SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA TAHUN 2005 TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA TAHUN 2006

Transkripsi

1 SELEKSI OLIMPIAE TINGKAT KAUPATEN/KOTA TAHUN 005 TIM OLIMPIAE MATEMATIKA INONESIA TAHUN 006 idang Matematika Waktu : 3,5 Jam EPARTEMEN PENIIKAN NASIONAL IREKTORAT JENERAL PENIIKAN ASAR AN MENENGAH IREKTORAT PENIIKAN MENENGAH UMUM TAHUN 005 7

2 OLIMPIAE MATEMATIKA NASIONAL SELEKSI TINGKAT KOTA/KAUPATEN TAHUN 005 agian Pertama Pilih satu jawaban ang benar. alam hal terdapat lebih dari satu jawaban ang benar, pilih jawaban ang paling baik.. ilangan ( )( 3)( )( 3) adalah bilangan A. takrasional positif. rasional tidak bulat E. bulat negatif. takrasional negatif. bulat positif. Pada gambar di samping, a, b, c, d dan e berturut-turut menatakan besar sudut pada titiktitik ujung bintang lima ang terletak pada suatu lingkaran. Jumlah a b c d e A. 35 o. 80 o. 70 o. 360 o E. tidak dapat ditentukan dengan pasti 3. Semula harga semangkuk bakso dan harga segelas jus masing-masing adalah Rp Setelah kenaikan M, semangkuk bakso hargana naik 6% sedangkan harga segelas jus naik 4%. Kenaikan harga dari semangkuk bakso dan segelas jus adalah A. 8%. 0%. %. 5% E. 0% 4. Jika a bilangan real ang memenuhi a < a, maka A. a negatif. < a E. tidak ada a ang memenuhi. a <. ½ < a < 5. Aries menggambar bagian dari parabola 6 7. Titik-titik parabola ang muncul dalam gambar memiliki absis mulai dari 0 sampai 4. Maka ordinat terkecil dan ordinat terbesar titiktitik pada parabola ang muncul dalam gambar berturut-turut adalah A. dan. dan 7. dan 7. 0 dan E. 0 dan 7 6. ua buah dadu dilemparkan bersamaan. erapakah peluang jumlah angka ang muncul adalah 6 atau 8? A.... E Titik A(a, b) disebut titik letis jika a dan b keduana adalah bilangan bulat. anakna titik letis pada lingkaran ang berpusat di O dan berjari-jari 5 adalah A E. tidak bisa dipastikan 8

3 8. Mana di antara 5 ekspresi berikut ang angka terakhirna berturut-turut bukan 5, 6, 8, 9 atau 0? A E iberikan tiga bilangan positif, dan z ang semuana berbeda. Jika maka nilai sama dengan z z, A E Jika diberikan persamaan ( ), maka banakna bilangan bulat ang merupakan solusi dari persamaan tersebut adalah A E. 6 agian Kedua Isikan hana jawaban saja pada tempat ang disediakan. Faktor prima terbesar dari 005 adalah. Tentukan semua solusi persamaan Misalkan a dan b adalah bilangan real tak nol ang memenuhi 9a ab 4b 0. Tentukan a. b 4. iberikan dua buah persegi, A dan, dimana luas A adalah separuh dari luas. Jika keliling adalah 0 cm, maka keliling A, dalam centimeter, adalah 5. Seorang siswa mempunai dua celana berwarna biru dan abu-abu, tiga kemeja berwarna putih, merah muda dan kuning, serta dua pasang sepatu berwarna hitam dan coklat. anakna cara siswa tersebut memakai pakaian dan sepatu adalah 4 6. Tentukan semua bilangan real ang memenuhi Tentukan semua bilangan tiga-angka sehingga nilai bilangan itu adalah 30 kali jumlah ketiga angka itu. 8. Nilai sin 8 75 o cos 8 75 o 9. iketahui bahwa segiempat A memiliki pasangan sisi ang sejajar. Segiempat tersebut memiliki tepat satu sumbu simetri lipat jika ia berbentuk 9

4 0. Tentukan banakna pasangan bilangan bulat positif (m, n) ang merupakan solusi dari 4 persamaan. m n 0

5 SELEKSI OLIMPIAE TINGKAT KAUPATEN/KOTA 005 TIM OLIMPIAE MATEMATIKA INONESIA 006 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL idang Matematika isusun oleh : Edd Hermanto, ST

6 Olimpiade Matematika Tk Kabupaten/Kota 005 AGIAN PERTAMA. (Jawaban : E) ( )( 3)( )( 3) ( )( 3) ( )( 3)( )( 3) adalah bilangan bulat negatif.. (Jawaban : ) Misalkan penamaan titik seperti pada gambar. Pada EF berlaku EF 80 o (c e). Maka FG c e Pada AG berlaku AG 80 o (a d). Maka FG a d Pada FG berlaku FG FG FG 80 o. Maka (c e) (a d) (b) 80 o. a b c d e 80 o. 3. (Jawaban : ) 6% % 5000 Kenaikan harga dari semangkuk bakso dan segelas jus Kenaikan harga dari semangkuk bakso dan segelas jus adalah 0 %. 0% 4. (Jawaban :?) a < a. Maka a(a ) < 0 sehingga 0 < a <. Jika a < a maka 0 < a <. 5. (Jawaban : ) 6 7 Nilai pada ujung-ujung interval, untuk 0 maka 7 sedangkan untuk 4 maka ( 6) 4( )( 7) maks ang didapat untuk 3 4a 4( ) b a. Maka ordinat terkecil dan ordinat terbesar adalah dan 7. SMA Negeri 5 engkulu Edd Hermanto, ST

7 Olimpiade Matematika Tk Kabupaten/Kota (Jawaban : ) Kemungkinan penjumlahan mata dadu sama dengan 6 ada 5, aitu (, 5), (, 4), (3, 3), (4, ), (5, ). Kemungkinan penjumlahan mata dadu sama dengan 8 ada 5, aitu (, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, ). 5 5 Peluang jumlah angka ang muncul adalah 6 atau Peluang jumlah angka ang muncul adalah 6 atau (Jawaban : ) Persamaan lingkaran ang berpusat di O dan berjari-jari 5 adalah 5 Karena maka pasangan (, ) bulat ang memenuhi ada, aitu (0, 5), (0, 5), (5, 0), (5, 0), (3, 4), (3, 4), (3, 4), (3, 4), (4, 3), (4, 3), (4, 3) dan (4, 3). anakna titik letis pada lingkaran ang berpusat di O dan berjari-jari 5 ada. 8. (Jawaban : ) Karena 5 k memiliki angka satuan 5 untuk setiap k asli maka Karena 6 k memiliki angka satuan 6 untuk setiap k asli maka Karena 0 k memiliki angka satuan 0 untuk setiap k asli maka 8 memiliki angka satuan 8 8 memiliki angka satuan memiliki angka satuan 8 4 memiliki angka satuan memiliki angka satuan 8 dst Maka 8 4ki 8 i (mod 0) untuk setiap k dan i bilangan asli. 8 8 Karena 8 habis dibagi 4 maka 9 memiliki angka satuan 9 9 memiliki angka satuan 9 3 memiliki angka satuan 9 dst Maka 9 ki 9 i (mod 0) untuk setiap k dan i bilangan asli. Karena 9 k ganjil untuk k asli maka Maka di antara , , bukan 5, 6, 8, 9 atau 0 adalah memiliki angka terakhir memiliki angka terakhir memiliki angka terakhir memiliki angka satuan ang sama dengan 8 4 aitu memiliki angka satuan ang sama dengan 9 aitu , dan ang angka terakhirna berturut-turut 9. (Jawaban : ) Misalkan z z k Maka : k( z) () kz () k (3) SMA Negeri 5 engkulu Edd Hermanto, ST 3

