IDENTITAS TRIGONOMETRI. Tujuan Pembelajaran

Transkripsi

1 Kuikulum 03 Kelas X matematika WAJIB IDENTITAS TRIGONOMETRI Tujuan Pembelajaan Setelah mempelajai matei ini, kamu dihaapkan memiliki kemampuan beikut.. Memahami jenis-jenis identitas tigonometi.. Dapat menggunakan identitas tigonometi dalam penelesaian masalah. 3. Dapat membuktikan kebenaan identitas tigonometi dengan menggunakan umus hubungan pebandingan tigonometi. 4. Dapat mengubah koodinat kutub menjadi koodinat Catesius dan sebalikna. 5. Dapat meneapkan identitas tigonometi dalam kehidupan sehai-hai. A. Jenis-Jenis Identitas Tigonometi Identitas tigonometi adalah suatu pesamaan ang memuat fungsi-fungsi tigonometi dan benilai bena untuk setiap konstanta anggota domain fungsina. Identitas tigonometi dasa dapat dibedakan menjadi tiga, aitu sebagai beikut.. Identitas Kebalikan Identitas kebalikan dipeoleh dai definisi pebandingan tigonometi. a. sin atau cosec cosec sin b. cos atau sec sec cos c. tan atau cotan cotan tan

2 . Identitas Pebandingan (Kuosien) Sama halna dengan identitas kebalikan, identitas pebandingan juga dipeoleh dai definisi pebandingan tigonometi. a. tan sin cos sin Jadi, identitas pebandingan tan. cos b. cotan cos sin Jadi, identitas pebandingan cotan cos sin.

3 3. Identitas Pthagoas Identitas ini dipeoleh dai teoema Pthagoas. Pehatikan gamba beikut. Y P (, ) O X Pada gamba tesebut, belaku: + sin sin cos cos Bedasakan definisi tesebut, titik P (, ) dapat kita tuliskan menjadi P( cos, sin ). Dengan menggunakan teoema Pthagoas, dipeoleh: + cos sin + cos + sin ( cos + si n ) cos + sin cos + sin Jadi, identitas Pthagoas adalah sin + cos. Identitas Pthagoas ang lain dapat dipeoleh dengan membagi pesamaan Pthagoas dengan sisi kuadat lainna, misalna dengan sisi tan sec Jadi, identitas Pthagoas ang lain adalah+ tan sec. 3

4 Jika pesamaan dai teoema Pthagoas dibagi dengan sisi, dipeoleh: cotan + cosec Jadi, identitas Pthagoas ang lain adalah cotan + cosec. Contoh Soal 5 o Jika tan A dengan 90 < A < 80 o, tentukan nilai beikut. a. sec A b. sin A a. Dengan menggunakan identitas Pthagoas, dipeoleh: + tan A sec A 5 + sec A 5 sec A sec A sec A ± 44 3 sec A ± Oleh kaena 90 o < A < 80 o, maka A teletak dikuadan II, sehingga sec A 3. Jadi, sec A 3. 4

5 b. Dengan menggunakan identitas kebalikan, dipeoleh: cos A sec A cos A 3 cos A 3 Selanjutna, dengan menggunakan identitas pebandingan, dipeoleh: sin A tan A cos A sina tan A cos A sin A 5 3 sina 5 3 Jadi, sina 5 3. Contoh Soal Diketahui cos A sin A 7. Nilai dai cos A + sin A. 5 Mula-mula, kuadatkan bentuk cos A sin A. + cos A sin A cos A sin Acos A sin (cos A sin A) 7 + sinacos A sinacos A 4 sinacos A 5 5

6 Selanjutna, kuadatkan bentuk cos A + sin A. + + cos A+ sin A cos A sin Acos A sin A ( cos A+ sin A) (cos A + sin A) + sin Acos A 4 ( cos A+ sin A) ( cos A+ sin A) 5 5 ( cos A+ sin A) 5 cos A+ sin A± 5 Jadi, nilai dai cos A+ sin A± 5. B. Membuktikan Kebenaan Identitas Tigonometi Suatu identitas tigonometi pelu dibuktikan kebenaanna. Caa membuktikanna adalah dengan menggunakan umus-umus atau identitas-identitas ang telah dibuktikan sebelumna. Secaa umum, ada tiga caa ang dapat digunakan dalam pembuktian ini, aitu sebagai beikut.. Ruas kii diubah bentukna sehingga menjadi tepat sama dengan uas kanan.. Ruas kanan diubah bentukna sehingga menjadi tepat sama dengan uas kii. 3. Ruas kii dan kanan diubah menjadi bentuk lain sehingga kedua bentuk hasil pengubahan tesebut tepat sama. Dalam poses pembuktian, selain ang disebutkan di atas, ada hal-hal penting ang pelu dipehatikan, aitu sebagai beikut.. Peubahan-peubahan bentuk ang dilakukan haus diaahkan ke bentuk ang menjadi tujuan pembuktian. Bentuk-bentuk ang dituju biasana adalah bentuk ang lebih sedehana dan dapat disesuaikan dengan bentuk-bentuk lainna.. Selain menggunakan hubungan antaa sekan dan tangen, seta kosekan dan kotangen, fungsi-fungsi tangen, kotangen, sekan, dan kosekan dapat diubah menjadi fungsi sinus atau kosinus. 6

