kemiringan (koeffisien arah) -/3 dan memotong sumu pada =. Tentukan persamaan garis terseut! Penelesaian : (gunakan persamaan.) Persamaan garis = m + n Karena m = -/3, maka persamaan garis menjadi : = -/3 + n Titik potong dengan sumu pada =, maka = 0. Dengan mensustitusikan harga dan ke persamaan. maka didapat : n=/3. Dengan demikian persamaan garis menjadi: = -/3 +/3 Cara menggamarkan garis lihat petunjuk. 0 /3 0 Jadi titik-titik koordinat garis terseut adalah (0,/3) dan (,0). (0,/3) 0 (,0) Gamar.8 Contoh.5 Seuah garis mempunai kemiringan (koeffisien arah) dan memotong sumu pada = 3/. Tentukan persamaan garis terseut! Penelesaian : (gunakan persamaan.) Persamaan garis = m + n Karena m =, maka persamaan garis menjadi : = + n Titik potong dengan sumu pada = 3/, maka = 0. Dengan mensustitusikan harga dan ke persamaan. maka didapat : n=. Dengan demikian persamaan garis menjadi: = +3/ Cara menggamarkan garis lihat petunjuk. 0 3/ -3/4 0 Jadi titik-titik koordinat garis terseut adalah (0,3/) dan (-3/4,0). (0,3/) (-3/4,0) 0 Gamar.9 Contoh.6 Seuah garis mempunai kemiringan (koeffisien arah) - dan melalui titik (-,3). Tentukan persamaan garis terseut! 0
Penelesaian (gunakan persamaan.3) : = m( - ) + m = - ; = - ; = 3 Persamaan garis ang dimaksud adalah : = -(+)+3= - + (0,) 0 Gamar.0 (,0) Contoh.7 Seuah garis melalui (-3,4) dan (5,). Tentukan persamaan garis ts! Penelesaian (gunakan persamaan.6) : é 4 ù = ( ) + = ê ú ( +3) + 4 = (+3) + 4 ë5 3 û 4 = 4 + 3 = ( 3) 4 4 0 (0,3/4) (3,0) Gamar. Soal-soal. Tentukan persamaan garis dan gamarkan grafikna dari data erikut! a) Kemiringan (koeffisien arah) =. Memotong sumu pada = - ) Kemiringan (koeffisien arah) = -3/4. Memotong sumu pada = 3 c) Kemiringan (koeffisien arah) = /4. Memotong sumu pada = d) Kemiringan (koeffisien arah) =. Memotong sumu pada = -. Tentukan persamaan garis dan gamarkan grafikna dari data erikut! a) Kemiringan (koeffisien arah) =. Melalui titik (-,-) ) Kemiringan (koeffisien arah) = /3. Melalui titik (3,0) c) Kemiringan (koeffisien arah) = -4. Melalui titik (-/,3) d) Kemiringan (koeffisien arah) = -. Melalui titik (0,3/) 3. Tentukan persamaan garis ang melalui titik-titik erikut dan gamarkan grafikna! a) (0,) dan (,5) c) (-,-) dan -,) ) (0,-) dan (3,8) d) (,-) dan (,6)
i. Fungsi kuadrat - Penelesaian fungsi kuadrat dengan pemaktoran Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial ang mempunai derajad dua dan mempunai entuk umum : = f() = a + a + a 0 atau = f() = a + + c (.7) dengan a, dan c adalah ilangan-ilangan ril. Sedangkan adalah peuah eas dan peuah tak eas. Grafik persamaan kuadrat pada persamaan.7 memotong sumu jika =0. Sehingga persamaan.7 menjadi : a + + c = 0. Untuk menentukan titik potong persamaan kuadrat terhadap sumu pertama-tama kita harus menentukan akar-akarna. Pemaktoran adalah salah satu cara untuk menentukan akar-akar terseut. Untuk memaktorkan persamaan kuadrat pertama-tama kita tulis dalam entuk : a + + c= a( + a + a c ) = a( +B+C), dimana B = /a dan C = c/a. Memaktorkan + a + a c erarti menuliskanna dalam entuk : ( + m)(+n), dimana mn = C dan m + n = B (.8 ) Akar-akar dari persamaan.8 adalah : = -m dan = -n Contoh.8 Faktorkan persamaan kuadrat : + 6 = 0 Penelesaian : B = dan C = -6 mn = -6 dan m + n =. Didapat m = - dan n = 3 Jadi : + 6 = ( - )( + 3). Sehingga akar-akarma adalah : = dan = -3 Contoh.9 Faktorkan persamaan kuadrat : -4 = 0 Penelesaian : B = -4 dan C = - mn = - dan m + n = -4. Didapat m = -6 dan n = Jadi : + 6 = ( - 6)( + ). Sehingga akar-akarma adalah : = 6 dan = - - Penelesaian fungsi kuadrat dengan menggunakan rumus kuadrat. Dari penjelasan seelumna telah diketahui ahwa persamaan kuadrat ang memotong sumu mempunai entuk umum a + + c = 0 dengan Î ilangan ril, atau dapat ditulis dalam entuk : a( + ) + c = a( + + ) - a a 4a + c = 0 4a
a( + + = ) = a - c ( + 4a c = ± = a 4a a a ± 4ac a = ) = a 4a - a c 4ac ± = ± 4ac 4a 4a a ± a 4ac atau : = a 4ac ; = a 4ac (.9) Persamaan.9 adalah persamaan kuadrat. Persamaan terseut digunakan untuk menentukan akar-akar dari persamaan kuadrat. Besaran 4ac diseut diskriminan atau disingkat D. Contoh.0 Tentukan akar-akar dari persamaan : + 4 - = 0 dengan menggunakan persamaan kuadrat! Penelesaian : Dari persamaan diketahui ahwa : a = ; = 4 ; c = - = = a a 4ac 4 4 4()( ) 4 0 = 3 () 4ac 4 4 4()( ) 4 0 = 7 () - Grafik fungsi kuadrat. Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial ang mempunai derajad dua dan entukna adalah : = a + + c, dimana a, dan c adalah ilangan-ilangan ril, a ¹ 0, adalah peuah eas dan peuah tak eas. Grafik persamaan kuadrat dapat memuka keatas atau keawah tergantung dari nilai a. Jika nilai a > 0 maka grafik akan memuka keatas. Jika a < 0 maka grafik akan memuka keawah. Pada grafik persamaan kuadrat kita mengenal eerapa istilah penting aitu : i) Verteks Verteks adalah titik ekstrim ( maksimum ataupun minimum ) dari suatu paraola. Jika nilai a para persamaan kuadrat leih kecil dari nol (negatif) maka verteks merupakan titik maksimum. Jika a leih esar dari nol (positif) maka verteks merupakan titik minimum. Titik koordinat verteks adalah V(h,k), dimana : h = dan k = c - a (.0 ) 4a ii) Sumu simetri Sumu simetri adalah garis ang memagi paraola menjadi dua agian ang sama. Sumu simetri adalah : = h = (. ) a 3
