Jural Gradie Vol. No. Juli : 8- Model Atria Multi Layaa Sisa Yosmar Jurusa Matematia, Faultas Matematia da Ilmu egetahua Alam, Uiversitas Begulu, Idoesia Diterima 9 April; Disetujui 8 Jui Abstra - Salah satu permasalaha yag serig ita temui da alami dalam ehidupa sehari-hari adalah atria. Atria yag pajag serig dijumpai diba saat asabah megatri di telller atau di ATM utu melaua trasaasi, di badara udara saat para alo peumpag melaua he-i, di supermaret saat para pembelaja atri utu melaua pembayara, mobil atau motor yag meuggu di lampu merah, pasie yag meuggu di lii rawat jala da masih baya otoh laiya. Bagi sebagia orag atri merupaa hal yag membosaa apalagi terlalu lama atri da sebagai aibatya pelagga aa abur. Hal ii merupaa erugia bagi perusahaa tersebut. Utu mempertahaa pelagga, sebuah perusahaa selalu berusaha memberia pelayaa yag terbai. elayaa yag terbai tersebut atara lai memberia pelayaa yag epat sehigga pelagga tida dibiara meuggu terlalu lama. Tetapi dampa pemberia layaa yag epat ii aa memuula biaya, area harus meambah fasilitas layaa. Oleh area itu dibutuha aalisa utu mempertahaa pelagga da dalam jaga pajag aa meigata eutuga perusahaa. ada peelitia ii haya membahas tetag atria multi layaa dega disipli atria FCFS (First Come, First Served), yaitu yag datag pertama aa dilayai pertama. eelitia ii bertujua utu megetahui bagaimaa model atria multi layaa, memberia iformasi tetag rata-rata watu atria, aalisa biaya da jumlah pelaya optimum. Keyword: Atria multi layaa, distribusi edataga, distribusi watu pelayaa, jumlah pelayaa optimum. edahulua ermasalaha - permasalaha yag terjadi di seitar ita dapat diselesaia seara matematis. Salah satu permasalaha yag serig ita temui da alami adalah atria. Atria yag pajag serig dijumpai diba saat asabah megatri di telller atau di ATM utu melaua trasaasi, di badara udara saat para alo peumpag melaua he-i, di supermaret saat para pembelaja atri utu melaua pembayara, mobil atau motor yag meuggu di lampu merah, pasie yag meuggu di lii rawat jala da masih baya otoh laiya. Bagi sebagia orag atri merupaa hal yag membosaa apalagi terlalu lama atri da sebagai aibatya pelagga aa abur. Hal ii merupaa erugia bagi perusahaa tersebut. Timbulya suatu atria disebaba oleh apasitas sistem pelayaa tida sebadig dega jumlah pelagga. Karea itulah pelagga yag datag tida dapat segera dilayai tetapi haruslah meuggu dalam watu tertetu sebelum medapat pelayaa. [] Utu mempertahaa pelagga, sebuah perusahaa selalu berusaha memberia pelayaa yag terbai. elayaa yag terbai tersebut atara lai memberia pelayaa yag epat sehigga pelagga tida dibiara meuggu (megatri) terlalu lama. Tetapi dampa pemberia layaa yag epat ii aa memuula biaya, area harus meambah fasilitas layaa. Oleh area itu layaa yag epat aa sagat membatu utu mempertahaa pelagga, dalam jaga pajag aa meigata eutuga perusahaa. Dalam teori atria terdapat baya seali model-model atria yag berbeda. erbedaa itu disebaba oleh asumsiasumsi yag dilaua pada setiap model juga berbedabeda. ada peelitia ii haya membahas tetag atria multi layaa dega disipli atria FCFS (First Come, First Served), yaitu yag datag pertama aa dilayai pertama. eelitia ii bertujua utu megetahui bagaimaa model atria multi layaa, memberia iformasi tetag ratarata watu atria, aalisa biaya da jumlah pelaya optimum. Defiisi Distribusi Biomial Bila suatu biomiah dapat meghasila suses dega peluag p da gagal dega peluag q - p maa 8
