SISTEM PERSAMAAN LINEAR PADA ALJABAR MIN-PLUS

Prosidig Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA, Fakultas MIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta, 4 Mei 0 SISTEM PERSAMAAN LINEAR PADA ALJABAR MIN-PLUS Musthofa Jurusa Pedidika Matematika FMIPA UNY musthofa@uy.ac.id Abstrak Himpua semua bilaga real R {+ } yag dilegkapi dega operasi miimum sebagai operasi pejumlaha da operasi pejumlaha sebagai operasi pergadaa membetuk struktur aljabar yag diamaka semirig idempote. Karea operasi pejumlaha pada semirig idempote tidak mempuyai ivers, maka metode yag diguaka pada lapaga atau rig utuk meetuka solusi persamaa ax = b tidak dapat diterapka. Utuk itu, dalam makalah ii aka dibahas metode utuk meetuka solusi persamaa liear berbetuk AX = B atas aljabar mi-plus. Kata kuci: persamaa liear, semirig idempote, aljabar mi-plus PENDAHULUAN Aljabar mi-plus, yaitu R {+ } dega R adalah himpua semua bilaga real yag dilegkapi dega operasi miimum da operasi pejumlaha, memiliki beberapa aplikasi atara lai dalam memodelka jariga telekomuikasi, lalulitas da video smoothig. Melalui aljabar mi-plus masalah oliear dapat diselesaika seperti masalah liear dalam aljabar liear. Sebagai cotoh diketahui dua bis traportasi umum beragkat dari termial keberagkata yag berbeda, tetapi meuju suatu termial tujua yag sama. Selajutya dari termial tujua ii, aka beragkat bis ke-tiga setelah salah satu dari dua bis tersebut tiba. Jika waktu keberagkata kedua bis tersebut berturut-turut adalah adalah x, x da waktu perjalaa berturut-turut adalah a da a, maka waktu keberagkata bis ke-tiga ( x 3 ) dapat disajika sebagai x 3 = mi ( x + a, x + a ). Dalam aljabar mi-plus, persamaa ii dapat disajika sebagai x 3 = (x a ) ( x a ), dega meyataka operasi miimum da meyataka operasi pejumlaha. Persamaa tersebut aalog dega persamaa x 3 = ax + a x dalam aljabar liear. Perbedaa yag cukup berarti dari struktur aljabar mi-plus dega struktur aljabar lai seperti lapaga atau rig terletak pada tidak adaya ivers terhadap operasi pada aljabar miplus. Oleh karea itu, pada persamaa a x = a y, tidak dapat lagsug disimpulka x = y. Hal ii megakibatka metode utuk meyelesaika persamaa a x = b pada aljabar mi-plus sagat berbeda dega metode meyelesaika persamaa liear pada lapaga atau rig. Ditijau dari struktur aljabar, R {+ } terhadap operasi miimum merupaka mooid komutatif dega eleme idetitas {+ }. Akibatya utuk meyelesaika persamaa a x = b pada aljabar miplus diguaka kosep uruta pada lattice. Selajutya persamaa a x = b dapat diperluas mejadi sistem persamaa liear, ax a x = b misalya () a x a x = b Dalam hal ii, symbol operasi tidak dituliska seperti halya pada a yag ditulis sebagai a. Persamaa () dapat ditulis dalam betuk matrik sebagai berikut: a a x b a a x = b Berdasarka uraia di atas, dalam makalah ii aka dibahas hal-hal sebagai berikut: M-75 ()