7 Contoh Soal 3 Buktikan identitas beikut. a. sinα cos α tan α ( cosα)( +cos α) b. sinβ tan β+cos βsec β a. Kita ubah bentuk uas kii. sin α sin α cos α tan α sin α cos α cos α sin α sin α sin α cos α cosα cos α ( + ) Jadi, tebukti bahwa sinα cos α tan α ( cos α)( + cos α). b. Kita ubah bentuk uas kii. sin β sin β tan β +cos β sin β +cos cos β β β sin cos β + cos β sin + cos β β cos β cos β sin cos β sec β β+ cos cos β Jadi, tebukti bahwa sinβ tan β+cos β sec β. β Contoh Soal 4 Buktikan bahwa sec α( cos α) tan α. 7

8 Kita ubah bentuk uas kii. sec α cos α sin cos α ( α) sin α cos α tan α Jadi, tebukti bahwa sec α( cos α) tan α. Contoh Soal 5 4 Buktikan bahwa sin α+ sin αcos α+ cos α. Kita ubah bentuk uas kii. 4 sin α+ sin αcos α+ cos α sin α+ sin αcos α+ cos αcos α sin α + ( si n α+ cos α) cos α sin α+() cos α sin α+ cos α 4 jadi, tebukti bahwa sin α+ sin αcos α+ cos α. Contoh Soal 6 cos A Buktikan bahwa sec A tan A+. + sin A Kita ubah bentuk uas kanan. cos A sin A cos A tan A sin A cos A + sin A sina( + sin A)+ cos A cos cos A + sin A sina+ sin A+ cos A cos A + sin A sin A + cos A + sin A 8

9 cos A sec A cos A Jadi, tebukti bahwa sec A tan A+. + sin A Contoh Soal Buktikan bahwa sec sec tan + tan. Caa : Kita ubah bentuk uas kii. 4 sec sec sec sec sec.tan + tan tan tan + tan 4 Caa : Kita ubah bentuk uas kanan. 4 tan + tan tan tan + sec sec 4 sec sec 4 4 Jadi, tebukti bahwa sec sec tan + tan. C. Koodinat Kutub Pehatikan gamba beikut ini. Y P (3, 3) 3 O X 9

10 Dengan menggunakan pebandingan tigonometi, diketahui nilai pada gamba tesebut adalah 45 o. Titik P(3, 3) dapat ditulis dalam bentuk lain, aitu P( 3 45, ). Titik P(3, 3) meupakan koodinat Catesius, sedangkan P( 3, 45 )meupakan koodinat kutub. Secaa umum, koodinat Catesius ditulis P (, ), sedangkan koodinat kutub ditulis P (, ). Untuk mengetahui hubungan antaa koodinat Catesius dan koodinat kutub, pehatikan penjabaan beikut. sin cos Dengan demikian, dipeoleh: sin sin cos cos + Contoh Soal 8 Tentukan koodinat Catesius dai titik R (4, 50 o ). Diketahui: 4 50 o Dengan menggunakan umus hubungan antaa koodinat Catesius dan koodinat kutub, dipeoleh: R (4, 50 o ) O 0

11 cos 4cos sin 4sin50 4 Jadi, koodinat Catesius dai titik R (4, 50 o ) adalah R 3,. Contoh Soal 9 Tentukan koodinat kutub dai titik Q (6, 3). Diketahui: 6 dan 3 Dengan menggunakan umus hubungan antaa koodinat Catesius dan koodinat kutub, dipeoleh: sin 3 sin 3 5 sin, acsin ( 0, 447) 7 Jadi, koodinat kutub dai titik Q (6, 3) adalah Q ( 3 5, 7 ).

12 D. Aplikasi Identitas Tigonometi dalam Kehidupan Sehai-hai Contoh Soal 0 Simpangan suatu patikel ang begeak di sekita titik tetap O dinatakan sebagai 4sin t. Jika cos t sin t cos t, natakan simpangan patikel tesebut dalam bentuk cos t. Dengan menggunakan identitas tigonometi, dipeoleh: 4sin t sin t+ sin t ( (cos t sin t) sin t+ sin t cos t+ sin t ( cos t) cost Jadi, simpangan patikel tesebut dalam bentuk cost adalah cost. Contoh Soal Sebuah benda dilempakan ke atas hingga membentuk sudut dengan 45 o < < 90 o tehadap bidang mendata. Diketahui kecepatan objek adalah v o dalam mete pe detik dan dasa bidang membentuk sudut 45 o sepeti ilustasi beikut. Jika gesekan dengan udaa diabaikan, jaak tempuh R benda dibeikan dalam bentuk fungsi beikut. R sin cos 3 [ ]

13 a. Natakan fungsi jaak tempuh R benda dalam sinus. b. Hitunglah jaak ang ditempuh benda jika kecepatanna 3 mete pe detik dan 60 o. a. Untuk menatakan fungsi jaak tempuh R dalam sinus, gunakan identitas tigonometi. R sin cos 3 [ ] sin (cos sin ) 3 sin ( sin sin ) 3 sin ( sin ) 3 sin + sin 3 sin+ sin 3 Jadi, fungsi jaak tempuh benda dalam sinus adalah R sin+ sin 3 b. Jika v o 3 mete pe detik dan 60 o maka: R sin+ sin sin0 sin 60 o

14 3 4 73,, 45, ( 0, 365) 6, 47 6,5 mete Jadi, jaak ang ditempuh benda jika kecepatanna 3 mete pe detik dan 60 o adalah 6,5 m. 4