8 Olimpiade Matematika Tk Kabupaten/Kota 005 Jumlahkan () () (3) sehingga ( ) k( ). Karena dan keduana positif maka 0 sehingga k. Karena k maka nilai sama dengan 0. (Jawaban : ) ( ) Kemungkinan-kemungkinan ang memenuhi adalah : 0. Maka (() () ) 0 maka memenuhi. Maka ( )( ) 0 dan keduana memenuhi. Maka ( ) 0 sehingga 0 atau Jika 0 maka (bilangan genap). Maka 0 memenuhi Jika maka 3 (bilangan ganjil). Maka tidak memenuhi. Nilai-nilai ang memenuhi adalah,, 0 dan. anakna bilangan bulat ang merupakan solusi dari persamaan ( ) ada 4. AGIAN KEUA dengan 40 adalah bilangan prima. Faktor prima terbesar dari 005 adalah Jika Maka dan sehingga 3 (memenuhi karena ) Jika < 4 Maka dan sehingga 3 (tidak memenuhi kesamaan) Jika > 4 Maka dan sehingga 7 (tidak memenuhi > 4) Nilai ang memenuhi persamaan 4 adalah 3. SMA Negeri 5 engkulu Edd Hermanto, ST 4

9 Olimpiade Matematika Tk Kabupaten/Kota a ab 4b 0 a Untuk b 0 maka 3 0 b a Maka b 3 4. Luas Luas A, maka A Misalkan panjang sisi A dan panjang sisi maka Luas sehingga 5 Keliling 4. Maka 4 0 sehingga Keliling A 4 0 Keliling A 0 cm 5. anakna cara siswa tersebut memakai pakaian dan sepatu 3 cara anakna cara siswa tersebut memakai pakaian dan sepatu adalah Sesuai dengan ketaksamaan AM-GM maka 4 4 Karena 4 dan 4 maka ketaksamaan hana dipenuhi jika ilangan real ang memenuhi persamaan adalah atau 7. Misalkan bilangan tersebut adalah n 00a 0b c 00a 0b c 30(a b c) 0(7a b) 9c c 0 7a b 9 Karena 0 dan 9 relatif prima maka 7a b 9k dan c 0k. Karena 0 c 9 maka nilai k ang memenuhi hana k 0 sehingga c 0. 7a b Karena dan 7 relatif prima sedangkan 0 a, b 9 maka nilai a dan b ang memenuhi adalah a dan b 7. ilangan tiga angka ang memenuhi adalah 70. SMA Negeri 5 engkulu Edd Hermanto, ST 5

10 Olimpiade Matematika Tk Kabupaten/Kota sin 8 75 o cos 8 75 o (sin 4 75 o cos 4 75 o ) (sin 4 75 o cos 4 75 o ) sin 8 75 o cos 8 75 o ((sin 75 o cos 75 o ) (sin 75 o )(cos 75 o )) (sin 75 o cos 75 o )(sin 75 o cos 75 o ) Mengingat bahwa sin α cos α, sin α sin α cos α dan cos α sin α cos α maka : sin 8 75 o cos 8 75 o ( ½ sin 50 o )(cos 0 o ) sin 8 75 o cos 8 75 o Jika segiempat adalah trapesium sebarang maka belum dapat dipastikan bangun tersebut memiliki tepat satu sumbu simetri lipat sebab ada kemungkinan trapesium tersebut tidak memiliki sumbu simetri lipat. Maka bangun tersebut adalah trapesium sama kaki m n mn 4n m 0 (m 4)(n ) 8 3 Karena 4 dan memiliki paritas ang sama maka m 4 dan n memiliki paritas ang sama. Maka kemungkinan-kemungkinan penelesaianna adalah : m 4 dan n 4 m dan n (tidak memenuhi m dan n keduana bulat positif) m 4 dan n 4 m 6 dan n 6 (memenuhi m dan n keduana bulat positif) m 4 4 dan n m 0 dan n 0 (tidak memenuhi m dan n keduana bulat positif) m 4 4 dan n m 8 dan n 4 (memenuhi m dan n keduana bulat positif) anakna pasangan bilangan bulat positif (m, n) ang memenuhi ada. SMA Negeri 5 engkulu Edd Hermanto, ST 6

11 SELEKSI OLIMPIAE MATEMATIKA INONESIA 006 TINGKAT PROVINSI idang Matematika agian Pertama Waktu : 90 Menit EPARTEMEN PENIIKAN NASIONAL IREKTORAT JENERAL PENIIKAN ASAR AN MENENGAH IREKTORAT PENIIKAN MENENGAH UMUM TAHUN 005 7

12 OLIMPIAE MATEMATIKA TINGKAT PROVINSI TAHUN 005 AGIAN PERTAMA. Jika a sebuah bilangan rasional dan b adalah sebuah bilangan tak rasional, maka a b adalah bilangan. Jumlah sepuluh bilangan prima ang pertama adalah 3. anakna himpunan X ang memenuhi {, } X {,, 3, 4, 5} adalah 4. Jika N , maka tiga angka pertama N adalah 5. Misalkan A adalah sebuah trapesium dengan A. Titik-titik P dan R berturut-turut adalah titik tengah sisi A dan. Titik Q terletak pada sisi sehingga Q : Q 3 :, sedangkan titik S terletak pada sisi A sehingga AS : S : 3. Maka rasio luas segiempat PQRS terhadap luas trapesium A adalah 6. ilangan tiga-angka terkecil ang merupakan bilangan kuadrat sempurna dan bilangan kubik (pangkat tiga) sempurna sekaligus adalah 7. Jika a, b dua bilangan asli a b sehingga terurut (a, b) 3 4 a b adalah bilangan rasional, maka pasangan 8. Jika A A, A, dan besar sudut A 39 o, maka besar sudut A adalah 9. Ketika mendaki sebuah bukit, seorang berjalan dengan kecepatan ½ km/jam. Ketika menuruni bukit tersebut, ia berjalan tiga kali lebih cepat. Jika waktu ang dibutuhkan untuk melakukan perjalanan bolak-balik dari kaki bukit ke puncak bukit dan kembali ke kaki bukit adalah 6 jam, maka jarak antara kaki bukit dan puncak bukit (dalam km) adalah 0. Sebuah segienam beraturan dan sebuah segitiga sama sisi mempunai keliling ang sama. Jika luas segitiga adalah 3, maka luas segienam adalah. ua buah dadu dilemparkan secara bersamaan. Peluang jumlah kedua angka ang muncul adalah bilangan prima adalah 8

