5. Fungsi dari Peubah Acak EL2002-Probabilitas dan Statistik Dosen: Andriyan B. Suksmono
Sebaran cuplikan (n-1)s 2 / σ 2 TEOREMA 5.16 Jika S 2 adalah variansi dari cuplikan acak berukuran n yang diambil dari populasi tersebar normal dengan variansi σ 2, maka peubah acak X 2 = (n-1)s 2 / σ 2 akan memiliki sebaran chi-kuadrat dengan v=n-1 derajat bebas. Nilai dari setiap peubah acak X 2 dihitung dari setiap cuplikan dengan rumus χ 2 = (n-1)s 2 /σ 2 Peluang bahwa cuplikan acak menghasilkan nilai χ 2 lebih besar dari nilai tertentu akan sama dng daerah dibawah kurva dibagian kanan dari nilai ini. Biasanya batas ini disebut α dan luas daerah disebelah kanannya ditulis χ α2. 0 χ α 2 α χ Tabel VI menampilkan nilai χ 2 α untuk berbagai harga α dan derajat bebas v. Sebagai contoh χ 2 0.05 = 14.067 untuk v=7 = 2.167 untuk v=7 χ 2 0.95
Contoh 5.19 Soal: Sebuah pabrik batere (aki) mobil menjamin akinya tdk akan rusak selama rata-rata 3 tahun dengan simpangan baku 1 tahun. Jika lima dari batere ini dapat bertahan selama 1.9, 2.4, 3.0, 3.5, dan 4.2 tahun, apakah pabrik ini masih yakin bahwa simpangan baku waktu hidup batere 1 tahun? Jawab: Kita temukan bahwa variansi cuplikan adalah s 2 = {(5)(48.26) (15) 2 }/{(5)(4)}=0.815 Maka χ 2 = (5-1)(0.815)/1 = 3.26 adalah nilai dari sebaran chi-kuadrat dengan 4 derajat bebas. Karena 95% dari χ 2 dengan 4 derajat bebas akan jatuh antara 0.484 (yaitu χ 2 0.95 ) dan 11.143 (yaitu χ 2 0.05 ) dan nilai χ 2 =3.26 berada didalam selang nilai ini, maka variansi σ 2 =1 adalah masuk akal dan tidak perlu ada kecurigaan bahwa simpangan bakunya bukan 1 tahun.
Sebaran-t atau Sebaran Student Seringkali nilai variansi populasi tdk diketahui. Jika besar cuplikan n 30, maka variansi cuplikan S 2 adalah estimasi yang cukup baik untuk σ 2. Apa yng terjadi dng statistik (X- μ)/(σ/ n) pada Teorema 5.14 jika σ 2 digantikan S 2? Jika n 30 sebaran statistik (X- μ)/(s/ n) akan mendekati normal baku Jika n<30, S 2 akan berfluktuasi dan sebaran statistik (X- μ)/(s/ n) tidak lagi normal baku. Sebagai gantinya, kita akan menganalisis statistik T yng diberikan oleh T=(X-μ)/(S/ n) Selama penurunan, cuplikan acak dilakukan terhadap populasi yang tersebar normal.
Lanjutan Bisa kita tuliskan bahwa T = {(X-μ)/(σ/ n)}/ (S 2 /σ 2 ) = Z/ [V/(n-1)] dimana Z=(X-μ)/(σ/ n) tersebar normal dan V=(n-1)S 2 /σ 2 tersebar chi-kuadrat dengan v=n-1 derajat bebas. Dapat ditunjukkan bahwa X dan S 2 saling bebas, demikian pula Z dan V. TEOREMA 5.17 Andaikan Z peubah acak normal baku dan V peubah acak chi-kuadrat dengan v derajat bebas. Jika Z dan V saling bebas, maka sebaran dari peubah acak T dimana T = Z/ (V/v) diberikan oleh h(t) = {Γ[(v+1)/2]/Γ[(v/2) ( πv)]} [1+(t 2 /v)] -(v+1)/2, - <t< Sebaran ini dikenal sebagai sebaran-t dengan v derajat bebas.
Student Sebaran dari T dipublikasikan pd tahun 1908 oleh WS Gosset. Tempat kerja Gosset melarang hasil riset dipublikasikan, karena itu dipakai nama samaran Student. Sebaran T midirp dengan sebaran Z, yaitu simetrik terhadap mean nol. Keduanya berbentuk lonceng, tetapi sebaran T lebih bervariasi akibat fluktuasi nilai X dan S 2, sdngkan Z hanya bergantung pd X. v= v=5 v=2 Kedua sebaran akan sama ketika n mencapai takhingga Nilai sebaran T diberikan pada Tabel V Tepat 95% dari sebaran-t berderajat (n-1) jatuh antara t 0.025 dan t 0.025. Dengan demikian, t diluar selang ini menggambarkan kejadian yang sangat jarang terjadi atau asumsi terhadap μ salah. Artinya, kalau mean yang sebenarnya sedikit berbeda dengan yang diklaim tidak menjadi masalah, interval t sebaiknya diperlebar ke t 0.01 dan t 0.01 dimana t pasti jatuh disini.
Contoh 5.20 Soal: Pabrik bolam (bola lampu listrik) meng-klaim bahwa produknya memiliki waktu hidup rata-rata 500 jam. Untuk menjaga nilai ini, setiap bulan 25 buah bolam diuji. Jika t hasil hitungannnya jatuh dalam interval -t 0.05 dan t 0.05 hasilnya dianggap memuaskan. Jika dari cuplikan diperoleh mean x=518 jam dan simpangan baku s=40 jam dan sebaran waktu hidup adalah normal, kesimpulan apa yng bisa diambil? Jawab: Dari Tabel V kita temukan bahwa t 0.05 =1.711 untuk 24 derajat bebas. Oleh karena itu, pabrik puas dengan klaim-nya jika cuplikan 25 bolam menghasilkan t antara -1.711 dan 1.711. Karena mean μ = 500, maka t=(518-500)/(40/ 25) = 2.25 sebuah nilai diatas 1.711. Peluang mendapatkan nilai t, dengan v=24, sama dengan atau lebih dari 2.25 adalah sekitar 0.02. Untuk μ>500, nilai t yang terhitung dari cuplikan akan lebih masuk akal. Dengan demikian, pemilik pabrik akan menyimpulkan produknya lebih bagus yang dikira.
Latihan: {12, 14}, 17, 26, 31