iii) Titik potong dengan sumu Untuk menentukan apakah seuah paraola memotong sumu atau tidak, kita perlu memeriksa harga diskriminan. Jika diskriminan (D) = 0 maka paraola tidak memotong sumu tetapi verteksna hana meninggung sumu. Jika D < 0 paraola tidak memotong dan tidak meninggung sumu. Jika D > 0 maka paraola memotong sumu pada dan. iv) Titik potong dengan sumu Titik potong dengan sumu pada = c Contoh. Diketahui fungsi kuadrat =f() = - + 5-6 Tentukan : verteks, sumu simetri, titik potong dengan sumu dan Penelesaian : Dari soal siketahui : a = -, = 5 dan c = -6 h = = - a 5 5 ; k = c - = -6-4a 5 4( Verteks = V(h,k) = V( 5, 4 ). Sumu simetri = h = 5 Titik potong dengan sumu = 0 - + 5-6 = -(-3)(-) = 0 = 3 dan = Jadi paraola memotong sumu pada = dan = 3 Titik potong dengan sumu = 0. Didapat : = -6 Jadi paraola memotong sumu pada = -6. Paraola memuka keatas karena a < 0 ) 5 = -6+ = 4 4 /4 = 5/ 0 3-6 sumu simetri Gamar. 4
Soal-soal ( Juli 00) Tentukan : verteks, sumu simetri, titik potong dengan sumu dan dari fungsi kuadrat erikut ini!. = -5 3. = 3 5. = 3-4. = ( + ) 4. = + 4 + 5 6. = 5 4 7 j. Fungsi pangkat tinggi Fungsi pangkat tinggi ang dimaksud pada pasal ini adalah polinomial derajad tiga atau leih. Untuk menentukan akar-akar dan menggamarkan grafik dari fungsi pangkat tinggi iasana kita perlu untuk memaktorkan fungsi pangkat tinggi terseut. - Pemaktoran fungsi pangkat tinggi Misal f() semarang polinomial. Selanjutna c dikatakan salah satu faktor dari f() Û f(c) = 0. Berarti c merupakan salah satu faktor dari polinomial. Berikut adalah contoh pemaktoran fungsi pangkat tinggi. Contoh. Tentukan faktor-faktor dan akar-akar dari fungsi pangkat tinggi : F() = 3-3 - 0 + 4 Penelesaian : Pertama-tama tentukan salah satu akarna secara trial & error. Jika kita amil =, maka f() = 3-3 - 0 + 4 =. Karena f() ¹ 0, maka = ukan akar dari f(). Jika kita amil =, maka f() = 3 3() 0() + 4 =0. Karena f() = 0, maka = adalah salah satu akar dari f() dan adalah salah satu faktor terkecil dari f(). Untuk mencari faktor lainna kita agi f() dengan faktor ang sudah didapat, aitu 3-3 - 0 + 4 diagi dengan. - - 3-3 - 0 + 4 3 - - - 0 + 4 - + - + 4 - + 4 0 Hasil agi 3-3 - 0 + 4 dengan adalah - -. Berarti - adalah faktor lain dari 3-3 - 0 + 4 dan selanjutna 3-3 - 0 + 4 dapat ditulis dalam entuk : ( )( - ). Akan tetapi faktor - masih mungkin untuk diuraikan lagi karena mempunai derajad dua, aitu : - = ( 4)( + 3). Sehingga secara keseluruhan : 3-3 - 0 + 4 dapat ditulis dalam entuk : )( 4)( + 3). Jadi faktor-faktor dari : 3-3 - 0 + 4 5
adalah :( ), ( 4) dan ( + 3), sedangkan akar-akarna adalah : = 4, dan -3. - Menggamar Grafik fungsi pangkat tinggi Menggamar grafik fungsi pangkat tinggi dapat diantu dengan antuan tanda dari faktor-faktorna (positif atau negatif) seperti ang ditunjukkan pada contoh erikut. Contoh.3 Gamarkan grafik fungsi f() = 3 Penelesaian : Faktorkan f() 3 = ( )( + ). : - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + ++ + + + ++ : - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + : - - - - - 0 + + + + + + + + + ++ + + + + + 3 : - - - - - -0 + + + ++0 - - - - - - -0 + + + + + - 0 Grafik dari fungsi f() = 3 adalah : - 0 Gamar.3 Soal-soal Gamarkan grafik dari fungsi erikut ini!. = 3 + 3. = /4 + 3 5. = 3 + 4 + 9. = 4 4. = 3 9 B. Fungsi pecah a. Daerah definisi (domain) Fungsi pecah adalah fungsi ang mempunai entuk P()/Q(); P() dan Q() adalah fungsi-fungsi polinomial dan Q() ¹ 0. Dalam entuk formulasi fungsi pecah dapat ditulis menjadi : f() = P() Q(), Q() ¹ 0 (. ) Untuk menentukan daerah definisi dari fungsi pecah, pertama-tama kita faktorkan peneutna. Dari faktor-faktor terseut kita 6
