PELABELAN HARMONIS GANJIL PADA GABUNGAN GRAF ULAR DAN GRAF ULAR BERLIPAT

PROSIDING ISSN: 50-656 PELABELAN HARMONIS GANJIL PADA GABUNGAN GRAF ULAR DAN GRAF ULAR BERLIPAT Fery Frmansah Prod Penddkan Matematka FKIP Unverstas Wdya Dharma Klaten, 5738 Emal :eryrmansah@unwdhaacd Gra G V G, EG busur dsebut sebaga gra Gra V : V G 0,,,,q ungs : EG,3,5,, q uv u v ungs G Abstrak adalah hmpunan smpul ka memlk p V G E G smpul adalah hmpunan q E G busur dsebut sebaga gra harmons ganl ka terdapat ungs yang bersat nekt sedemkan sehngga mengnduks suatu yang bersat bekt, yang ddenskan oleh G ( p, Gra ular dsebut sebaga ungs pelabelan harmons ganl dar gra ttk potong blok berupa lntasan setap kc berlpat C r hmpunan smpul, v, v u adalah gra terhubung adalah gabungan dua gra ular r 0,, w,, wr, w, w,, wr k k blok yang memlk blok somork gra lngkaran adalah gra yang dbentuk dar gra lngkaran C Gra Gra lngkaran C u menambahkan smpul baru w yang terhubung smpul u 0 u Gra ular berlpat r r adalah gra terhubung k blok yang memlk ttk potong blok berupa lntasan setap k blok somork gra lngkaran berlpat r Pada makalah n akan dberkan pelabelan harmons ganl pada gabungan gra ular kc kc gra ular berlpat r sedemkan sehngga gabungan gra ular kc kc gra ular berlpat adalah gra harmons ganl r r C r r Kata Kunc: gabungan gra ular;gra ular berlpat; pelabelan harmons ganl; gra harmons ganl PENDAHULUAN Teor gra merupakan salah satu cabang lmu matematka yang berkembang sangat pesat bak dalam teor maupun aplkas Dantara sekan banyaknya topk peneltan teor gra terdapat topk peneltan tentang pelabelan gra yang dperkenalkan oleh Sedlacek pada tahun 963 Sampa tahun 05 telah dtemukan banyak hasl rset dar pelabelan gra yang dkumpulkan serta dperbaharu secara teratur oleh Gallan Dar ss aplkas pelabelan gra dapat daplkaskan dalam berbaga bg kelmuan Konerens Nasonal Peneltan Matematka Pembelaarannya (KNPMP I) 809 Unverstas Muhammadyah Surakarta, Maret 06

PROSIDING ISSN: 50-656 taranya teor kodng, radar, astronom, desan srkut, manaemen data base krptogra (Gallan, 05) Pelabelan harmons ganl dperkenalkan pertama kal oleh Lang Ba pada tahun 009 Pada makalah n pembahasan dbatas untuk gra sederhana, berhngga tdak berarah Gra G V G, EG adalah hmpunan smpul G gra ka memlk E adalah hmpunan busur dsebut sebaga p V G smpul EG V G q busur Gra dsebut sebaga gra harmons ganl ka terdapat ungs : V G 0,,,,q yang bersat nekt sedemkan sehngga mengnduks suatu ungs : EG,3,5,, q yang ddenskan oleh uv u v yang bersat bekt, ungs dsebut sebaga ungs pelabelan harmons ganl dar gra (Lang Ba, 009) Lang Ba (009) telah menunukkan sat-sat gra yang mempunya pelabelan harmons ganl taranya ka adalah gra harmons ganl maka G adalah gra bpartt ka gra adalah gra G harmons ganl maka q p q Dalam makalah yang samalang Ba (009) uga telah membuktkan bahwa gra lngkaran harmons ganl ka hanya ka n 0mod C n adalah gra, gra komplt adalah gra harmons ganl ka hanya ka n, gra komplt k-partt K n, n, n k adalah gra harmons ganl ka hanya ka k, gra kncr angn adalah gra harmons ganl ka hanya ka n Vadya Shah (0) membuktkan bahwa gra shadow gra splt dar gra lntasan adalah gra harmons ganl t K n P n gra bntang Saputr, Sugeng Froncek (03) membuktkan bahwa gra dumbel n k 0 mod k mod K, n 0 mod n n gra C n D, k,, adalah gra harmons ganl, gra hanya ka n 0mod n m K,n K n C P adalah gra harmons ganl ka Abdel-Aal (0) membuktkan bahwa gra yang dbentuk dar dua copy gra lngkaran genap satu busur persekutuan, dua copy gra lngkaran n 0 mod satu smpul persekutuan adalah gra harmons ganl Frmansah Sugeng (05) k membuktkan bahwa gra kncr angn belanda C C n C n, k k gabungan gra kncr angn belanda C C adalah gra harmons ganl Alyan, Frmansah, Gyart Sugeng (03) membuktkan bahwa gra ular kc, gra ular kc8 gra gelang C,k adalah gra harmons ganl Pada makalah n penuls melanutkan peneltan tersebut untuk gabungan gra ular kc kc r r akan k gra ular berlpat Konerens Nasonal Peneltan Matematka Pembelaarannya (KNPMP I) 80 Unverstas Muhammadyah Surakarta, Maret 06

