Distribusi Normal Distribusi normal, disebut pula distribusi Gauss, adalah distribusi probabilitas yang paling banyak digunakan dalam berbagai

Transkripsi

1 Distribusi Normal Distribusi normal, disebut pula distribusi Gauss, adalah distribusi probabilitas yang paling banyak digunakan dalam berbagai analisis statistika. Distribusi normal baku adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata nol dan simpangan baku satu. Distribusi ini juga dijuluki kurva lonceng (bell curve) karena grafik fungsi kepekatan probabilitasnya mirip dengan bentuk lonceng. Distribusi normal memodelkan fenomena kuantitatif pada ilmu alam maupun ilmu sosial. Beragam skor pengujian psikologi dan fenomena fisika seperti jumlah foton dapat dihitung melalui pendekatan dengan mengikuti distribusi normal. Distribusi normal banyak digunakan dalam berbagai bidang statistika, misalnya distribusi sampling rata-rata akan mendekati normal, meski distribusi populasi yang diambil tidak berdistribusi normal. Distribusi normal juga banyak digunakan dalam berbagai distribusi dalam statistika, dan kebanyakan pengujian hipotesis mengasumsikan normalitas suatu data. Sejarah Distribusi Normal Distribusi normal pertama kali diperkenalkan oleh Abraham de Moivre dalam artikelnya pada tahun 1733 sebagai pendekatan distribusi binomial untuk n besar. Karya tersebut dikembangkan lebih lanjut oleh Pierre Simon de Laplace, dan dikenal sebagai teorema Moivre- Laplace. Laplace menggunakan distribusi normal untuk analisis galat suatu eksperimen. Metode kuadrat terkecil diperkenalkan oleh Legendre pada tahun Sementara itu Gauss mengklaim telah menggunakan metode tersebut sejak tahun 1794 dengan mengasumsikan galatnya memiliki distribusi normal. Istilah kurva lonceng diperkenalkan oleh Jouffret pada tahun 1872 untuk distribusi normal bivariat. Sementara itu istilah distribusi normal secara terpisah diperkenalkan oleh Charles S. Peirce, Francis Galton, dan Wilhelm Lexis sekitar tahun Terminologi ini secara tidak sengaja memiliki nama sama. Ciri Ciri Distribusi Normal 1. Memiliki parameter µ dan σ yang masing masing menentukan lokasi dan bentuk distribusi 2. Kurvanya mempunyai puncak tunggal 3. Rata-rata terletak di tengah distribusi dan distribusinya simetris di sekitar garis tegak lurus yang ditarik melalui rata-rata 4. Total luas daerah di bawah kurva normal adala 1 (hal ini berlaku untuk seluruh distribusi probabilitas kontinu) 5. Kedua ekor kurva memanjang tak berbatas dan pernah memotong sumbu horizontal 6. Kurvanya berbentuk seperti lonceng atau genta

2 7. Simpangan baku atau standar deviasi σ menentukan lebarnya kurva. Makin kecil σ bentuk kurva semakin runcing. Gambar di bawah merupakan ilustrasi dari sebaran normal: Suatu variabel acak kontinu X yang memiliki sebaran berbentuk lonceng tersebut disebut dengan variabel acak normal. Dua parameter yang menentukan sebaran peluang variabel acak normal ini adalah nilai mean (µ) dan simpangan baku (σ). Luas di bawah kurva dibatasi oleh X = X 1 dan X = X 2 sama dengan peluang bahwa variabel acak mengambil nilai antara X = X 1 dan X = X 2. Jadi untuk kurva normal P(X 1 < X < X 2 ) pada gambar di bawah ini dinyatakan oleh luas daerah antara X 1 dan X 2. Jika data menyebar normal, kita dapat mentransformasikan setiap pengamatan yang berasal dari sembarang variabel acak normal X menjadi suatu nilai variabel acak normal Z dengan nilai tengah nol dan ragam =1. Kemudian nilai X akan kita ubah menjadi Z mengikuti transformasi berikut ini: Bila X berada diantara X = X 1 dan X = X 2, maka variabel acak Z akan berada diantara nilai-nilai padanannya: Dengan demikian:

