I PENDAHULUAN 1 Latar belakag Model pertumbuha Solow-Swa (the Solow-Swa growth model) atau disebut juga model eoklasik (the eo-classical model) pertama kali dikembagka pada tahu 195 oleh Robert Solow da Trevor Swa da secara aalitis merupaka model pertumbuha pertama yag diterima sebagai model pertumbuha jagka pajag (log-ru growth model) Model ii megasumsika bahwa egara-egara megguaka sumberdayaya secara efisie da terdapat imbal hasil yag selalu berkurag (dimiishig returs) terhadap peigkata modal da teaga kerja Dari dua asumsi ii terdapat tiga prediksi petig Pertama peigkata modal per teaga kerja meciptaka pertumbuha ekoomi selama masyarakat dapat terus memberika modal secara produktif Kedua egara-egara miski dega tigkat modal per kapita yag redah aka tumbuh lebih cepat karea setiap ivestasi dari modal aka meghasilka imbal hasil yag lebih tiggi dibadigka egara-egara yag memiliki modal lebih besar Ketiga dikareaka adaya dimiishig returs terhadap modal tigkat ekoomi aka mecapai suatu keadaa di maa peigkata modal baru tidak aka meyebabka pertumbuha ekoomi Keadaa ii disebut dega keadaa tuak (steady state) Selama berpuluh-puluh tahu model pertumbuha Solow-Swa diguaka utuk memprediksi pertumbuha ekoomi suatu egara karea model ii meujukka bagaimaa tabuga pertumbuha populasi da kemajua tekologi mempegaruhi tigkat output perekoomia serta pertumbuhaya sepajag waktu Pegguaa model pertumbuha Solow- Swa selama ii diberlakuka dega asumsi tigkat pertumbuha populasi adalah kosta sepajag waktu Peelitia ii dimaksudka utuk meetuka perilaku model ii pada output perekoomia suatu egara jika asumsi yag diguaka pada tigkat pertumbuha populasi adalah tak-kosta atau terbatas pada suatu titik sepajag waktu Tujua Peulisa karya ilmiah ii bertujua utuk mempelajari pegaruh model Solow-Swa dalam suatu sistem perekoomia yag memiliki tigkat pertumbuha populasi terbatas berkaita dega pedapata per kapita da tigkat teaga kerja II LANDASAN TEORI Utuk meyelesaika model pertumbuha Solow-Swa pada tigkat populasi terbatas diperluka beberapa pemahama teori seperti di bawah ii: 1 Fugsi Produksi da Fugsi Produksi Cobb-Douglas Defiisi 1 (Fugsi Produksi) Fugsi produksi stadar merupaka suatu fugsi yag memiliki persamaa: Y = F( K L) Dega Y K da L berturut-turut adalah output modal da teaga kerja (Makiw 3) Defiisi (Fugsi Produksi Cobb-Douglas) Suatu fugsi produksi stadar yag diaplikasika utuk meggambarka proses produksi dega dua iput da bayak output disebut dega fugsi produksi Cobb-Douglas Fugsi ii memiliki persamaa: α (1 α ) Y = F( K L) = K L α 1 dega F(K L) adalah output K adalah modal L teaga kerja da α parameter elastisitas (Makiw 3) Fugsi Naik da Fugsi Turu Defiisi 3 (Fugsi Naik) Fugsi F disebut aik pada selag I jika f ( 1 ) < f ( ) saat 1 < pada selag I (Stewart 1)
Defiisi 4 (Fugsi Turu) Fugsi F disebut turu pada selag I jika f ( 1 ) > f ( ) saat 1 < pada selag I ( Stewart 1) 3 Teorema Perbadiga Defiisi 5 (Kodisi Lipschitz) Suatu fugsi F( y) memeuhi suatu kodisi Lipschitz pada domai D jika ada suatu kostata takegatif L sehigga kodisi y > y1 aka meyebabka F( y ) F( y ) L( y y ) 1 1 Lema 1 Misalka σ adalah suatu fugsi terturuka yag memeuhi pertaksamaa diferesial σ ( Kσ ( (1) dega K adalah sebuah kostata da a b Maka utuk a b K ( a) σ ( σ ( a) e Bukti: Kedua sisi Persamaa (1) dikalika dega K e kemudia ruasya dipidah