Musthofa / Sistem Persamaa Liear. Metode meetuka solusi persamaa Ax = b pada aljabar mi-plus.. Cara meetuka ada tidakya solusi persamaa Ax = b pada aljabar mi-plus. PEMBAHASAN Aljabar Mi-plus Aljabar mi-plus merupaka himpua R {+ }yag dilegkapi dega operasi miimum, diotasika dega, da operasi pejumlaha yag diotasika dega. Selajutya ( R {+ },, ) diotasika dega R mi. Jadi, dalam R mi : 3 4 = mi ( 3, 4 ) = 3 da 3 4 = 3 + 4 = 7. Sifat sifat yag berlaku dalam R mi atara lai : a) x ( y z ) = mi ( x, mi ( y, z)) = mi(mi ( x,y), z ) = (x y) z b) x {+ } = mi ( x, + ) = x c) x {+ } = x + {+ } = {+ } d) x 0 = x + 0 = x e) x (y z) = x + ( y + z ) = ( x + y) + z = ( x y) z f) x y = x + y = y + x = y x g) x (-x) = x + (-x) = 0 h) x ( y z ) = x + ( mi (y, z)) = mi ( x + y, x + z) = ( x y) ( x z ) Dari sifat sifat di atas, terlihat bahwa {+ } merupaka eleme etral terhadap operasi da 0 merupaka eleme etral terhadap operasi. Oleh karea itu, ditijau dari struktur aljabar R mi merupaka semirig, yaitu : i. ( R {+ }, ) merupaka mooid komutatif dega eleme etral {+ } ii. ( R {+ }, ) merupaka mooid dega eleme etral 0 iii. Operasi terhadap bersifat distributif iv. Eleme etral terhadap operasi, yaitu {+ } bersifat meyerap terhadap operasi. Jadi x {+ } = {+ } x = {+ }, x R mi Lebih khusus, R mi merupaka semifield, yaitu : i. R mi merupaka semirig ii. ( R, ) merupaka grup komutatif Selajutya karea operasi bersifat idempotet, yaitu x x = x, utuk setiap x R mi, maka R mi merupaka semifield idempotet. Dalam teorema di bawah ii ditujukka bahwa sifat idempotet megakibatka tidak adaya ivers terhadap operasi tersebut. Teorema. Jika pada suatu semirig S operasi pada bersifat idempotet, maka eleme ivers terhadap operasi tidak ada. Misalka S semirig dega eleme etral terhadap operasi adalah ε. Ambil sebarag x ε S. Adaika terdapat y S sehigga x y = y x. Karea bersifat idempotet, maka x = x ε = x ( x y ) = (x x ) y = x y = ε. Kotradiksi dega x ε. Matriks atas Aljabar Mi-plus Dalam uraia di atas, telah dibahas bahwa aljabar mi-plus ( R {+ }, mi, + ) merupaka semifeild idempotet. Selajutya seperti pada lapaga, jika diberika suatu semifield idempotet R mi, dapat dibetuk matriks dega etri-etriya eleme-eleme R mi. Operasi da pada matriks yag telah terbetuk didefiisika sebagai berikut: () ( A B) ij = A ij B ij () ( A B) = ( A B ) ij ik kj k M-76

Prosidig Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA, Fakultas MIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta, 4 Mei 0 Cotoh. 0 Jika A - 3 = - da B =, maka 0-3 0-3 - A B = - = = - - da 0-3 (0+(-) ( + ) (0+3) ( + ) - 3 A B = - = (-+(-)) ( + ) (-+3) ( + ) -4 Selajutya didefiisika ( R mi ) sebagai himpua semua matriks berukura dega etri-etriya eleme R mi,. Eleme etral terhadap operasi da eleme etral terhadap 0, jika i = j operasi dalam ( R mi ) berturut-turut adalah matriks E dega ( E) ij = da +, jika i j matriks ε dega (ε) ij = +,utuk setiap i da j. Jadi, () ( E A ) = (A E ) = A utuk setiap A ( R mi ) ; () (ε A ) = (A ε ) = A, utuk setiap A (R mi ). Berikut ii beberapa sifat matriks atas aljabar mi-plus : Sifat 3. Jika A, B, C ( R mi ) maka berlaku : () A ( B C ) = ( A B ) C () A B = B A (3) A ( B C ) = ( A B ) C (4) A ( B C ) = ( A B) ( A C ) (5) ( A B ) C = ( A C ) ( B C) (6) A A = A. [A ( B C )] ij = A ij (B ij C ij ) = (A ij B ij ) C ij = [ (A B) C ] ij.. [A B] ij = A ij B ij = B ij A ij = [B A] ij. 3. [ A ( B C) ] ij = Aik Bkl Clj k= l= 4. [ A B C ] ( ) ij = = A B C k= l= k= l= ik kl lj A B C ( A B) C = [ ] ik kl lj = Aik ( Bkj Ckj ) k = = ( Aik Bkj ) ( Aik Ckj ) k = ij ( ) Aik Bkj Aik Ckj k = k= = ( ) ( A B) ( A C) ij = [ ] M-77

