Peteman- & 9 Integal Lpat Da Doble Integal Fngs: Menghtng s benda padat mbl bdang o o, pada poos. Penampang antaa benda dan o mempna las L bdang as Jka ada bdang dsampng maka las bdang: b a f d lm n Δ n f ΔX Sehngga dapat dsmplkan Is benda tps ang tebalna leba, Δ dan las L adalah L Δ las maka s keselhan: lm n Δ n L, Δ
Is benda b a L, d L, g g F, d Sehngga Is b g a g Is enda padat b a F, d d Integal belang Iteated Integal] g g F, d d Doble Integal Contoh:. d d [ d] d d d d. sn d d sn [ d] d sn d cos. enda padat d bawah bdang dbatas oleh bdang,,, Jawab: ; Is d d d d d d 7 Kalkls II
. d d [ ] d [ ] d d d 7 7 9 9 7 9 9. ekan tafsan fss da htnglah ntegasna! R d d, R dbatas oleh bdang, dan dan Jawab Penentan daeah batas da gamba d atas, dengan menganggap konstan/dpegang tetap. atas d atas dapat pla dtls dalam ang konstan Integal Lpat Da 7
Kalkls II Pengntegasan ntk ang dpegang konstan. atas : d d d 7 d d 7 7 7 7 7 Pengntegasan ntk dpegang konstan: atas:
Integal Lpat Da 9 d d d d d / / 7 7 7 7 Telhat bahwa pennjaan konstan ata konstan adalah sama, sebab memang daeah ang dhtng adalah sama.. Htng D d d Jka D adalah daeah ang dbatas antaa lan, ; Caa I: Menentkan batas dengan dpegang konstan
Kalkls II [ ] d d d d Caa II: Menentkan batas dengan dpegang kontans
Integal Lpat Da d d d d d Dalam mengejakan soal-soal d atas seta pemsan s benda padat kta menggnakan koodnat katesan. Macam-macam koodnat ang ada:. Koodnat Katesan d d d daeah las Sehngga Is las alas. tngg Is Δ Δ n F, lm n Is d,, d F d F. Koodnat Pola [slnde]
Is F, d F, d d d d ab d d d d d d d d d. Koodnat Umm [Clne Coodnates] Pada bahasan selanjtna akan dbktkan: d ta d,,,, Contoh:. Tentkan olme bdang Tetahedon seg empat ang dbatas oleh bdang-bdang koodnat dan bdang! Jawab: Untk lebh mdah menentkan batas, kta has gamba bentk fssna: Langkah menggamba: Kalkls II
Dbatas bdang koodnat ang beat dan Untk menentkan ; dan fngs batas dan ntk dpegang konstan Integal Lpat Da
Kalkls II d d d d d d d d Is. Htng olme bag ang dbatas oleh bdang-bdang koodnat dan bdang dan -! Jawab:
Integal Lpat Da d d d d d d Is. Htng d e ; jka dbatas oleh dan, dan! Jawab: d d d e e e d e d e d d e d e 9 / / / e d d. Htng D d ; jka D adalah bdang ang dbatas: dan sn, dan! Jawab: d d d sn d d d d sn sn d sn cos d sn sn d cos cos cos cos cos d d d
cos cos 9 9 9 9. Pehatkan gamba sn Htng d! s Jawab: cos d s ds d d / d / / cos cos sn d d d sn d cos d cos / sn d [ cos ] / sn d / / [ cos] d cos sn d cos Kalkls II cos cos [{ cos }] [ cos cos] [{ }] [ cos cos] [ ] [ ]
[ ] [ ]. Tentkan Is benda pada d aktan I dbawah paabolod! dan ddalam tabng 9 Jawab: Kaena kta tah 9 Is Is D / / / d d d d dd / d / Soal:. Htng F ds jka F pada dan! s Jawab:. Gambakan bagan daeah R d dalam bdang ang dbatas oleh dan! Ca batas-batas ntk dan sehngga tetapkan las da R! Integal Lpat Da 7
, ntk dpegang tetap ta ntk dpegang konstan Las. Htng s benda padat dbatas oleh bdang dan,, dan. Jawab: Is 7. Htng s benda padat antaa dan dan teletak antaa,! Jawab: Is. Dbekan d d a. Gambakan tafsan fss bendana! b. Ubah dalam dpegang konstan! Jawab: ; 9 c. Htng Integas! Jawab:. Htng d d, d mana R adalah bdang daeah R Jawab: Dengan koodnat tabng d d a R a! 7. Htng s bdang ang dbatas bdang-bdang koodnat dan bdang! Jawab: Is Koodnat Umm Clne Coodnate Sebelm mask ke pokok bahasan, kta snggng sedkt mengena ekto. Kalkls II
tan-atan tnan fngs belak ntk tnan ekto. d ± d d ± dt dt dt. d d d dt dt dt. d d d dt dt dt. d d t dt dt dt fngs skala t Kta paka salb smb sstem kanan atan tangan kanan j k,, j k,,,,,, [menjad sekala] tan Coss Vecto menggnakan kadah sekp ] j j k k j k j k j k k j - k j k j j k k j k j j j j k k k j k k j Integal Lpat Da 9
Kalkls II k k k k j j j j k k j j ta dapat dtls dalam bentk detemnan matks, k j Koodnat Umm:
ds d d d j ds d d j ds d d d d j j d d d d k k d d d d k Haga mtlak: d d d d Dapat dbat bentk matk: d d d d,, d d d,, Pada ms d atas telhat bahwa dan has dbah ke aabel dan, pebahan dan ke dan tdak selal mdah, sehngga tekadang lebh mdah mengbah dan menjad dan. Sehngga dalam hal n kta pel nes Detemnan Jacob., ddapat da atan anta detemnan Jacob,,, d,,,, d d d d d d d d Contoh:. Htng d d ; dengan D adalah bdang ang dbatas oleh: D Integal Lpat Da
Kalkls II Jawab : Dengan menggnakan koodnat katesan sebenana kta bsa memecahkanna dengan telebh l membag menjad bagan, dan n memakan wakt ang lama. Lebh cepat menggnakan koodnat mm. Msal: d d d d,,,, d d [ ] [ ] dd D. D d d ; D daeah ang dbatas
Integal Lpat Da Pada kadan I Jawab: dan akan dnatakan dalam fngs dan. - - d d,,,, d d d [ ] [ ] D Soal:. θ θ sn d d Jawab: 9
. Tentkan las da benda/bdang s, ang adalah daeah d dalam lngkaan cos θ dan la lngkaan. [Catatan: Tansfomaskan d d d dθ Jawab: L. Ca las daeah ang dbatas oleh,,,! Jawab: L ln. Ca las daeah d dalam kadan I ang dbatas oleh Jawab: L,,,. Msal R adalah daeah ang dbatas,,. Pelhatkanlah bahwa: - sn cos d d R Msal dan }. enda padat d kadan I ang dbatas oleh tabng. Ca Is! Jawab: Is ln sec tg dan bdang-bdang, dan 7. ktkan: e e d d Dengan tansfomas,. Catatan: Soal n ada bakna jka dkejakan sesdah membahas koodnat mm.. enda dkadan I ang dbatas oleh pesamaan 9 9 dan bdang-bdang koodnat. Ca Isna! Jawab: Isna -oooo- Kalkls II