Ayundyah Kesumawati. May 31, 2015

Transkripsi

1 Kesumawati Prodi Statistika FMIPA-UII May 31, 2015

2 Dalam praktek, pengujian hipotesis dapat mencakup lebih dari dua proporsi. Misalnya, persentase sejenis barang yang rusak 3 pabrik adalah sama (tidak berbeda); persentase penduduk yang setuju KB dari 4 desa adalah sama; dan lain sebagainya. Pada umumnya, yang dibicarakan adalah perbandingan tentang proporsi/persentase yang sama. Hipotesis untuk kasus diatas dituliskan sebagai berikut H 0 : p 1 = p 2 =... = p j = p k (= p) H 1 : paling sedikit ada dua yang tidak sama

3 Misalkan kita mempunyai k sampel acak dari k populasi. Elemen-elemen sampel dibagi menjadi dua kategori yaitu disebut sukses dan tidak sukses sebagai dengan n 1 = k n 1j, n 2 = j=1 k n 2j, n j = j=1 2 n ij, n = j=1 2 = i=1 k j=1 n j dengan n ij = banyaknya elemen dengan karakteristik i = (i = 1,2) dari sampel j (j=1,2,..,k)

4 Kalau kita anggap p sebagai proporsi sukses yang sebenarnya (menurut hipotesis, proporsi ini akan sama untuk seluruh populasi sebanyak k), parameter p tidak diketahui nilainya meskipun dapat diestimasi sebagai berikut: ˆp = n 11 + n n 1k n = n 1 n adalah penduga p. Kemudian hitung nilai e ij = frekuensi harapan. Apabila penduga p, yaitu n 1, dikalikan dengan n banyaknya elemen (banyaknya eksperimen) untuk setiap sampel (ada k sampel), maka untuk sampel 1, akan ( diperoleh n1 ) banyaknya sukses yang kita harapkan, ˆp 1 = n 1 ; ( n n1 ) untuk sampel 2 ˆp 2 = n 2 ; untuk sampel j ( n n2 ) ( n1 ) ˆp j = n j ; dan untuk sampel k ˆp k = n k n n

5 Sedangkan, banyaknya elemen dengan karakteristik tidak sukses dapat diperoleh dengan jalan mengurangi banyaknya elemen setiap sampel dengan banyaknya sukses yang lain diharapkan. e ij adalah frekuensi harapan untuk baris i dan kolom j atau sampai sampel j. Dimana e ij = (n j)(n i ) n dengan i = 1,2; j = 1, 2,..., k Untuk menguji hipotesis bahwa tidak ada perbedaan antara proporsi dari K populasi dengan alternatif ada perbedaan, maka dipergunakan pengujian chi-kuadrat dengan simbol χ 2 χ 2 0 = 2 k (n ij e ij ) 2 e ij i=1 j=1 dimana χ 2 0 mengikuti fungsi χ2 dengan df = (k-1) Kemudian, jika χ 2 0 χ2 α, keputusan Tolak H 0 dan sebaliknya. ini menggunakan tabel χ 2 dengan derajat bebas (k-1).

6 Contoh Seorang pemilik pabrik berpendapat bahwa presentase barang produksi yang rusak selama 3 hari berturut-turut sama. Maksudnya, p 1 = p 2 = p 3, yaitu presentase barang yang rusak dari hari pertama sama dengan ahri kedua sama dengan hari ketiga. Setelah diselidiki, didapattkan data sbb: Dengan menggunakan α = 0, 05, ujilah pendapat tersebut?

7 Seorang pejabat BKKBN berpendapat bahwa tidak ada perbedaan persentase penduduk yang setuju KB dari empat tingkat pendidikan dengan alternatif ada perbedaan (tidak setuju). Untuk menguji pendapatnya itu, telah diteliti sebanyak 1600 orang penduduk dari berbagai tingkatan pendidikan dan hasilnya sbb Dengan menggunakan α = 0, 01, ujilan pendapat tersebut?