diperoleh: { } d e [ σ ( Kσ ( ] = σ ( e d K Fugsi σ ( e memiliki turua ol atau egatif da sekaligus merupaka fugsi takaik pada selag a b Maka σ ( e σ ( a) e Ka Ka K σ ( σ ( a) e e = σ K ( a) ( a) e Teorema Perbadiga Misalka f da g masig-masig adalah solusisolusi dari persamaa-persamaa diferesial: y = F( y) z = G( z) dega F( y) G( y) pada selag a b da F da G memeuhi kodisi Lipschitz Jika f ( a) = g( a) maka f ( y) g( y) utuk semua [ a b] Bukti: Lihat Lampira 1 4 Fugsi Kotiu da Pertaksamaa Growall Defiisi 6 (Fugsi Kotiu) Sebuah fugsi f kotiu pada bilaga a jika: lim f ( = f ( a) a (Stewart 1) Defiisi 7 (Pertaksamaa Growall) Misalka φ daψ adalah fugsi-fugsi yag kotiu pada t t t1 da berlaku φ ( t) da ψ ( t) Jika persamaa berikut terpeuhi: t φ( t) K + ψ ( s) φ( s) ds dega K kostata positif maka berlaku: t φ( t) K ep ( s) ds t ψ t Bukti: Lihat Birkhoff & Rota (198) 5 Persamaa Diferesial (PD) Defiisi 8 (Persamaa Diferesial Biasa) Jika y adalah sebuah fugsi dega pemetaa terhadap dega maka fugsi: y : R R ( i) y adalah turua dari y ( 1) ( ) F( y y y ) = y disebut sebuah persamaa diferesial biasa orde (Hartma )
Defiisi 9 (Persamaa Diferesial Liear) Suatu persamaa diferesial disebut liear jika F dapat dituliska sebagai sebuah kombiasi liear dari turua y: 1 ( ) ( i) i i= 1 y = a ( ) y + r ( ) dega a ( da r( adalah fugsi-fugsi i kotiu di Jika r( ) = maka persamaa di atas disebut persamaa diferesial biasa homoge Selai itu disebut dega persamaa diferesial tak homoge (Hartma ) Defiisi 1 (Persamaa Diferesial Beroulli) Persamaa diferesial Beroulli memiliki betuk: y + P( y = Q( y 1 () (Hartma ) Solusi persamaa Beroulli dapat ditetuka dega membagi kedua ruas dega y sehigga diperoleh: y y P( + = 1 y Q( Sebuah variabel peggati dibuat utuk megubah persamaa tersebut mejadi persamaa diferesial liear orde pertama: Misalka 1 y w = 1/ didapatka: w = (( 1 ) / y ) y (3) Persamaa (3) disubstitusika pada Persamaa () diperoleh persamaa peggati: w + P( w= Q( (4) 1 Persamaa (4) dapat diselesaika dega megguaka faktor pegitegrala 1 M ( = e P( d Cotoh: Diberika persamaa Beroulli y y = y Persamaaya peggatiya adalah: w + w= Kedua ruas pada persamaa peggati dikalika dega 1 d l M ( = e = e = sehigga diperoleh: w + w= Ruas kiri merupaka turua dari Kedua ruas diitegralka: 4 ( w ) d = d ( 1/5) 5 w = + C ( ) 4 w terhadap ( 1/ y) = 1/5 + C Jadi solusi utuk y adalah 5 y = 5 + C 6 Returs to Scale Misalka K da L adalah iput-iput dari suatu fugsi produksi: Y = F( K L) dega Y adalah output Jika ada suatu kostata pegali λ yag meyebabka peigkata iput da persamaa di atas mejadi: Yλ = F( λk λl) = λf ( K L) λ > maka aka dihasilka jumlah output-output baru yag proporsiya bergatug pada besarya λ Defiisi 11 (Costat Returs to Scale) Costat returs to scale terjadi saat proporsi peigkata jumlah output yag dihasilka adalah sebadig (sama besar) dega λ (Moffatt 8)