Musthofa / Sistem Persamaa Liear 5. [ A B C ] = ( ) ( ) ) ij 6. [ ] ij k= A B C ik ik kj = ( Aik Ckj ) ( Bik Ckj ) k = A A = Aij Aij = Aij. ( ) = ( Aik Ckj ) ( Bik Ckj ) k= k= = [ A C B C ] ( ) ( ) ij Berdasarka sifat-sifat di atas, ( R mi ) idempotet. buka merupaka semifield, tetapi merupaka semirig Lattice Lattice berkaita dega kosep tetag uruta. Kosep ii aka diguaka utuk meyelesaika persamaa liear berbetuk a x = b pada aljabar mi-plus. Defiisi 4. Diberika E sebarag himpua tak kosog da relasi bier pada E. Relasi dikataka relasi uruta parsial jika memeuhi:. x E, x x ( refleksif). x,y E, jika x y da y x, maka x = y ( atisimetris) 3. x,y,z E, jika x y da y z, maka x z ( trasitif) Cotoh 5.. Relasi = pada setiap himpua merupaka relasi uruta parsial.. Relasi pada Ν = himpua bilaga asli, yaitu a,b Ν, a b, jika da haya jika terdapat c Ν, sehigga b = ac yag disebut dega relasi keterbagia merupaka relasi uruta parsial. 3. Misal M ( R ) meyataka himpua semua matriks berukura, dega etrietriya di dalam R. Relasi pada M ( R ) yag didefiisika sebagai: A,B M ( R ), A B a ij b ij,utuk setiap i =,,, da j=,,, merupaka relasi uruta parsial. Defiisi 6. Suatu himpua tak kosog E yag dilegkapi relasi uruta parsial pada E diamaka Poset ( Partially Ordered Set) da diotasika dega ( E, ). Selajutya pada poset aka didefiisika batas atas da batas atas terkecil dari sebagai berikut. Defiisi 7. Diberika ( E, ) poset da { a,b} E. Suatu c E diamaka batas atas dari {a,b} jika a c da b c. suatu d E diamaka batas atas terkecil dari {a,b} jika : (i) d merupaka batas atas dari {a,b} da (ii) jika c E batas atas dari {a,b} maka d c. Selajutya batas atas terkecil dari {a,b} diotasika dega a b. Aalog dega batas atas, di bawah ii diberika defiisi batas bawah da batas bawah terkecil. Defiisi 8. Diberika ( E, ) poset da { a,b} E. Suatu c E diamaka batas bawah dari {a,b} jika c a da c b. suatu d E diamaka batas bawah terbesar dari {a,b} jika : (i) d merupaka batas bawah dari {a,b} da (ii) jika c E batas bawah dari {a,b} maka c d. Selajutya batas bawah terbesar dari {a,b} diotasika dega a b. M-78

Prosidig Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA, Fakultas MIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta, 4 Mei 0 Cotoh 9. Diketahui N = himpua semua bilaga asli. Didefiisika relasi pada N sebagai berikut: Utuk setiap a,b N, a b jika da haya jika a membagi habis b. Batas atas dari { 4,6} N atara lai, 4, da 36. Dalam hal ii, merupaka batas atas terkecil dari {4, 6}. Berkaita dega batas bawah da batas atas, di bawah ii diberika defiisi eleme maximal, eleme maximum da eleme top. Defiisi 0. Diberika (E, ) poset da A E. (i) Suatu a A sedemikia sehigga utuk setiap x A berakibat x a diamaka eleme maximum dari A. (ii) Suatu a A diamaka eleme maximal dari A jika terdapat x A sehigga a x, maka a = x. (iii) Suatu x E sehigga utuk setiap y E berlaku y x diamaka eleme top da diotasika dega T. Eleme top pada poset (E, ), jika ada, maka eleme tersebut tuggal. Hal ii sebagai akibat dari sifat ati simetris, yaitu misalka x da y semuaya eleme top. Diperoleh x y da y x, sehigga meurut sifat ati simetris pada (E, ) berakibat x = y. Demikia juga jika terdapat eleme maximum pada A E, maka