PROSIDING ISSN: 50-656 dtunukan bahwa gabungan gra ular kc kc gra ular berlpat memenuh ungs pelabelan harmons ganl sedemkan sehngga gabungan gra ular kc kc gra ular berlpat r r adalah gra harmons ganl METODE PENELITIAN Metode peneltan yang dgunakan adalah stud lteratur mempelaar makalah lmah buku-buku yang berkatan topk peneltan Selanutnya hasl stud lteratur tersebut dgunakan sebaga landasan teor untuk mendapatkan pelabelan harmons ganl pada gabungan r r r r gra ular kc kc gra ular berlpat Berkut dberkan langkah-langkah yang dlakukan Melakukan kaan analsauntuk memaham dens pelabelan harmons ganl beserta sat-satnya Membuat dens, notas smpul kontruks dar gabungan gra ular kc gra ular berlpat 3 Mendenskanungs pelabelan smpul pelabelan busur pada gabungan gra ular kc kc gra ular berlpat Membuat teoremapelabelan harmons ganlpada gabungan gra ular kc gra ular berlpat r 5 Melakukan pembuktan teorema yang dperoleh secara matemats r r r 3 HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN a Dens kontruks dar gabungan gra ular Berkut dberkan dens dar gra ular gabungan gra ular kc kc hmpunan smpul hmpunan busur dar gra ular gabungan gra ular kc kc r r Selanutnya ddenskan Dens Gra ular kc adalah gra terhubung k blok yang memlk ttk potong blok (block-cut pont) berupa lntasan setap k blok somork gra lngkaran C (Gallan, 05) Dens Gra kc kc adalah gabungan dua gra ular kc Notas smpul kontruks dar gabungan gra ular kc kc dberkan pada Gambar sebaga berkut Konerens Nasonal Peneltan Matematka Pembelaarannya (KNPMP I) 8 Unverstas Muhammadyah Surakarta, Maret 06

PROSIDING ISSN: 50-656 v v v k u 0 u u u k v y v y v k y k x 0 x x x k y y kc Gambar Notas smpul kontruks dar gabungan gra ular kc Berdasarkan notas smpul kontruks pada Gambar ddenskan hmpunan smpul hmpunan busur dar gabungan gra ular kc kc adalah V kc kc u 0 k v k,, E x 0 ky k,, kc kc u v 0 k,, v u k,, x y 0 k,, y x k,, b Dens kontruks dar gra ular berlpat Berkut dberkan dens dar gra lngkaran berlpat gra ular berlpat r r r Konerens Nasonal Peneltan Matematka Pembelaarannya (KNPMP I) 8 Unverstas Muhammadyah Surakarta, Maret 06 y k C r Selanutnya ddenskan hmpunan smpul hmpunan busur dar gra lngkaran berlpat C r gra ular berlpat r r r Dens 3 Gra lngkaran berlpat dbentuk dar gra lngkaran menambahkan smpul baru w smpul u 0 u C r r adalah gra yang C hmpunan smpul, w,, wr, w, w,, wr u, v, v u 0, yang terhubung Dens Gra ular berlpat r r adalah gra terhubung k blok yang memlk ttk potong blok berupa lntasan setap k blok somork gra lngkaran berlpat C r r Notas smpul kontruks dar gra lngkaran C, gra lngkaran berlpat C r r gra ular berlpat r r dberkan pada Gambar sebaga berkut