dapatkan akar-akarna. Daerah definisi fungsi pecah adalah pada semua ilangan ril kecuali pada akar-akar peneut dari fungsi pecah. Contoh.4 Tentukan daerah-daerah definisi dari fungsi-fungsi erikut! 3 a) ) 3 4 4 Penelesaian : a) Perhatikan Q() : = ( )( + ) Himpunan daerah definisi fungsi : adalah : {½ semua ilangan ril, ¹ dan ¹ -} ) Perhatikan Q() : 4 3 +4 + = 4( + /) 3 Himpunan daerah definisi fungsi : adalah : 3 4 4 {½ semua ilangan ril, ¹ 0 dan ¹ - /}. Grafik fungsi pecah Untuk menggamarkan grafik fungsi pecah, kita perlu melakukan langkah-langkah seagai erikut : i) Faktorkan fungsi pemilang P() dan peneut Q(). ii) Tentukan daerah definisi atau domain dari f() dengan cara menentukan Q() = 0. Harga ang didapat ukan domain f(). iii) Periksa apakah terdapat faktor ( + a) ang merupakan faktor dari P() dan Q(). Jika ada maka titik = -a merupakan titik tak kontinu dari f(). iv) Tentukan titik potong f() dengan kedua sumu, jika ada. Untuk mencari titik potong f() dengan sumu tetapkan P() = 0. Selanjutna harga ang didapat merupakan titik potong f() dengan sumu. Untuk mencari titik potong dengan sumu tetapkan = 0. Harga f() ang didapat merupakan titik potong f() dengan sumu. v) Coret faktor/faktor-faktor ang sama antara pemilang dan peneut. vi) Tentukan asimtot tegak, jika ada. Garis = c merupakan asimtot tegak jika c merupakan faktor dari Q() setelah langkah v. vii) Misal fungsi pecah erentuk : f() = n an m m a n m n m... a a 0... - Jika n < m maka garis = 0 adalah asimtot datar. - Jika n = m maka garis = a n / m adalah asimtot datar. - Jika n > m maka fungsi tidak mempunai asimtot datar. viii) Tentukan tanda-tanda dari f() pada selang-selang antara asimtot tegak (positif atau negatif). Contoh.4 0 7
3 Gamarkan grafik = f() = Penelesaian : i) 3 = ( )(3 ) ( )( ) ii) Q() = (-)(+) = 0 = dan = -/. Jadi daerah definisi (domain) dari f() adalah semua ilangan ril kecuali dan -/. iii) Karena ( - ) adalah faktor dari P() dan Q(), maka f() tak kontinu pada titik =. iv) Titik potong dengan sumu. P() = 3 = 0 (-)(3+) = dan = -/3. Jadi titik potong dengan sumu terjadi pada = dan = -/3. Titik potong dengan sumu. = 0 =. Jadi titik potong dengan s. terjadi pada =. v) 3 = ( )(3 ) ( )( ) = 3 vi) Karena (+) adalah faktor dari Q(), setelah dilakukan langkah v, maka = -/ adalah asimtot tegak. vii) Karena n = m, maka = 3/ adalah asimtot datar viii) : - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + 3 3 + : - - - - - 0+++++++++++++++++ + + + + + : - - - - - - - - - - - - -0+ + + + + + + + + + + :+++++ 0 - - - - - - + + + + +? + + + + + -/3 -/ -/3 -/ 0 8
Gamar.4 Soal-soal ( Juli 00) Gamarkan grafik fungsi pecah erikut!. f() = 6. f() = - 4( ). f() = - 3. f() = 4. f() = + 5. f() = 3 7. f() = 8. f() = ( ) 9. f() = - - 0. f() = 9 4..3. Fungsi irasional Fungsi irasional adalah fungsi ang mempunai entuk : f() = n g () (.3 ) dengan g() adalah fungsi rasional. Daerah definisi fungsi irasional (D f ) dapat dijelaskan seagai erikut : D f = ïì D g ila n adalah ilangan ganjil í (.4 ) ïî { g() ³ 0} ila n adalah ilangan genap Dimana D g adalah daerah definisi dari g. Contoh.5 Tentukan daerah definisi dan daerah nilai dari : = 9 Penelesaian : Karena n adalah ilangan genap (dalam hal ini ) maka : 9 ³ 0 9 ³ 0 (9-) ³ 0 : - - - - - - 0++++++++++++++ 9 - :++++++++++++++0 - - - - - - 9- : - - - - - - 0+++++++0 - - - - - - [ ] 0 9 Jadi daerah definisi atau domain dari Daerah nilai dari 9 dicari dengan cara : 9 adalah 0 9 = 9 = 9 9 + = 0 Dari persamaan diatas kita dapatkan : a =, = -9, c = 9
Selanjutna kita cari diskriminan, aitu :D = -4ac Selanjutna kita cari harga diskriminanna, aitu :D = -4ac Karena domain dari f() adalah ril, maka diskriminan juga harus ril. Artina D ³ 0. Secara otomatis -4ac ³ 0. Jika kita masukkan nilai a, dan c maka didapat : (-9) -4()( ) ³ 0. 4 8-9/ 9/ Akhirna didapat dua pertaksamaan, aitu: ³ -9/ dan 9/. Akan tetapi karena harus leih esar atau sama dengan nol, maka pertaksamaan ³ -9/ diaaikan. Sehingga pertaksamaan ang digunakan adalah 9/ dan ³ 0. Jadi daerah nilai untuk f() = 9 adalah : 0 9/. Soal-soal. =. = 3. = 4 4. = ( 3)..4 Fungsi komposisi Fungsi komposisi adalah fungsi ang merupakan kominasi dari eerapa fungsi. Misal terdapat dua uah fungsi, aitu f dan g. Jika daerah nilai fungsi g merupakan daerah definisi dari fungsi f, maka kominasi f dan g kita tulis dengan f o g (aca f circle g) dan didefinisikan seagai : (f o g)() = f(g()) (.5 ) Sealikna jika daerah nilai fungsi f merupakan daerah definisi dari g maka kominasina kita tulis dengan gof (aca g circle f) dan didefinisikan seagai : (g o f)() = g(f()) (.6 ) Contoh.6 Jika diketahui : f() = + + dan g() = + 3 Tentukan a) (fog)() dan ) (gof)() Penelesaian : a) (fog)() = f(g()) = f (+3) = (+3) +(+3)+ = + 8 + 6 ) (gof)() = g(f()) = g ( ++) = ( ++)+3 = ++4 Soal-soal Tentukan fog dan gof dari fungsi-fungsi :. f() = 4 ; g() = + 3. f() =. f() = 3 ; g() = + 4. f() = ; g() = ; g() =..5 Fungsi satu ke satu 0
