Jurusan Matematika FMIPA IPB UJIAN TENGAH SEMESTER KALKULUS/KALKULUS1 Sabtu, 4 Maret 003 Waktu : jam SETIAP NOMOR MEMPUNYAI BOBOT 10 1. Tentukan: (a) (b) x sin x x + 1 ; x (cos (x 1)) :. Diberikan fungsi f engan f (x) = x 3 : (a) Dengan menggunakan e nisi turunan, periksa apakah f mempunyai turunan i x = 0: (b) Tentukan persamaan garis singgung gra k fungsi f i titik (8; 4) : y 3. Jika sin (y) = x x 3 ; tentukan x + x : y 4. Diketahui garis y = x + 3 merupakan garis singgung paa kurva fungsi f: Jika f 0 (x) = 3 x; tentukan f (0) : 5. Misalkan f fungsi yang mempunyai turunan i setiap bilangan real an f (1) = 1: Jika F (x) = f (x n ) an G (x) = [f (x)] n engan n suatu bilangan bulat, maka tunjukkan bahwa (a) F (1) = G (1) : (b) F 0 (1) = G 0 (1) : 6. Diketahui fungsi f engan karakteristik sebagai berikut: Fungsi f kontinu paa D f = fx; x R; x 6= 0g ; lim [f (x) (x + 1)] = 0; x!+1 lim [f (x) (x + 1)] = 0; lim f (x) = +1; lim f (x) = 1: Fungsi x! 1 x!0 + x!0 f naik paa selang ( 1; 1) an (1; 1) ; turun paa selang ( 1; 0) an (0; 1) ; f cekung ke atas paa (0; 1) an cekung ke bawah paa selang ( 1; 0) : Jika f 0 ( 1) = f 0 (1) = 0; f ( 1) = 1; f (1) = 3; maka gambarlah gra k fungsi f: 1
7. Suatu kotak tertutup berbentuk balok engan volume 400 cm 3 mempunyai alas berbentuk persegi (bujur sangkar). Harga bahan untuk membuat bagian tutup an bagian alas kotak aalah 1000,- rupiah per cm ; seangkan harga bahan untuk bagian ining (samping) aalah 540,- rupiah per cm : Tentukan ukuran kotak tersebut agar biaya bahan yang iperlukan minimum. 8. Diketahui fungsi f engan (x ) ; 0 x f (x) = p : x ; < x 4 Tentukan: (a) nilai maksimum mutlak an nilai minimum mutlak fungsi f: (b) selang fungsi f cekung ke atas an selang fungsi f cekung ke bawah an titik belok (titik balik). 9. Sebuah pesawat P bergerak lurus ari suatu titik i angkasa engan ketinggian tetap sebesar 7 km menekati titik Q engan kecepatan 10 km/menit. Titik Q tersebut beraa 7 km tepat i atas wartawan W. Tentukan laju perubahan suut pengamatan (suut PWQ), alam raian per menit, ketika jarak pesawat P ke titik Q aalah 10 km. 10. Anaikan bahwa fungsi f an g kontinu paa [a; b] an terturunkan paa (a; b) : Anaikan juga f (a) = g (a) an f 0 (x) < g 0 (x) untuk a < x < b: Gunakan Teorema Nilai Rata-rata untuk membuktikan bahwa f (b) < g (b) :