eleme maximum tersebut tuggal. Disampig itu, jika A = E, maka eleme top dari E adalah eleme maximum dari A. Cotoh. Misal S = {,, 3 } da T = { A / A S }. Didefiisika relasi pada T sebagai berikut : utuk setiap A, B T, A B jika da haya jika A B. Diperoleh {,}, {,3} da {,3} semuaya merupaka eleme maximal. Dalam hal ii T tidak mempuyai eleme maximum. Cotoh. Misal E = {,,3,4,5}. Jika didefiika relasi pada E sebagai relasi uruta biasa, maka ( E, ) merupaka poset dega eleme top adalah 5. Jika A = {,,3 } E, maka eleme maximum dari ( A, ) adalah 3. Defiisi 3. Suatu poset (L, ) disebut lattice jika a b da a b ada utuk setiap a,b L. Cotoh 4. Misal L = [0, ] = { x R / 0 x }. Jika didefiisika sebagai relasi uruta biasa, maka ( L, ) merupaka poset. Lebih lajut, utuk setiap {a, b} L, max(a, b) merupaka batas atas terkecil dari {a, b} da mi(a, b) merupaka batas bawah terbesar dari {a, b}. Jadi (L, ) merupaka lattice. Selajutya di bawah ii aka diberika suatu sifat bahwa pada sebarag semirig idempotet S dapat didefiisika suatu relasi sehigga ( S, ) merupaka poset. Teorema 5. Diketahui (S,, ) semirig idempote. Jika merupaka relasi pada S yag didefiisika dega: utuk setiap a,b S, a b jika da haya jika a b = b, maka merupaka relasi uruta parsial. Aka ditujukka bersifat refleksif, atisimetris da trasitif. Karea a S, a a = a, maka a a, yaitu refleksif. Jika a b da b a, maka a b = b da b a = a. Sehigga diperoleh a = b, yaitu atisimetris. Jika a b da b c, maka a b = b da b c = c. Akibatya, a c = a (b c) = ( a b) c = b c = c, yaitu a c. Jadi trasitif. Terbukti merupaka relasi uruta parsial, sehigga ( S, ) merupaka poset. Selajutya aka ditujukka jika S merupaka semifield idempote, maka S merupaka lattice. Utuk itu terlebih dahulu dibahas dua teorema di bawah ii. Teorema 6. Jika (S,, ) semifield idempote da a - meyataka ivers dari a terhadap operasi, maka berlaku a b b - a - M-79

Musthofa / Sistem Persamaa Liear a b a b = b ( a b ) ( a - b - ) = b ( a - b - ) ( a a - b - ) ( b a - b - ) = b a - b - b - a - = a - b - a -. Teorema 7. Jika S semifield idempote, maka peryataa berikut ekuivale: () a b b - a - () (a b) - = a - b - (3) ( a b) - = a - b - () () Karea a b b & a b a, maka meurut () b - ( a b ) - & a - ( a b) -, sehigga a - b - ( a b) -. Akibatya, (a - b - ) - [( a b) - ] - = a b (3) Karea a - a - b - da b - a - b -, maka (a - b - ) - a & (a - b - ) - b, sehigga (a - b - ) - a b (4) Dari persamaa (3) da (4 ) diperoleh (a - b - ) - = a b, sehigga a - b - = (a b) -. () (3) Karea (a b) - = a - b -, maka diperoleh ( a - b - ) - = (a - ) - (b - ) - = a b. Diperoleh (a b) - = [( a - b - ) - ] - = a - b -. (3) () Diketahui ( a b) - = a - b - da misalka a b. Aka ditujukka b - a -. Karea a b, maka a b = b. Akibatya (a b) - = a - b - = b -, yaitu b - a -. Teorema 8. Jika S semifield idempote, maka (S, ) merupaka lattice. Ambil sebarag a, b S. Diperoleh a ( a b) = ( a a) b = a b, da b ( a b ) = b ( b a ) = (b b ) a = b a. Jadi a a b da b a b, yaitu a b merupaka batas atas dari a da b. Adaika ada c sedemikia sehigga a c da b c, maka a c = c da b c = c. Sehigga (a b) c = c, yaitu a b c. Jadi a b = a b. Karea S semifield, maka ( a b ) = ( a - b - ) - = ( a - b - ) - utuk a, b ε. Jika a atau b sama