13 . Keliling sebuah segitiga samasisi adalah p. Misalkan Q adalah sebuah titik di dalam segitiga tersebut. Jika jumlah jarak dari Q ke ketiga sisi segitiga adalah s, maka, dinatakan dalam s, p 3. arisan bilangan asli (a, b, c) dengan a b c, ang memenuhi sekaligus kedua persamaan ab bc 44 dan ac bc 3 adalah 4. Empat buah titik berbeda terletak pada sebuah garis. Jarak antara sebarang dua titik dapat diurutkan menjadi barisan, 4, 5, k, 9, 0. Maka k 5. Sebuah kelompok terdiri dari 005 anggota. Setiap anggota memegang tepat satu rahasia. Setiap anggota dapat mengirim surat kepada anggota lain manapun untuk menampaikan seluruh rahasia ang dipegangna. anakna surat ang perlu dikirim agar semua anggota kelompok mengetahui seluruh rahasia adalah 6. anakna pasangan bilangan bulat (, ) ang memenuhi persamaan 5 55 adalah 7. Himpunan A dan saling lepas dan A {,, 3,, 9}. Hasil perkalian semua unsur A sama dengan jumlah semua unsur. Unsur terkecil adalah 8. entuk sederhana dari adalah ( )( 3 )( 4 ) ( )( 3 )( 4 ) L 3 ( 00 ) 3 ( 00 ) 9. Misalkan A adalah limas segitiga beraturan, aitu bangun ruang bersisi empat ang berbentuk segitiga samasisi. Misalkan S adalah titik tengah rusuk A dan T titik tengah rusuk. Jika panjang rusuk A adalah satuan panjang, maka panjang ST adalah 0. Untuk sembarang bilangan real a, notasi a menatakan bilangan bulat terbesar ang lebih kecil dari atau sama dengan a. Jika bilangan real ang memenuhi 3 3 tidak akan lebih besar dari, maka 9

14 SELEKSI OLIMPIAE MATEMATIKA INONESIA 006 TINGKAT PROVINSI idang Matematika agian Kedua Waktu : 0 Menit EPARTEMEN PENIIKAN NASIONAL IREKTORAT JENERAL PENIIKAN ASAR AN MENENGAH IREKTORAT PENIIKAN MENENGAH UMUM TAHUN

15 OLIMPIAE MATEMATIKA TINGKAT PROVINSI TAHUN 005 AGIAN KEUA. Panjang sisi terbesar pada segiempat talibusur A adalah a, sedangkan jari-jari lingkaran luar A adalah. Tentukan nilai terkecil ang mungkin bagi a. Segiempat A ang bagaimana ang memberikan nilai a sama dengan nilai terkecil tersebut?. i dalam sebuah kotak terdapat 4 bola ang masing-masing bernomor,, 3 dan 4. Anggi mengambil bola secara acak, mencatat nomorna, dan mengembalikanna ke dalam kotak. Hal ang sama ia lakukan sebanak 4 kali. Misalkan jumlah dari keempat nomor bola ang terambil adalah. erapakah peluang bola ang terambil selalu bernomor 3? 3. Jika α, β dan γ adalah akar-akar persamaan 3 0, tentukan α β γ α β γ 4. Panjang ketiga sisi a, b, c dengan a b c, sebuah segitiga siku-siku adalah bilangan bulat. Tentukan semua barisan (a, b, c) agar nilai keliling dan nilai luas segitiga tersebut sama. 5. Misalkan A dan dua himpunan, masing-masing beranggotakan bilangan-bilangan asli ang berurutan. Jumlah rata-rata aritmatika unsur-unsur A dan rata-rata aritmatika unsur-unsur adalah 500. Jika A {005}, tentukan unsur terbesar ang mungkin dari himpunan A. 3

16 SELEKSI OLIMPIAE MATEMATIKA INONESIA 006 TINGKAT PROVINSI TAHUN 005 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL idang Matematika agian Pertama isusun oleh : Edd Hermanto, ST 3

17 Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 005 agian Pertama AGIAN PERTAMA. ilangan rasional bilangan tak rasional bilangan tak rasional a b adalah bilangan tak rasional.. Sepuluh bilangan prima pertama adalah, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 3, Jumlah sepuluh bilangan prima pertama 9 3. {, } X {,, 3, 4, 5} X terdiri dari sedikitna unsur dan maksimal 5 unsur dengan unsur di antarana haruslah dan. Sedangkan sisana dipilih dari unsur-unsur 3, 4 atau 5. Jika X terdiri dari unsur maka banakna himpunan X 3 0 Jika X terdiri dari 3 unsur maka banakna himpunan X 3 3 Jika X terdiri dari 4 unsur maka banakna himpunan X 3 3 Jika X terdiri dari 5 unsur maka banakna himpunan X 3 3 anakna himpunan X N anakna angka adalah 9. Karena 0,,, 99 adalah bilangan angka maka banakna digit 0 99 adalah genap. anakna angka 00 3 Maka banakna angka N adalah merupakan bilangan genap. Mengingat , 35 30, , 0 00, 3, 544 maka kemungkinan tiga angka pertama dari N adalah 35 atau. Akan dibuktikan bahwa jika tiga angka pertama N adalah maka banakna digit N akan ganjil sedangkan jika tiga angka pertama N adalah 35 maka banakna digit N akan genap. N ( 0 k p) 3 0 k p 0 k p dengan banakna angka p tidak lebih dari k. Karena banakna angka p tidak lebih dari k maka p < 0 k. N < 3 0 k 0 k 0 k k 3 0 k < N < k Maka banakna angka N sama dengan banakna angka 3 0 k ang merupakan bilangan ganjil. N (35 0 k p) 30 0 k 70p 0 k p dengan banakna angka p tidak lebih dari k. Karena banakna angka p tidak lebih dari k maka p < 0 k. N < 30 0 k 70 0 k 0 k k 30 0 k < N < k Maka banakna angka N sama dengan banakna angka 30 0 k ang merupakan bilangan genap. Tiga angka pertama N adalah 35. SMA Negeri 5 engkulu Edd Hermanto, ST 33