Jurusan Matematika FMIPA IPB 1. JAWABAN UTS KALKULUS/KALKULUS 1 00/003 SENIN, 4 MARET 003 (a) (b) sin x = x x + 1 (cos x) (x + 1) (sin x)(1) (x + 1). f (x) = x =3 : x cos (x 1) = (cos (x 1)) ( sin (x 1)) () = 4 sin (x 1) cos (x 1) : (a) Dengan e nisi turunan: f 0 (0) x!0 f (x) f (0) x 0 x!0 x =3 0 x 1 x!0 x 1=3 tiak aa. (b) f 0 (x) = =3x 1=3 = : Kemiringan garis singgung gra k 3x1=3 fungsi f i (8; 4) aalah f 0 (8) = Jai persamaan garis singgungnya: 3. sin y = x x 3 : 3 (8 1=3 ) = 3 ( 3 ) 1=3 = 3 () = 1 3 : y 4 = 1 3 (x 8) () y = 1 3 x + 4 3 : Jika keua ruas iturunkan secara implisit terhaap x iperoleh: (sin y) = x x x (cos y) y x = 1 3x y x = 1 3x cos y 3 x3
Jika keua ruas persamaan sin y = x terhaap y iperoleh: x 3 iturunkan secara implisit (sin y) = y y x x3 cos y = x 3x x y y = x y 1 3x x y = cos y 1 3x : Jai y x + x y = 1 3x cos y + cos y 1 3x : 4. Misalkan (x 0 ; y 0 ) merupakan titik singgung gra k fungsi f engan garis singgung y = x + 3: Graien garis singgung i titik (x 0 ; y 0 ) aalah f 0 (x 0 ) yang nilainya sama engan graien garis singgungnya, yaitu 1. Jika iketahui f 0 (x) = 3 x; makai: f 0 (x 0 ) = 3 x 0 = 1: ) x 0 = 1 ) y 0 = x 0 + 3 = 1 + 3 = 4: Jai titik singgungnya (1; 4) : Karena f 0 (x) = 3 x; maka f (x) = 3x x + C (anti turunan ari f 0 ): Karena titik (1; 4) beraa paa kurva f; maka f (1) = 3 (1) 1 + C = 4 ) C = : Jai f (x) = 3x x +, akibatnya f (0) = 0 0 + = : 5. F (x) = f (x n ) an G (x) = (f (x)) n ; an f (1) = 1: (a) F (1) = f (1 n ) = f (1) = 1; seangkan G (1) = (f (1)) n = 1 n = 1: Jai F (1) = G (1) : (b) F 0 (x) = (f 0 (x n )) nx n 1 ; sehingga F 0 (1) = (f 0 (1 n )) n 1 n 1 = f 0 (1) n 1 n 1 G 0 (x) = n (f (x)) n 1 f 0 (x) ; sehingga Jai F 0 (1) = G 0 (1) : G 0 (1) = n f (1) n 1 f 0 (1) = f 0 (1) n 1 n 1 : 4
6. f 0 ( 1) = 0 = f 0 (1) berarti x = 1 an x = 1 merupakan titik kritis. Dari naik-turunnya fungsi iperoleh bahwa f ( 1) = 1 aalah nilai maksimum lokal, an f (1) = 3 aalah nilai minimum lokal. lim [f (x) (x + 1)] = 0 [f (x) (x + 1)] ; berarti y = x + 1 x!+1 x! 1 merupakan garis asimtot miring ari f: lim f (x) = +1; berarti garis x = 0 (sumbu y) merupakan asimtot x!0 + tegak. Dari semua ata yang iberikan iperoleh bahwa gra k fungsi f aalah sebagai berikut: 7. Misalkan x sisi alas, h aalah tinggi balok, an V aalah volume balok. Maka: V = x h ) 400 = x h ) h = 400 x : Misalkan biaya yang harus ikeluarkan untuk membuat kotak aalah B (x), maka B (x) = 1000 x + 540 4x 400 x = 000x + 864000 x B 0 864000 (x) = 4000x = 4000x3 864000 x x 3 an B 0 (x) = 0, 4000x 3 = 864000, x 3 = 864000 4000 = 16, x = 6: 5