dega ol ( ε ), maka a b = ε. Jadi terbukti S merupaka lattice. Berdasarka teorema di atas, karea aljabar mi-plus merupaka semifield idempotet, maka aljabar mi-plus merupaka lattice. Berikut ii kosep yag aka diguaka utuk meyelesaika persamaa liear pada aljabar mi-plus. Defiisi 9. Suatu pemetaa f pada himpua teurut parsial dikataka isoto jika x y f(x) f(y) Cotoh 0. f : R mi R mi dega f(x) = x 0 merupaka pemetaa isoto, yaitu utuk setiap x, y R mi berlaku x y f(x) = x 0 = x + 5 y + 0 = y 0 = f(y) Defiisi. Suatu pemetaa isoto f : D E dega D da E masig-masig himpua terurut parsial dikataka pemetaa residuated jika utuk setiap b E, maka { x / f(x) b} mempuyai eleme maximum, diotasika dega f (b).pemetaa isoto f : E D disebut residual dari f. Cotoh. Pada cotoh 0 di atas, f merupaka pemetaa residuated, sebab utuk setiap y R mi, {x/f(x) = x 0 y }mempuyai eleme maximum, yaitu x = f (y) = y-0. M-80

Prosidig Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA, Fakultas MIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta, 4 Mei 0 Hubuga atara f da f seperti yag dibahas dalam Bacelli, dkk (00) adalah sebagai berikut: f ο f I (5) f ο f I ( 6) Selajutya residual dari f (b) diguaka utuk meetuka ada tidakya solusi dari persamaa f(x) = b, diyataka dalam teorema sebagai berikut: Teorema 3. Jika f : D E pemetaa residuated, maka persamaa f(x) = b mempuyai solusi jika da haya jika f ( f (b)) = b. ( ) Diketahui f(f (b)) = b, maka persamaa f(x) = b mempuyai solusi, yaitu x = f (b) ( ) Diketahui f(x) = b mempuyai solusi, misalka x. Diperoleh f(x ) = b. Karea f (b) adalah eleme maksimum dalam { x/ f(x) b}, maka x f (b). Karea f isoto maka f(x ) f( f (b)). Meurut (a), f f (b) b, akibatya b = f(x ) f f (b) b, yaitu f(f (b)) = b. Peyelesaia Persamaa Ax = b pada Aljabar Mi-plus Utuk meetuka solusi persamaa Ax = b pada aljabar mi-plus, terlebih dahulu aka ditujukka bahwa pemetaa A : R mi R mi, yaitu A ( R mi ) merupaka pemetaa residuated. Teorema 4. A : R mi R mi merupaka pemetaa residuated. A ( x ) A ( x)... A ( x ) A j ( x j ) A ( x ) A ( x)... A ( x ) Jika x R mi, maka Ax A j ( x j ) =. Dibetuk f... j ( x j ) =..., maka A ( x ) A ( x)... A ( x ) Aj ( x j ) Ax = f ( x ). Utuk setiap j, jika x ( ) ( ) j = j j j x h j f k j x j f h j x j.oleh karea itu A k merupaka pemetaa isoto. Disampig itu utuk setiap j, { x / f ( x ) b } mempuyai eleme M-8 j j j maksimum, yaitu x j = {b A j b A j b A j }. Diperoleh A pemetaa residuated. Dega kata lai, A dapat dipadag sebagai suatu pemetaa residuated dari Rmi ke R mi. Berdasarka uraia ii, yaitu karea x j = {b A j b A j b A j }, maka residual dari A adalah [ A ( b)] j = ( bj Aij ). Hasil di atas diguaka utuk meetuka solusi persamaa Ax = b pada aljabar mi-plus sebagai berikut. Teorema 5. Jika A (R mi ), da b R mi, maka persamaa Ax = b mempuyai solusi jika da haya jika A(A (b))= b. ( ) Diketahui A(A (b)) = b. Jadi persamaa Ax = b mempuyai peyelesaia, yaitu x = A (b) ( ) Misalka persamaa Ax = b mempuyai solusi x. diperoleh A x = b, sehigga A x b. Karea A ( b) merupaka eleme maksimum dalam { x/ Ax b ) maka x A (b). Diperoleh A x A ( A (b )) b = A x A ( A\b) (7) Selajutya meurut persamaa (5), A (A\b) b (8) Dari persamaa (7) da (8) diperoleh A ( A (b)) = b.