18 Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 005 agian Pertama 5. Misalkan [PQRS] menatakan luas segiempat PQRS Misalkan juga jarak antara garis A dan adalah t [A] ½ (A ) t Karena P dan R berurutan adalah pertengahan A dan maka PR sejajar dan berlaku : PR ½ (A ) Jarak titik Q ke PR jarak titik S ke PR ½ t [PQRS] [PQR] [PRS] ½ (½t)(PR) ½ (½t)(PR) [PQRS] (½t)(PR) ½ (½ (A ) t) ½ [A] Rasio luas segiempat PQRS terhadap luas trapesium A adalah : 6. ilangan kuadrat ang juga merupakan bilangan pangkat tiga adalah bilangan pangkat enam dan ilangan tiga-angka terkecil ang merupakan bilangan kuadrat sempurna dan bilangan kubik (pangkat tiga) sempurna sekaligus adalah a b p q ( q 3 p ) ( ) p b q a dengan a, b, p dan q asli dan a b serta p dan q keduana relatif prima. 3q 4p 4pq 3 p b q a pq ab Karena a, b, p, q semuana asli maka 3 ab sehingga ab. Kemungkinan pasangan (a, b) ang memenuhi adalah (, ), (, 6) dan (3, 4) Jika a dan b maka Jika a dan b 6 maka a b a b ang merupakan bilangan rasional. ang bukan merupakan bilangan rasional. 3 a 3 Jika a 3 dan b 4 maka ang bukan merupakan bilangan rasional. 4 b Pasangan terurut (a, b) adalah (, ) SMA Negeri 5 engkulu Edd Hermanto, ST 34

19 Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 005 agian Pertama 8. Misalkan A α Karena A maka A α Karena A A maka A α Pada A berlaku (α) (α 39 o ) (α) 80 o. Maka α 47 o esarna sudut A 47 o. 9. v n ½ km/jam dan v t 4½ km/jam Misalkan jarak antara kaki bukit dan puncak bukit dalam km adalah s. s s 7 6 maka s km 5, 4, Jarak antara kaki bukit dan puncak bukit km 4 0. Karena keliling segienam beraturan sama dengan keliling segitiga sama sisi maka panjang sisi segitiga beraturan dua kali panjang sisi segienam beraturan. Misalkan panjang sisi segienam beraturan a maka panjang sisi segitiga sama sisi a. Luas segitiga sama sisi ½ (a) sin 60 o 3 a Pada segienam beraturan, jari-jari lingkaran luar segienam beraturan sama dengan panjang sisina. Luas segienam beraturan 6 ½ (a ) sin 60 o 3 Luas segienam beraturan 3. Kemungkinan penjumlahan dua angka dadu bilangan prima adalah, 3, 5, 7, atau. * Jika jumlah angka dadu maka banakna kemungkinan ada, aitu (,) * Jika jumlah angka dadu 3 maka banakna kemungkinan ada, aitu (,), (,) * Jika jumlah angka dadu 5 maka banakna kemungkinan ada 4, aitu (,4),(,3),(3,),(4,) * Jika jumlah angka dadu 7 maka banakna kemungkinan ada 6, aitu (,6), (,5), (3,4), (4,3), (5,), (6,) * Jika jumlah angka dadu maka banakna kemungkinan ada, aitu (5,6), (6,5) anakna kemungkinan seluruhna Peluang jumlah kedua angka dadu ang muncul adalah bilangan prima 36 SMA Negeri 5 engkulu Edd Hermanto, ST 35

20 Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 005 agian Pertama. Misalkan segitiga tersebut adalah A. Maka A A p sehingga A A p 3 Luas A p sin 60 p 3 dan QP QR QS s 3 36 Luas A Luas AQ Luas AQ Luas Q ½ A QS ½ A QR ½ QP p 3 p ( s ) 36 3 p s 3 3. ab bc 44 dan ac bc 3 dengan a, b, c asli dan a b c Karena c(a b) 3 dengan a, b dan c asli maka c atau 3 Jika c 3 maka a b (tidak memenuhi sebab a b ). Maka c a b 3 dan ab b 44 (3 b)b b 44, maka b 4b 44 0 sehingga (b )(b ) 0 b atau b Jika b maka a (tidak memenuhi a b). Maka b dan a arisan bilangan asli (a, b, c) ang memenuhi adalah (,, ). 4. Misal garis tersebut terletak pada sumbu X. Angap titik A adalah titik paling kiri, paling kanan serta dan terletak di antara A dan dengan titik terdekat pada A adalah. Tanpa mengurangi keumuman misalkan titik A berada pada 0 dan pada koordinat 0. Karena ada ang berjarak dan 9 maka salah satu berada di atau pada 9 Jika terletak pada Jarak dan 9 Karena harus ada dua titik ang berjarak 4 maka kemungkinan posisi ada di 4, 5 atau 6. Posisi tidak mungkin di 4 sebab akan membuat jarak antara sebarang dua titik adalah, 3, 4, 6, 9, 0. Posisi tidak mungkin di 5 sebab akan membuat jarak antara sebarang dua titik adalah, 4, 5, 9, 0 (tidak ada nilai k) Maka posisi di 6 ang akan membuat jarak dua titik sebarang adalah, 4, 5, 6, 9, 0 k 6 Jika terletak pada 9 Jarak dan A 9 SMA Negeri 5 engkulu Edd Hermanto, ST 36