Sisa Yosmar / Jural Gradie Vol. No. Juli : 8- distribusi peluag peubah aa biomial x yaitu bayaya suses dalam usaha bebas [] x x f( x) p ( p), x,,,... x Defiisi Distribusi oisso Distribusi peluag peubah aa oisso X yag meyataa bayaya suses yag terjadi dalam suatu selag watu atau daerah tertetu, diyataa dega x diberia oleh : [] x e f( x), x,,,... x! meyataa rata-rata bayaya suses yag terjadi persatua watu atau daerah tersebut da e,788 Defiisi Distribusi Espoesial eubah aa otiu X berdistribusi espoesial dega parameter β > bila fugsi padat peluagya berbetu : [] x β e, x f( x) β, x < Defiisi Fugsi umum Espoesial Utu deret a, a, a, a, dari bilaga riil, x x xi f( x) a ax a a ai!! i i! disebut fugsi umum espoesial. []. Disipli Atria Disipli atria seara umum dapat dibagi mejadi empat yaitu : [] a. FCFS (First Come, First Served), yaitu yag datag pertama aa dilayai pertama. b. LCFS (Last Come, First Served), yaitu yag datag terahir, dilayai pertama.. SIRO (Servie i radom order), yaitu pelayaa dalam uruta aa. d. S (rioroty Servie), yaitu pelayaa berdasara sala prioritas.. Hasil da embahasa.. Atria Multi layaa (pararel) Seara umum ita megeal atria yaitu atria tuggal da atria multi layaa. Atria tuggal yaitu atria yag memilii satu atria dega satu pelayaa. Sedaga atria multi layaa adalah atria yag memilii satu atria, tapi pelayaaaya lebih dari satu seperti terlihat pada gambar. [] XXXXXXXXXXX atria Gambar. Atria Multi Layaa.. Usur-usur Sistem Atria Ada beberapa usur sistem atria yaitu: [] a. Distribusi Kedataga Jia pada setiap iterval eil dari watu (perbadiga eil dega rata-rata watu atara eadataga), peluag dari sebuah edataga sama utu setiap iterval da bebas terhadap edataga yag lai maa distribusi edataga megiuti distribusi poisso. b. Distribusi Watu elayaa Watu pelayaa adalah lamaya watu yag dibutuha utu melayai satu pelagga (ustomer). Laju pelayaa dalam melayai pelagga sagat berpegaruh terhadap pajag atria. Distribusi watu pelayaa ii megiuti distribusi espoesial.. Disipli Atria Disipli atria yag diguaa FCFS (First Come, First Served), yaitu yag datag pertama aa dilayai pertama.. Distribusi Kedataga Misala: sagat eil iterval dari lebar (sagat besar) peluag edataga pada rata-rata edataga pada iterval watu p bilaga atual dari edataga pada iterval watu pelaya Jia haya satu edataga yag dapat terjadi pada iterval tersebut, da peluagya aa sama utu setiap iterval maa bilaga atual dari edataga pada diberia oleh fugsi peluag berdistribusi biomial (,p) yaitu: (, p) p ( p)... 9