Misal terdapat suatu fungsi f. Jika setiap satu daerah nilai (range) fungsi f erasal dari satu daerah definisina, maka fungsi terseut dikatakan fungsi satu ke satu. Seagai contoh f() = 3 adalah suatu fungsi ang mempunai daerah definisi untuk semua ril dan untuk setiap daerah definisi menghasilkan satu daerah nilai. Sehingga dikatakan ahwa f() = 3 adalah fungsi satu ke satu. Contoh lainna, f() = adalah suatu fungsi ang mempunai daerah definisi untuk semua ril. Akan tetapi setiap satu daerah definisi menghasilkan leih dari satu daerah nilai (dalam hal ini dua). Sehingga f() = ukan fungsi satu ke satu...6 Fungsi invers Misal terdapat suatu fungsi f. Selanjutna f dikatakan mempunai invers jika dan hana jika terdapat suatu fungsi g sedemikian rupa sehingga : i) daerah definisi fungsi g merupakan daerah nilai fingsi f ii) pada semua daerah definisi f dan semua daerah nilai g erlaku : f() = Û g() = (.7 ) Pernataan diatas menunjukkan ahwa g adalah invers dari f dan ditulis : g = f - atau = f - () (.8 ) Contoh.7 Tentukan invers dari persamaan : = 3 + Penelesaian : = 3 + 3 = = ( ) /3 f - () = ( ) /3 f - () = ( ) /3 Soal-soal Tentukan invers fungsi-fungsi erikut serta gamarkan grafikf() dan f - ()!. f() = 3 3. f() = 4 3 4 5. f() = 4. f() = -3(+5) 4. f() = (7 ) 5 6. f() =..7 Fungsi transenden..7. Fungsi eksponen Misal terdapat ilangan a>0. Selanjutna fungsi f ang didefinisikan seagai f() = a diseut fungsi eksponen dengan asis a. Sifat-sifat a dapat dijelaskan seagai erikut : 3 3 3 8 i) a > 0 untuk semua harga dan daerah nilai dari a adalah semua ilangan positif. ii) Titik potong dengan sumu adalah = iii) Tidak ada titik potong dengan sumu iv) Sumu adalah asimtot datar dari a
ïì a v) Jika terdapat < z, maka : í ïî a a z a z untuk a untuk 0 a (.9) Dapat dijelaskan ahwa ila a > maka grafik a akan menanjak pada arah kanan (Gamar.5a). Sedangkan ila a < maka grafikna akan menurun kearah seelah kanan (Gamar.5). 0 0 (a) Gamar.5 () Fungsi eksponen e Fungsi ang mempunai entuk e diseut fungsi eksponen natural atau fungsi eksponen dengan asis e. Bilangan e adalah ilangan irasional ang esarna adalah,7888 Persamaan eksponensial ïì a Misal a > 0 dan a ¹ 0. Jika : í ïî a z a ¹ a z maka maka z ¹ z (.30) Contoh.8 Jika 7 = 3 4, tentukan harga! Penelesaian : 7 = 3 4 (3 3 ) = 3 4 3 3 = 3 4 3 = - 4-3 4 = 0 (-4)(+) = 0 Sehingga didapat : = 4 dan = - Contoh.9 Tentukan nilai asis a jika f() = a melalui titik (,9)! Penelesaian : f() = a 9 = a 3 = a Jadi a = 3 Soal-soal Tentukan nilai asis a jika f() = a melalui titik : i) (3,8) ii) (5, ) iii) (-8, ) iv) (, 5 64 4 8 )..7. Fungsi logaritma Fungsi logaritma adalah fungsi ang didefinisikan seagai invers dari fungsi eksponensial. Misal terdapat seuah ilangan a>0 dan a¹.
Untuk setiap ilangan positif maka logaritma dengan asis a a (ditulis log) adalah ilangan unik sedemikian rupa sehingga a =. Jadi : a log = Û = a (.3 ) dan diaca log asis a sama dengan jika dan hana jika sama dengan a pangkat. Jika harga pada persamaan.3 sama dengan satu maka harga = 0. Jika harga = a maka harga =. Jadi : a log = 0 (.3 ) a log a = (.33 ) Contoh.30 Uahlah persamaan ang mengandung eksponen erikut ini menjadi entuk logaritma! a) 0 3 ) 65 /4 Penelesaian : a) = 0 3 Û 0 log = 3 ) = 65 /4 Û 65 log = /4 Contoh.3 Hitung : a) log 3 ) 6 log ¼ Penelesaian : a) = log 3 = 3 = 5. Jadi = 5 ) = 6 log /4 6 = /4 (() 4 ) = - 4 = -. Jadi = -/ Seperti ang telah dijelaskan diatas untuk a>0 dan a ¹ fungsi logaritma dengan asis a adalah fungsi ang didefinisikan seagai : f() = a log untuk >0. Jika kita tulis a log = a log, maka dari persamaan.3 didapat : a log a = untuk > 0 (.34 ) Jika kita tulis persamaan a = a, maka dari persamaan.3 dapat ditulis menjadi : a log a =, untuk setiap ilangan ril (.35 ) Hukum-hukum logaritma : a) log PQ = log P + log Q c) log P n = n log P 3
) log Q P = log P - log Q d) log n P = n log P Logaritma natural Logaritma natural adalah logaritma ang mempunai asis e. Logaritma natural ditulis seagai : e log = ln (.36 ) Soal-soal. 6 log mn r. e log a 3. a log ( 3 ) 4 4. log é 3 ê 5 êë z ù ú úû 4..7.3 Fungsi trigonometri A. Pengukuran sudut Seelum kita mendefinisikan fungsi-fungsi trigonometri terleih dahulu akan diahas sudut dan pengukuranna. Sudut pada suatu idang dientuk oleh perpotongan dua uah garis atau sisi ang terdiri dari sisi awal dan sisi ujung sudut. Titik potong antara kedua garis terseut diseut verteks sudut. Seelum memahas sisi ujung 0 sisi awal Gamar.6 pengukuran sudut terleih dahulu kita gamarkan sudut ang terletak pada koordinat Kartesius (lihat Gamar.6). Biasana verteks sudut diletakkan erimpit dengan titik asal (origin) sedangkan sisi awal erimpit dengan sumu. Sudut ang digamarkan dengan cara diatas diseut sudut dalam posisi standar. B. Sudut dalam satuan derajad Satuan derajad adalah salah satu ukuran sudut. Bila kita melakukan pengukuran satu putaran penuh ang dimulai dari 4
sumu positif dengan arah ang erlawanan jarum jam, maka esarna sudut ang diukur adalah 360 o. Gamar.7 adalah contoh pengukuran sudut-sudut 360 o, 80 o, 90 o, -90 o. 360 o 80 o 0 0 90 o 0 0-90 o Gamar.7 Contoh.3 Gamarkan sudut-sudut -70 0 dan 35 0 Penelesaian : 35 o -70 o 0 0 Gamar.8 C. Sudut dalam satuan radian Perhatikan seuah lingkaran ang mempunai jari-jari r. Dua uah sisi ang mengapit sudut tertentu akan memotong lingkaran dan akan menghasilkan panjang usur tertentu pula 5