8 Persoalan yang baru saja diuraikan di atas, membagi hasil percobaan menjadi 2 kategori yaitu sukses dan tidak sukses. Pembagian kategori bisa lebih dari dua. Misalkan kategorinya adalah r kategori (r > 2). Data hasil penelitian untuk menguji hipotesis dapat disajikan dalam bentuk tabel yang disebut r by k contingency table, sebagai berikut:

9 1. Hipotesis untuk tabel kontingensi di atas adalah H 0 : p 11 = p 12 =... = p 1j =... = p 1k p 21 = p 22 =... = p 2j =... = p 2k. p i1 = p i2 =... = p ij =... = p ik. p r1 = p r2 =... = p rj =... = p rk H 1 : Tidak semua proporsi sama 2. Statistik Uji untuk adalah χ 2 0 = r k (n ij e ij ) 2 e ij i=1 j=1 mengikuti fungsi χ 2 dengan derajat bebas = (r-1)(k-1) 3. Daerah penolakan: χ 2 0 > χ 2 α

10 Contoh Ada empat bank, katakanlah B 1, B 2, B 3, dan B 4. Nasabah dari keempat bank tersebut ditanya, apakah mereka sudah puas dengan pelayanan dari bank-bank tersebut. Jawaban mereka dikategorikan menjadi 3 yaitu puas, cukup puas dan tidak puas. Ada pendapat yang mengatakan bahwa proporsi nasabah yang puas, cukup puas dan tidak puas adalah sama untuk semua bank, dengan alternatif bahwa proporsi-proporsi tersebut tidak sama. Untuk menguji pendapat tersebut kemudian dilakukan penelitian terhadap 600 orang nasabah, yang dipilih secara acak sebagai sampel, dengan rincian 100 orang dari B 1, 200 orang dari B 2, 160 orang dari B 3, dan 140 orang dari B 4. Banyaknya nasabah yang memberikan jawaban puas, cukup puas dan tidak puas dapat dilihat pada tabel di bawah ini: Dengan menggunakan α = 0,05, ujilah pendapat tersebut?

11 Hipotesis untuk Dua Varians Kadang-kadang peneliti ingin membandingkan variansi dua populasi, khususnya jika variabilitas dipandang merupakan indikator penting kinerja suatu perlakuan. Contoh variabilitas untuk satu populasi telah dipelajari pada pertemuan yang lalu. Prosedur Statistik untuk membandingkan variansi dua populasi berdasarkan anggapan-anggapan berikut: Anggapan (Asumsi): a. X 1, X 2,..., X n sampel random dari populasi normal N(µ, σ 2 1 ) b. Y 1, Y 2,..., Y n sampel random dari populasi normal N(µ, σ 2 2 ) c. Kedua sampel tersebut independen.

12 Hipotesisnya dirumuskan sebagai : H 0 : σ1 2 = σ2 2 (σ1 2 σ2 2 = 0) H 1 : σ1 2 σ2 2 (σ1 2 σ2 2 0) dengan statistik Uji F 0 = S 2 1 S 2 2 dimana F 0 mengikuti fungsi F dengan derajat kebebasan sebesar (n 1 1),(n 2 1). F 0 disebut juga F observasi dan dipergunakan sebagai kriteria pengujian.. S 2 1 = 1 n 1 1 n i=1 (X i1 X 1 ) 2 dan S 2 2 = 1 n 2 1 n (X i2 X 2 ) 2 i=1

13 S1 2 dan S 2 2 varians sampel dan merupakan penduga σ2 1 dan σ2 2. Angka ini diperoleh dari dua sampel yang bebas satu sama lain, yang ditarik dari dua populasi. Apabila sampel tersebut besar, varians sampel akan mendektai varians sebenarnya yang dihitung dari seluruh elemen populasi S1 2 dan S2 2 (mendekati σ2 1 dan σ2 2 ). Dalam hal ini, apabila H 0 benar, nilai F 0 akan mendekati 1. Maka dari itu, nilai F 0 yang mendekati 0 atau menjauhi 1, akan membuat kita cenderung menolak H 0. Tabel F hanya memberikan nilai F yang besar untuk kurva sebelah kanan. Itulh sebabnya kita harus membuat varians sampel dengan nilai yang besar sebagai pembilang dan nilai yang kecil sebagai penyebut di dalam menghitung F 0 = S 1 2. Jadi, selalu usahakan agar S 2 1 > S 2 2 S 2 2

14 Contoh Seorang insinyur peternakan mempunyai anggapan bahwa variasi berat badan ternak yang diberi sejenis makanan ternak dari dua merek/pabrik berbeda, katakan A dan B adalah sama (tidak berbeda); dengan alternatif tidak sama. Untuk menguji pendapatnya itu, 50 ekor ternak dipilih secara acak sebagai sampel. 25 ekor diberi makanan A dan yang 25 diberi makanan B. Setelah 3 bulan, berat badan ternak-ternak tersebtu ditimbang, dan varians beratnya dihitung. Dengan makanan A, varians berat badan adalah 900 pon; sedangkan dengan makanan B, varians berat badan adalah 1400 pon. dengan α = 0, 05, ujilah pendapat tersebut.