! p!! ( ) Sisa Yosmar / Jural Gradie Vol. No. Juli : 8- ( p) Jia (tida ada yag datag), maa: ( p, )...!! Ii disebut dega deret espoesial da overge dega ( p, ) ( p) ilai e, maa:, ( p, ) e dimaa p / Kembali e rumus awal da ambil rasio dari suses egembaga dalam deret ta higga, mejadi besar : [] ( p, )!! ( )! ( ) p (, p) (! ) (! )! p p, p utu p ( p, ) ( p, ) p e ( p, ) e (, p) ( p) ada iterval sampai t, peluag tida ada edataga () () t t e eluag ada edataga t T { < t} e, t dimaa T adalah watu utu edataga beriutya. Utu ( ) p ( p) p, p, e e Dega proses yag sama maa diperoleh betu umumya e (, p)! Ii tereal dega hampira poisso utu distribusi biomial dalam lim, p da sagat besar. eluag edataga pada iterval watu, etia ilai harapa dari edataga maa : e!, dimaa meujua satu uit dari watu. Ii berdistribusi poisso dega parameter. ada periode uit watu utu harapa dari edataga t maa: t e t!.. Distribusi Watu elayaa Misala : sagat eil iterval dari lebar (sagat besar) eluag bahwa pelayaa berahir pada rata-rata pelayaa pada uit Iterval watu (layaa bersifat otiu) p Kasus ii sama seperti pada distribusi edataga. Sehigga jia t dimulai dari layaa maa peluag layaa dega watu t adalah dega mesubsitusi pada () t t e mejadi : () t t e da T { t t } e <, t.5. Betu Atria Multi Layaa Keteraga otasi-otasi yag diguaa: rata-rata edataga per uit watu rata-rata layaa per uit watu itesitas emaeta / state dari sistem
Sisa Yosmar / Jural Gradie Vol. No. Juli : 8- peluag sistem pada state jumlah pelagga didalam sistem jumlah pelagga didalam atria Ws watu meuggu didalam sistem Wq watu meuggu didalam atria jumlah pelaya Sistem yag dimasud diatas terdiri dari atria da pelayaa. ara pelagga tiba dega laju osta da masimum pelayaa dapat dilayai seara berbarega. Laju pelayaa per pelaya juga osta. egaruh terahir dari pegguaa pelaya yag paralel adalah memperepat laju pelayaa dega memugia dilauaya beberapa pelayaa seara bersamaa. Jia maa laju pelayaaya. Jia < maa laju pelayaa. Misala adalah iterval watu (sagat eil). Tabel. eluag Kedataga da Layaa State Kedataga Layaa eluag ( < ) eluag ( ) Ada Tida ada t N Tida ada Tida ada t t Tida ada Ada ( ) t t t t t ada asus husus terdapat dua emugia yaitu : a) utu tida ada edataga da tida ada layaa dega ( ) da b) utu tida ada edataga da ada layaa dega t ( ) Karea salig bebas maa dapat dijumlaha : ( t t) ( t) ( ) () t () t t () t ( t) () t () t t () t ( t) t () t () t ( t) lim t area t t maa () t () () utu < ( ) ( ) ( ) ( ) t t t t t t t t t t t t t t t t t t () t t t t t t t t t t t () ( ) t t t t t t t t t ( ) () () utu ( t t) ( t) ( t) ( ) ()( t t) () t () t t () t t () t ( t ) ( t) ( t ) ( ) ( ) t () Dari persamaa (), () diperoleh sebuah deret :
Sisa Yosmar / Jural Gradie Vol. No. Juli : 8- ( ) ( ) ( ) () (5) (6) Sehigga diperoleh solusiya :, Kemudia subtitusi e () ( ) Lalu substitusi e (5) ( ), 6 Selajutya substitusi e (6) ( ), Sehigga didapata betu umumya ( utu < )! dimaa!! Dega melaua ara yag sama, maa utu ()...( ) ( )( )...( )! ( ) ali! Nilai ditetua dari!!!!!!! yag memberia! ( )! ( ) dimaa / < atau /μ<. Espresi umtu L q diperoleh sebagai beriut : q ( ) L!!......!! ( )! ( ) <, Sehigga diperoleh : L s L q W q W s W q ersetase pemafaata sebuah saraa pelayaa dega pelaya yag paralel dapat dihitug sebagai beriut : ersetase pemafaata.6. Jumlah elayaa Optimum Keteraga otasi-otasi : C jumlah pelayaa EOC() biaya pegoperasia saraa per uit watu EWC() biaya meuggu per uit watu ETC() biaya total per uit watu C biaya per pelaya tambaha per uit watu C biaya per uit watu meuggu per pelagga L s () jumlah pelagga dalam sistem dega dietahui eetua yag memiimuma : ETC() EOC() EWC()
