FUNGSI EKSPONENSIAL & FUNGSI LOGARITMA NAMA: KELAS:
1 P a g e FUNGSI EKSPONENSIAL DAN LOGARITMA I. FUNGSI EKSPONEN Fungsi eksponen f dengan bilangan pokok a (a konstan) adalah fungsi yang didefinsikan dengan rumus: f(x) = k.a x, k sebagi konstanta a > 0, dan a 1 A. GRAFIK FUNGSI EKSPONEN a. Fungsi f(x) = k.a x, untuk a>1 dan a R Dengan menggunakan nilai-nilai dalam tabel berikut ini, kita dapat melukiskan kurva untuk fungsi 1. f (x) = y = 2 x x f(x) (x,y) 2. f (x) = y = 2 x+1 x f(x) (x,y)
2 P a g e b. Fungsi f(x) = k.a x, untuk 0<a<1 dan a R f (x) = y = X f(x) (x,y) Kesimpulan: 1. Kurva selalu terletak di atas sumbu X (definit positif) 2. Mempunyai asimtot datar y = 0 atau sumbu X karena grafik terus-menerus mendekati sumbu X tetapi tidak pernah memotongnya. Asimtot adalah suatu garis lurus yang didekati oleh kurva lengkung dengan jarak semakin lama semakin kecil mendekati nol di jauh tak terhingga. 3. Grafik fungsi y = a x dan y = a - x berpotongan di titik (0,1), hal ini berdasarkan sifat dari eskponen suatu bilangan tidak 0 dipangkatkan bilangan berapapun hasilnya pasti = 1. 4. Kurva f(x) = k.a x, untuk a>1 dan a R monoton naik (selalu naik) sebab untuk x 2 > x 1 maka a > a Jika a > 1 dan a f(x) a g(x) maka f(x) g(x) Jika a > 1 dan a f(x) a g(x) maka f(x) g(x) 5. Kurva f(x) = k.a x, untuk 0 < a <1 dan a R monoton turun sebab untuk x 2 > x 1 maka a < a Jika 0 < a <1 dan a f(x) a g(x) maka f(x) g(x) Jika 0 < a <1 dan a f(x) a g(x) maka f(x) g(x)
3 P a g e B. PERSAMAAN FUNGSI EKSPONENSIAL (Pengayaan) 1. Penyelesaian Persamaan Eksponen Berbentuk a f(x) = 1 a f(x) = 1 f(x) =0 dengan a > 0 dan a 1 Contoh: Tentukan penyelesaian dari 7 4x + 8 = 1! 2. Penyelesaian Persamaan Eksponen Berbentuk a f(x) = a p a f(x) = a p f(x) = p dengan a > 0 dan a 1 Contoh: Tentukan penyelesaian dari 2 3x 4 = 64 3. Persamaan Eksponen Berbentuk a f(x) = a g(x) a f(x) = a g(x) f(x) = g(x) dengan a > 0 dan a 1 Contoh: Tentukan penyelesaian dari 8 = 128 4. Persamaan Eksponen Berbentuk a f(x) = b f(x) a f(x) = b f(x) f(x) = 0 dengan a > 0 dan a 1 Contoh: Tentukan penyelesaian dari 84 = 2
4 P a g e 5. Persamaan Eksponen Berbentuk a f(x) = b g(x) a f(x) = b g(x) log a f(x) = log b g(x) (menggunakan bantuan logaritma) Contoh: Tentukan penyelesaian dari 3 = 2 6. Persamaan Eksponen Berbentuk A{a f(x } + B{a f(x } + C = 0 Contoh: Tentukan penyelesaian dari 2 4.2 + 4 = 0! 7. Persamaan Eksponen Berbentuk f(x) g(x) = 1 ; f(x) g(x) Langkah langkah menyelesaikan: 1) g(x) = 0 karena ruas kanan nilainya 1 berarti g(x) harus sama dengan nol. 2) f(x) =1 karena jika f(x) =1 maka bilangan 1 dipangkatkan berapapun nilainya 1. 3) f(x) = -1 dengan syarat g(x) harus genap Latihan: Selesaikan persamaan eksponen berikut:(4x 3) 5x+10 = 1! 8. Persamaan Eksponen Berbentuk f(x) g(x) = f(x) h(x) Persamaan eksponen f(x) g(x) = f(x) h(x) mempunyai arti (terdefinsi) jika dan hanya jika memenuhi empat syarat berikut : 1. g(x)= h(x) 2. f(x) = 1 3. f(x) = -1, (-1) g(x) = (-1) h(x) dengan syarat g(x) dan h(x) keduanya sama-sama genap atau sama-sama ganjil. 4. f(x) = 0, g(x) > 0 dan h(x) > 0
5 P a g e Latihan: Selesaikan persamaan eksponen berikut:(3x - 5) x = (3x - 5) 3x - 4! 9. Persamaan Eksponen Berbentuk g(x) f(x) = h(x) g(x) Persamaan eksponen g(x) f(x) = h(x) g(x)) teridefinisi jika dan hanya jika memenuhi dua syarat berikut : 1. g(x) = h(x) 2. h(x) = 0 jika f(x) 0 dan g(x) 0 Latihan: Selesaikan persamaan eksponen berikut:(3x + 5) 2x + 1 = (6x + 2) 2x +1! C. PENERAPAN FUNGSI EKSPONENSIAL Laju pertumbuhan/pertambahan P t = P o ( 1 + i) t Keterangan: Dalam suku bunga majemuk, P t = jumlah uang setelah t waktu. P o = tabungan awal i = bunga majemuk (dalam %) t = waktu yang digunakan Laju peluruhan/penyusutan P t = P o ( 1 - i) t Keterangan: Dalam peluruhan zat, P t = sisa zat setelah t waktu. P o = banyak zat mula-mula i = laju peluruhan (dalam %) t = waktu yang digunakan
6 P a g e II. FUNGSI LOGARITMA A. GRAFIK FUNGSI LOGARITMA Fungsi logarima f dengan bilangan pokok a (a konstan) adalah fungsi yang didefinsikan dengan rumus: f(x) = a log x dengan a > 0, x > 0 dan a 1 Ingat definisi Logaritma: Logaritma merupakan invers/kebalikan dari perpangkatan/eksponen. a log x = c x = a c Keterangan: a disebut bilangan pokok/basis, a > 0, a 1 x disebut bilangan logaritma atau numerus dengan, x > 0 c disebut hasil logaritma atau eksponen dari basis a. Fungsi f(x) = a log x, untuk a>1 dan a R Dengan menggunakan nilai-nilai dalam tabel berikut ini, kita dapat melukiskan kurva untuk fungsi f (x) = y = 2 log x 1 1 1 1 x... 1 2 4 8 16... 16 8 4 2 f(x)... -4-3 -2-1 0 1 2 3 4... (x,y)......