21 Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 005 agian Pertama Karena harus ada dua titik ang berjarak 4 maka kemungkinan posisi ada di 4, 5 atau 6. Posisi tidak mungkin di 6 sebab akan membuat jarak antara sebarang dua titik adalah, 3, 4, 6, 9, 0. Posisi tidak mungkin di 5 sebab akan membuat jarak antara sebarang dua titik adalah, 4, 5, 9, 0 (tidak ada nilai k) Maka posisi di 4 ang akan membuat jarak dua titik sebarang adalah, 4, 5, 6, 9, 0 k 6 Maka k 6 5. Secara umum untuk kelompok terdiri dari n anggota. Orang ke-k akan menerima surat setelah sedikitna terjadi k telepon. Maka orang terakhir akan menerima surat ang pertama sedikitna setelah terjadi n kiriman surat. Setelah orang ke-n menerima surat berarti sedikitna telah terjadi n kiriman surat. Semua informasi ang didapat oleh orang ke-n akan disebar kepada seluruh orang selain dirina. Sedikitna dibutuhkan n surat. Maka banakna surat minimum ang diperlukan sehingga setiap orang akan mengetahui n informasi adalah (n ) anakna surat ang diperlukan adalah , maka ( )( 5) Maka 5 membagi 05 sehingga 5 ±, ±3, ±5, ±7, ±5, ±, ±35, ±05. Karena 05 merupakan perkalian bilangan ganjil maka semua faktor 05 adalah bilangan ganjil. Karena penjumlahan dua bilangan ganjil adalah bilangan genap ang pasti habis dibagi maka berapa pun faktor positif dan faktor negatif dari 05 akan membuat dan 5 keduana membagi faktor dari 05 tersebut. 05 memiliki 8 faktor positif dan 8 faktor negatif. Maka banakna pasangan bilangan bulat (, ) ang memenuhi adalah Misalkan hasil perkalian semua unsur A p dan penjumlahan semua unsur s, maka p s Himpunan A dapat terdiri dari atau lebih unsur * Andaikan adalah unsur terkecil. Jika A terdiri dari sedikitna 4 unsur Karena bukanlah unsur dari A maka p > 45 (tidak dapat tercapai ps) Jika A terdiri dari 3 unsur Misalkan ketiga unsur A tersebut adalah a, b dan c. Jelas bahwa abc < 45 Kemungkinan unsur-unsur A adalah (,3,4), (,3,5), (,3,6), (,3,7) dan (,4,5) Jika unsur-unsur A adalah (,3,4) maka p 4 dan s (tidak memenuhi ps) Jika unsur-unsur A adalah (,3,5) maka p 30 dan s (tidak memenuhi ps) Jika unsur-unsur A adalah (,3,6) maka p 36 dan s (tidak memenuhi ps) Jika unsur-unsur A adalah (,3,7) maka p 4 dan s (tidak memenuhi ps) Jika unsur-unsur A adalah (,4,5) maka p 40 dan s (tidak memenuhi ps) Maka jika A terdiri dari 3 unsur maka tidak ada ang memenuhi p s. Jika A terdiri dari unsur Misalkan kedua unsur A tersebut adalah a dan b dengan a, b 9. Karena p s maka ab 45 a b sehingga (a )(b ) 46 3 Misalkan a > b maka a 3 dan b. Maka a (tidak memenuhi a 9) SMA Negeri 5 engkulu 37 Edd Hermanto, ST

22 Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 005 agian Pertama Jika A terdiri dari unsur p 9 sedangkan s (tidak mungkin tercapai p s) * Andaikan adalah unsur terkecil Jika A {, 4, 8} dan {, 3, 5, 6, 7, 9} maka : p dan s (terpenuhi p s) Unsur terkecil dari adalah. 8. Misalkan ( )( 3 )( 4 ) ( )( 3 )( 4 ) 3 ( 00 ) 3 ( 00 ) L X 3 k ( k )( k k ) 3 k ( k )( k k ) ( )(3 )(4 ) (00 ) ( )( 3 3 )( 4 4 ) ( ) X L L ( )(3 )(4 ) (00 ) ( )( 3 3 )( 4 4 ) ( ) Perhatikan bahwa n n (n ) (n ). Maka 3 3 ; dan seterusna. 3 L X L0 00 X ( )( 3 )( 4 ) ( 00 ) 3367 L ( )( )( ) ( ) Karena A sama sisi dan S pertengahan A maka S garis tinggi. S A sin60 o ½ 3. engan cara ang sama S ½ 3. Maka S sama kaki. Karena S sama kaki dan T pertengahan maka ST tegak lurus T. ST S T ST 3 ST SMA Negeri 5 engkulu Edd Hermanto, ST 38

23 Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 005 agian Pertama > 3 3 > 3 Mengingat 3 maka : < 3 Jika 3 maka 3 3 kesamaan tidak mungkin terjadi. Jika kurang sedikit dari 3 sehingga kesamaan terjadi. Maka tidak akan lebih besar dari 3. akan menjadi maka 3 3 sehingga akan menjadi SMA Negeri 5 engkulu Edd Hermanto, ST 39

24 SELEKSI OLIMPIAE MATEMATIKA INONESIA 006 TINGKAT PROVINSI TAHUN 005 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL idang Matematika agian Kedua isusun oleh : Edd Hermanto, ST 40

25 Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 005 agian Kedua AGIAN KEUA. Misalkan A adalah segiempat tali busur tersebut dan O adalah pusat lingkaran. Karena lingkaran tersebut juga merupakan lingkaran luar A maka sesuai dalil sinus : A R dengan R menatakan jari-jari lingkaran luar A sin A Karena AO A maka : AO A sin engan cara ang sama didapat : O sin O sin AO A sin AO O O AO 360 o Maka min( AO, O, O, AO) 90 o iketahui bahwa a maks (A,,, A) Karena untuk 0 o 90 o nilai sin naik maka : 90 a maks (A,,, A) sin a Maka nilai minimal a Karena maks( AO, O, O, AO) min( AO, O, O, AO) 90 o maka : AO O O AO 90 o ang berarti A A. Karena AO 90 o sedangkan AO sama kaki maka OA 45 o. engan cara ang sama didapat O 45 o ang berarti segiempat A adalah persegi. Maka nilai a terkecil adalah ang membuat segiempat A adalah persegi. SMA Negeri 5 engkulu Edd Hermanto, ST 4

26 Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 005 agian Kedua. Kemungkinan empat jenis bola ang terambil adalah : Keempat bola tersebut adalah (, 3, 4, 4) Karena ada 4 obek dan terdapat ang sama maka banakna kemungkinan 4!! Semua kemungkinanna adalah (, 3, 4, 4); (, 4, 3, 4); (, 4, 4, 3); (3,, 4, 4); (3, 4,, 4); (3, 4, 4, ); (4,, 3, 4); (4,, 4, 3); (4, 3,, 4); (4, 3, 4, ); (4, 4,, 3); (4, 4, 3, ). Keempat bola tersebut adalah (, 3, 3, 4) 4! anakna kemungkinan! Semua kemungkinanna adalah (, 3, 3, 4); (, 3, 4, 3); (, 4, 3, 3); (3,, 3, 4); (3,, 4, 3); (3, 3,, 4); (3, 3, 4, ); (3, 4,, 3); (3, 4, 3, ); (4,, 3, 3); (4, 3,, 3); (4, 3, 3, ). Keempat bola tersebut adalah (,, 4, 4) 4! anakna kemungkinan 6!! Semua kemungkinanna adalah (,, 4, 4); (, 4,, 4); (, 4, 4, ); (4,,, 4); (4,, 4, ); (4, 4,, ). Keempat bola tersebut adalah (3, 3, 3, 3) 4! anakna kemungkinan 4! Semua kemungkinanna adalah (3, 3, 3, 3) Total banakna kemungkinan adalah 6 3 Hana ada satu cara kemungkinan angka ang muncul selalu 3. Peluang bola ang terambil selalu bernomor 3 adalah 3 3. ari 3 0 serta A 3 0 didapat A, 0, dan α β γ 0 A αβ αγ βγ A αβγ A β α α β () γ γ 3 ( 0) ( ) 3( ) ( 0) ( ) ( ) 7 α β γ 7 α β γ ( α )( β )( γ ) ( β )( α )( γ ) ( γ )( α )( γ ) ( α )( β )( γ ) 3 ( α β γ ) ( αβ αγ βγ ) 3αβγ ( α β γ ) ( αβ αγ βγ ) αβγ SMA Negeri 5 engkulu Edd Hermanto, ST 4