(lihat Gamar.9a). Jika panjang usur = t maka sudut ang diapit oleh dua sisi ang memotong lingkaran adalah t/r radian. t r radian 0 r t (a) r () Gamar.9 Selanjutna perhatikan Gamar.9. Keliling lingkaran adalah r Berarti sudutna (satu putaran) adalah radian. Telah kita ketahui ahwa satu putaran sama dengan 360 o. Jadi radian = 360 o. Selanjutna didapat : é80 ù radian = ê úû ë 0 = 57 o 7 45 (.37 ) t radian = é80 ê. t ë 0 ù ú û (.38 ) o é ù = ê o ú ë80 û radian (.39 ) o = é ù ê. ú radian (.40 ) ë80 o û 6
Contoh.33 Uah sudut 0 o kedalam satuan radian! Penelesaian : 0 o é ù = ê.0ú radian (lihat persamaan.40) ë80 o û = 9 radian. Contoh.34 Uah sudut /6 radian kedalam satuan derajad! Penelesaian : é80 /6 = ê. ë 6 = 30 o 0 ù ú û (lihat persamaan.38) Soal-soal. Uah sudut-sudut erikut kedalam satuan radian! a. 30 o. 45 o c. 60 o d. 75 o. Uah sudut-sudut erikut kedalam satuan derajad! a. 8 radian. 4 radian 45 o c. 3 radian d. radian D. Fungsi trigonometri sudut lancip Fungsi trigonometri adalah fungsi ang mencakup fungsi-fungsi sinus, cosinus, tangent, cotangent, secant dan cosecant. Gamar.0 adalah seuah segitiga siku-siku. Sisi a dan adalah sisi siku-siku sedangkan c adalah sisi miring. Sudut dan adalah sudut-sudut lancipna. Jika kita perhatikan Gamar.0 maka kita dapat menimpulkan ahwa sisi-sisi siku-siku selalu terletak dihadapan sudut lancip. Sedangkan sisi miring selalu terletak dihadapan sudut siku-siku. Jika kita tinjau salah satu sudut lancip pada Gamar.0, dalam hal ini sudut, maka sisi siku-siku diseut juga seagai sisi pematas sudut. Begitu juga jika kita tinjau sudut maka a diseut juga sisi pematas sudut. c a Gamar.0 7
Dengan mengacu pada penjelasan-penjelasan diatas selanjutna kita definisikan fungsi-fungsi trigonometri seagai erikut : sisi dihadapan sudut a sin = (.4a ) sisimiring c cos = tan = cot = sec = csc = sisi pematas sudut sisimiring sisi dihadapan sudut sisi pematas sudut sisi pematas sudut sisi dihadapan sudut sisimiring sisi pematas sudut sisimiring sisi dihadapan sudut c a a c c a (.4 ) (.4c ) (.4d ) (.4e ) (.4f ) Dari persamaan.4a s/d.4 dapat diuat huungan s. : sin tan = cos (.4a) cos cot = tan (.4) sec = cos (.4c) csc = sin (.4d) Masih tetap mengacu pada Gamar.0 dan teorema Pthagoras : c = a + (agi semua ruas dengan c ) c a éaù é ù ê c c c c ú ê c ú ë û ë û Didapat : (sus. ke pers..4a dan.4) sin + cos = (.43 ) Bagi persamaan.43 dengan cos didapat : sin cos cos cos cos tan + = sec (.44 ) Jika persamaan.43 diagi dengan sin didapat : sin cos sin sin sin 8
+ cot = csc (.45 ) Persamaan.4 s/d.53 diseut identitas trigonometri Contoh.35 Diketahui seuah segitiga siku-siku terletak pada kuadran I. Jika harga sin = 4/5, tentukan nilai fungsi trigonometri lainna! Penelesaian : 5 4 0 =? Gamar. Dari trorema Pthagoras : 5 = + = 5 4 =3 Didapat : cos = 3/5 ; tan = 4/3 ; cot = ¾ ; sec = 5/3 ; csc = 5/4 Soal-soal. Jika seuah segitiga siku-siku terletak terletak pada kuadran pertama, lengkapilah tael erikut. Sudut sin cos tan cot sec csc 5 6 7 3. Jika seuah segitiga siku-siku terletak terletak pada kuadran kedua, lengkapilah tael erikut. Sudut sin cos tan cot sec csc 3 5 5 9
3 4 5 E. Fungsi trigonometri sudut-sudut 30 o, 45 o dan 60 o. Untuk menentukan harga fungsi-fungsi trigonometri sudut 30 o, 45 o dan 60 o pertama-tama kita gamarkan segitiga seperti ang ditunjukkan pada Gamar.. Misal terdapat seuah segitiga siku-siku ang mempunai sudut-sudut lancip 30 o dan 60 o serta panjang sisi miring satuan (Gamar.a). 30 0 30 0 30 0 60 0 60 0 60 0 a a a (a) Gamar. () Jika terdapat satu segitiga lainna ang sama dan seangun dengan segitiga pertama dan diletakkan secara erdampingan maka akan terentuk segitiga aru ang sama sisi (lihat Gamar.). Selanjutna didapat a = atau a = ½. Untuk menghitung panjang sisi kita gunakan teorema Pthagoras, aitu : = a + = a 3 3 = = = 3 4 4 Jadi : Sudut sin cos tan cot sec csc 30 0 60 0 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 Untuk menentukan harga fungsi trigonometri sudut 45 0 terleih dahulu kita gamarkan seuah segitiga siku-siku ang mempunai 45 0 45 0 30
a Gamar. sudut lancil masing - masing 45 0. Untuk leih jelasna perhatikan Gamar. erikut. Telah diketahui ahwa setiap segitiga siku siku ang mempunai sudut lancip masing-masing 45 0 diseut segitiga sama kaki. Dengan kata lain panjang kedua sisi ang erhadapan dengan sudut 45 0 mempunai panjang ang sama ( a = ). Dengan menggunakan teorema Pthagoras kita dapatkan ahwa : Sudut sin cos tan cot sec csc 45 0 Untuk sudut-sudut 0 0 dan 90 0 dapat dilihat pada tael erikut. Sudut sin cos tan cot sec csc 0 0 0 0 90 0 0 0 F. Fungsi trigonometri untuk penjumlahan dua sudut Untuk memahas fungsi trigonometri jumlah dua sudut perhatikan Gamar. erikut. P L sin A cos B L sin A L Q S L cos A L sin A sin B L cos A sin B A B 0 R T Gamar. 3