PROSIDING ISSN: 50-656,, k, w, w, w w k, v v v v k u0 u u 0 u u u k v v v v k v w, w, w w k, u 0 u v C C ( r ),, kc ( r ) k, Gambar Notas smpul kontruks dar gra lngkaran, gra lngkaran berlpat C r gra ular berlpat r Berdasarkan notas smpul kontruks pada Gambar ddenskan hmpunan smpul hmpunan busur dar gra ular berlpat r adalah V kc r u 0 k v k,, E r r, w s k, s r,, u v 0 k,, v u k,,, u ws 0 k, s r,,, w u k, s r,, kc r s C r c Pelabelan harmons ganl pada gabungan gra ular Berkut dberkan sat yang menyatakan bahwa gabungan gra ular kc adalah gra harmons ganl, selanutnya dberkan beberapa contoh untuk memperelas sat tersebut Teorema Gra ular kc adalah gra harmons ganl (Alyan, Frmansah, Gyart Sugeng, 03) TeoremaGabungan gra ular kc kc adalah gra harmons ganl Konerens Nasonal Peneltan Matematka Pembelaarannya (KNPMP I) 83 Unverstas Muhammadyah Surakarta, Maret 06

PROSIDING ISSN: 50-656 Bukt Msalkan kc kc adalah gabungan gra ular Hmpunan smpul hmpunan busur dar kc kc adalah V kc kc u 0 k v k,, E x 0 ky k,, kc kc u v 0 k,, v u k,, x y 0 k,, y x k, maka p VkC kc 6k q EkC kc 8k Denskan ungs pelabelan smpul V kc kc 0,,,3,, 6k sebaga berkut : u, 0 k v 5, k,, x, 0 k y 8k 7, k,, Fungs pelabelan smpul : EkC kc,3,5,7,, 6k uv u v : akan mengnduks pelabelan busur yang ddenskanoleh berkut : u v, sehngga ddapatkan ungs pelabelan busur sebaga 8,0 k,, v u 8 5, k,, x y 8k 8,0 k,, y x 8k 8 5, k,, Dapat dtunukkan bahwa ungs memenuh pemetaan nekt sedemkan sehngga mengnduks ungs yang bekt Akbatnya gabungan gra ular kc adalah gra harmons ganl Contoh Pada Gambar 3 Gambar dberkan contoh pelabelan harmons ganl pada gabungan gra ular C C gabungan gra ular 5C 5C Konerens Nasonal Peneltan Matematka Pembelaarannya (KNPMP I) 8 Unverstas Muhammadyah Surakarta, Maret 06

PROSIDING ISSN: 50-656 0 5 8 9 3 6 3 7 5 3 6 35 0 39 3 8 33 37 5 C C Gambar 3 Pelabelan harmons ganl pada gabungan gra ular C C 0 5 8 9 3 6 7 0 3 7 5 9 39 6 3 0 7 5 8 55 5 9 53 57 5C C 5 Gambar Pelabelan harmons ganl pada gabungan gra ular 5C 5C d Pelabelan harmons ganl pada gra ular berlpat Berkut dberkan sat yang menyatakan bahwa gra ular berlpat r adalah gra harmons ganl, selanutnya dberkan beberapa contoh untuk memperelas sat tersebut r Teorema3Gra ular berlpat harmons ganl r r adalah gra r Bukt Msalkan adalah gra ular berlpat Hmpunan smpul hmpunan busur dar adalah V kc r u 0 k v k,, E maka r, w s k, s r,, u v 0 k,, v u k,,, u ws 0 k, s r,,, w u k, s r,, kc r s r r p VkC r rk k q EkC r rk k : V kc r 0,,,3,,8rk 8k Denskan ungs pelabelan smpul sebaga berkut: Konerens Nasonal Peneltan Matematka Pembelaarannya (KNPMP I) 85 Unverstas Muhammadyah Surakarta, Maret 06