27 Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 005 agian Kedua 4. b c a () Luas A ½ab a b c, maka ab (a b c) () Karena a, b dan c adalah bilangan bulat maka sekurang-kurangna salah satu di antara a atau b adalah kelipatan. Jika a k dengan k bilangan asli maka : k k c 4k (k c 4k (k c 4k c) c 4k c) ( k ) c 4k c k ( k ) ( c k )( c k ) ( c k ) ( k ) ( c k ) ( c k ) ( k ) ( c k ) c k 4k ( c k )( k k ) 4k Karena k 0 maka ( c k )( k ) 4 (3) Karena c, k bilangan asli maka (k ) pasti membagi 4 dan karena c > k maka (k ) > 0 Nilai k ang memenuhi adalah 3; 4; 6 Untuk k 3 maka a 6 sehingga c 0 dan b 8 (4) Untuk k 4 maka a 8 sehingga c 0 dan b 6 (5) Untuk k 6 maka a sehingga c 3 dan b 5 (6) Karena a dan b simetris maka jika b k akan didapat Untuk k 3 maka b 6 sehingga c 0 dan a 8 (7) Untuk k 4 maka b 8 sehingga c 0 dan a 6 (8) Untuk k 6 maka b sehingga c 3 dan a 5 (9) Tripel (a, b, c) ang memenuhi a b c adalah (6, 8, 0) dan (5,, 3). Setelah dicek ke persamaan a b c ½ab maka kedua tripel ini memenuhi. Maka tripel (a, b, c) ang memenuhi adalah (6, 8, 0) dan (5,, 3) 5. Karena A dan masing-masing beranggotakan bilangan asli berurutan sedangkan A {005} maka 005 adalah anggota terbesar dari A dan anggota terkecil dari. A {,,,, 005) dan {005, 006,,, } A {,,,, } Maka unsur ang terbesar dari A adalah. L L Karena bilangan asli maka terkecil sehingga maksimum Unsur terbesar ang mungkin dari A adalah SMA Negeri 5 engkulu Edd Hermanto, ST 43

28 SELEKSI TIM OLIMPIAE MATEMATIKA INONESIA 006 OLIMPIAE SAINS NASIONAL 005 JAKARTA, 4 9 SEPTEMER 005 idang Matematika Hari Pertama Waktu : 80 Menit EPARTEMEN PENIIKAN NASIONAL IREKTORAT JENERAL PENIIKAN ASAR AN MENENGAH IREKTORAT PENIIKAN MENENGAH UMUM TAHUN

29 OLIMPIAE SAINS NASIONAL SEPTEMER 005 JAKARTA IANG : MATEMATIKA HARI PERTAMA WAKTU : 80 MENIT. Misalkan n bilangan bulat positif. Tentukan banakna segitiga (tidak saling kongruen) ang panjang setiap sisina adalah bilangan bulat dan panjang sisi terpanjangna adalah n.. Untuk sebarang bilangan asli n, didefinisikan p(n) sebagai hasil kali digit-digit n (dalam representasi basis 0). Tentukan semua bilangan asli n sehingga p(n) n Misalkan k dan m bilangan-bilangan asli sehingga k 4 m k a. uktikan bahwa k bilangan rasional b. uktikan bahwa k bilangan asli adalah bilangan bulat. 4. Misalkan M suatu titik di dalam segitiga A sedemikian rupa hingga AM 90 o, AM 50 o dan M 0 o. Titik pusat lingkaran luar dari segitiga-segitiga AM, AM dan M berturutturut adalah P, Q dan R. uktikan bahwa luas segitiga PQR lebih besar dari luas segitiga A. 45

30 SELEKSI TIM OLIMPIAE MATEMATIKA INONESIA 006 OLIMPIAE SAINS NASIONAL 005 JAKARTA, 4 9 SEPTEMER 005 idang Matematika Hari Kedua Waktu : 80 Menit EPARTEMEN PENIIKAN NASIONAL IREKTORAT JENERAL PENIIKAN ASAR AN MENENGAH IREKTORAT PENIIKAN MENENGAH UMUM TAHUN

31 OLIMPIAE SAINS NASIONAL SEPTEMER 005 JAKARTA IANG : MATEMATIKA HARI KEUA WAKTU : 80 MENIT 5. Untuk sebarang bilangan real, notasi menatakan bilangan bulat terbesar ang lebih kecil atau sama dengan. uktikan bahwa ada tepat satu bilangan bulat m ang memenuhi persamaan m m Tentukan semua tripel bilangan bulat (,, z) ang memenuhi sistem persamaan ( z) z (z ) z z( ) 7. Misalkan A sebuah segiempat konveks. Persegi A A dibuat sehingga kedua titik A, terletak di luar segiempat A. engan cara serupa diperoleh persegi-persegi, dan A A. Misalkan K adalah titik potong AA dengan, L adalah titik potong dengan, M adalah titik Potong dengan, dan N adalah titik potong dengan AA. uktikan bahwa KM tegak lurus LN. 8. Sebuah kompetisi matematika diikuti oleh 90 peserta. Setiap peserta berkenalan dengan paling sedikit 60 peserta lainna. Salah seorang peserta, Amin, menatakan bahwa setidakna terdapat empat orang peserta ang banak teman baruna sama. Periksa kebenaran pernataan Amin. 47

32 SELEKSI TIM OLIMPIAE MATEMATIKA INONESIA 006 OLIMPIAE SAINS NASIONAL 005 JAKARTA, 4 9 SEPTEMER 005 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL idang Matematika isusun oleh : Edd Hermanto, ST 48