Cotoh: Misalka diberika sebuah fugsi produksi: Y = K + 3L Jika iput ditigkatka sebesar λ maka aka tercipta sebuah fugsi baru: Yλ = ( λk ) + 3( λl) = λk + 3λL = λ(k + 3 L) = λy Jika iput ditigkatka sebesar λ maka output aka meigkat sebesar λ pula Defiisi 1 (Icreasig Returs to Scale) Icreasig returs to scale terjadi saat proporsi peigkata jumlah output yag dihasilka adalah lebih besar dari λ (Moffatt 8) Cotoh: Misalka diberika sebuah fugsi produksi: Y = (5) KL Dega pegali λ diperoleh fugsi produksi baru: Y = (5)( λk )( λl) λ = λ (5) KL = λ Y Sehigga jika λ > 1 maka λ > λ Proporsi peigkata output aka lebih besar daripada proporsi peigkata iput Jika < λ < 1 maka aka terjadi decreasig returs to scale Defiisi 13 (Decreasig Returs to Scale) Decreasig returs to scale terjadi saat proporsi peigkata jumlah output yag dihasilka adalah kurag dariλ (Moffatt 8) Cotoh: Misalka diberika sebuah fugsi produksi: 3 Y = K L Dega pegali λ diperoleh fugsi produksi baru: 3 Yλ = ( λk ) ( λl) = λ 5 3 K 5 = λ Y Sehigga jika λ > 1 maka λ < λ Proporsi peigkata output aka lebih kecil daripada proporsi peigkata iput Jika < λ < 1 maka aka terjadi icreasig returs to scale 7 Defiisi Lai Defiisi 14 (Ruag Metrik) Misalka X adalah suatu himpua Suatu metrik utuk X adalah sebuah fugsi d dega daerah asal X X da daerah hasil meliputi [ ) sehigga: ( i) d( = ( X ) L 5 ( ii) d( y) > ( y X y) ( iii) d( y) = d( y ( y X ) ( iv) d( y) d( z) + d( z y) ( y X ) (pertaksamaa segitiga) Jika d adalah sebuah metrik utuk X maka pasaga berurut X d disebut suatu ruag metrik (Goldberg 1976) Defiisi 15 (Stabil Lyapuov da Stabil Asimtotik) Misalka X d adalah ruag metrik da f : X X sebuah fugsi kotiu Suatu X dikataka stabil Lyapuov jika utuk setiap ε > ada δ > sehigga utuk setiap y X jika d ( y) < δ maka d( f ( f ( y)) < ε utuk setiap Ν X disebut stabil asimtotik jika ada δ > sehigga lim d( f ( f ( y)) = kapapu d(y) < δ (Lyapuov 1966)
Defiisi 16 (Atura L Hopital) Misalka f da g terturuka da g ( dekat a (kecuali mugki di a) Misalka bahwa lim f ( ) = da lim g ( ) = a a atau bahwa lim f ( ) =± da lim g ( ) =± a a Dega kata lai aka didapatka betuk taktetu jeis / atau / Maka f ( f ( lim = lim a g( a g ( asalka limit di ruas kaa ada (atau berilai atau ) (Stewart 1) Teorema Nilai Rata-Rata Jika f : [ a b] R adalah fugsi yag kotiu pada selag tutup [ a b] da terturuka pada selag buka ( a b) Maka ada c pada ( a b) sehigga f ( b) f ( a) f ' ( c) = b a (Stewart 1) Bukti: Lihat Stewart (1) III MODEL PERTUMBUHAN SOLOW SWAN 31 Model dega Tigkat Pertumbuha Populasi Kosta Model pertumbuha Solow-Swa memiliki struktur dasar yag terdiri atas: A Fugsi produksi agregat Persamaa fugsi produksi agregat adalah sebagai berikut Y ( t) = F( K ( t) L( t)) (5) dega Y(t) meyataka output atau pedapata agregat yag merupaka fugsi dari persediaa modal K(t) da agkata kerja L(t) pada t B Asumsi eoklasik pada fugsi produksi a Produk marjial yag positif da meuru terhadap faktor iput modal: F( K L) MPK = = FK > MP K F ( K L ) = = F KK < Kedua hal di atas meujukka bahwa peambaha iput modal aka meghasilka produk marjial yag selalu berilai positif da semaki meuru seirig peambaha iput Hal yag sama berlaku utuk faktor iput teaga kerja: F( K L) MPL = = FL > MP L F ( K L ) = = F LL < Kedua hal di atas meujukka bahwa pertambaha iput teaga kerja aka meghasilka produk marjial yag selalu berilai positif da semaki meuru seirig pertambaha iput b Costat Returs to Scale (CRTS) pada modal da teaga kerja yaitu: F( λk λl) = λf ( K L) λ > Asumsi ii meujukka bahwa keaika proporsi iput aka meyebabka keaika output sebesar proporsi keaika iput (sebadig) c Kodisi Iada lim F lim F = lim F = K L K L K K = lim F = L Fugsi produksi Y = F(K L) dega asumsi CRTS dapat dituliska kembali mejadi : L Y = LF ( K / L1) (6) yag selajutya dapat disederhaaka mejadi y= f ( k)