PROSIDING ISSN: 50-656 u, 0 k v 5, k,,, w 8sk 5, k, s r,, s Fungs pelabelan smpul akan mengnduks pelabelan busur : EkC r,3,5,7,,8rk 8k uv u v yang ddenskanoleh berkut : u v, sehngga ddapatkan ungs pelabelan busur sebaga 8,0 k,, v u 8 5, k,,, u ws 8sk 8,0 k, s r,,, w u 8sk 8 5, k, s r,, s Dapat dtunukkan bahwa ungs memenuh pemetaan nekt sedemkan sehngga mengnduks ungs yang bekt Akbatnya gra ular berlpat adalah gra harmons ganl Contoh Pada Gambar 5 Gambar 6 dberkan contoh pelabelan harmons ganl dar gra ular berlpat C 3 r 97 0 r 05 C gra ular berlpat 6 09 3 5 7 9 53 57 6 65 69 5 9 3 7 0 8 6 0 3 7 5 9 3 5 55 59 63 67 7 99 03 07 5 Gambar 5 Pelabelan harmons ganl pada gra ular berlpat 6 C 9 Konerens Nasonal Peneltan Matematka Pembelaarannya (KNPMP I) 86 Unverstas Muhammadyah Surakarta, Maret 06

PROSIDING ISSN: 50-656 5 9 33 37 8 85 89 93 97 5 9 53 57 5 9 3 7 0 8 6 0 3 7 5 9 3 7 5 55 59 83 87 9 95 99 3 7 3 35 39 Gambar 6 Pelabelan harmons ganl pada gra ular berlpat 5C SIMPULAN Pada makalah n telah dkonstrukskan pelabelan harmons ganl untukgabungan gra ular kc kc gra ular berlpat r sedemkan sehngga gabungan gra ular kc gra ular berlpat r adalah gra harmons ganl Saat n penuls seg memperluas kasus tersebut untuk kelas gra yang lan yatu gabungan gra ular berlpat kc r kc r Lebh lanut karena pelabelan harmons ganl mash relat baru maka tdak menutup kemungknan peneltan n dlanutkan untuk mendapatkan pelabelan harmons ganl pada kelas gra yang lan r r 3 r 5 DAFTAR PUSTAKA Abdel-Aal, M E (0) New Famles o Odd Harmonous Graphs Internatonal Journal o Sot Computng, Mathematcs and Control,3(), -3 Dakses dar http://wrellacom/ns/maths/papers/3scmc0pd Alyan, F, Frmansah, F, Gyart, W, Sugeng, K A (03) The Odd Harmonous Labelng o kcn-snake Graphs or Spesc Values o n, that s, or n = and n = 8 IndoMS Internatonal Conerence on Mathemathcs and Its Applcatons, UGM, 6-7 November 03(hal 5-30) Yogyakarta: Indonesan Mathematcal Socety Dakses dar http://ndomsorg/le/download/prosdng/proceedngiicma03pd Konerens Nasonal Peneltan Matematka Pembelaarannya (KNPMP I) 87 Unverstas Muhammadyah Surakarta, Maret 06

PROSIDING ISSN: 50-656 Frmansah, F, Sugeng, K A (05) Pelabelan Harmons Ganl pada Gra Kncr Angn Belanda Gabungan Gra Kncr Angn Belanda Magstra, No 9 Th XXVII, ISSN 05-95, 56-9 Gallan, J A (05) A Dynamc Survey o Graph LabelngThe Electronc Journal o Combnatorcs, 8 #DS6 Dakses dar http://wwwcombnatorcsorg/os/ndexphp/elc/artcle/vewfle/ds6/ pd Lang, Z,Ba, Z (009) On The Odd Harmonous Graphs wth Applcatons, J Appl Math Comput,9, 05-6 do:0007/s90-008-00-0 Saputr, G A, Sugeng, K A, Froncek, D (03) The Odd Harmonous Labelng o Dumbbell and Generalzed Prms Graphs, AKCE Int, J Graphs Comb, 0(), -8Dakses dar http://wwwakceournalorg/contents/vol0no/pd%0mages/vol0no -0pd Vadya, S K, Shah, NH (0) Some New Odd Harmonous GraphsInternatonal Journal o Mathematcs and Sot Computng, (), 9-6 Dakses dar http://msccom/ndexphp/msc/artcle/download/0/pd Konerens Nasonal Peneltan Matematka Pembelaarannya (KNPMP I) 88 Unverstas Muhammadyah Surakarta, Maret 06