sin(a+b) = PQ QR = OP L sin A cosb L cos A sinb L sin(a+b) = sina cosb + sinb cosa (.46 ) OR cos(a+b) = = OP OT RT L L cos A cosb L sin A sinb L cos(a+b) = cosa cosb - sina sinb (.47 ) sin(a B) sin A cosb sinbcosa tan(a+b) = = cos(a B) cosacosb - sinasinb sin A cosb sinb cos A tan(a+b) = cos A cosb cos A cosb cos A cosb sin A sinb cos A cosb cos A cosb tan A tanb tan(a+b) = tan A tanb (.48 ) Untuk fungsi-fungsi trigonometri lainna dapat dijaarkan sendiri oleh mahasiswa. Fungsi trigonometri ini dapat digunakan untuk mencari harga fungsi trigonometri sudut tumpul seperti 90 0 + atau sudut tumpul lainna. Contoh.36 Tentukan harga sin 35 0. Penelesaian : Sin 35 0 = sin(90 0 +45 0 ) = sin 90 0 cos45 0 + sin45 0 cos90 0 = ()( ) + ( )(0) = G. Grafik fungsi trigonometri - - - 0 3
Gamar.3 Grafik fungsi sinus - - 0 3 - Gamar.4 Grafik fungsi cosinus -3/ - -/ 0 / 3/ Gamar.5 Grafik fungsi tangent -3/ - -/ 0 / 3/ 33
Gamar.6 Grafik fungsi cotangent -3/ - -/ 0 / 3/ - Gamar.7 Grafik fungsi secant -3/ - -/ 0 / 3/ - Gamar.8 Grafik fungsi cosecant 34
Soal-soal. Tentukan nilai fungsi trigonometri lainna jika : a. sin = 3/5 ; / < <. cos = -4/5 ; < < 3/ c. tan = - ;3/ < < d. cot = 4/ 6 ; < < 3/ e. sec = -6 ; / < < f. csc = 5/4 ; 0 < < /. Gamarkan grafik fungsi trigonometri erikut : a. sin + ½. cos - / c. sin ( - /) d. cos ( + /) H. Hukum sinus Untuk memuktikan hukum sinus perhatikan Gamar.9 erikut. C E a k h A D B c Gamar.9 Perhatikan segitiga BDC sin = a h h = a sin ( * ) Perhatikan segitiga ADC sin = h h = sin ( ** ) Dari (*) dan (**) didapat : a sin = sin sin a sin ( *** ) Perhatikan segitiga AEC sin = k k = sin ( # ) Perhatikan segitiga AEB sin = c k k = c sin ( ## ) Dari (#) dan (##) didapat : sin = c sin Dari (***) dan (###) didapat : sin sin sin a c sin c sin ( ### ) (.49) Persamaan.49 diseut hukum Sinus. Soal-soal Soal-soal erikut mengacu pada Gamar.9. 35
. = 60 o ; = 50 o dan = 0. = 70 o ; = 45 o dan c = 0 3. = 30 o ; = 5 o dan c = 8 4. = 35 o ; = 5 o dan c = 7 5. = 5 o ; = 40 o dan a = 5 I. Hukum Cosinus Untuk memuktikan hukum cosinushatikan Gamar.30 erikut. C E a k h A D B c Gamar.30 Perhatikan segitiga ADC h = sin Perhatikan segitiga BDC (CD) = (BC) (BD) = (BC) (AB - AD) h = a (c - cos ) sin = a c + c cos - cos sin + cos = a c + c cos (sin + cos ) = a c + c cos = a c + c cos Sehingga : a = + c - c cos atau cos = c a c Perhatikan segitiga BDC h = a sin Perhatikan segitiga ADC (CD) = (AC) (AD) = (AC) (AB - BD) h = (c - a cos ) a sin = c + ac cos - a cos a sin + a cos = c + ac cos a (sin + cos ) = c + ac cos a = c + ac cos Sehingga : = a + c a ac cos atau cos = c ac Perhatikan segitiga AEC k = sin Perhatikan segitiga AEB (AE) = (AB) (BE) = (AB) (BC - CE) k = c (a - cos ) (.50) (.5) 36
sin = c a + a cos - cos sin + cos = c a + a cos (sin + cos ) = c a + a cos = c a + a cos Sehingga : c = a + - a cos atau cos = a c a (.5) Persamaan.50 s/d s.5 adalah hukum Cosinus. Soal-soal. Dengan mengacu pada Gamar.30, tentukan esar sudut, dan jika panjang sisina adalah : i) a = 5 ; = 7 ; c = 8 iv) a = 7 ; = 5 ; c = 4 ii) a = 4 ; = 8 ; c = 9 v) a = 9 ; = 4 ; c = 8 iii) a = 6 ; = 9 ; c = 7 vi) a = 8 ; = 6 ; c = 7. Dengan mengacu pada Gamar.30, tentukan luas segitiga jika diketahui : i) = 45 o ; = 5 ; c = 4 iii) = 0 o ; a = 6 ; c = 9 ii) = 60 o ; = 9 ; c = 0 iv) = 90 o ; a = 8 ; c = 4..7.4 Fungsi trigonometri invers Kita telah mengetahui ahwa suatu fungsi akan mempunai invers jika fungsi terseut adalah fungsi satu ke satu, aitu fungsi ang mempunai nilai tunggal untuk setiap domain. Seagai contoh f() = 3 + adalah fungsi satu ke satu untuk setiap harga ang tunggal akan menghasilkan f() ang tunggal pula. Sehingga dikatakan ahwa f() = 3 + mempunai invers. Akan tetapi f() = ukanlah fungsi satu ke satu karena untuk dua harga ang ereda akan menghasilkan harga f() ang r=tunggal. Sehingga dikatakan ahwa f() = tidak mempunai invers. Fungsi-fungsi trigonometri adalah fungsi-fungsi ang tidak termasuk dalam golongan fungsi satu ke satu. Seagai contoh f() = sin. Untuk harga = 0, = dan = akan menghasilkan harga ang sama aitu 0. Begitu juga dengan fungsi-fungsi trigonometri lainna. Akan tetapi jika kita atasi domain fungsi trigonometri maka kita dapat memuat fungsi trigonometri menjadi fungsi satu ke satu. Jadi f() = sin adalah fungsi satu ke satu jika - < <. Begitu juga dengan fungsi-fungsi trigonometri lainna. Definisi-definisi : i) Fungsi sinus invers (ditulis sin - atau arcsin) didefinisikan seagai : = sin - Û = sin, untuk - dan -/ /. ii) Fungsi sinus invers (ditulis cos - atau arccos) didefinisikan seagai : = cos - Û = cos, untuk - dan 0. iii) Fungsi tangent invers (ditulis tan - atau arctan) didefinisikan seagai : = tan - Û = tan, untuk setiap harga dan -/ /. iv) Fungsi cotangent invers (ditulis cot - atau arccot) didefinisikan seagai : = cot - Û = cot, untuk setiap harga dan 0. 37