3 Fungsi kerapatan probabilitas dari distribusi normal diberikan dalam rumus berikut: Distibusi normal standar Suatu distribusi normal tidak hanya memiliki satu kurva, tetapi merupakan kumpulan kurva yang mempunyai ciri-ciri yang sama.sehingga harus ditentukan 1 pegangan sebagai distribusi nprmal yang standar. Ada 2 cara untuk menentukan distribusi normal : 1. cara ordinat: Menggunakan rumus distribusi normal berikut : µ = rata-rata σ = simpang baku π = 3,1416 (bilangan konstan) e = 2,7183 (bilangan konstan) X = absis dengan batas - < X < π Bila nilai µ dan σ tetap maka setiap nilai x akan menghasilkan nlai y sehingga bila nilai x dimasukkan dalam perhitungan berkali-kali dengan julah tak terhingga maka akan dihasilkan suatu kurva distribusi normal. Terdapat banyak kurva normal dengan bentuk yang berlainan, tergantung dari besar dan kecilnya σ. Bila σ besar, kurva yang terbentuk mempunyai puncak yang rendah, sebaliknya bila σ kecil akan menghasilkan puncak kurva yang tinggi. Dapat pula bentuk kurva normal dengan µ yang berbeda atau dengan µ dan σ yang berbeda

4 2. Cara luas

5 Kurva normal adalah kurva yang simetris, yang berarti bahwa kurva ini akan membagi luas kurva menjadi 2 bagian yang sama.seluruh luas kurva = 1 atau 100% dan rata-rata (µ) membagi luas kurva menjadi 2 bagian yang sama.berarti luas tiap belahan adalah 50%. Setiap penyimpangan rata-rata dapat ditentukan presentase terhadap seluruh luas kurva. penyimpangan ke kanan dan ke kiri : -.penyimpangan 1 SD = 68,2% dari seluruh luas kurva. -.penyimpangan 2 SD = 95,5% dari seluruh luas kurva. -.penyimpangan 3 SD, = 99,7% dari seluruh luas kurva. Proses standarisasi dapat dilakukan dengan transformasi rumus (kurva normal standar) : Z x x = nilai variable random µ = rata-rata distribusi σ = simpang baku Z = nilai standar, yaitu besarnya penyimpangan suatu nilai terhadap rata-rata yang dinyatakan dari unit SD. Standarisasi penting dilakukan karena ada variabel random yang memiliki satuan yang berbedabeda, seperti cm, kg, bulan.

6 Untuk memudahkan perhitungan dapat digunakan sebuah table yang menunjukkan luas area di bawah kurva normal antara nilai rata-rata dan suatu nilai variable random yang dinyatakan dalam unit SD. Misalnya : luas 95% adalah 1,96 SD. Untuk transformasi distribusi normal menjadi distribusi normal standar dinyatakan µ = 0 dan σ = 1. PENGGUNAAN TABEL DISTRIBUSI NORMAL Tabel distribusi normal standar terdiri dari kolom dan baris. Kolom paling kiri menunjukkan nilai Z, tertera angka 0 sampai 3 dengan satu desimal dibelakangnya. Desimal berikutnya terletak pada baris paling atas dengan angka dari 0 sampai 9. Misalnya dari hasil perhitungan diperoleh nilai Z = 1,96 Maka di kolom kiri kita cari nilai1,9 dan baris atas kita cari angka 6 Dari kolom 6 bergarak ke bawah, hingga pertemuan titik yang menunjukkan angka 0,4750. Berarti luas daerah di dalam kurva normal antara rata-rata dengan 1,96 SD ke kanan adalah 0,475. Karena luas kurva ke kanan dan ke kiri sama, maka luas penyimpangan 1,96 ke kanan dan ke kiri dari rata-rata adalah 0,95 (95%).

7 Contoh soal 1: Contoh kasus menggunakan rumus Z Rata-rata produktivitas padi di Aceh tahun 2009 adalah 6 ton per ha, dengan simpangan baku (σ) 0,9 ton. Jika luas sawah di Aceh ha dan produktivitas padi berdistribusi normal (data tentatif), tentukan 1. berapa luas sawah yang produktivitasnya lebih dari 8 ton? Jawab: 1. Hitung nilai z dari nilai x = 8 ton dengan rumus Z x 2. Hitung luas di bawah kurva normal pada z = 2,22 Caranya buka Tabel Z dan lihat sel pada perpotongan baris 2,20 dan kolom 0,02. Hasilnya adalah angka 0,98679 dan bila dijadikan persen menjadi 98,679%. Angka ini menunjukkan bahwa luas di bawah kurva normal baku dari titik 2,22 ke kiri kurva adalah sebesar 98,679%. Karena luas seluruh di bawah kurva normal adalah 100%, maka luas dari titik 2,22 ke kanan kurva adalah 100% 98,679% = 1,321% (arsir warna hitam pada gambar). Oleh karena itu, luas sawah yang produktivitasnya lebih dari 8 ton adalah 1,321%, yaitu (1,321/100) x ha = 1321 ha.