B 00 (x) = 4000 + 17800 : Maka B 00 (6) > 0; sehingga menurut Uji x 3 Turunan Keua B (6) aalah nilai minimum lokal fungsi B: Karena ini satu-satunya nilai minimum lokal, maka B (6) juga merupakan nilai minimum global ari fungsi B: Jika x = 6 cm; maka h = 100 cm. Jai ukuran kotak aalah sisi alas 9 6 cm, an tinggi 100 9 cm, (x ) ; jika 0 x 8. f (x) = p x ; jika < x 4 (a) Akan itentukan nilai maksimum an nilai minimum mutlaknya. Karena f fungsi polinom, maka f kontinu paa selang (0; ) ; an karena f merupakan fungsi akar kuarat, maka f kontinu paa selang (; 4) : Karena lim (x ) = (0 ) = f (0) maka f kontinu x!0 + kanan i x = 0; p p Karena lim x = 4 = f (4) ; maka f kontinu x!4 kiri i x = 4; Perhatikan pula bahwa lim f (x) (x ) = ( ) = 0 p p lim f (x) + x = = 0 + f () = ( ) = 0 ) f kontinu i x = Jai f kontinu paa selang [0; 4] : Karena f kontinu paa selang tutup, maka f mempunyai nilai maksimum an minimum mutlak. Akan itentukan titik-titik kritisnya: Turunan pertama fungsi f : 8 < (x ) ; jika 0 < x < f 0 (x) = 1 : p x ; jika < x < 4 f 0 (x) = 0 hanya jika x = ; tetapi = (0; ) : Jai f 0 () 6= 0: 9 >= >; 6
Turunan kiri an kanan fungsi f i x = : lim f (x) f () x f (x) f () lim + x + 1 + (x ) ( ) x (x ) = 0 p x ( ) x p = +1 x 9 >= ; maka >; f 0 () tiak aa. Jai x = merupakan titik kritis ari fungsi f: : Titik ujung selang x = 0; an x = 4: x f (x) Keterangan 0 (0 p ) = p 4 4 aalah nilai maksimum mutlak fungsi f 4 4 = ( ) = 0 0 aalah nilai minimum mutlak fungsi f (b) Akan iperiksa kecekungannya: 8 < ; jika 0 < x < f 00 (x) = 1 : ; jika < x < 4 3= 4 (x ) 9. Misalkan: Tana f 00 (x) + + + 0 4 Jai f cekung ke atas paa selang (0; ) ; an f cekung ke bawah paa selang (; 4) : Karena terjai perubahan kecekungan i x = ; maka titik belok/baliknya aalah titik (; f ()) = (; 0) : x aalah jarak pesawat P engan titik Q paa waktu t; aalah suut pengamatan ari titik W (suut P W Q) paa saat t: Gambar: 7
x Diketahui: t = 10 km/menit (tana negatif karena makin lama jaraknya berkurang) Ditanyakan: paa saat x = 10 km. t Persamaan yang menghubungkan laju yang iketahui engan laju yang itanyakan: tan = x 7 Turunkan keua ruas persamaan secara implisit terhaap t; : t (tan ) = x t 7 sec = 1 x t 7 t = 1 x 1 t 7 t sec = 1 x cos = 1 x 7 p 7 t 7 t 7 + x Paa saat x = 10; t = 1 7 ( 10) 7 p 49 + 10 = 10 7 49 149 = 70 149 ra/menit. 10. Misalkan fungsi h (x) = f (x) g (x) : Karena f an g kontinu paa [a; b] an terturunkan paa (a; b) ; maka h juga kontinu paa [a; b] an terturunkan paa selang (a; b) : Menurut Teorema Nilai Rata-rata (TNR) terapat c (a; b) sehingga h 0 (c) = h (b) b h (a) : a h 0 (x) = f 0 (x) g 0 (x) : Karena f 0 (x) < g 0 (x) untuk setiap a < x < b; maka h 0 (x) < 0 untuk setiap a < x < b: Ini berarti h 0 (c) < 0: Akibatnya: h (b) h (a) < 0: b a Ini berarti h (b) h (a) < 0 (karena b > a sehingga b a > 0): Jai: h (b) h (a) = [f (b) g (b)] [f (a) g (a)] < 0: Karena iketahui f (a) = g (a) ; maka f (b) g (b) 0 < 0 f (b) g (b) < 0 f (b) < g (b) : 8