Nilai optimum harus memeuhi odisi beriut ii: Sisa Yosmar / Jural Gradie Vol. No. Juli : 8- ETC(-) ETC() da ETC() ETC() Sebagai apliasi dari odisi ii, pertimbaga fugsi biaya beriut ii : EOC() C EWC() C L s () Dega meerapa odisi tersebut maa diperoleh : C ( ) ( ) C C Nilai C meujua dimaa pearia utu optimum harus dimulai. 7, Jumlah pelagga dalam atria (L q )! ( )! ( ) (, ) (, )! ( )!(, ) (, ) (, ),,.56! (, ) (.56).7. eerapa Sistem Atria Multi Layaa ( )!(, ) Sebuah too Fuiture mempuyai tiga loet.58 pembayara ( asir) dega atria tuggal utu Jumlah pelagga dalam sistem pelagga meuggu. elagga datag seara aa dega L s L q,58,,98 rata-rata 7 per jam da watu rata-rata per pelagga (/) Watu meuggu dalam atria adalah meit. Diperiraa biaya watu meuggu per W q L q /,58/7,6 jam, meit pelagga adalah Rp 6., per jam da biaya Watu sistem atria peambaha per asir adalah Rp., per jam. W s W q /μ,, meit Maager euaga too tersebut igi megetahui ersetase pemafaata berapa lama watu meuggu dalam atria tersebut da apaah watu tersebut telah efetif atau belum. Da apaah perlu peambaha asir. Semua yag diigia maager ersetase pemafaata,98,58 euaga oleh tersebut dapat dijawab dega megguaa dega model atria mutli layaa da jumlah pelaya 8% optimum. Jumlah pelaya optimum C Rp., / jam Aalisis data : Rata-rata edataga pelagga () 7 orag per jam Rata-rata pelayaa ( ) C Rp 6., / jam EOC() C EWC() C L s () ETC() EOC() EWC() Sehigga diperoleh hasil perhituga lebih jelas dapat 6 6 orag per jam dilihat pada Tabel. Itesitas emaeta Tabel. Hasil erhituga / L q () L s () EWC() EOC() ETC() L s (-)-L s ().8.58.98 9.88 9. 8.88 _.6..8 6.98. 8.98.5 5.8.7.67 6. 5...6 6..96.5 5. 8...7 Utu jumlah pelaya optimum diperoleh : C ( ) C L L ( ) L. ) (5) () L () 6. s ( s s s,8.67,5,98,8,6,5,5 Berarti jumlah asir optimum adalah.
Sisa Yosmar / Jural Gradie Vol. No. Juli : 8- Berdasara hasil perhituga di atas maa semua pertayaa maager euaga too tersebut dapat dijawab bahwa watu meuggu dega asir yaitu, meit sudah uup eil dega tigat pemafata yag uup tiggi yaitu 8%. Too Furiture tida perlu meambah asir tapi jia dilihat dari jumlah pelaya opitum da total biaya lebih bai too tersebut meambah satu asir lagi. Karea total biaya aa berurag ira-ira sebesar Rp., per jam da watu meuggu dalam atria aa lebih eil yaitu mejadi : W q L q /,/7,597jam atau sama dega,6 meit.. Kesimpula Berdasara pembahasa diatas dapat disimpula sebagai beriut:. Jia distribusi edataga megiuti distribusi poisso dega parameter, maa distribusi watu pelayaa megiuti distribusi espoesial dega parameter.. Jumlah elagga di dalam atria (L q ) ( )! ( ). Jumlah pelagga dalam sistem atria (L s ) L s L q. Watu meuggu dala atria (W q ) W q 5. Watu meuggu dala sistem atria (W s ) W s W q 6. Jumlah pelaya optimum C ( ) ( ) C Daftar ustaa [] Grimaldi, Ralph. 99. Disrete ad Combiatorial Mathemetis. New Yor: Addiso-Wesley ublishig Compay. [] Ross, Sheldo M. 7. Itrodutio to robability Models. Nith Editio. New Yor : Aademy ress. [] Taha, Hamdy A. 997. Riset Operasi. Jilid. Jaarta : Biarupa Asara. [] Taylor, Howard M. 98. A Itrodutio to Stohastis Modelig. Orlado, Florida: Aademi ress, I.