33 Solusi Olimpiade Sains Nasional 005 idang : Matematika. Misalkan panjang sisi-sisi segitiga adalah a, b dan c dengan a adalah sisi terpanjang, maka a n Karena panjang salah satu sisi segitiga selalu kurang dari jumlah kedua sisi ang lain dan karena b n dan c n maka a < b c maka b c n, n, n 3,, n. Jika c k untuk k bilangan asli maka b n k i untuk suatu nilai i,, 3,, k. Jika k maka nilai (b, c) ada aitu (n, ) Jika k maka nilai (b, c) ada aitu (n, ) dan (n, ) Jika k 3 maka nilai (b, c) ada 3 aitu (n, 3), (n, 3) dan (n, 3). Jika k 4 maka nilai (b, c) ada 4 aitu (n 3, 4), (n, 4), (n, 4) dan (n, 4). M Jika k n maka nilai (b, c) ada n aitu (, n ), (3, n ), (4, n ),, (n, n ) Jika k n maka nilai (b, c) ada n aitu (, n), (, n), (3, n),, (n, n) anakna seluruh segitiga adalah 3 n ½n(n ) Tetapi segitiga-segitiga sama kaki dengan sisi-sisi a n, b k untuk k < n dan c n kongruen dengan segitiga-segitiga sama kaki dengan sisi-sisi a n, b n dan c k untuk k < n. Segitiga-segitiga ang seperti itu banakna ada n ang terhitung dua kali di dalam perhitungan ½n(n ). Perlu diingat pula bahwa segitiga-segitiga ang bukan sama kaki dengan a n, b n p dan c p r n tidak kongruen dengan segitiga-segitiga ang panjang sisina a n, b p r n dan c n p walaupun ketiga sisina sama. Maka jumlah segitiga ang dicari ½n(n ) (n ) n n anakna segitiga. Alternatif : Akan ditunjukkan bahwa untuk setiap n bilangan asli maka p(n) n Misalkan n 0 k a k 0 k- a k- 0a a o dengan a, a,, a k {0,,,, 9} Karena a 0 maks a maks a maks a k- maks 9 maka p(n) a o a a a k 9 k a k 0 k a k n Maka n 005 p(n) n 84 n 45 4 n 50 () Selain itu n 005 p(n) 0 n 45 () ari () dan () didapat n 45, 46, 47, 48, 49 atau 50 engan menguji ke persamaan n 005 p(n) didapat hana n 49 ang memenuhi. Nilai n ang memenuhi hana n 49 Alternatif : Jika n terdiri dari k digit dengan k 4 n merupakan bilangan dengan sedikitna k digit. Maka n 005 merupakan bilangan dengan sedikitna k digit. p(n) < 0 k. Maka p(n) merupakan bilangan dengan sebanak-banakna terdiri dari k digit. Untuk k 4 maka k k 4 sehingga k k maka k > k sehingga tidak ada ang memenuhi p(n) n 005 SMA Negeri 5 engkulu Edd Hermanto, ST 49

34 Solusi Olimpiade Sains Nasional 005 idang : Matematika Jika n terdiri dari 3 digit Jika angka ratusan n lebih dari maka n p(n) < n 005 (tanda kesamaan tidak akan terjadi) Jika angka ratusan n sama dengan maka n p(n) 9 89 < n 005 (tanda kesamaan tidak akan terjadi) Jika n terdiri dari digit Misalkan n 0a b n tidak mungkin genap sebab ruas kanan akan ganjil sedangkan ruas kiri genap. Karena n ganjil dan 005 (mod 4) maka n (mod 4) Akibatna salah satu a atau b habis dibagi 4. Karena n ganjil maka a 4 atau 8. n 0,, 4 (mod 8) (mod 8) Ruas kanan tidak habis dibagi 8, maka a 4 ab (0a b) b b b 005 b 36b Maka (b 9)(b 45) 0 sehingga b 9 ilangan tersebut adalah n 49 Jika n terdiri dari digit Ruas kanan akan bernilai negatif (tidak memenuhi) Nilai n ang memenuhi hana n Alternatif : Perhatikan bahwa k 4 m k a. Misalkan k m k 4 n n n k m 0, maka m n n k Karena m bilangan asli maka n 0 m 4 n 3 n k kn 4 k m n n kn 3 merupakan akar persamaan k m 0. adalah akar bulat dari k m 0 maka : Karena m dan k adalah bilangan asli dan n bilangan bulat tak nol maka bilangan rasional (terbukti). p b. Misalkan k untuk suatu bilangan asli p dan q dengan FP(p, q). q p k. Karena FP(p, q) maka FP(p, q ) q Karena k adalah bilangan asli maka q. k p, maka Terbukti bahwa k p dengan p bilangan asli. k adalah bilangan asli. k merupakan SMA Negeri 5 engkulu Edd Hermanto, ST 50

35 Solusi Olimpiade Sains Nasional 005 idang : Matematika Alternatif : a. Karena k 4 m k bulat dan m asli maka asli p. ( p ) k 4 m k 4 m p p k Karena m asli maka tidak mungkin p m p 4p k 4p k 6m p 4 4p 4p 3 k 3 k k 4 m k p untuk bilangan Karena m dan k asli sedangkan p bulat tak nol maka k merupakan bilangan rasional (terbukti). p b. Misalkan k untuk suatu bilangan asli p dan q dengan FP(p, q). q p k. Karena FP(p, q) maka FP(p, q ) q Karena k adalah bilangan asli maka q. k p, maka Terbukti bahwa k p dengan p bilangan asli. k adalah bilangan asli. 4. Perhatikan gambar berikut Misalkan A c, a, A b, A α, A β dan A γ iketahui bahwa AM 90 o, AM 50 o dan M 0 o Misalkan juga notasi [ ] menatakan luas suatu segitiga. [A] ½ ab sin γ SMA Negeri 5 engkulu Edd Hermanto, ST 5

36 Solusi Olimpiade Sains Nasional 005 idang : Matematika Karena AM 90 o sedangkan P pusat lingkaran luar AM maka P adalah pertengahan A. Karena P, Q dan R pusat lingkaran dan AM, M serta M adalah tali busur persekutuan dua lingkaran maka PR M, PQ AM dan QR M. Karena AM 90 o sedangkan PR M serta PQ AM maka RPQ 90 o. Karena M 0 o sedangkan PR M serta QR M maka PRQ 60 o. PQR 80 o 90 o 60 o 30 o Karena PR tegak lurus M dan R RM maka RP PRM θ Karena RQ M dan RM R maka MRQ QR φ sehingga PRM MRQ θ φ 60 o R (θ φ) 0 o Karena R R sedangkan R 0 o maka R 30 o Misalkan R adalah jari-jari lingkaran luar M a R sin M a R R 3 Pada PR berlaku : PR PR b a b a cos ( γ 30 ) 3 3 b a ab cos γ cos 30 sin γ sin b a ab a PR a c [ A ] PR 4 3 PQ PR tan 60 o PR 3 [PQR] ½ PQ PR 3 a c [ PQR ] 4 ( ) b c ab [ A ] 3 3 [ ] [ ] 3 a [ A ] PQR A c 8 3 engan ketaksamaan AM-GM didapat : [ ] [ ] 3 a [ A ] PQR A c 8 3 ac [ ] [ ] [ A ] ac ac PQR A [ A ] ab sin β ac [ PQR ] [ A ] ( sin β ) > 0 sebab β 90 o 4 [ PQR ] > [A ] Terbukti bahwa luas segitiga PQR lebih besar dari luas segitiga A. SMA Negeri 5 engkulu Edd Hermanto, ST 5