7 P a g e b. Fungsi f(x) = a log x, untuk 0 < a < 1 dan a R Dengan menggunakan nilai-nilai dalam tabel berikut ini, kita dapat melukiskan kurva untuk fungsi f (x) = y = log x 1 1 1 1 x... 1 2 4 8 16... 16 8 4 2 f(x)... 4 3 2 1 0-1 -2-3 -4... (x,y)...... Kesimpulan: 1. Mempunyai asimtot karena...... Asimtot adalah suatu garis lurus yang didekati oleh kurva lengkung dengan jarak semakin lama semakin kecil mendekati nol di jauh tak terhingga. 2. Grafik fungsi y = f(x) = a log x dan y = f(x) = 1 a log x berpotongan di titik, hal ini berdasarkan sifat dari logaritma:... 3. Grafik fungsi y = f(x) = a log x dan y = f(x) = 1 a log x selalu berada di sebelah kanan sumbu Y karena......... 4. Kurva Kurva f(x) = a log x, untuk a>1 dan a R monoton naik (selalu naik) sebab untuk x 2 > x 1 maka a log x 2 > a log x 1 Jika a > 1 dan a log f(x) a log g(x)maka f(x) g(x) Jika a > 1 dan a log f(x) a log g(x) maka f(x) g(x) 5. Kurva f(x) = a log x, untuk 0<a<1 dan a R monoton turun sebab untuk x 2 > x 1 maka a log x 2 < a log x 1 Jika 0 < a <1 dan a log f(x) a log g(x) maka f(x) g(x) Jika 0 < a <1 dan a log f(x) a log g(x) maka f(x) g(x)
8 P a g e 6. Grafik fungsi y = a log x dengan grafik y = 1 a log x simetris terhadap. 7. Grafik fungsi y = a log x dengan grafik y = a x simetris terhadap. 8. Grafik fungsi y = a log x dengan grafik y = a x saling invers. B. PERSAMAAN LOGARITMA (pengayaan) 1. Persamaan Logaritma Berbentuk a log f(x) = a log p Untuk menyelesaikan persamaan a log f(x) = a log p, dimana a> 0, a 1, dan f(x) > 0, p > 0 dapat kita gunakan sifat : a log f(x) = a log p f(x) = p Contoh: Selesaikan persamaan logaritma 4 log(2x 2 3x + 7) = 2! Jawab: 2. Persamaan Logaritma Berbentuk a log f(x) = a log g(x) Untuk menyelesaikan persamaan alog f(x) = alog g(x), dimana a> 0, a 1, dan f(x), g(x) > 0 dapat kita gunakan sifat : a log f(x) = a log g(x) f(x) = g(x) Contoh: Selesaikan persamaan logaritma 4 log 2x = 4 log (x + 4)! Jawab:
9 P a g e 3. Persamaan Logaritma Berbentuk a log f(x) = b log f(x) Untuk menyelesaikan persamaan alog f(x) = alog g(x), dimana a, b> 0, a,b 1, dan f(x), g(x) > 0 dapat kita gunakan sifat : a log f(x) = b log g(x) f(x) = 1 Contoh: Selesaikan persamaan logaritma 3 log (x 2 2x + 2) = 4 log (x 2 2x + 2)! Jawab: 4. Persamaan Logaritma yang Dapat Dinyatakan dengan Persamaan Kuadrat Persamaan logaritma dengan bentuk umum sebagai berikut, A a log 2 f(x) + B a log f(x) + C = 0, a > 0, a 1, dan f(x) > 0 serta A, B, C R Memiliki penyelesaian persamaan yang hampir sama dengan penyelesain eksponen yang dapat dinyatakan menjadi persamaan kuadrat. Ingat: ( a log b) 2 = a log 2 b = ( a log b)( a log b) Contoh: Selesaikan persamaan logaritma (log (x+2)) 2 + log (x+2) 3 = log 0,01! Jawab: 5. Persamaan Logaritma Berbentuk f(x) log g(x) = f(x) log h(x) Untuk menyelesaikan persamaan a log f(x) = a log g(x), dimana f(x)> 0, f(x) 1, dan g(x), h(x) > 0 dapat kita gunakan sifat : f(x) log g(x) = f(x) log h(x) g(x) = h(x), asalkan:
10 P a g e a. f(x), g(x), h(x) > 0 b. f(x) 1