v) Fungsi secant invers (ditulis sec - atau arcsec) didefinisikan seagai : = sec - Û = sec, untuk setiap harga ³ dan 0, kecuali = /. vi) Fungsi cosecant invers (ditulis cosec - atau arccosec) didefinisikan seagai : = cosec - Û = cosec, untuk setiap harga ³ dan 0 /. -/ - 0 / / Grafik sin - Gamar.3-0 Grafik cos - Sifat-sifat fungsi trigonometri invers i) arcsin(sin) = untuk -/ / sin(arcsin) = untuk ii) arccos(cos) = untuk 0 cos(arccos) = untuk - iii) arctan(tan) = untuk -/ / tan(arctan) = untuk semua harga Contoh.37 Tentukan harga jika : a. = sin - ( ) untuk -/ /. = sin - (- ) untuk -/ / Penelesaian : a. = sin - ( ) Û sin =. Jadi = /4. = sin - (- ) Û sin = -. Jadi = - /4 38
/ /4 -/ 0 - / -/4 -/ Gamar.3 Soal-soal Tentukan harga dari :. arcsin 7. arcsin (sin /3) 3. arcsin (cos /3). arcsin (-) 8. arcsin (sin /6) 4. arccos (/4) 3. arccos 0 9. arccos (cos ) 5. arctan (/) 4. arccos (-) 0. arccos (cos /3 ) 6. arctan (cos 4) 5. arctan 0. arctan (tan /3 ) 7. sin (arcsin /) 6. arctan. arctan (tan -5/6 ) 8. sin(arccos /)..7.5 Fungsi hiperolik A. Definisi Fungsi hiperolik adalah fungsi ang mempunai sifat ang serupa dengan fungsi trigonometri. Keserupaan antara kedua fungsi terseut dapat dilihat dari definisi ang dierikan erikut ini. sinh = e e (.53a ) cosh = e e (.53 ) tanh = e e e e sinh cosh (.53c ) e e cosh coth = (.53d ) - e - e sinh sech = e e = cosh (.53e ) cosech = e e = sinh (.53f ) B. Identitas hiperolik Dari persamaan.53a dan didapat : sinh = é e e ù ê ú = êë úû e e 4 39
cosh = é e e ù ê ú = êë úû e e 4 Sehingga : cosh - sinh e e = 4 - e e 4 cosh - sinh = (.54 ) Dengan memagi persamaan.54 dengan cosh didapat : - tanh = sech (.55 ) Selanjutna jika persamaan.54 diagi dengan sinh didapat : coth - = cosech (.56 ) Persamaan.54 s/d.56 adalah Identitas hiperolik. Selain identitas terseut diatas masih terdapat identitas hiperolik lainna seperti ang terdapat pada soal-soal. Soal-soal Buktikan identitas hiperolik erikut :. sinh + cosh = e 3. tanh (+) = tanh tanh tanh tanh. cosh - sinh = e - tanh tanh 4. tanh (-) = tanh tanh 3. sinh (-) = - sinh 5. sinh cosh = 4. cosh (-) = cosh 6. cosh cosh = tanh 5. sinh = sinh cosh 7. tanh = tanh 6. cosh = cosh + sinh sinh 8. tanh cosh 7. sinh (+) = sinh cosh + sinh cosh 8. sinh (-) = sinh cosh - sinh cosh 9. cosh (+) = cosh cosh + sinh sinh 0. cosh (-) = cosh cosh - sinh sinh. (sinh + cosh ) n = sinh n + cosh n. (sinh - cosh ) n = sinh n - cosh n..7.6 Fungsi hiperolik invers Pada definisi seelumna telah diketahui ahwa fungsi hiperolik definisikan dalam entuk fungsi eksponen. Hal ini erarti ahwa fungsi hiperolik invers dapat ditulis dalam entuk logaritma natural. 40
Teorema-teorema sinh - = ln ( + ) (.57 ) Bukti : = sinh - Û = sinh = e e e + e - = 0. Selanjutna kalikan semua ruas dengan e didapat: e - e + = 0 atau e - e - = 0 Dengan menggunakan persamaan kuadrat : e ± 4 4 = ± Berarti e mempunai dua harga aitu dan. Perlu diperhatikan ahwa : - harga e dan - harga selalu positif untuk semarang harga selalu leih esar dari untuk semarang harga Dari dua fakta ang diseutkan diatas maka kita dapat menimpulkan ahwa : e =. Sehingga : = ln ( ) ( terukti ) Gamar.3 Grafik sinh dan arcsinh cosh - = ± ln ( + ), ³ ; ³ 0 (.58 ) Bukti : = cosh - Û = cosh = e e e - e - = 0. Selanjutna kalikan semua ruas dengan e didapat: 4
e - e - = 0 atau e - e + = 0 Dengan menggunakan persamaan kuadrat : e ± 4 4 = ± Berarti e mempunai dua harga aitu dan. Perlu diperhatikan ahwa : - harga e selalu positif untuk ³ - ³ 0 untuk ³ - harga selalu leih kecil dari untuk ³ Dari tiga fakta ang diseutkan diatas maka kita dapat menimpulkan ahwa : e = atau e =. Selanjutna perhatikan ahwa : = ( ) = = = ( ) - Jadi : e = atau e = ( ) - = ln ( ) atau = - ln ( ). Disini dapat kita lihat ahwa untuk setiap satu nilai (peuah eas) erpasangan dengan dua nilai (peuah tak eas). Hal ini melanggar definisi fungsi ; aitu setiap satu nilai tepat erpasangan dengan satu nilai. Berdasarkan hal terseut diatas maka diamil harga positifna saja, aitu : = cosh - = ln ( ), ³ 0 dan ³ (terukti) Gamar.33 4
43 Grafik cosh dan arccosh tanh - = ln, çç< (.59 ) Bukti : = tanh - Û = tanh = e e e e e + e - e +e - = 0 kalikan dengan e e + e + = 0 (-)e + (+) = 0 e = e = ± = ± ú û ù ê ë é untuk çç<. Karena e selalu positif, maka e = ú û ù ê ë é, çç< atau = ln ú û ù ê ë é, çç< ( terukti ). coth - = ln, çç> (.60 ) Bukti : = coth - Û = coth = e e e e e - e - e -e - = 0 kalikan dengan e e - e - = 0 (-)e - (+) = 0 e = e = ± = ± ú û ù ê ë é untuk çç>. Karena e selalu positif, maka e = ú û ù ê ë é, çç> atau = ln ú û ù ê ë é, çç> ( terukti ).