37 Solusi Olimpiade Sains Nasional 005 idang : Matematika 5. Alternatif : m m m, maka m m m < m m 005 < 005(m 005) m 005 < 004m < 004m < m < m 006 Nilai m ang memenuhi hana m 006 Jika m 006 diuji ke persamaan semula maka ini akan memenuhi. m Terbukti bahwa m mempunai tepat satu penelesaian. Alternatif : ilangan bulat dapat dibuat ke bentuk m 005k n untuk k bulat dan n {0,,,, 004}. m k n m, maka 005 k n Karena 0 n < 004 maka 005k n k k n 005 Karena 0 n < 004 maka 004k > 0 sehingga k > 0 Karena 0 n < 004 maka 004k < k, maka k 004 () n 005, maka n Karena nilai k ang memenuhi hana ada maka kemungkinan nilai m ang memenuhi juga hana ada aitu m Jika m 006 diuji ke persamaan semula maka ini akan memenuhi. m Terbukti bahwa m mempunai tepat satu penelesaian 6. ( z) z () (z ) z () z( ) (3) Kurangkan () dengan (), z( ) ( )( ), maka ( )( z) 0 (4) Kurangkan () dengan (3), ( z) z ( z)(z ), maka ( z)( z) 0 (5) Kurangkan () dengan (3), ( z) z ( z)(z ), maka ( z)( z) 0 (6) Kasus I : z 0 Subtitusikan ke persamaan (), () atau (3) () z, maka z SMA Negeri 5 engkulu Edd Hermanto, ST 53

38 Solusi Olimpiade Sains Nasional 005 idang : Matematika Maka penelesaianna adalah ; dan z 0 serta permutasina. Tripel (,, z) ang memenuhi adalah (,, z) (,, 0), (, 0, ), (,, 0), (, 0, ), (0,, ) dan (0,, ) Kasus II : z 0 erdasarkan persamaan (4), (5) dan (6) maka z Subtitusikan ke persamaan () didapat, maka tidak ada nilai (,, z) ang memenuhi. (,, z) (,, 0), (, 0, ), (,, 0), (, 0, ), (0,, ) dan (0,, ) 7. Alternatif : Akan dibutikan bahwa pada segiempat konveks PQRS berlaku PQ RS QR hana jika PR tegak lurus QS. PS jika dan * Jika PR tegak lurus QS atau α 90 o. PQ RS (PO OQ ) (OR OS) (PO OS ) (OR OQ ) PQ RS PS QR * Jika PQ RS QR PS engan dalil cosinus didapat : PQ RS QR PS OP OQ OP OQ cos α OR OS OR OS cos α OQ OR OQ OR cos (80 o α) OP OS OP OS cos (80 o α) ( OQ OR OP OS OP OQ OR OS) cos α 0 α 90 o Terbukti bahwa pada segiempat konveks PQRS berlaku PQ RS QR PS jika dan hana jika PR tegak lurus QS. Perhatikan KAN. SMA Negeri 5 engkulu Edd Hermanto, ST 54

39 Solusi Olimpiade Sains Nasional 005 idang : Matematika AA dan AA keduana diagonal bidang persegi maka KA KA NA NA 45 o. engan dalil cosinus didapat : KN AK AN AK AN cos KAN. Jika A 90 o maka KAN 70 o A dan jika A < 90 o maka KAN 90 o A Akibatna cos KAN akan tetap bernilai sin A. KN AK AN AK AN sin A. KN A A A A sin A engan mengingat luas A [A] ½ A A sin A maka KN ½A ½A [A] engan cara ang sama untuk KL, LM dan MN didapat : KL ½A ½ [A] LM ½ ½ [] MN ½ ½A [A] Sehingga mengingat [A] [] [A] [A] maka KN LM KL MN Mengingat pembuktian ang telah dibuat di awal maka KM tegak lurus LN (terbukti) Alternatif : Jika titik (, ) dirotasi sebesar θ berlawanan arah jarum jam dengan titik pusat (a, b) sehingga diperoleh baangan (, ) maka berlaku : a ( a) cos θ ( b) sin θ () b ( a) sin θ ( b) cos θ () Pembuktian persamaan di atas dapat dilihat di uku Matematika SMA ab Transformasi Geometri. Misalkan koordinat P(, ) dan Q(, ). Karena PQRS adalah persegi maka koordinat titik S didapat dengan merotasi titik Q sejauh 90 o berlawanan arah jarum jam dengan pusat di P. Maka koordinat S(, ) Karena T adalah pertengahan S dan Q maka koordinat T,. SMA Negeri 5 engkulu Edd Hermanto, ST 55

40 Solusi Olimpiade Sains Nasional 005 idang : Matematika SMA Negeri 5 engkulu Edd Hermanto, ST Tanpa mengurangi keumuman soal misalkan titik A terletak pada (0,0) sedangkan koordinat (, ), (, ) dan (, ). ari penjelasan sebelumna didapat koordinat K,, L,, M, dan N,. j i KM ˆ ˆ j i LN ˆ ˆ ( )( ) ( )( LN KM 4 4 ) Mengingat (a b)(a b) a b maka : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) LN KM Karena 0 LN KM maka KM tegak lurus LN (terbukti) 8. Misalkan k i adalah banakna kenalan peserta i dan K 90 i i k adalah penjumlahan banakna kenalan masing-masing peserta. Jika peserta A berkenalan dengan maka banakna kenalan A bertambah begitu juga dengan. Jelas bahwa K akan bernilai genap. Andaikan bahwa paling banak tiga orang siswa akan memiliki jumlah kenalan sama banakna. Karena k i 60 maka k i {60, 6, 6, 63,, 89}. anakna kemungkinan nilai k i ada 30. Karena 90/3 30 maka terdapat tepat masing-masing 3 peserta memiliki kenalan sebanak 60 orang, 6 orang, 6 orang,, 89 orang. Maka K i antara 60, 6, 6, 63,, 89 terdapat 5 bilangan ganjil dan 5 bilangan genap. Mengingat bahwa penjumlahan sejumlah ganjil dari bilangan ganjil menghasilkan bilangan ganjil maka : K merupakan bilangan ganjil (kontradiksi dengan kenatan semula bahwa K bernilai genap). Maka pengandaian bahwa paling banak tiga orang siswa akan memiliki jumlah kenalan sama banakna tidak terbukti. Terbukti bahwa setidakna terdapat 4 peserta ang banak kenalanna sama. 56