Musthofa / Sistem Persamaa Liear Cotoh 6. Tetuka apakah persamaa atau tidak. 0 x 0 3 = x 0 pada aljabar mi-plus mepuyai solusi Peyelesaia : 0 Misal A = 3 da b = 0 0. A ( b ) = ( b A ) = ( b A b A ) = (0 ) (0 ) = = i A ( b ) = ( b A ) = ( b A b A ) = (0 0) (0 3) = 3 = i Diperoleh A ( b) =. Karea mempuyai solusi. 0 0 3 = 0, maka persamaa di atas tidak Cotoh 7. Tetuka apakah persamaa atau tidak. 0 x 3 = x 4 pada aljabar mi-plus mepuyai solusi Peyelesaia : 0 Misal A = 3 da b = 4. A ( b ) = ( b A ) = ( b A b A ) = ( ) (4 ) = = i A ( b ) = ( b A ) = ( b A b A ) = ( 0) (4 3) = = i 0 Diperoleh A ( b) =. Karea 3 = 4, maka persamaa di atas mempuyai solusi, yaitu x = da x =. Solusi persamaa di atas tidaklah tuggal, yaitu terdapat solusi yag lai, atara 3 4 5 lai,, da. KESIMPULAN Berdasarka pembahasa di atas, dapat diperoleh kesimpula sebagai berikut:. Aljabar mi-plus merupaka semifield idempotet.. Matriks atas aljabar mi-plus merupaka semirig idempotet. 3. Utuk setiap semirig idempotet dapat didefiisika suatu relasi uruta parsial. 4. Setiap semified idempotet merupaka lattice. 5. Persamaa Ax = b, pada aljabar mi-plus mempuyai solusi jika da haya jika A (b) dega[ A ( b)] = ( b A ) merupaka solusi persamaa tersebut. j j ij M-8

Prosidig Semiar Nasioal Peelitia, Pedidika da Peerapa MIPA, Fakultas MIPA, Uiversitas Negeri Yogyakarta, 4 Mei 0 DAFTAR PUSTAKA Baccelli, F, Cohe, G, Olsder, G.J, Quadrat,J.P. 99. Sychroizatio ad Liearity.Joh Wiley ad Sos, New York. Blyth,T.S.005. Lattices ad Algebraic Ordered Structures. Spriger,Lodo. Farhi, N, Goursat M, ad Quadrat, J.P. Tapa tahu. Road Traffic Models Usig Petri Net ad Mi-plus Algebra. Iria. Peracis. Didowload pada taggal 5 Mei 0. Le Boudec, J.Y, Thira, P. Tapa tahu. Mi-plus System Theory Applied to Commuicatio Network. Swiss. Didowload pada taggal 5 Mei 0. Le Boudec, J.Y, Thira, P. Tapa tahu. Network Calculus. http://icawww.epfl.ch. Didowload pada taggal 5 Mei 0. M-83

Musthofa / Sistem Persamaa Liear M-84