sech - = ln, 0 > ³ (.6 ) Bukti : = sech - Û = sech - = cosh = = cosh cosh Jadi sech - = cosh - = ± ln ( + ), 0 sech - = ± ln ( ). Karena sech - hana mempunai satu harga untuk srtiap satu harga, maka : sech - = ln ( ), 0 < (terukti) cosech - = ln, >0 (.6 ) Bukti : = cosech - Û = cosech - = sinh = = sinh sinh Jadi cosech - = ln ( + ) = ln ( ), > 0 ( terukti )..7.7 Fungsi genap dan ganjil Suatu fungsi dikatakan fungsi genap jika memenuhi : f() = f(-).63 dan dikatakan ganjil jika memenuhi : f(-) = -f().64 Jika suatu fungsi tidak memenuhi persamaan.63 dan.64 maka persamaan terseut ukan merupakan fungsi genap atau ganjil. Contoh.38 Diketahui i) f() = 3 ii) f() = + 3 iii) f() = - Tentukan apakah fungsi terseut termasuk fungsi genap, ganjil atau tidak keduana? 44
Penelesaian i) f() = 3 f(-) =(-) 3 = - 3 =-f() Karena f(-) = -f(), maka 3 adalah fungsi ganjil. ii) f() = + 3 f(-) = (-) + 3 = + 3 = f() Karena f(-) = f(), maka + 3 adalah fungsi genap. iii) f() = - f(-) = - - = - (+) Karena f() ¹ f(-) ¹ -f(), maka ukan fungsi genap atau ganjil. Misal terdapat seuah fungsi f() sedemikian rupa sehingga : f() = g(). h() ( * ) atau f(-) = g(-). h(-) ( ** ) Jika g() dan h() adalah fungsi ganjil maka erlaku g(-) = - g() dan h(-) = - h(). Dengan melakukan sustitusi ke (**) didapat : f(-) = {-g()}.{- h()} f(-) = g(). h() (***) Sustitusi (*) ke (***) didapat : f(-) = f() Kesimpulan : Perkalian fungsi ganjil dengan fungsi ganjil menghasilkan fungsi genap Misal terdapat seuah fungsi f() sedemikian rupa sehingga : f() = g(). h() ( * ) atau f(-) = g(-). h(-) ( ** ) Jika g() dan h() adalah fungsi genap maka erlaku g(-) = g() dan h(-) = h(). Dengan melakukan sustitusi ke (**) didapat : f(-) = g(). h() (***) Sustitusi (*) ke (***) didapat : f(-) = f() Kesimpulan : Perkalian fungsi genap dengan fungsi genap menghasilkan fungsi genap Misal terdapat seuah fungsi f() sedemikian rupa sehingga : 45
atau f() = g(). h() ( * ) f(-) = g(-). h(-) ( ** ) Jika g() adalah fungsi genap dan h() adalah fungsi ganjil atau sealikna maka erlaku g(-) = g() dan h(-) = -h(). Dengan melakukan sustitusi ke (**) didapat :f(-) = g().{-h()} = -{g(). h()}. Selanjutna dengan mensustitusi (*) ke (***) didapat : f(-) = - f(). Kesimpulan : Perkalian fungsi genap dengan fungsi ganjil atau sealikna menghasilkan fungsi ganjil Soal-soal : Gamarkan grafik dari fungsi-fungsi erikut dan tentukan fungsi-fungsi apakah genap, ganjil atau tidak keduana!. f() = 3. f() = 3. f() = 4 + 4. f() = 3 + 5. f() = sinh 6. f() = cosh 7. f() = 4 0. f() = cos 3 8. f() = 9. f() = sin(cos )..9 Fungsi Periodik Suatu fungsi f() diseut fungsi eriodik jika fungsi terseut terdefinisi untuk semua harga dan terdapat ilangan positif sedemikian rupa sehingga : f( + p ) = f ( ) (.64 ) dimana p adalah periode positif terkecil dari fungsi f(). Fungsi-fungsi ang termasuk fungsi periodik diantarana fungsi sinus dan cosinus. Sedangkan fungsi-fungsi,, 3, e dan ln tidak termasuk fungsi periodik karena tidak memenuhi persamaan.64. Dengan mengacu pada persamaan.64 kita dapatkan ahwa : f(+p) = f{(+p)+p} = f(+p) = f() f(+3p) = f{(+p)+p} = f(+p) = f().............................. f(+np) = f() ; n =,, 3,....... (.65 ) Contoh grafik dari fungsi periodik dapat dilihat pada Gamar.34 diawah ini. 46
p Gamar.34 Grafik fungsi priodik Misal terdapat dua uah fungsi g() dan h(). Jika fungsi f() adalah fungsi ang didefinisikan oleh : f() = ag() + h(), dimana a dan adalah konstanta, maka erlaku : f(+p) = ag(+p) + h(+p) (.66 ) Jadi dapat disimpulkan ; jika g() + h() mempunai periode p, makaf() juga mempunai periode p. Contoh.39 Tentukan periode dari f() = sin Penelesaian : sin (+p) = sin sin cos p + cos sin p = sin didapat p = 47